Все выпуски

В статье рассматривается проблема надежности эксплуатации открытой интеграционной платформы, обеспечивающей взаимодействие различных программных комплексов моделирования режимов транспорта газа, с учетом предоставления доступа к ним, в том числе через тонких клиентов, по принципу «программное обеспечение как услуга». Математически описаны функционирование, надежность хранения, передачи информации и реализуемость вычислительного процесса системы, что является необходимым для обеспечения работы автоматизированной системы диспетчерского управления транспортом нефти и газа. Представлено системное решение вопросов моделирования работы интеграционной платформы и тонких клиентов в условиях неопределенности и риска на базе метода динамики средних теории марковских случайных процессов. Рассматривается стадия стабильной работы — стационарный режим работы цепи Маркова с непрерывным временем и дискретными состояниями, которая описывается системами линейных алгебраический уравнений Колмогорова–Чепмена, записанных относительно средних численностей (математических ожиданий) состояний объектов исследования. Объектами исследования являются как элементы системы, присутствующие в большом количестве (тонкие клиенты и вычислительные модули), так и единичные (сервер, сетевой менеджер (брокер сообщений), менеджер технологических схем). В совокупности они представляют собой взаимодействующие Марковские случайные процессы, взаимодействие которых определяется тем, что интенсивности переходов в одной группе элементов зависят от средних численностей других групп элементов.

Через средние численности состояний объектов и интенсивностей их переходов из состояния в состояние предлагается многокритериальная дисперсионная модель оценки риска (как в широком, так и узком смысле, в соответствии со стандартом МЭК). Риск реализации каждого состояния параметров системы вычисляется как среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра системы объектов (в данном случае — средние численности и вероятности состояний элементов открытой интеграционной платформы и облака) от их среднего значения. На основании определенной дисперсионной модели риска функционирования элементов системы вводятся модели критериев оптимальности и рисков функционирования системы в целом. В частности, для тонкого клиента рассчитываются риск недополучения выгоды от подготовки и обработки запроса, суммарный риск потерь, связанный только с непроизводительными состояниями элемента, суммарный риск всех потерь от всех состояний системы. Для полученной многокритериальной задачи оценки рисков предлагаются модели (схемы компромисса) выбора оптимальной стратегии эксплуатации.

The article deals with the problem of a distributed system operation reliability. The system core is an open integration platform that provides interaction of varied software for modeling gas transportation. Some of them provide an access through thin clients on the cloud technology “software as a service”. Mathematical models of operation, transmission and computing are to ensure the operation of an automated dispatching system for oil and gas transportation. The paper presents a system solution based on the theory of Markov random processes and considers the stable operation stage. The stationary operation mode of the Markov chain with continuous time and discrete states is described by a system of Chapman–Kolmogorov equations with respect to the average numbers (mathematical expectations) of the objects in certain states. The objects of research are both system elements that are present in a large number – thin clients and computing modules, and individual ones – a server, a network manager (message broker). Together, they are interacting Markov random processes. The interaction is determined by the fact that the transition probabilities in one group of elements depend on the average numbers of other elements groups.

The authors propose a multi-criteria dispersion model of risk assessment for such systems (both in the broad and narrow sense, in accordance with the IEC standard). The risk is the standard deviation of estimated object parameter from its average value. The dispersion risk model makes possible to define optimality criteria and whole system functioning risks. In particular, for a thin client, the following is calculated: the loss profit risk, the total risk of losses due to non-productive element states, and the total risk of all system states losses.

Finally the paper proposes compromise schemes for solving the multi-criteria problem of choosing the optimal operation strategy based on the selected set of compromise criteria.

В последние десятилетия активно развивается теория аномальной диффузии, объединяющая различные транспортные процессы, в которых характерное среднеквадратичное рассеяние растет со временем по степенному закону, а не линейно, как для нормальной диффузии. Так, к примеру, диффузия жидкостей в пористых телах, перенос зарядов в аморфных полупроводниках и молекулярный транспорт в вязких средах демонстрируют аномальное «замедление» по сравнению со стандартной моделью.

Удобным инструментом исследования таких процессов является прямое стохастическое моделирование. В работе описана одна из возможных схем такого рода, в основе которой лежит процесс восстановления с временами ожидания, имеющими степенную асимптотику. Аналитические построения показывают тесную связь между рассмотренным классом случайных процессов и уравнениями с производными нецелого порядка. Этот подход легко можно распространить ( соответствующий алгоритм представлен в тексте) на системы, в которых, помимо транспорта, возможны химические реакции. Актуальность исследований в этой области продиктована тем, что точный вид интегро-дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику в системах с аномальной диффузией, остается пока предметом дискуссии.

Поскольку рассматриваемый класс случайных процессов не обладает марковским свойством, здесь возникают принципиально новые проблемы по сравнению с моделированием химических реакций при нормальной диффузии. Главная из них заключается в способе, которым определяется, какие молекулы должны «погибнуть» в ходе реакции. Поскольку точная схема, отслеживающая каждую возможную комбинацию реактантов, неприемлема с вычислительной точки зрения из-за слишком большого числа таких комбинаций, было предложено несколько простых эвристических процедур. Серия вычислительных экспериментов показала, что результаты весьма чувствительны к выбору одной из этих эвристик.

Theory of anomalous diffusion, which describe a vast number of transport processes with power law mean squared displacement, is actively advancing in recent years. Diffusion of liquids in porous media, carrier transport in amorphous semiconductors and molecular transport in viscous environments are widely known examples of anomalous deceleration of transport processes compared to the standard model.

Direct Monte Carlo simulation is a convenient tool for studying such processes. An efficient stochastic simulation algorithm is developed in the present paper. It is based on simple renewal process with interarrival times that have power law asymptotics. Analytical derivations show a deep connection between this class of random process and equations with fractional derivatives. The algorithm is further generalized by coupling it with chemical reaction simulation. It makes stochastic approach especially useful, because the exact form of integrodifferential evolution equations for reaction — subdiffusion systems is still a matter of debates.

Proposed algorithm relies on non-markovian random processes, hence one should carefully account for qualitatively new effects. The main question is how molecules leave the system during chemical reactions. An exact scheme which tracks all possible molecule combinations for every reaction channel is computationally infeasible because of the huge number of such combinations. It necessitates application of some simple heuristic procedures. Choosing one of these heuristics greatly affects obtained results, as illustrated by a series of numerical experiments.

В статье описан подход к расчетному анализу теплогидравлических процессов в реакторе на быстрых нейтронах (БН), включающий применяемые физические модели, численные схемы и упрощения реальной конструкции, принятые в расчетной модели. Рассмотрены стационарные и динамические режимы испытаний. Стационарные режимы имитировали работу реактора на номинальной мощности. Динамические режимы имитировали расхолаживание реактора через систему отвода тепла. Моделирование теплогидравлических процессов проведено в программном комплексе (ПК) FlowVision. На основе геометрической модели была построена математическая модель, описывающая течение теплоносителя в первом контуре имитатора реактора типа БН.

Моделирование течения и теплообмена рабочего вещества в имитаторе реактора выполнено в предположении независимости плотности вещества от давления, с использованием $k–\varepsilon$ модели турбулентности, с применением модели дисперсной среды и с учетом сопряженного теплообмена. Реализованная в ПК FlowVision модель дисперсной среды позволила учесть процесс теплообмена между контурами в теплообменниках. Из-за большого количества расчетных ячеек по модели активной зоны области двух теплообменных аппаратов были заменены гидравлическими сопротивлениями и стоками тепла.

Моделирование течения теплоносителя в ПК FlowVision позволило получить распределения температуры, скорости и давления во всей расчетной области. В результате использования модели дисперсной среды были получены распределения температуры теплоносителей по обоим контурам теплообменников. Определено изменение температуры теплоносителя вдоль двух термозондов, которые располагались в холодной и горячей камерах имитатора реактора БН. На основе сравнительного анализа численных и экспериментальных данных сделаны выводы о корректности построенной математической модели и возможности ее использования для моделирования теплогидравлических процессов, протекающих в реакторах с натриевым теплоносителем типа БН.

An approach to numerical analysis of thermo-hydraulic processes proceeding in a fast-neutron reactor is described in the given article. The description covers physical models, numerical schemes and geometry simplifications accepted in the computational model. Steady-state and dynamic regimes of reactor operation are considered. The steady-state regimes simulate the reactor operation at nominal power. The dynamic regimes simulate the shutdown reactor cooling by means of the heat-removal system.

Simulation of thermo-hydraulic processes is carried out in the FlowVision CFD software. A mathematical model describing the coolant flow in the first loop of the fast-neutron reactor was developed on the basis of the available geometrical model. The flow of the working fluid in the reactor simulator is calculated under the assumption that the fluid density does not depend on pressure, with use a $k–\varepsilon$ turbulence model, with use of a model of dispersed medium, and with account of conjugate heat exchange. The model of dispersed medium implemented in the FlowVision software allowed taking into account heat exchange between the heat-exchanger lops. Due to geometric complexity of the core region, the zones occupied by the two heat exchangers were modeled by hydraulic resistances and heat sources.

Numerical simulation of the coolant flow in the FlowVision software enabled obtaining the distributions of temperature, velocity and pressure in the entire computational domain. Using the model of dispersed medium allowed calculation of the temperature distributions in the second loops of the heat exchangers. Besides that, the variation of the coolant temperature along the two thermal probes is determined. The probes were located in the cool and hot chambers of the fast-neutron reactor simulator. Comparative analysis of the numerical and experimental data has shown that the developed mathematical model is correct and, therefore, it can be used for simulation of thermo-hydraulic processes proceeding in fast-neutron reactors with sodium coolant.

Рассматривается нелинейная краевая задача водородопроницаемости, соответствующая следующему эксперименту. Нагретая до достаточно высокой температуры мембрана из исследуемого конструкционного материала служит перегородкой вакуумной камеры. После предварительного вакуумирования и практически полной дегазации на входной стороне создается постоянное давление газообразного (молекулярного) водорода. С выходной стороны в условиях вакуумирования с помощью масс-спектрометра определяется проникающий поток.

Принята линейная модель зависимости коэффициента диффузии растворенного атомарного водорода в объеме от концентрации, температурная зависимость в соответствии с законом Аррениуса. Поверхностные процессы растворения и сорбции-десорбции учтены в форме нелинейных динамических краевых условий (дифференциальные уравнения динамики поверхностных концентраций атомарного водорода). Математическая особенность краевой задачи состоит в том, что производные по времени от концентраций входят как в уравнение диффузии, так и в граничные условия с квадратичной нелинейностью. В терминах общей теории функционально-дифференциальных уравнений это приводит к так называемым уравнениям нейтрального типа и требует разработки более сложного математического аппарата. Представлен итерационный вычислительный алгоритм второго (повышенного) порядка точности решения соответствующей нелинейной краевой задачи на основе явно-неявных разностных схем. Явная составляющая применяется к более медленным подпроцессам, что позволяет на каждом шаге избегать решения нелинейной системы уравнений.

Приведены результаты численного моделирования, подтверждающие адекватность модели экспериментальным данным. Определены степени влияния вариаций параметров водородопроницаемости («производные») на проникающий поток и распределение концентрации атомов H по толщине образца, что важно, в частности, для задач проектирования защитных конструкций от водородного охрупчивания и мембранных технологий получения особо чистого водорода. Вычислительный алгоритм позволяет использовать модель и при анализе экстремальных режимов для конструкционных материалов (перепады давления, высокие температуры, нестационарный нагрев), выявлять лимитирующие факторы при конкретных условиях эксплуатации и экономить на дорогостоящих экспериментах (особенно это касается дейтерий-тритиевых исследований).

The article deals with the nonlinear boundary-value problem of hydrogen permeability corresponding to the following experiment. A membrane made of the target structural material heated to a sufficiently high temperature serves as the partition in the vacuum chamber. Degassing is performed in advance. A constant pressure of gaseous (molecular) hydrogen is built up at the inlet side. The penetrating flux is determined by mass-spectrometry in the vacuum maintained at the outlet side.

A linear model of dependence on concentration is adopted for the coefficient of dissolved atomic hydrogen diffusion in the bulk. The temperature dependence conforms to the Arrhenius law. The surface processes of dissolution and sorptiondesorption are taken into account in the form of nonlinear dynamic boundary conditions (differential equations for the dynamics of surface concentrations of atomic hydrogen). The characteristic mathematical feature of the boundary-value problem is that concentration time derivatives are included both in the diffusion equation and in the boundary conditions with quadratic nonlinearity. In terms of the general theory of functional differential equations, this leads to the so-called neutral type equations and requires a more complex mathematical apparatus. An iterative computational algorithm of second-(higher- )order accuracy is suggested for solving the corresponding nonlinear boundary-value problem based on explicit-implicit difference schemes. To avoid solving the nonlinear system of equations at every time step, we apply the explicit component of difference scheme to slower sub-processes.

The results of numerical modeling are presented to confirm the fitness of the model to experimental data. The degrees of impact of variations in hydrogen permeability parameters (“derivatives”) on the penetrating flux and the concentration distribution of H atoms through the sample thickness are determined. This knowledge is important, in particular, when designing protective structures against hydrogen embrittlement or membrane technologies for producing high-purity hydrogen. The computational algorithm enables using the model in the analysis of extreme regimes for structural materials (pressure drops, high temperatures, unsteady heating), identifying the limiting factors under specific operating conditions, and saving on costly experiments (especially in deuterium-tritium investigations).

Рассмотрены основные современные сценарии изменений гидрохимического и температурного режимов вод Азовского моря на долгосрочную перспективу. Предложены новые схемы моделей механизмов адаптации водорослей к изменениям гидрохимического режима и температуры среды. По сравнению с традиционными эколого-эволюционными схемами данные модели имеют относительно малую размерность, высокое быстродействие и позволяют проводить разнообразные расчеты на многолетнюю перспективу (эволюционно значимые времена). На основе математической эколого-эволюционной модели нижних трофических уровней экосистемы оценено влияние изменения указанных факторов среды на динамику биомасс и микроэволюцию азовских водорослей. В каждом сценарии расчеты производились на 100 лет, при этом устанавливались финальные значения переменных и параметров, не зависящие от выбора момента старта в модели. В процессе такого асимптотического компьютерного анализа обнаружено, что в результате потепления климата и температурной адаптации организмов происходит естественное увеличение среднегодовой биомассы теплолюбивых водорослей (Pyrrophyta и Cyanophyta). Однако для ряда диатомовых водорослей (Bacillariophyta), даже с учетом их температурной адаптации, среднегодовая биомасса может неожиданно уменьшиться. Вероятно, это явление связано с ужесточением конкуренции между видами с близкими температурными параметрами существования. Также было исследовано воздействие вариации химического состава стока р. Дон на динамику биогенных веществ и водорослей Азовского моря. Оказалось, что соотношение органических форм азота и фосфора в водах моря мало изменяется. Данное явление стабилизации будет иметь место для всех высокопродуктивных водоемов с низкой проточностью, так как обусловлено преимущественно автохтонным происхождением органического вещества.

Base long-term modern scenarios of hydrochemical and temperature regimes of the Sea of Azov were considered. New schemes of modeling mechanisms of algal adaptation to changes in the hydrochemical regime and temperature were proposed. In comparison to the traditional ecological-evolutionary schemes, these models have a relatively small dimension, high speed and allow carrying out various calculations on long-term perspective (evolutionally significant times). Based on the ecology-evolutionary model of the lower trophic levels the impact of these environmental factors on the dynamics and microevolution of algae in the Sea of Azov was estimated. In each scenario, the calculations were made for 100 years, with the final values of the variables and parameters not depending on the choice of the initial values. In the process of such asymptotic computer analysis, it was found that as a result of climate warming and temperature adaptation of organisms, the average annual biomass of thermophilic algae (Pyrrophyta and Cyanophyta) naturally increases. However, for a number of diatom algae (Bacillariophyta), even with their temperature adaptation, the average annual biomass may unexpectedly decrease. Probably, this phenomenon is associated with a toughening of competition between species with close temperature parameters of existence. The influence of the variation in the chemical composition of the Don River’s flow on the dynamics of nutrients and algae of the Sea of Azov was also investigated. It turned out that the ratio of organic forms of nitrogen and phosphorus in sea waters varies little. This stabilization phenomenon will take place for all high-productive reservoirs with low flow, due to autochthonous origin of larger part of organic matter in water bodies of this type.

Хотя эпоха экспоненциального роста производительности компьютерных микросхем закончилась, даже настольные процессоры общего назначения сегодня имеют 16 и больше ядер. Поскольку пропускная способность памяти DRAM растет не с такой скоростью, как вычислительная мощность ядер, разработчики процессоров должны искать пути уменьшения частоты обменов с памятью на одну инструкцию. Непосредственным путем к этому является снижение частоты промахов в кэш последнего уровня. Предполагая уже реализованной схему «неинклюзивный кэш с инклюзивным справочником» (NCID), три способа дальнейшего снижения частоты промахов были исследованы.

Первый способ — это достижение более равномерного использования банков и наборов кэша применением хэш-функций для интерливинга и индексирования. В экспериментах в тестах SPEC CPU2017 refrate, даже простейшие хэш-функции на основе XOR показали увеличение производительности на 3,2%, 9,1% и 8,2% в конфигурациях процессора с 16, 32 и 64 ядрами и банками общего кэша, сравнимое с результатами для более сложных функций на основе матриц, деления и CRC.

Вторая оптимизация нацелена на уменьшение дублирования на разных уровнях кэшей путем автоматического переключения на эксклюзивную схему, когда она выглядит оптимальной. Известная схема этого типа, FLEXclusion, была модифицирована для использования в NCID-кэшах и показала улучшение производительности в среднемна 3,8%, 5,4% и 7,9% для 16-, 32- и 64-ядерных конфигураций.

Третьей оптимизацией является увеличение фактической емкости кэша использованием компрессии. Частота сжатия недорогим и быстрыма лгоритмом B DI*-HL (Base-Delta-Immediate Modified, Half-Line), разработанным для NCID, была измерена, и соответствующее увеличение емкости кэша дало около 1% среднего повышения производительности.

Все три оптимизации могут сочетаться и продемонстрировали прирост производительности в 7,7%, 16% и 19% для конфигураций с 16, 32 и 64 ядрами и банками соответственно.

Although the era of exponential performance growth in computer chips has ended, processor core numbers have reached 16 or more even in general-purpose desktop CPUs. As DRAM throughput is unable to keep pace with this computing power growth, CPU designers need to find ways of lowering memory traffic per instruction. The straightforward way to do this is to reduce the miss rate of the last-level cache. Assuming “non-inclusive cache, inclusive directory” (NCID) scheme already implemented, three ways of reducing the cache miss rate further were studied.

The first is to achieve more uniform usage of cache banks and sets by employing hash-based interleaving and indexing. In the experiments in SPEC CPU2017 refrate tests, even the simplest XOR-based hash functions demonstrated a performance increase of 3.2%, 9.1%, and 8.2% for CPU configurations with 16, 32, and 64 cores and last-level cache banks, comparable to the results of more complex matrix-, division- and CRC-based functions.

The second optimisation is aimed at reducing replication at different cache levels by means of automatically switching to the exclusive scheme when it appears optimal. A known scheme of this type, FLEXclusion, was modified for use in NCID caches and showed an average performance gain of 3.8%, 5.4 %, and 7.9% for 16-, 32-, and 64-core configurations.

The third optimisation is to increase the effective cache capacity using compression. The compression rate of the inexpensive and fast BDI*-HL (Base-Delta-Immediate Modified, Half-Line) algorithm, designed for NCID, was measured, and the respective increase in cache capacity yielded roughly 1% of the average performance increase.

All three optimisations can be combined and demonstrated a performance gain of 7.7%, 16% and 19% for CPU configurations with 16, 32, and 64 cores and banks, respectively.

Представлена математическая модель, описывающая динамику инфекции ВИЧ-1 в отдельно взятом лимфоузле в начальный период развития инфекции. В рамках модели инфицирование индивидуума задается неотрицательной финитной функцией, описывающей скорость поступления первоначальных вирусных частиц в лимфоузел. Уравнения модели построены с учетом следующих факторов: 1) взаимодействие вирусных частиц с наивными Т-лимфоцитами CD4+, находящимися в различных фазах клеточного цикла; 2) контактное взаимодействие между размножающимися наивными Т-лимфоцитами CD4+ и инфицированными Т-лимфоцитами CD4+, производящими вирусные частицы. Спецификой контактных межклеточных взаимодействий является образование комплексов, состоящих из пар указанных клеток. Длительности существования комплексов задаются функциями распределения на конечных промежутках времени. Модель записана в форме высокоразмерной системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, включая два уравнения с распределенным запаздыванием, и дополнена неотрицательными начальными данными. При отсутствии инфекции ВИЧ-1 модель сводится к четырем дифференциальным уравнениям с запаздыванием, описывающим численность наивных Т-лимфоцитов CD4+ в различных фазах клеточного цикла. Показана глобальная разрешимость модели (существование и единственность решения на полуоси) и установлена неотрицательность компонент решения. Для проведения вычислительных экспериментов с моделью разработан алгоритм численного решения используемой системы дифференциальных уравнений на основе полунеявной схемы Эйлера для случая равномерного распределения длительностей существования комплексов. Представлены результаты вычислительных экспериментов, направленных на приближение численного решения модели к описанию кинетики развития инфекции ВИЧ-1 в ее острой фазе, включая фазу эклипса. В качестве наблюдаемой использована переменная, описывающая количество вирусных частиц на один миллилитр крови на 10–12-е сутки после начала острой инфекции. Численно исследована динамика наблюдаемой переменной в зависимости от вариации параметров модели, отражающих закономерности формирования комплексов и образования клеток, производящих вирусные частицы. Показана возможность затухания инфекции ВИЧ-1 в лимфоузле при определенных значениях некоторых из параметров модели.

A mathematical model describing the dynamics of HIV-1 infection in a single lymph node during the initial period of infection development is presented. Within the framework of the model, the infection of an individual is set by a nonnegative finite function describing the rate of entry of the initial viral particles into the lymph node. The equations of the model are derived with consideration of two factors: 1) the interaction of viral particles with naive CD4+ T lymphocytes in various phases of the cell cycle; 2) contact interaction between multiplying naive CD4+ T lymphocytes and infected CD4+ T lymphocytes producing viral particles. The specific feature of intercellular contact interactions is the formation of complexes consisting of pairs of these cells. The duration of the complexes’ existence is determined by the distribution functions over finite time intervals. The model is presented as a high-dimensional system of nonlinear delay differential equations, including two equations with distributed delay, and is supplemented with non-negative initial data. In the absence of HIV-1 infection, the model is reduced to four delay differential equations describing the number of naive CD4+ T-lymphocytes in different phases of the cell cycle. The global solvability of the model (the existence and uniqueness of the solution on the semi-axis) is determined, and the non-negativity of the solution components is established. To carry out computational experiments with the model, an algorithm for numerically solving the used system of differential equations are developed based on the semi-implicit Euler scheme for the case of uniform distribution of durations of the complexes existence. The results of computational experiments aimed at approximation the numerical solution of the model to describing the kinetics of HIV-1 infection spread in its acute phase, including the eclipse phase, are presented. The variable used as the observable is the variable describing the number of viral particles per milliliter of blood on days 10–12 after the onset of acute infection. The dynamics of the observable variable is numerically studied depending on the variation of the model parameters reflecting the patterns of complex formation and the formation of cells producing viral particles. The possibility of attenuation of HIV-1 infection in the lymph node at certain values of some of the model parameters is shown.

В статье проанализированы результаты компьютерного эксперимента по оценке влияния пространственного размещения (схем посадки) деревьев на продукционный процесс и динамику почвенного плодородия в лесных плантациях. Для имитации роста плантаций нативной формы осины (Populus tremula L.) с коротким (30 лет) оборотом рубки использована система моделей EFIMOD и почвенно-климатические данные, соответствующие условиям лесной зоны Республики Марий Эл. По результатам модельных оценок, схемы посадки с расстоянием между деревьями в ряду 1–4 м и междурядьями 4–6 м характеризуются наибольшими показателями продукции биомассы, повышением почвенных запасов органического вещества и минимальными потерями азота почв за оборот рубки.

The article presents the results of computer simulations aimed to assess the influence of tree spatial locations (planting schemes) on the productivity and the dynamics of soil fertility in forest plantations. The growth of aspen (Populus tremula L.) in plantations with short rotation (30 years) was simulated in the EFIMOD system of models with the soil and climatic data matching forested lands in the Mari El Republic. The outcome reveals that higher biomass rates, increase in soil organic matter stocks, and the minimal loss of soil nitrogen can be obtained when the distance between trees in the row equals 1–4 m and 4–6 м in aisles.

Статья посвящена построению и исследованию усредненной математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Окислительная регенерация является эффективным средством восстановления активности катализатора при покрытии его гранул коксовыми отложениями.

Математическая модель указанного процесса представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую включены кинетические уравнения для концентраций реагентов и уравнения для учета изменения температуры зерна катализатора и реакционной смеси в результате протекания неизотермических реакций и теплообмена между газом и слоем катализатора. Вследствие гетерогенности процесса окислительной регенерации часть уравнений отличается от стандартных кинетических и построена на основе эмпирических данных. В статье рассмотрена схема химического взаимодействия в процессе регенерации, на основе которой составлены уравнения материального баланса. В ней отражены непосредственное взаимодействие кокса и кислорода с учетом степени покрытия гранулы кокса углерод-водородным и углерод-кислородным комплексами, выделение монооксида и диоксида углерода в процессе горения, а также освобождение кислорода и водорода внутри зерна катализатора. При построении модели учитывается изменение радиуса, а следовательно, и площади поверхности коксовых гранул. Адекватность разработанной усредненной модели подтверждена анализом динамики концентраций веществ и температуры.

В статье приведен численный эксперимент для математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Эксперимент проведен с использованием метода Кутты–Мерсона. Этот метод относится к методам семейства Рунге–Кутты, но разработан для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты вычислительного эксперимента визуализированы.

В работе приведена динамика концентраций веществ, участвующих в процессе окислительной регенерации. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам сделан вывод об адекватности построенной математической модели. Проанализирован разогрев зерна катализатора и выделение монооксида углерода при изменении радиуса зерна для различных степеней начальной закоксованности. Дано описание полученных результатов.

В заключении отмечены основные результаты, приведены примеры задач, для решения которых может быть применена разработанная математическая модель.

The article is devoted to the construction and investigation of an averaged mathematical model of an aluminum-cobalt-molybdenum hydrocracking catalyst oxidative regeneration. The oxidative regeneration is an effective means of restoring the activity of the catalyst when its granules are coating with coke scurf.

The mathematical model of this process is a nonlinear system of ordinary differential equations, which includes kinetic equations for reagents’ concentrations and equations for changes in the temperature of the catalyst granule and the reaction mixture as a result of isothermal reactions and heat transfer between the gas and the catalyst layer. Due to the heterogeneity of the oxidative regeneration process, some of the equations differ from the standard kinetic ones and are based on empirical data. The article discusses the scheme of chemical interaction in the regeneration process, which the material balance equations are compiled on the basis of. It reflects the direct interaction of coke and oxygen, taking into account the degree of coverage of the coke granule with carbon-hydrogen and carbon-oxygen complexes, the release of carbon monoxide and carbon dioxide during combustion, as well as the release of oxygen and hydrogen inside the catalyst granule. The change of the radius and, consequently, the surface area of coke pellets is taken into account. The adequacy of the developed averaged model is confirmed by an analysis of the dynamics of the concentrations of substances and temperature.

The article presents a numerical experiment for a mathematical model of oxidative regeneration of an aluminum-cobalt-molybdenum hydrocracking catalyst. The experiment was carried out using the Kutta–Merson method. This method belongs to the methods of the Runge–Kutta family, but is designed to solve stiff systems of ordinary differential equations. The results of a computational experiment are visualized.

The paper presents the dynamics of the concentrations of substances involved in the oxidative regeneration process. A conclusion on the adequacy of the constructed mathematical model is drawn on the basis of the correspondence of the obtained results to physicochemical laws. The heating of the catalyst granule and the release of carbon monoxide with a change in the radius of the granule for various degrees of initial coking are analyzed. There are a description of the results.

In conclusion, the main results and examples of problems which can be solved using the developed mathematical model are noted.

В данной работе разработана вычислительная модель теплового состояния молочной железы с внутритканевым новообразованием. Модель базируется на модифицированном биотепловом уравнении Пеннеса и описывает пятислойную биологическую структуру, включающую кожу, жировую, железистую и мышечную ткани, а также зону опухоли. На внешней границе области моделируется конвективный теплообмен с окружающей средой, на внутренней границе задается фиксированная температура тела. Дополнительно учитывается пространственный нагрев поверхности, описываемый экспоненциально затухающим законом Бугера – Ламберта – Бера. Теплопроводность тканей и перфузия крови зависят от температуры по линейным законам, что отражает механизмы физиологической терморегуляции. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных решалась численно с использованием явно-неявной конечно-разностной схемы; полученная после дискретизации система линейных алгебраических уравнений решалась методом прогонки. Численные эксперименты показали, что наличие даже небольшой опухоли приводит к локальному повышению температуры тканей на 0,5–1 ^◦C вследствие увеличения метаболической активности и снижения кровотока. Эта температурная аномалия становится выраженной при диаметре опухоли свыше 10 мм. Установлено, что глубина расположения новообразования существенно влияет на распределение температурного поля: при поверхностном залегании тепловой максимум смещается к коже, тогда как при более глубоком — формируется в железистой ткани. Эффективность гипертермического воздействия оценивалась с помощью интегрального критерия термального некроза, основанного на законе Аррениуса. Показано, что при поверхностной тепловой нагрузке около 5 кВт/м² и коэффициенте ослабления 100 м⁻¹ разрушение опухолевых тканей начинается через 2–3 минуты облучения, при этом здоровые ткани сохраняются в пределах безопасного температурного диапазона. Уменьшение коэффициента ослабления приводит к более глубокому распространению тепла и раннему повреждению железистой ткани, что сужает терапевтическое окно. Построены карты распределения температуры, времени до наступления некроза и глубины термического поражения в зависимости от мощности облучения, диаметра и положения опухоли.

The paper presents a computational model of the thermal state of the breast with an interstitial tumor. The model is based on the modified Pennes biothermal equation and describes a five-layered biological area including skin, subcutaneous fat, glandular and muscular tissues, as well as a neoplasm zone. Convective heat exchange with the environment is taken into account at the outer boundary, and body temperature is maintained at the internal boundary. In addition, the fabric surface is exposed to exponentially attenuating effects of spatial heating, such a heating scheme is actually based on the Bouguer – Lambert – Baer law. Tissue thermal conductivity and blood perfusion are modeled by linear functions of temperature, reflecting physiological thermoregulation. The boundary-value problem for the partial differential equation has been solved numerically using an explicit-implicit finite difference scheme; the system of algebraic equations getting after an approximation of the mentioned boundary-value problem is solved by the Thomas procedure. Numerical experiments have shown that even a small tumor increases the local temperature of tissues by half a degree due to increased metabolism and delayed blood perfusion. This anomaly is clearly manifested in tumors larger than ten millimeters. It was found that the depth of occurrence critically affects the thermal response: when the tumor is located closer to the surface, the maximum temperature shifts to the skin, whereas at a deeper position, a thermal peak forms inside the glandular tissue. The effectiveness of hyperthermic exposure was assessed by the integral criterion of thermal necrosis based on the Arrhenius law. At a radiation intensity that creates a surface thermal load of about five kilowatts per square meter and an attenuation factor of one hundred, tumor destruction begins after two to three minutes of exposure, while the surrounding healthy tissues remain within safe temperatures. Reducing the attenuation coefficient leads to the opposite effect: heat spreads deeper, and the glandular tissue is damaged first, which limits the therapeutic window. Additionally, maps of the distribution of temperature, time to necrosis, and the depth of thermal damage were constructed depending on the irradiation power, diameter, and position of the tumor.