Все выпуски

Рассматривается модель стека длинных джозефсоновских переходов (ДДП), состоящего из чередующихся сверхпроводящих слоев и слоев диэлектрика, с учетом индуктивной и емкостной связи между слоями. Модель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно разности фаз и напряжения между соседними сверхпроводящими слоями в стеке ДДП, с соответствующими начальными и граничными условиями. Численное решение этой системы уравнений основано на использовании стандартных трехточечных конечно-разностных формул для дискретной аппроксимации по пространственной координате и применении четырехшагового метода Рунге–Кутты для решения полученной задачи Коши. Разработанный параллельный алгоритм реализован на основе технологии MPI (Message Passing Interface). В работе дана математическая постановка задачи в рамках рассматриваемой модели, описаны вычислительная схема и методика расчета вольт-амперных характеристик системы ДДП, представлены два варианта параллельной реализации. Продемонстрировано влияние индуктивной и емкостной связи между ДДП на структуру вольт-амперной характеристики в рамках рассматриваемой модели. Представлены результаты методических расчетов с различными параметрами длины и количества джозефсоновских переходов в стеке ДДП в зависимости от количества задействованных параллельных вычислительных узлов. Расчеты выполнены на многопроцессорных кластерах HybriLIT и ЦИВК Многофункционального информационно-вычислительного комплекса Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований (Дубна). На основе полученных численных результатов обсуждается эффективность рассмотренных вариантов распределения вычислений для численного моделирования системы ДДП в параллельном режиме. Показано, что один из предложенных подходов приводит к ускорению вычислений до 9 раз по сравнению с расчетами в однопроцессорном режиме.

We consider a model of stacked long Josephson junctions (LJJ), which consists of alternating superconducting and dielectric layers. The model takes into account the inductive and capacitive coupling between the neighbor junctions. The model is described by a system of nonlinear partial differential equations with respect to the phase differences and the voltage of LJJ, with appropriate initial and boundary conditions. The numerical solution of this system of equations is based on the use of standard three-point finite-difference formulae for discrete approximations in the space coordinate, and the applying the four-step Runge-Kutta method for solving the Cauchy problem obtained. Designed parallel algorithm is implemented by means of the MPI technology (Message Passing Interface). In the paper, the mathematical formulation of the problem is given, numerical scheme and a method of calculation of the current-voltage characteristics of the LJJ system are described. Two variants of parallel implementation are presented. The influence of inductive and capacitive coupling between junctions on the structure of the current-voltage characteristics is demonstrated. The results of methodical calculations with various parameters of length and number of Josephson junctions in the LJJ stack depending on the number of parallel computing nodes, are presented. The calculations have been performed on multiprocessor clusters HybriLIT and CICC of Multi-Functional Information and Computing Complex (Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna). The numerical results are discussed from the viewpoint of the effectiveness of presented approaches of the LJJ system numerical simulation in parallel. It has been shown that one of parallel algorithms provides the 9 times speedup of calculations.

Рассмотрена задача нахождения инвариантной меры неприводимой цепи Маркова с дискретным временем и конечным пространством состояний. Для такой цепи Маркова существует и единственна инвариантная мера, определенная с точностью до умножения на константу. Для каждого состояния эта инвариантная мера получена в виде суммы $n^{n−2}$ неотрицательных слагаемых, где $n$ — число состояний. Каждое слагаемое является произведением $n − 1$ условных вероятностей перехода. В стандартном представлении цепи Маркова ориентированным графом каждому состоянию ставится в соответствие вершина графа, а условной вероятности перехода — ориентированное ребро. В этом представлении каждое слагаемое в рассматриваемом выражении для инвариантной меры некоторого состояния взаимно-однозначно соответствует обратно ориентированному дереву с корнем в вершине, являющейся образом рассматриваемого состояния. Ребра ориентированы по направлению к корню. Дерево включает все вершины — образы состояний. Каждое слагаемое является произведением всех тех и только тех условных вероятностей перехода, образами которых являются ориентированные ребра соответствующего дерева.

A problem of finding of an invariant measure of irreducible discrete-time Markov chain with a finite state space is considered. There is a unique invariant measure for such Markov chain that can be multiplied by an arbitrary constant. A representation of a Markov chain by a directed graph is considered. Each state is represented by a vertex, and each conditional transition probability is represented by a directed edge. It is proved that an invariant measure for each state is a sum of $n^{n−2}$ non-negative summands, where $n$ is a cardinality of state space. Each summand is a product of $n − 1$ conditional transition probabilities and is represented by an opposite directed tree that includes all vertices. The root represents the considered state. The edges are directed to the root. This result leads to methods of analyses and calculation of an invariant measure that is based on a graph theory.

В работе рассматривается задача параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем, представленных уравнениями в пространстве состояний, с аддитивными и мультипликативными шумами. Предполагается, что уравнения состояния и измерения дискретной линейной стохастической системы зависят от неизвестного параметра, подлежащего идентификации.

Представлен новый подход к построению градиентных методов параметрической идентификации в классе дискретных линейных стохастических систем с аддитивными и мультиплика- тивными шумами, основанный на применении модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта (MWGS) и алгоритмов дискретной фильтрации информационного типа.

Основными теоретическими результатами данной работы являются: 1) новый критерий идентификации в терминах расширенного информационного LD-фильтра; 2) новый алгоритм вычисления значений производных по параметру неопределенности дискретной линейной стохастической системы в расширенном информационном LD-фильтре на основе прямой процедуры модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта; 3) новый метод вычисления градиента критерия идентификации на основе предложенного дифференцированного расширенного информационного LD-фильтра.

Преимуществом предложенного подхода является применение численно устойчивой к ошибкам машинного округления MWGS-ортогонализации, лежащей в основе разработанных методов и алгоритмов. Информационный LD-фильтр сохраняет симметричность и положительную определенность информационных матриц. Разработанные алгоритмы имеют блочно-матричную структуру, удобную для компьютерной реализации.

Все разработанные алгоритмы реализованы на языке MATLAB. Проведены серии численных экспериментов, результаты которых демонстрируют работоспособность предложенного подхода на примере решения задачи идентификации параметров математической модели сложной механической системы.

Полученные результаты могут быть использованы для построения методов параметрической идентификации математических моделей, представленных в пространстве состояний дискретными линейными стохастическими системами с аддитивными и мультипликативными шумами.

The paper considers the problem of parameter identification of discrete-time linear stochastic systems in the state space with additive and multiplicative noise. It is assumed that the state and measurements equations of a discrete-time linear stochastic system depend on an unknown parameter to be identified.

A new approach to the construction of gradient parameter identification methods in the class of discrete-time linear stochastic systems with additive and multiplicative noise is presented, based on the application of modified weighted Gram – Schmidt orthogonalization (MWGS) and the discrete-time information-type filtering algorithms.

The main theoretical results of this research include: 1) a new identification criterion in terms of an extended information filter; 2) a new algorithm for calculating derivatives with respect to an uncertainty parameter in a discrete-time linear stochastic system based on an extended information LD filter using the direct procedure of modified weighted Gram – Schmidt orthogonalization; and 3) a new method for calculating the gradient of identification criteria using a “differentiated” extended information LD filter.

The advantages of this approach are that it uses MWGS orthogonalization which is numerically stable against machine roundoff errors, and it forms the basis of all the developed methods and algorithms. The information LD-filter maintains the symmetry and positive definiteness of the information matrices. The algorithms have an array structure that is convenient for computer implementation.

All the developed algorithms were implemented in MATLAB. A series of numerical experiments were carried out. The results obtained demonstrated the operability of the proposed approach, using the example of solving the problem of parameter identification for a mathematical model of a complex mechanical system.

The results can be used to develop methods for identifying parameters in mathematical models that are represented in state space by discrete-time linear stochastic systems with additive and multiplicative noise.

Статья носит методический характер и посвящена решению трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). Особое внимание уделяется законам сохранения вещества и неприятному эффекту избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

Делается вывод о том, что по сравнению с классическими конечно-разностными методами, хотя локальная функция перехода (ЛФП) КА терминологически эквивалентна шаблону вычислительной двухслоевой явной схемы, различие состоит в замене матричных (direct) методов (например, метода прогонки для трехдиагональной матрицы) итерационными. Из этого следуют более жесткие требования к дискретизации условий для граничных КА-ячеек.

Для гексагональной сетки и консервативных граничных условий записана корректная ЛФП для граничных ячеек, справедливая, по крайней мере, для границ прямоугольной и круговой формы. Предложена идея разделения ЛФП на internal, boundary и postfix. На примере этой задачи заново осмыслено значение числа Куранта–Леви как соотношения скорости сходимости КА к решению задачи, данному на фиксированный момент времени, и скорости изменения самого решения в динамике.

The paper has methodical character; it is devoted to three classic partial differential equations (Laplace, Diffusion and Wave) solution using simple numerical methods in terms of Cellular Automata. Special attention was payed to the matter conservation law and the offensive effect of excessive hexagonal symmetry.

It has been shown that in contrary to finite-difference approach, in spite of terminological equivalence of CA local transition function to the pattern of computing double layer explicit method, CA approach contains the replacement of matrix technique by iterative ones (for instance, sweep method for three diagonal matrixes). This suggests that discretization of boundary conditions for CA-cells needs more rigid conditions.

The correct local transition function (LTF) of the boundary cells, which is valid at least for the boundaries of the rectangular and circular shapes have been firstly proposed and empirically given for the hexagonal grid and the conservative boundary conditions. The idea of LTF separation into «internal», «boundary» and «postfix» have been proposed. By the example of this problem the value of the Courant-Levy constant was re-evaluated as the CA convergence speed ratio to the solution, which is given at a fixed time, and to the rate of the solution change over time.

Работа посвящена использованию бикомпактных схем для численного решения эволюционных уравнений гиперболического типа. Основным преимуществом схем этого класса является сочетание двух положительных свойств: пространственной аппроксимации высокого четного порядка на шаблоне, всегда занимающем одну ячейку сетки, и спектрального разрешения, лучшего по сравнению с классическими компактными конечно-разностными схемами того же порядка пространственной аппроксимации. Рассматривается одна особенность бикомпактных схем — жесткая привязка их пространственной аппроксимации к декартовым сеткам (с ячейками-параллелепипедами в трехмерном случае). Она делает затруднительным применение бикомпактных схем к решению задач в сложных расчетных областях в рамках подхода неструктурированных сеток. Предлагается решать эту проблему путем применения известных методов аппроксимации границ сложной формы и соответствующих им краевых условий на декартовых сетках. Обобщение бикомпактных схем на задачи в геометрически сложных областях проводится на примере задач газовой динамики и уравнений Эйлера. В качестве конкретного метода, позволяющего учесть на декартовых сетках влияние твердых границ произвольной формы на течение газа, выбирается метод свободной границы. Приводится краткое описание этого метода, выписываются его уравнения. Для них строятся бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству с локально-одномерным расщеплением. Компенсационный поток метода свободной границы дискретизируется со вторым порядком точности. Для интегрирования по времени в получаемых схемах применяются неявный метод Эйлера и $L$-устойчивый жестко-точный трехстадийный однократно диагонально-неявный метод Рунге–Кутты третьего порядка точности. Разработанные бикомпактные схемы тестируются на трех двумерных задачах: о стационарном сверхзвуковом обтекании с числом Маха, равным трем, одного круглого цилиндра и группы изт рех круглых цилиндров, а также о нестационарном взаимодействии плоской ударной волны и круглого цилиндра в канале с плоскопараллельными стенками. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами других работ: твердые тела физически корректно влияют на поток газа, давление в контрольных точках на поверхностях тел рассчитывается с точностью, в целом отвечающей выбранному разрешению сетки и уровню численной диссипации.

This work is dedicated to application of bicompact schemes to numerical solution of evolutionary hyperbolic equations. The main advantage of this class of schemes lies in combination of two beneficial properties: the first one is spatial approximation of high even order on a stencil that always occupies only one mesh cell; the second one is spectral resolution which is better in comparison to classic compact finite-difference schemes of the same order of spatial approximation. One feature of bicompact schemes is considered: their spatial approximation is rigidly tied to Cartesian meshes (with parallelepiped-shaped cells in three-dimensional case). This feature makes rather challenging any application of bicompact schemes to problems with complex computational domains as treated in the framework of unstructured meshes. This problem is proposed to be solved using well-known methods for treating complex-shaped boundaries and their corresponding boundary conditions on Cartesian meshes. The generalization of bicompact schemes on problems in geometrically complex domains is made in case of gas dynamics problems and Euler equations. The free boundary method is chosen as a particular tool to introduce the influence of arbitrary-shaped solid boundaries on gas flows on Cartesian meshes. A brief description of this method is given, its governing equations are written down. Bicompact schemes of fourth order of approximation in space with locally one-dimensional splitting are constructed for equations of the free boundary method. Its compensation flux is discretized with second order of accuracy. Time stepping in the obtained schemes is done with the implicit Euler method and the third order accurate $L$-stable stiffly accurate three-stage singly diagonally implicit Runge–Kutta method. The designed bicompact schemes are tested on three two-dimensional problems: stationary supersonic flows with Mach number three past one circular cylinder and past three circular cylinders; the non-stationary interaction of planar shock wave with a circular cylinder in a channel with planar parallel walls. The obtained results are in a good agreement with other works: influence of solid bodies on gas flows is physically correct, pressure in control points on solid surfaces is calculated with the accuracy appropriate to the chosen mesh resolution and level of numerical dissipation.

Автоматизированное проектирование процессов сборки сложных систем — это важное направление современных информационных технологий. Последовательность сборки и декомпозиция изделия на сборочные единицы в значительной степени зависят от механической структуры технической системы (машины, механического прибора и др.). В большей части современных исследований механическая структура изделий моделируется при помощи графа связей и различных его модификаций. Координация деталей при сборке может достигаться реализацией нескольких связей одновременно. Это порождает на множестве деталей изделия многоместное отношение базирования, которое не может быть корректно описано графовыми средствами. Предложена гиперграфовая модель механической структуры изделия. В современном дискретном производстве используются секвенциальные когерентные сборочные операции. Математическим описанием таких операций служит нормальное стягивание ребер гиперграфовой модели. Последовательность стягиваний, которая преобразуют гиперграф в точку, представляет собой описание сборочного плана. Гиперграфы, для которых существует такое преобразование, называются $s$-гиперграфами. $s$-гиперграфы — это корректные математические модели механических структур любых собираемых изделий. Приводится теорема о необходимых условиях стягиваемости $s$-гиперграфов. Показано, что необходимые условия не являются достаточными. Дан пример нестягиваемого гиперграфа, для которого выполняются необходимые условия. Это значит, что проект сложной технической системы может содержать скрытые структурные ошибки, которые делают невозможным сборку изделия. Поэтому поиск достаточных условий стягиваемости является важной задачей. Доказаны две теоремы о достаточных условиях стягиваемости. Они дают теоретическое основание для разработки эффективной вычислительной процедуры поиска всех $s$-подграфов $s$-гиперграфа. $s$-подграф — это модель любой части изделия, которую можно собрать независимо. Это прежде всего сборочные единицы различного уровня иерархии. Упорядоченное по включению множество всех $s$-подграфов $s$-гиперграфа представляет собой решетку. Эту модель можно использовать для синтеза всевозможных последовательностей сборки и разборки изделия и его составных частей. Решеточная модель изделия позволяет анализировать геометрические препятствия при сборке алгебраическими средствами.

Computer-aided assembly planning of complex products is an important area of modern information technology. The sequence of assembly and decomposition of the product into assembly units largely depend on the mechanical structure of a technical system (machine, mechanical device, etc.). In most modern research, the mechanical structure of products is modeled using a graph of connections and its various modifications. The coordination of parts during assembly can be achieved by implementing several connections at the same time. This generates a $k$-ary basing relation on a set of product parts, which cannot be correctly described by graph means. A hypergraph model of the mechanical structure of a product is proposed. Modern discrete manufacturing uses sequential coherent assembly operations. The mathematical description of such operations is the normal contraction of edges of the hypergraph model. The sequence of contractions that transform the hypergraph into a point is a description of the assembly plan. Hypergraphs for which such a transformation exists are called $s$-hypergraphs. $S$-hypergraphs are correct mathematical models of the mechanical structures of any assembled products. A theorem on necessary conditions for the contractibility of $s$-hypergraphs is given. It is shown that the necessary conditions are not sufficient. An example of a noncontractible hypergraph for which the necessary conditions are satisfied is given. This means that the design of a complex technical system may contain hidden structural errors that make assembly of the product impossible. Therefore, finding sufficient conditions for contractibility is an important task. Two theorems on sufficient conditions for contractibility are proved. They provide a theoretical basis for developing an efficient computational procedure for finding all $s$-subgraphs of an $s$-hypergraph. An $s$-subgraph is a model of any part of a product that can be assembled independently. These are, first of all, assembly units of various levels of hierarchy. The set of all $s$-subgraphs of an $s$-hypergraph, ordered by inclusion, is a lattice. This model can be used to synthesize all possible sequences of assembly and disassembly of a product and its components. The lattice model of the product allows you to analyze geometric obstacles during assembly using algebraic means.

В работе представлена численная методика определения спектральных электромагнитных характеристик (эффективных электрической проводимости и относительной диэлектрической проницаемости) насыщенных пористых сред. Их определение находит применение при интерпретации данных петрофизических исследований скважин, а также при изучении кернового материала. Особенностью настоящей работы является использование трехмерных цифровых моделей насыщенных пористых сред, построенных на основе комбинированной информации о микроструктуре среды и капиллярном равновесии двухфазной смеси типа «нефть–вода» в поровом пространстве. Данные о микроструктуре модели получаются путем использования методов рентгеновской микротомографии. Многофазное многокомпонентное распределение флюидов в поровом пространстве модели находится с помощью метода функционала плотности. Для определения непосредственно электромагнитных характеристик модели выполняется фурье-преобразование по времени уравнения Максвелла, выражающего обобщенную теорему Ампера о циркуляции. В низкочастотном приближении задача сводится к решению уравнения эллиптического типа на комплексный потенциал. Для конечно- разностной аппроксимации используется дискретизация модели на изотропной равномерной ортогональной сетке. При этом считается, что в каждой расчетной ячейке сетки содержится либо вода, либо нефть, либо по- рода со своими электрическими параметрами. Для этого выполняется процедура сегментации, в результате которой в модели отсутствуют ячейки, содержащие несколько фаз (нефть–вода). Подобная модификация модели позволяет избежать использования сложноструктурированных расчетных сеток, а также дает возможность исключить влияние способа задания свойств ячеек, заполненных смесью различных фаз, на результаты расчета. Полученная система разностных уравнений решается с использованием стабилизированного метода бисопряженных градиентов с многосеточным предобуславливателем. На основе вычисленных распределений комплексного потенциала находятся средние значения электрической проводимости и относительной диэлектрической проницаемости. Для простоты в настоящей работе рассматривался случай отсутствия спектральной зависимости проводимости и проницаемости компонентов от частоты. Результаты расчетов частотных зависимостей эффективных характеристик неоднородно насыщенных пористых сред (электрической проводимости и относительной диэлектрической проницаемости) в широком диапазоне частот и водонасыщенностей представлены на графиках и в таблице. В заключение делается вывод об эффективности предложенного подхода для задачи определения дисперсионных электромагнитных характеристик насыщенных горных пород.

This article represents numerical simulation technique for determining effective spectral electromagnetic properties (effective electrical conductivity and relative dielectric permittivity) of saturated porous media. Information about these properties is vastly applied during the interpretation of petrophysical exploration data of boreholes and studying of rock core samples. The main feature of the present paper consists in the fact, that it involves three-dimensional saturated digital rock models, which were constructed based on the combined data considering microscopic structure of the porous media and the information about capillary equilibrium of oil-water mixture in pores. Data considering microscopic structure of the model are obtained by means of X-ray microscopic tomography. Information about distributions of saturating fluids is based on hydrodynamic simulations with density functional technique. In order to determine electromagnetic properties of the numerical model time-domain Fourier transform of Maxwell equations is considered. In low frequency approximation the problem can be reduced to solving elliptic equation for the distribution of complex electric potential. Finite difference approximation is based on discretization of the model with homogeneous isotropic orthogonal grid. This discretization implies that each computational cell contains exclusively one medium: water, oil or rock. In order to obtain suitable numerical model the distributions of saturating components is segmented. Such kind of modification enables avoiding usage of heterogeneous grids and disregards influence on the results of simulations of the additional techniques, required in order to determine properties of cells, filled with mixture of media. Corresponding system of differential equations is solved by means of biconjugate gradient stabilized method with multigrid preconditioner. Based on the results of complex electric potential computations average values of electrical conductivity and relative dielectric permittivity is calculated. For the sake of simplicity, this paper considers exclusively simulations with no spectral dependence of conductivities and permittivities of model components. The results of numerical simulations of spectral dependence of effective characteristics of heterogeneously saturated porous media (electrical conductivity and relative dielectric permittivity) in broad range of frequencies and multiple water saturations are represented in figures and table. Efficiency of the presented approach for determining spectral electrical properties of saturated rocks is discussed in conclusion.

В работе рассматриваются развитие и применение метода учета заполненности прямоугольных ячеек материальной средой, в частности жидкостью для повышения гладкости и точности конечно-разностного решения задач гидродинамики со сложной формой граничной поверхности. Для исследования возможностей предлагаемых разностных схем рассмотрены две задачи вычислительной гидродинамики — пространственно-двумерного течения вязкой жидкости между двумя соосными полуцилиндрами и переноса веществ между соосными полуцилиндрами. Аппроксимация задач по времени выполнена на основе схем расщепления по физическим процессам. Дискретизация операторов диффузии и конвекции выполнена на основе интегроинтерполяционного метода с учетом заполненности ячеек и без ее учета. Для решения задачи диффузии – конвекции при больших сеточных числах Пекле предложено использовать разностную схему, учитывающую функцию заполненности ячеек, и схему, построенную на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами, полученными в результате минимизации погрешности аппроксимации при малых числах Куранта. Для оценки точности численного решения в качестве эталона используется аналитическое решение, описывающее течение Куэтта – Тейлора. В случае непосредственного использования прямоугольных сеток (ступенчатой аппроксимации границ) относительная погрешность расчетов достигает 70 %, при тех же условиях использование предлагаемого метода позволяет уменьшить погрешность до 6%. Показано, что дробление прямоугольной сетки в 2–8 раз по каждому из пространственных направлений не приводит к такому же повышению точности, которой обладают численные решения, полученные с учетом заполненности ячеек. Предложенные разностные схемы, построенные на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами 2/3 и 1/3 соответственно, полученные в результате минимизации порядка погрешности аппроксимации, для задачи диффузии – конвекции обладают меньшей сеточной вязкостью и, как следствие, точнее описывают поведение решения в случае больших сеточных чисел Пекле.

The paper discusses the development and application of the accounting rectangular cell fullness method with material substance, in particular, a liquid, to increase the smoothness and accuracy of a finite-difference solution of hydrodynamic problems with a complex shape of the boundary surface. Two problems of computational hydrodynamics are considered to study the possibilities of the proposed difference schemes: the spatial-twodimensional flow of a viscous fluid between two coaxial semi-cylinders and the transfer of substances between coaxial semi-cylinders. Discretization of diffusion and convection operators was performed on the basis of the integro-interpolation method, taking into account taking into account the fullness of cells and without it. It is proposed to use a difference scheme, for solving the problem of diffusion – convection at large grid Peclet numbers, that takes into account the cell population function, and a scheme on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weight coefficients obtained by minimizing the approximation error at small Courant numbers. As a reference, an analytical solution describing the Couette – Taylor flow is used to estimate the accuracy of the numerical solution. The relative error of calculations reaches 70% in the case of the direct use of rectangular grids (stepwise approximation of the boundaries), under the same conditions using the proposed method allows to reduce the error to 6%. It is shown that the fragmentation of a rectangular grid by 2–8 times in each of the spatial directions does not lead to the same increase in the accuracy that numerical solutions have, obtained taking into account the fullness of the cells. The proposed difference schemes on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weighting factors of 2/3 and 1/3, respectively, obtained by minimizing the order of approximation error, for the diffusion – convection problem have a lower grid viscosity and, as a corollary, more precisely, describe the behavior of the solution in the case of large grid Peclet numbers.

В работе рассмотрена краевая задача о движении тепловой волны для вырождающегося уравнения второго порядка параболического типа со степенной нелинейностью. Краевое условие задает уравнение движения на плоскости нулевого фронта тепловой волны, имеющего форму окружности. Предложен новый численно-аналитический алгоритм, в соответствии с которым решение строится по шагам по времени при разностной схеме дискретизации времени. На каждом шаге рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона, к которому сводится исходное уравнение. Фактически она является обратной задачей Коши, в которой исходная граница области решения свободна от граничных условий, а на текущей границе (фронте волны) заданы два условия (Неймана и Дирихле). Решение этой задачи ищется в виде суммы частного решения уравнения Пуассона и решения соответствующего уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям. Поскольку неоднородность зависит от искомой функции и ее производных, решение строится итерационно. Частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Обратная задача Коши для уравнения Лапласа решается методом нулевого поля применительно к круговым областям с круговыми отверстиями. Для таких задач этот метод применяется впервые. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Распараллеливание вычислений позволило эффективно реализовать алгоритм на высокопроизводительных вычислительных системах. На базе алгоритма была создана компьютерная программа. В качестве средства распараллеливания был выбран стандарт параллельного программирования OpenMP для языка программирования C++ как наиболее подходящий для вычислительных программ с параллельными циклами. Эффективность алгоритма и работоспособность программы были проверены сравнением результатов расчетов с известным точным решением, а также с численным решением, полученным авторами ранее с помощью метода граничных элементов. Проведенный вычислительный эксперимент показал хорошую сходимость итерационных процессов и более высокую точность нового алгоритма по сравнению с разработанным ранее. Анализ решений позволил определить наиболее подходящую систему радиальных базисных функций.

The paper deals with a heat wave motion problem for a degenerate second-order nonlinear parabolic equation with power nonlinearity. The considered boundary condition specifies in a plane the motion equation of the circular zero front of the heat wave. A new numerical-analytical algorithm for solving the problem is proposed. A solution is constructed stepby- step in time using difference time discretization. At each time step, a boundary value problem for the Poisson equation corresponding to the original equation at a fixed time is considered. This problem is, in fact, an inverse Cauchy problem in the domain whose initial boundary is free of boundary conditions and two boundary conditions (Neumann and Dirichlet) are specified on a current boundary (heat wave). A solution of this problem is constructed as the sum of a particular solution to the nonhomogeneous Poisson equation and a solution to the corresponding Laplace equation satisfying the boundary conditions. Since the inhomogeneity depends on the desired function and its derivatives, an iterative solution procedure is used. The particular solution is sought by the collocation method using inhomogeneity expansion in radial basis functions. The inverse Cauchy problem for the Laplace equation is solved by the null field method as applied to a circular domain with a circular hole. This method is used for the first time to solve such problem. The calculation algorithm is optimized by parallelizing the computations. The parallelization of the computations allows us to realize effectively the algorithm on high performance computing servers. The algorithm is implemented as a program, which is parallelized by using the OpenMP standard for the C++ language, suitable for calculations with parallel cycles. The effectiveness of the algorithm and the robustness of the program are tested by the comparison of the calculation results with the known exact solution as well as with the numerical solution obtained earlier by the authors with the use of the boundary element method. The implemented computational experiment shows good convergence of the iteration processes and higher calculation accuracy of the proposed new algorithm than of the previously developed one. The solution analysis allows us to select the radial basis functions which are most suitable for the proposed algorithm.

Работа посвящена разработке безитерационного метода решения обратной задачи для уравнения параболического типа с неизвестным нестационарным коэффициентом при первой производной по пространственной переменной. Условие переопределения задается в виде определенного интеграла от искомой функции с весовым множителем по области определения пространственной переменной либо по ее части. Актуальность данного исследования обусловлена необходимостью диагностики динамических параметров в прикладных задачах, в частности, при моделировании процессов переноса в биологических жидкостях, где скорость потока может меняться во времени. В отличие от распространенных итерационных методов, требующих значительных вычислительных затрат и тщательного выбора параметров регуляризации, предлагается оригинальный метод, основанный на декомпозиции решения, суть которого состоит в том, что на каждом временном слое в представлении решения обратной задачи в виде линейной комбинации решений двух вспомогательных систем уравнений с одинаковой матрицей и различными правыми частями, с последующим определением неизвестного коэффициента из дискретного аналога заданного условия переопределения. Такой подход позволяет находить неизвестный коэффициент без организации итерационного процесса. При учете неточных условий переопределения наибольшая точность восстановления решения обратной задачи достигается на квазирешении прямой задачи. Представлены результаты численной реализации предложенного вычислительного алгоритма на тестовых примерах, подтвердившие высокую точность определения искомых функций при достаточно слабых возмущениях условия переопределения. Полученные результаты открывают перспективы применения метода в задачах медицинской диагностики и других областях, где требуется оперативная обработка экспериментальных данных.

This paper presents a non-iterative method for solving an inverse problem for a parabolictype equation with an unknown time-dependent coefficient at the first spatial derivative. The overdetermination condition is specified as a definite integral of the unknown function with a weighting factor over the spatial domain or its subdomain. The study is motivated by the need to identify dynamic parameters in applied problems, particularly in modeling transport processes in biological fluids, where the flow velocity may vary over time. In contrast to conventional iterative methods that require substantial computational effort and careful selection of regularization parameters, an original approach based on solution decomposition is proposed. At each time layer, the solution is represented as a linear combination of solutions to two auxiliary systems with the same matrix and different right-hand sides, followed by the determination of the unknown coefficient from a discrete analogue of the overdetermination condition. This approach eliminates the need for an iterative procedure. In the presence of inexact overdetermination data, the highest reconstruction accuracy is achieved using a quasi-solution. Numerical experiments on test problems demonstrate high accuracy in reconstructing the unknown functions under small perturbations of the overdetermination condition. The results indicate strong potential for applications in medical diagnostics and other fields requiring rapid processing of experimental data.