Все выпуски

Распространение устойчивых когерентных образований электромагнитного поля в нелинейных средах с меняющимися в пространстве параметрами может быть описано в рамках итераций нелинейных интегральных преобразований. Показано что для ряда актуальных геометрий задач нелинейной оптики численное моделирование путем сведения к динамическим системам с дискретным временем и непрерывными пространственными переменными, основанное на итерациях локальных нелинейных отображений Фейгенбаума и Икеды, а также нелокальных диффузионно-дисперсионных линейных интегральных преобразований, эквивалентно в довольно широком диапазоне параметров дифференциальным уравнениям в частных производных типа Гинзбурга–Ландау. Такие нелокальные отображения, представляющие собой при численной реализации произведения матричных операторов, оказываются устойчивыми численно-разностными схемами, обеспечивают быструю сходимость и адекватную аппроксимацию решений. Реалистичность данного подхода позволяет учитывать влияние шумов на нелинейную динамику путем наложения на расчетный массив чисел при каждой итерации пространственного шума, задаваемого в виде многомодового случайного процесса, и производить отбор устойчивых волновых конфигураций. Нелинейные волновые образования, описываемые данным методом, включают оптические фазовые сингулярности, пространственные солитоны и турбулентные состояния с быстрым затуханием корреляций. Определенный интерес представляют полученные данным численным методом периодические конфигурации электромагнитного поля, возникающие в результате фазовой синхронизации, такие как оптические решетки и самоорганизованные вихревые кластеры.

Математическое и компьютерное моделирование тепловых процессов в технических системах, проводимое в настоящее время, основано на допущении, согласно которому все параметры, определяющие тепловые процессы, полностью и однозначно известны и определены, то есть являются детерминированными. Между тем практика показывает, что параметры, определяющие тепловые процессы, носят неопределенный интервально стохастический характер, что, в свою очередь, обусловливает интервально стохастический характер тепловых процессов в технической системе. Это означает, что реальные значения температуры каждого элемента в технической системе будут случайным образом распределены внутри интервалов своего изменения. Поэтому детерминированный подход к моделированию тепловых процессов, при котором получаются конкретные значения температур элементов, не позволяет адекватно рассчитывать температурные распределения в технических системах. Интервально стохастический характер параметров, определяющих тепловые процессы, обусловливается тремя группами факторов: (a) статистическим технологическим разбросом параметров элементов при изготовлении и сборке системы; (b) случайным характером факторов, обусловленных функционированием технической системы (флуктуациями токов, напряжений, мощностями потребления, температурами и скоростями потоков охлаждающей жидкости и среды внутри системы; (c) случайностью параметров окружающей среды (температурой, давлением, скоростью). Интервально стохастическая неопределенность определяющих факторов в технических системах является неустранимой, поэтому пренебрежение ею приводит к ошибкам при проектировании технических систем. В статье развивается метод, позволяющий моделировать нестационарные нелинейные интервально стохастические тепловые процессы в технических и, в частности, электронных системах при интервальной неопределенности определяющих параметров. Метод основан на получении и последующем решении уравнений для нестационарных статистических мер (математических ожиданий, дисперсий, ковариаций) распределений температуры в технической системе при заданных интервалах изменения и статистических мерах определяющих параметров. Рассмотрено применение разработанного метода к моделированию интервально стохастического теплового процесса в конкретной электронной системе.

Исследуется влияние промысла на структурированную рыбную популяцию в случайным образом меняющихся условиях среды обитания. Параметры популяции соответствуют массовым видам пелагических рыб дальневосточных морей северо-западной части Тихого океана (минтай, сельдь, сардина). В различных частях Мирового океана обитают похожие виды рыб. В качестве основного признака принимается различие особей по размеру. Это легко измеряемая в промысловых условиях характеристика, она достаточно хорошо определяет основные свойства особей: возраст, половозрелость, другие морфологические и физиологические особенности. Флуктуации внешней среды оказывают существенное влияние на особей в ранних стадиях развития, во взрослом состоянии наблюдающиеся изменения во внешней среде слабо влияют на жизнедеятельность особей. Характеристики промысла выбираются оптимальными с точки зрения дохода от него. Основной управляющей характеристикой промысла являются промысловые усилия. Зависимость дохода от количества промысловых усилий выбрана квадратичной в части затрат от промысла, что соответствует экономическим представлениям о росте затрат при увеличении объемов производства. Модельное исследование показывает, что структура популяции обеспечивает повышенную стабильность популяции. В процессе роста особей и их выбывания из-за естественной смертности сглаживаются колебания плотности численности, возникающие из-за сильного влияния на особей флуктуаций среды обитания на ранних стадиях развития. Сглаживающую роль играет диффузионная составляющая процессов роста. В свою очередь, промысел обладает сглаживающим воздействием по отношению к изменениям (в том числе и стохастическим) среды обитания, существенно влияющим на обилие молоди и последующую динамику обилия популяции рыб. В сравнении с оптимальным переменным по интенсивности промыслом исследован постоянный по интенсивности режим промысла. При этом оказалось, что в динамичных условиях среды и стохастической динамике численности пополнения существует постоянное по времени промысловое усилие, по эффективности близкое к оптимальному переменному промыслу. Это означает, что постоянный или слабо меняющийся по количеству промысловых усилий промысел может оказаться весьма эффективным с точки зрения дохода.

Математические модели газовой динамики и ее вычислительная индустрия, на наш взгляд, далеки от совершенства. Мы посмотрим на эту проблематику с точки зрения ясной вероятностной микромодели газа из твердых сфер, опираясь как на теорию случайных процессов, так и на классическую кинетическую теорию в терминах плотностей функций распределения в фазовом пространстве; а именно, построим сначала систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а затем обобщенное случайное и неслучайное интегро-дифференциальное уравнение Больцмана с учетом корреляций и флуктуаций. Ключевыми особенностями исходной модели являются случайный характер интенсивности скачкообразной меры и ее зависимость от самого процесса.

Кратко напомним переход ко все более грубым мезо-макроприближениям в соответствии с уменьшением параметра обезразмеривания, числа Кнудсена. Получим стохастические и неслучайные уравнения, сначала в фазовом пространстве (мезомодель в терминах СДУ по винеров- ским мерам и уравнения Колмогорова – Фоккера – Планка), а затем в координатном пространстве (макроуравнения, отличающиеся от системы уравнений Навье – Стокса и систем квазигазодинамики). Главным отличием этого вывода является более точное осреднение по скорости благодаря аналитическому решению стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере, в виде которых представлена промежуточная мезомодель в фазовом пространстве. Такой подход существенно отличается от традиционного, использующего не сам случайный процесс, а его функцию распределения. Акцент ставится на прозрачности допущений при переходе от одного уровня детализации к другому, а не на численных экспериментах, в которых содержатся дополнительные погрешности аппроксимации.

Теоретическая мощь микроскопического представления макроскопических явлений важна и как идейная опора методов частиц, альтернативных разностным и конечно-элементным.

Рассматривается изолированная система, обладающая дискретным множеством микроскопических состояний, которая совершает спонтанные случайные переходы между микросостояниями. Сформулированы кинетические уравнения для совокупности вероятностей пребывания системы в различных микросостояниях. Рассмотрено общее безразмерное выражение для энтропии такой системы, зависящее от распределения этих вероятностей. Поставлены две задачи: 1) изучить влияние возможной неравновероятности микроскопических состояний системы, в том числе в состоянии ее общего равновесия, на величину ее энтропии; 2) изучить кинетику изменения энтропии в неравновесном состоянии системы. Для скоростей переходов между микросостояниями принята кинетика первого порядка. Влияние возможной неравновероятности микросостояний системы рассмотрено в двух вариантах: а) микросостояния образуют две подгруппы с вероятностями, одинаковыми внутри каждой подгруппы, но отличающимися по величине между подгруппами; б) вероятности микросостояний произвольно варьируют вблизи точки, где они равны одной и той же величине. Показано, что, когда общее число микросостояний фиксировано, отклонения энтропии от значения, соответствующего равновероятному распределению по микросостояниям, крайне малы, что дает строгое обоснование известной гипотезы о равновероятности микросостояний при термодинамическом равновесии. С другой стороны, на нескольких характерных примерах показано, что структура случайных переходов между микросостояниями оказывает большое влияние на скорость и характер установления внутреннего равновесия системы, на временную зависимость энтропии и на выражение для скорости продукции энтропии. При определенных схемах этих переходов возможно наличие быстрых и медленных компонент в переходных процессах и существование этих процессов в виде затухающих колебаний. Условием универсальности и устойчивости равновесного распределения является то, что для любой пары микросостояний должны существовать последовательность переходов из одного в другое и, соответственно, отсутствие состояний-«ловушек».

В статье предлагается новая модель динамической ловушки типа «стимул – реакция», которая имитирует человеческий контроль динамических систем, где ограниченная рациональность человеческого сознания играет существенную роль. Детально рассматривается сценарий, в котором субъект модулирует контролируемую переменную в ответ на определенный стимул. В этом контексте ограниченная рациональность человеческого сознания проявляется в неопределенности восприятия стимула и последующих действий субъекта. Модель предполагает, что когда интенсивность стимула падает ниже (размытого) порога восприятия стимула, субъект приостанавливает управление и поддерживает контролируемую переменную вблизи нуля с точностью, определяемую неопределенностью ее управления. Когда интенсивность стимула превышает неопределенность восприятия и становится доступной человеческому сознания, испытуемый активирует контроль. Тем самым, динамику системы можно представить как чередующуюся последовательность пассивного и активного режимов управления с вероятностными переходами между ними. Более того, ожидается, что эти переходы проявляют гистерезис из-за инерции принятия решений.

В общем случае пассивный и активный режимы базируются на различных механизмах, что является проблемой для создания эффективных алгоритмов их численного моделирования. Предлагаемая модель преодолевает эту проблему за счет введения динамической ловушки типа «стимул – реакция», имеющей сложную структуру. Область динамической ловушки включает две подобласти: область стагнации динамики системы и область гистерезиса. Модель основывается на формализме стохастических дифференциальных уравнений и описывает как вероятностные переходы между пассивным и активным режимами управления, так и внутреннюю динамику этих режимов в рамках единого представления. Предложенная модель воспроизводит ожидаемые свойства этих режимов управления, вероятностные переходы между ними и гистерезис вблизи порога восприятия. Кроме того, в предельном случае модель оказывается способной имитировать человеческий контроль, когда (1) активный режим представляет собой реализацию «разомкнутого» типа для локально запланированных действий и (2) активация контроля возникает только тогда, когда интенсивность стимула существенно возрастает и риск потери контроля системы становится существенным.

В работе предложен адаптивный алгоритм, моделирующий процесс формирования начальных поведенческих навыков на примере системы «глаза–манипулятор» анимата. Ситуация формирования начальных поведенческих навыков возникает, например, когда ребенок осваивает управление своими руками на основе понимания связи между исходно неидентифицированными пятнами на сетчатке своих глаз и положением реального предмета. Поскольку навыки управления телом не «вшиты» исходно в головной и спинной мозг на уровне инстинктов, то человеческому ребенку, как и большинству детенышей других млекопитающих, приходится осваивать эти навыки в режиме поискового поведения. Поисковое поведение начинается с метода проб и ошибок в чистом виде, затем его вклад постепенно уменьшается по мере освоения своего тела и окружающей среды. Поскольку образцов правильного поведения на этом этапе развития организм не имеет, то единственным способом выделения правильных навыков является положительное подкрепление при достижении цели. Ключевой особенностью предлагаемого алгоритма является фиксация в режиме импринтинга только завершающих действий, которые привели к успеху, или, что очень важно, привели к уже знакомой запечатленной ситуации, однозначно приводящей к успеху. Со временем непрерывная цепочка правильных действий удлиняется — максимально используется предыдущий позитивный опыт, а негативный «забывается» и не используется. Тем самым наблюдается постепенная замена случайного поиска целенаправленными действиями, что наблюдается и у реальных детенышей.

Тем самым алгоритм способен устанавливать соответствие между закономерностями окружающего мира и «внутренними ощущениями», внутренним состоянием самого анимата. В предлагаемой модели анимата использовалось 2 типа нейросетей: 1) нейросеть NET1, на вход которой подавались текущие положения кисти руки и целевой точки, а на выходе — двигательные команды, направляющие «кисть» манипулятора анимата к целевой точке; 2) нейросеть NET2, которая на входе получала координаты цели и текущей координаты «кисти», а на выходе формировала значение вероятности того, что анимату уже «знакома» эта ситуация и он «знает», как на нее реагировать. Благодаря такой архитектуре у анимата есть возможность опираться на «опыт» нейросети в распознанных ситуациях, когда отклик от сети NET2 близок к 1, и, с другой стороны, запускать случайный поиск, когда опыта функционирования в этой области зрительного поля у анимата нет (отклик NET2 близок к 0).

Работа посвящена проблеме анализа эффектов, связанных с воздействием аддитивного и параметрического шума на процессы, происходящие в нервной клетке. Это исследование проводится на примере известной модели Моррис–Лекара, которая описывается двумерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных свойств нейрона является возбудимость — способность отвечать на внешнее воздействие резким изменением электрического потенциала на мембране клетки. В данной статье рассматривается набор параметров, при котором модель демонстрирует возбудимость класса 2. Динамика системы исследуется при изменении параметра внешнего тока. Рассматриваются две параметрические зоны: зона моностабильности, в которой единственным аттрактором детерминированной системы является устойчивое равновесие, и зона бистабильности, характеризующаяся сосуществованием устойчивого равновесия и предельного цикла. Показывается, что в обоих случаях под действием шума в системе генерируются колебания смешанных мод (т. е. чередование колебаний малых и больших амплитуд). В зоне моностабильности данный феномен связан с высокой возбудимостью системы, а в зоне бистабильности он объясняется индуцированными шумом переходами между аттракторами. Это явление подтверждается изменениями плотности распределения случайных траекторий, спектральной плотности и статистиками межспайковых интервалов. Проводится сравнение действия аддитивного и параметрического шума. Показывается, что при добавлении параметрического шума стохастическая генерация колебаний смешанных мод наблюдается при меньших интенсивностях, чем при воздействии аддитивного шума. Для количественного анализа этих стохастических феноменов предлагается и применяется подход, основанный на технике функций стохастической чувствительности и методе доверительных областей. В случае устойчивого равновесия это эллипс, а для устойчивого предельного цикла такой областью является доверительная полоса. Исследование взаимного расположения доверительных областей и границы, разделяющей бассейны притяжения аттракторов, при изменении параметров шума позволяет предсказать возникновение индуцированных шумом переходов. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок с результатами прямого численного моделирования.

В статье предлагается метод совместного анализа многомерных финансовых временных рядов, основанный на оценке набора свойств котировок акций в скользящем временном окне и последующем усреднении значений свойств по всем анализируемым компаниям. Основной целью анализа является построение мер совместного поведения временных рядов, реагирующих на возникновение синхронной или когерентной составляющей. Когерентность поведения характеристик сложной системы является важным признаком, позволяющим оценить приближение системы к резким изменениям своего состояния. Фундаментом для поиска предвестников резких изменений является общая идея увеличения корреляции случайных флуктуаций параметров системы по мере ее приближения к критическому состоянию. Приращения временных рядов стоимостей акций имеют выраженный хаотический характер и обладают большой амплитудой индивидуальных помех, на фоне которых слабый общий сигнал может быть выделен лишь на основе его коррелированности в разных скалярных компонентах многомерного временного ряда. Известно, что классические методы анализа, основанные на использовании корреляций между соседними отсчетами, являются малоэффективными при обработке финансовых временных рядов, поскольку с точки зрения корреляционной теории случайных процессов приращения стоимости акций формально имеют все признаки белого шума (в частности, «плоский спектр» и «дельта-образную» автокорреляционную функцию). В связи с этим предлагается перейти от анализа исходных сигналов к рассмотрению последовательностей их нелинейных свойств, вычисленных во временных фрагментах малой длины. В качестве таких свойств используются энтропия вейвлет-коэффициентов при разложении в базис Добеши, показатели мультифрактальности и авторегрессионная мера нестационарности сигнала. Построены меры син- хронного поведения свойств временных рядов в скользящем временном окне с использованием метода главных компонент, значений модулей всех попарных коэффициентов корреляции и множественной спектральной меры когерентности, являющейся обобщением квадратичного спектра когерентности между двумя сигналами. Исследованы акции 16 крупных российских компаний с начала 2010 по конец 2016 годов. С помощью предложенного метода идентифицированы два интервала времени синхронизации российского фондового рынка: с середины декабря 2013 г. по середину марта 2014 г. и с середины октября 2014 г. по середину января 2016 г.

В работе разработан кластерный метод математического моделирования интервально-стохастических тепловых процессов в сложных технических, в частности электронных, системах (ЭС). В кластерном методе конструкция сложной ЭС представляется в виде тепловой модели, являющейся системой кластеров, каждый из которых содержит ядро, объединяющее в себе тепловыделяющие элементы, попадающие в данный кластер, оболочку кластера и поток среды, протекающий через кластер. Состояние теплового процесса в каждом кластере и в каждый момент времени характеризуется тремя интервально-стохастическими переменными состояния, а именно температурами ядра, оболочки и потока среды. При этом элементы каждого кластера, а именно ядро, оболочка и поток среды, находятся в тепловом взаимодействии между собой и элементами соседних кластеров. В отличие от существующих методов кластерный метод позволяет моделировать тепловые процессы в сложных ЭС с учетом неравномерного распределения температуры в потоке среды нагнетаемой в ЭС, сопряженного характера теплообмена между пото- ком среды в ЭС, ядрами и оболочками кластеров и интервально-стохастического характера тепловых процессов в ЭС, вызванного статистическим технологическим разбросом изготовления и монтажа электронных элементов в ЭС, и случайными флуктуациями тепловых параметров окружающей среды. Математическая модель, описывающая состояния тепловых процессов в кластерной тепловой модели, представляет собой систему интервально-стохастических матрично-блочных уравнений с матричными и векторными блоками, соответствующими кластерам тепловой модели. Решением интервально-стохастических уравнений являются статистические меры переменных состояния тепловых процессов в кластерах — математические ожидания, ковариации между переменными состояния и дисперсии. Методика применения кластерного метода показана на примере реальной ЭС.