Все выпуски

В последнее время для описания различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется уравнениям в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений в частных производных целого порядка.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе называют уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы для решения нагруженных уравнений в частных производных целого и дробного порядка, поскольку аналитические методы решения сложны в реализации. Достаточно эффективным методом численного решения такого рода задач является метод конечных разностей, или метод сеток.

Исследована начально-краевая задача в прямоугольнике $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с композицией дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова и с граничными условиями первого и третьего рода. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в дифференциальной и в разностной форме. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывную зависимость решения от входных данных задачи. Получен разностный аналог для композиции дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова порядка $(2-\beta )$ и построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Дается обзор критериев, используемых при идентификации концевых вихрей, сходящих с несущих поверхностей летательного аппарата. В качестве основного метода идентификации вихря используется $Q$-критерий, в соответствии с которым ядро вихря ограничено поверхностью, на которой норма тензора завихренности равна норме тензора сдвиговых деформаций. При этом внутри ядра вихря должны выполняться следующие условия: (i) ненулевое значение нормы тензора завихренности, (ii) геометрия ядра вихря должна удовлетворять условию галилеевой инвариантности. На основе аналитических моделей вихря дается определение понятия центра двумерного вихря как точки, в которой $Q$-распределение принимает максимальное значение и много больше нормы тензора сдвиговых деформаций (для осесимметричного 2D-вихря норма тензора сдвиговых деформаций в центре вихря стремится к нулю). Поскольку необходимость существования оси вихря обсуждается в работах различных авторов и выглядит достаточно естественным требованием при анализе концевых вихрей, упомянутые выше условия (i), (ii) дополнены условием (iii): ядро вихря в трехмерном потоке должно содержать ось вихря. Анализируются течения, имеющие в 2D-сечениях осевую симметрию, а также форму ядра вихря, отличающуюся от окружности (в частности, эллиптического вида). Показывается, что в этом случае с использованием $Q$-распределения можно не только определить область ядра вихря, но и выделить ось ядра вихря. Для иллюстрации введенных понятий используются результаты численного моделирования обтекания крыла конечного размаха на базе решения осредненных по Рейнольдсу стационарных уравнений Навье – Стокса (RANS). Замыкание уравнений Навье – Стокса осуществлялось с использованием модели турбулентности $k-\omega$.

В работе рассматривается задача параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем, представленных уравнениями в пространстве состояний, с аддитивными и мультипликативными шумами. Предполагается, что уравнения состояния и измерения дискретной линейной стохастической системы зависят от неизвестного параметра, подлежащего идентификации.

Представлен новый подход к построению градиентных методов параметрической идентификации в классе дискретных линейных стохастических систем с аддитивными и мультиплика- тивными шумами, основанный на применении модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта (MWGS) и алгоритмов дискретной фильтрации информационного типа.

Основными теоретическими результатами данной работы являются: 1) новый критерий идентификации в терминах расширенного информационного LD-фильтра; 2) новый алгоритм вычисления значений производных по параметру неопределенности дискретной линейной стохастической системы в расширенном информационном LD-фильтре на основе прямой процедуры модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта; 3) новый метод вычисления градиента критерия идентификации на основе предложенного дифференцированного расширенного информационного LD-фильтра.

Преимуществом предложенного подхода является применение численно устойчивой к ошибкам машинного округления MWGS-ортогонализации, лежащей в основе разработанных методов и алгоритмов. Информационный LD-фильтр сохраняет симметричность и положительную определенность информационных матриц. Разработанные алгоритмы имеют блочно-матричную структуру, удобную для компьютерной реализации.

Все разработанные алгоритмы реализованы на языке MATLAB. Проведены серии численных экспериментов, результаты которых демонстрируют работоспособность предложенного подхода на примере решения задачи идентификации параметров математической модели сложной механической системы.

Полученные результаты могут быть использованы для построения методов параметрической идентификации математических моделей, представленных в пространстве состояний дискретными линейными стохастическими системами с аддитивными и мультипликативными шумами.

Развивается и обосновывается метод, позволяющий получить явную форму решения в виде отрезков рядов по степеням шага аргумента. Формализуется алгоритм, элементы которого используют аналогию с представлением и обработкой чисел в компьютере: ограничение в разрядной сетке и переброс разрядов. При перебросе разряда выявляются фрактально-стохастические свойства алгоритма, дающие возможность осреднять неизвестные промежуточные шаги в старших разрядах. Строятся решения нелинейных дифференциальных уравнений и системы уравнений.

Исследованы аналитические зависимости от времени скорости кинка (односолитонного решения уравнения синус-Гордона), движущегося под действием однородной нестационарной внешней силы в среде с диссипацией. Рассмотрены случаи гармонически зависящей от времени внешней силы и силы, зависящей от времени ступенчатым образом.

Рассмотрен формализм квазиклассического приближения относительно малого коэффициента диффузии D, D→0, для многомерного уравнения Фоккера−Планка−Колмогорова с нелокальным и нелинейным вектором сноса в классе траекторно-сосредоточенных функций. Получена динамическая система Эйнштейна−Эренфеста типа (0, M), описывающая движение точки, в окрестности которой локализованы квазиклассические асимптотические решения. Построено семейство квазиклассических асимптотик с точностью O(D^(M+1)/2).

Настоящая работа посвящена периодическим и непериодическим полулокальным сглаживающим сплайнам или S-сплайнам класса C^p, состоящим из полиномов степени n.
Первые p + 1 коэффициентов каждого полинома задаются значениями предыдущего полинома и его p первых производных в точке склейки, остальные n − p коэффициентов при старших производных полинома определяются методом наименьших квадратов. Эти условия дополняются или начальными условиями (непериодический случай), или условием периодичности сплайн-функции на отрезке определения. В работе выписана система линейных уравнений, определяющих коэффициенты полиномов, составляющих сплайн. Матрица системы имеет блочный вид. Доказаны теоремы существования и единственности. Показано, что сходимость сплайнов к исходной функции зависит от величин собственных значений матрицы устойчивости. Приведены примеры устойчивых S-сплайнов.

В данной работе проведено исследование возникновения диффузионной неустойчивости в системе из трех уравнений типа «реакция–диффузия». В общем виде получены условия как тьюринговской, так и волновой неустойчивостей. Выявлены качественные свойства, которыми должна обладать система для того, чтобы в ней могла произойти та или другая бифуркация. В численных экспериментах показано, что при выполнении соответствующих условий в нелинейной модели возникают структуры, которые предсказываются линейным анализом.

Разработан алгоритм ускоренного моделирования КМОП СБИС (Сверх Больших Интегральных Схем с Комплементарной логикой на транзисторах Металл-Окисел-Проводник) под управлением точности. Алгоритм обеспечивает возможность проведения параллельного числительного эксперимента в много процессорной вычислительной среде. Ускорение расчета осуществляется за счет применения блочно-матричной и структурной (DCCC) декомпозиций. Особенность подхода состоит в выборе моментов и способов обмена параметрами и в применении многоскоростных методов интегрирования в процессе расчета подсистем. Благодаря этому имеется возможность оценивать и контролировать погрешность по требуемым характеристикам.

В работе изучены условия существования фейнмановских интегралов в смысле аналитического продолжения от функционалов экспоненциального вида с полиномом четвертого порядка в показателе, построены их представления в виде гауссовских интегралов. Показано, что уравнение типа Шрёдингера в бесконечномерном пространстве в случае полиномиального потенциала четвертой степени имеет решение, которое описывается интегралом Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве.