Все выпуски

Мультипликативные методы для разреженных матриц являются наиболее приспособленными для снижения трудоемкости операций решения систем линейных уравнений, выполняемых на каждой итерации симплекс-метода. Матрицы ограничений в этих задачах слабо заполнены ненулевыми элементами, что позволяет получать мультипликаторы, главные столбцы которых также разрежены, а операция умножения вектора на мультипликатор по трудоемкости пропорциональна числу ненулевых элементов этого мультипликатора. Кроме того, при переходе к смежному базису мультипликативное представление достаточно легко корректируется. Для повышения эффективности таких методов требуется уменьшение заполненности мультипликативного представления ненулевыми элементами. Однако на каждой итерации алгоритма к последовательности мультипликаторов добавляется еще один. А трудоемкость умножения, которая линейно зависит от длины последовательности, растет. Поэтому требуется выполнять время от времени перевычисление обратной матрицы, получая ее из единичной. Однако в целом проблема не решается. Кроме того, набор мультипликаторов представляет собой последовательность структур, причем размер этой последовательности неудобно велик и точно неизвестен. Мультипликативные методы не учитывают фактора высокой степени разреженности исходных матриц и ограничения-равенства, требуют определения первоначального базисного допустимого решения задачи и, как следствие, не допускают сокращения размерности задачи линейного программирования и регулярной процедуры сжатия — уменьшения размерности мультипликаторов и исключения ненулевых элементов из всех главных столбцов мультипликаторов, полученных на предыдущих итерациях. Таким образом, разработка численных методов решения задач линейного программирования, позволяющих преодолеть или существенно ослабить недостатки схем реализации симплекс-метода, относится к актуальным проблемам вычислительной математики.

В данной работе рассмотрен подход к построению численно устойчивых прямых мультипликативных методов решения задач линейного программирования, учитывающих разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в уменьшении размерности и минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных.

В качестве прямого продолжения данной работы в основу построения прямого мультипликативного алгоритма задания направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации предлагается положить модификацию прямого мультипликативного метода линейного программирования путем интеграции одной из существующих техник построения существенно положительно-определенной матрицы вторых производных.

Во второй части статьи, носящей более прикладной характер, завершается рассмотрение трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). На нескольких примерах, относящихся к гексагональной сетке, показана специфика такого решения и подтверждаются выводы первой части, в частности о выполнении свойства консервативности и эффекте избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

При решении задачи Неймана для колебаний круглой мембраны показана критичность требований к дискретизации условий для граничных КА-ячеек. Для квазиодномерной задачи «диффузия в полупространство» сравниваются КА-расчеты, проводимые по простой схеме и с использованием обобщенного блочно-поворотного механизма Марголуса. При решении смешанной задачи для классического случая колебания круглой мембраны с закрепленными концами показано, что одновременное применение метода Кранка–Николсон и учет членов второго порядка позволяет избежать ИГС-эффекта, наблюдаемого нами для более простой схемы. С точки зрения КА центральное место занимает уравнение диффузии, на пути решения которого на бесконечных временах находится решение краевой задачи для уравнения Лапласа, а путем введения вектор-переменной становится разрешимо волновое уравнение (по крайней мере скалярное).

На примере центрально-симметричной задачи Неймана продемонстрирован новый способ введения пространственных производных в postfix-процедуру КА, отражающую временные производные (основанием является уравнение непрерывности). Для случая центральной симметрии эмпирически найдено значение константы, связывающее эти производные. Показано, что препятствием к применению КА-методов для таких задач являются низкая скорость сходимости и точность, лимитируемая точностью дискретизации границ, а не формальной точностью метода (4-й порядок); наша рекомендация состоит в использовании техники multigrid. При решении квазиодномерного уравнения диффузии (двумерным КА) показано, что блочно-поворотный КА (по механизму Марголуса) более эффективен, чем простой КА.

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова–Ковалевского–Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений. На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.

Для уравнений Кирхгофа–Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента—многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты—многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости—многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты—многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

В различных приложениях возникают задачи, моделируемые уравнениями в частных производных на графах (сетях, деревьях). Для исследования данных проблем и возникающих различных экстремальных ситуаций, для задач проектирования и оптимизации сетей различных типов в данной работе построена вычислительная модель, основанная на решении соответствующих краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа на графах (сетях, деревьях). В качестве приложений были выбраны три различные задачи, решаемые в рамках общего подхода сетевых вычислительных моделей. Первая — это моделирование движения транспортных потоков. При решении данной задачи использовался макроскопический подход, при котором транспортный поток описывается нелинейной системой гиперболических уравнений второго порядка. Проведенные расчеты и полученные результаты показали, что разработанная в рамках предложенного подхода модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на различных участках транспортной сети г. Москвы на значительных временных интервалах, а также может быть использована для выбора наиболее оптимальной стратегии организации дорожного движения в городе. Вторая — моделирование потоков данных в компьютерных сетях. В этой задаче потоки данных различных соединений в пакетной сети передачи данных моделировались в виде несмешивающихся потоков сплошной среды. Предложены концептуальная и математическая модели сети. Проведено численное моделирование в сравнении с системой имитационного моделирования сети NS-2. Полученные результаты показали, что в сравнении с пакетной моделью NS-2 разработанная нами потоковая модель демонстрирует значительную экономию вычислительных ресурсов, обеспечивая при этом хорошую степень подобия, и позволяет моделировать поведение сложных глобально распределенных IP-сетей передачи данных. Третья — моделирование распространения газовых примесей в вентиляционных сетях. Была разработана вычислительная математическая модель распространения мелкодисперсных или газовых примесей в вентиляционных сетях с использованием уравнений газовой динамики путем численного сопряжения областей разной размерности. Проведенные расчеты показали, что модель с хорошей точностью позволяет определять распределение газодинамических параметров в трубопроводной сети и решать задачи динамического управления вентиляцией.

В данной статье, используя наш бифуркационно-геометрический подход, мы изучаем глобальную динамику и решаем проблему о максимальном числе и распределении предельных циклов (автоколебательных режимов, соответствующих состояниям динамического равновесия) в планарной полиномиальной механической системе типа Эйлера–Лагранжа–Льенара. Такие системы используются также для моделирования электротехнических, экологических, биомедицинских и других систем, что значительно облегчает исследование соответствующих реальных процессов и систем со сложной внутренней динамикой. Они используется, в частности, в механических системах с демпфированием и жесткостью. Существует ряд примеров технических систем, которые описываются с помощью квадратичного демпфирования в динамических моделях второго порядка. В робототехнике, например, квадратичное демпфирование появляется при управлении с прямой связью и в нелинейных устройствах, таких как приводы с переменным импедансом (сопротивлением). Приводы с переменным сопротивлением представляют особый интерес для совместной робототехники. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости полиномиальной системы Эйлера–Лагранжа–Льенара используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек в фазовой плоскости. Для исследования особых точек системы мы используем классические теоремы Пуанкаре об индексе, а также наш оригинальный геометрический подход, основанный на применении метода двух изоклин Еругина, что особенно эффективно при исследовании бесконечно удаленных особых точек. Используя полученную информацию об особых точках и применяя канонические системы с параметрами, поворачивающими векторное поле, а также используя геометрические свойства спиралей, заполняющих внутренние и внешние области предельных циклов, и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов рассматриваемой системы.

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

Представлен алгоритм моделирования ансамбля траекторий нестационарных временных рядов. Построена численная схема аппроксимации выборочной плотности функции распределения в задаче с закрепленными концами, когда начальное распределение за заданное количество шагов переходит в определенное конечное распределение, так, что на каждом шаге выполняется полугрупповое свойство решения уравнения Лиувилля. Модель позволяет численно построить эволюционирующие плотности функций распределения при случайном переключении состояний системы, порождающей исходный временной ряд.

Основная проблема, рассматриваемая в работе, связана с тем, что при численной реализации левосторонней разностной производной по времени решение становится неустойчивым, но именно такой подход отвечает моделированию эволюции. При выборе неявных устойчивых схем с «заходом в будущее» используется итерационный процесс, который на каждом своем шаге не отвечает полугрупповому свойству. Если же моделируется некоторый реальный процесс, в котором предположительно имеет место целеполагание, то желательно использовать схемы, которые порождают модель переходного процесса. Такая модель используется в дальнейшем для того, чтобы построить предиктор разладки, который позволит определить, в какое именно состояние переходит изучаемый процесс до того, как он действительно в него перешел. Описываемая в статье модель может использоваться как инструментарий моделирования реальных нестационарных временных рядов.

Схема моделирования состоит в следующем. Из заданного временного ряда отбираются фрагменты, отвечающие определенным состояниям, например трендам с заданными углами наклона и дисперсиями. Из этих фрагментов составляются эталонные распределения состояний. Затем определяются эмпирические распределения длительностей пребывания системы в указанных состояниях и длительности времени перехода из состояния в состояние. В соответствии с этими эмпирическими распределениями строится вероятностная модель разладки и моделируются соответствующие траектории временного ряда.