Все выпуски

В работе рассмотрена задача минимизации выпуклого и, вообще говоря, негладкого функционала $f$ при наличии липшицевого неположительного выпуклого негладкого функционального ограничения $g$. При этом обоснованы оценки скорости сходимости методов адаптивного зеркального спуска также и для случая квазивыпуклого целевого функционала в случае выпуклого функционального ограничения. Предложен также метод и для задачи минимизации квазивыпуклого целевого функционала с квазивыпуклым неположительным функционалом ограничения. В работе предложен специальный подход к выбору шагов и количества итераций в алгоритме зеркального спуска для рассматриваемого класса задач. В случае когда значения норм (суб)градиентов функциональных ограничений достаточно велики, предложенный подход к выбору шагов и остановке метода может ускорить работу метода по сравнению с его аналогами. В работе приведены численные эксперименты, демонстрирующие преимущества использования таких методов. Также показано, что методы применимы к целевым функционалам различных уровней гладкости. В частности, рассмотрен класс гёльдеровых целевых функционалов. На базе техники рестартов для рассмотренного варианта метода зеркального спуска был предложен оптимальный метод решения задач оптимизации с сильно выпуклыми целевыми функционалами. Получены оценки скорости сходимости рассмотренных алгоритмов для выделенных классов оптимизационных задач. Доказанные оценки демонстрируют оптимальность рассматриваемых методов с точки зрения теории нижних оракульных оценок.

Проведена верификация физико-статистического подхода теории надежности для простейших случаев, показавшая его правомочность. Представлено аналитическое решение одномерного основного уравнения физико-статистического подхода в предположении стационарной скорости деградации. С математической точки зрения это уравнение является известным уравнением непрерывности, где роль плотности вещества играет плотность функции распределения изделий в фазовом пространстве его характеристик, а роль скорости жидкости играет интенсивность (скорость) деградационных процессов. Последняя связывает общий формализм с конкретикой механизмов деградации. С помощью метода характеристик аналитически рассмотрены случаи постоянной по координате, линейной и квадратичной скоростей деградации. В первых двух случаях результаты соответствуют физической интуиции. При постоянной скорости деградации форма начального распределения сохраняется, а само оно равномерно сдвигается от центра. При линейной скорости деградации распределение либо сужается вплоть до узкого пика (в пределе сингулярного), либо расширяется, при этом максимум сдвигается на периферию с экспоненциально растущей скоростью. Форма распределения также сохраняется с точностью до параметров. Для начального нормального распределения аналитически получены координаты наибольшего значения максимума распределения при его возвратном движении.

В квадратичном случае формальное решение демонстрирует контринтуитивное поведение. Оно заключается в том, что решение однозначно определено лишь на части бесконечной полуплоскости, обращается в нуль вместе со всеми производными на границе и неоднозначно при переходе за границу. Если продолжить его на другую область в соответствии с аналитическим решением, то оно имеет двухгорбый вид, сохраняет количество вещества и, что лишено физического смысла, периодично во времени. Если продолжить его нулем, то нарушается свойство консервативности. Аномальности квадратичного случая дается объяснение, хотя и нестрогое, через аналогию движения материальной точки с ускорением, пропорциональным квадрату скорости. Здесь мы имеем дело с математическим курьезом. Для всех случаев приведены численные расчеты. Дополнительно рассчитываются энтропия вероятностного распределения и функция надежности, а также прослеживается их корреляционная связь.

В настоящей работе рассматривался нестационарный процесс естественно-конвективного теплопереноса в замкнутой квадратной полости, заполненной неньютоновской жидкостью, при наличии локального изотермического источника энергии, который располагался на нижней стенке рассматриваемой области. Вертикальные границы считались изотермически охлаждающими, горизонтальные — полностью теплоизолированными. Характер поведения неньютоновской жидкости соответствовал степенному закону Оствальда–де-Вилла. Исследуемый процесс описывался нестационарными дифференциальными уравнениями в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность – температура». Данная методика позволяет исключить поле давления из числа неизвестных параметров, а обезразмеривание позволяет обобщить полученные результаты на множество физических постановок. Сформулированная математическая модель с соответствующими граничными условиями решалась на основе метода конечных разностей. Алгебраическое уравнение для функции тока решалось методом последовательной нижней релаксации. Дискретные аналоги уравнений дисперсии завихренности и энергии решались методом прогонки. Разработанный численный алгоритм был детально протестирован на классе модельных задач и получил хорошее согласование с другими авторами. Также в ходе исследования был проведен анализ влияния сеточных параметров на структуру течения в полости, на основе которого была выбрана оптимальная размерность сетки.

В результате численного моделирования нестационарных режимов естественной конвекции неньютоновской степенной жидкости в замкнутой квадратной полости с локальным изотермическим источником энергии был проведен анализ влияния характеризующих параметров: числа Рэлея в диапазоне 104–106, индекса степенного закона $n = 0.6–1.4$, а также положения нагревающего элемента на структуру течения и теплоперенос внутри полости. Анализ проводился на основе полученных распределений линий тока и изотерм в полости, а также на основе зависимостей среднего числа Нуссельта. В ходе работы установлено, что псевдопластические жидкости $(n < 1)$ интенсифицируют теплосъем с поверхности нагревателя. Увеличение числа Рэлея и центральное расположение нагревающего элемента также соответствуют охлаждению источника тепла.

Сформулирована математическая модель эрозии берегового склона песчаного канала, происходящей под действием проходящей паводковой волны. Модель включает в себя уравнение движения квазиустановившегося гидродинамического потока в створе канала. Движение донной и береговой поверхности русла определяется из решения уравнения Экснера, которое замыкается оригинальной аналитической моделью движения влекомых наносов. Модель учитывает транзитные, гравитационные и напорные механизмы движения донного материала и не содержит в себе феноменологических параметров. Движение свободной поверхности гидродинамического потока определяется из решения дифференциальных уравнений баланса. Модель учитывает изменения средней по створу турбулентной вязкости при изменении створа канала.

На основе метода конечных элементов получен дискретный аналог сформулированной задачи и предложен алгоритм ее решения. Особенностью алгоритма является контроль влияния движения свободной поверхности потока и расхода потока на процесс определения турбулентной вязкости потока в процессе эрозии берегового склона. Проведены численные расчеты, демонстрирующие качественное и количественное влияние данных особенностей на процесс определения турбулентной вязкости потока и эрозию берегового склона русла.

Сравнение данных по береговым деформациям, полученных в результате численных расчетов, с известными лотковыми экспериментальными данными показали их согласование.

Изучаются вычислительные свойства параметрического класса конечно-объемных схем с настраиваемыми диссипативными свойствами с расщеплением по физическим процессам на лагранжев, эйлеров и заключительный этапы (гибридный метод крупных частиц). Метод обладает вторым порядком аппроксимации по пространству и времени на гладких решениях. Регуляризация численного решения на лагранжевом этапе осуществляется нелинейной коррекцией искусственной вязкости, величина которой, независимо от разрешения сетки, стремится к нулю вне зоны разрывови экстремумовв решении. На эйлеровом и заключительном этапе вначале реконструируются примитивные переменные (плотность, скорость и полная энергия) путем взвешенной ограничителем потоков аддитивной комбинации противопоточной и центральной аппроксимаций. Затем из них формируются численные дивергентные потоки. При этом выполняются дискретные аналоги законов сохранения.

Выполнен анализ диссипативных свойств метода с использованием известных ограничителей вязкости и потоков, а также их линейной комбинации. Разрешающая способность схемы и качество численных решений продемонстрированы на примерах двумерных тестов с обтеканием ступеньки потоком газа с числами Маха 3, 10 и 20, двойным маховским отражением сильной ударной волны и с импульсным сжатием газа. Изучено влияние схемной вязкости метода на численное воспроизведение неустойчивости на контактных поверхностях газов. Установлено, что уменьшение уровня диссипативных свойств схемы в задаче с импульсным сжатием газа приводит к разрушению симметричного решения и формированию хаотической неустойчивости на контактной поверхности.

Численные решения сопоставлены с результатами других авторов, полученных по схемам повышенного порядка аппроксимации: КАБАРЕ, HLLC (Harten Lax van Leer Contact), CFLFh (CFLF hybrid scheme), JT (centered scheme with limiter by Jiang and Tadmor), PPM (Piecewise Parabolic Method), WENO5 (weighted essentially non-oscillatory scheme), RKGD (Runge–Kutta Discontinuous Galerkin), с гибридной взвешенной нелинейной интерполяцией CCSSR-HW4 и CCSSR-HW6. К достоинствам гибридного метода крупных частиц относятся расширенные возможности решения задач гиперболического и смешанного типов, хорошее соотношение диссипативных и дисперсионных свойств, сочетание алгоритмической простоты и высокой разрешающей способности в задачах со сложной ударно-волновой структурой, развитием неустойчивости и вихреобразованием на контактных границах.

Дискретизация задач по методу гидродинамики сглаженных частиц (SPH) предполагает присутствие в решении нескольких констант — параметров дискретизации. Среди них особо следует отметить модельную скорость звука $c_0$, которая связывает мгновенную плотность в SPH-частице с возникающим давлением через замыкающее уравнение состояния.

В работе изложен подход к точному определению необходимого значения модельной скорости звука, имеющий в своей основе анализ изменения плотностей в SPH-частицах при их относительном смещении. Примером движения сплошной среды принята задача о плоском сдвиговом течении; объектом анализа является функция относительного уплотнения $\varepsilon_\rho$ в SPH-частице, определяемая формой ядра сглаживания. Идеальный плоскопараллельный относительный сдвиг частиц в области сглаживания определяет периодическое изменение их плотностей. Исследование функций $\varepsilon_\rho$, получаемых от использования различных ядер сглаживания в аппроксимации плотности с учетом такого сдвига, позволило установить пульсационный характер возникновения давлений в частицах. Кроме того, определен случай расположения соседей в области сглаживания, обеспечивающий максимум уплотнения в частице.

Сопоставление функций $\varepsilon_\rho$ с SPH-аппроксимацией уравнения движения позволило связать параметр дискретизации $c_0$ с формой ядра сглаживания и прочими параметрами дискретного аналога задачи, в том числе коэффициентом искусственной диссипации. В результате сформулировано уравнение, обеспечивающее нахождение необходимого и достаточного для решения значения модельной скорости звука. Для трех представителей ядер сглаживания приведены выражения корня $c_0$ такого уравнения, упрощенные из полиномов до числовых коэффициентов при параметрах рассматриваемой задачи.

В предлагаемой статье приводятся результаты аналитического и компьютерного исследования хаотической эволюции регулярного поля скорости, возникающего под действием крупномасштабной гармонической вынуждающей силы. Авторами получено аналитическое решение для функции тока течения и ее производных величин (скорости, завихренности, кинетической энергии, энстрофии и палинстрофии). Проведено численное моделирование эволюции течения с помощью пакета программ OpenFOAM (на основе модели несжимаемой среды), а также двух собственных реализаций, использующих приближение слабой сжимаемости (схемы КАБАРЕ и схемы МакКормака). Расчеты проводились на последовательности вложенных сеток с 64², 128², 256², 512², 1024² ячейками для двух характерных (асимптотических) чисел Рейнольдса Rea, характеризующих ламинарную и турбулентную эволюцию течения соответственно. Моделирование показало, что разрушение аналитического решения происходит в обоих случаях. Энергетические характеристики течения обсуждаются на основе кривых энергии, а также скоростей диссипации. Для самой подробной сетки эта величина оказывается на несколько порядков меньше своего гидродинамического (вязкого) аналога. Разрушение регулярной структуры течения наблюдается для любого из численных методов, в том числе на поздних стадиях ламинарной эволюции, когда полученные распределения близки к аналитическим значениям. Можно предположить, что предпосылкой к развитию неустойчивости выступает ошибка, накапливаемая в процессе счета. Эта ошибка приводит к неравномерностям в распределении завихренности и, как следствие, к появлению вихрей различной интенсивности, взаимодействие которых приводит к хаотизации течения. Для исследования процессов производства завихренности мы использовали две интегральные величины, определяемые на ее основе, — интегральные энстрофию ($\zeta$) и палинстрофию $(P)$. Постановка задачи с периодическими граничными условиями позволяет установить простую связь между этими величинами. Кроме того, $\zeta$ может выступать в качестве меры вихреразрешающей способности численного метода, а палинстрофия определяет степень производства мелкомасштабной завихренности.

Групповое движение малоразмерных подводных аппаратов — важная прикладная задача. В работе приводятся результаты исследования влияния формации группы на характер ее движения. Оценка лобового сопротивления подводных аппаратов и обтекания потоков вокруг них — традиционная и хорошо известная область исследований. Однако выводы, сделанные для единичного робота, не всегда применимы к группе однотипных устройств из-за появляющихся при совместном движении физических эффектов, например волновой тени. Исходя из этого были исследованы гидродинамические характеристики определенных формаций роботов, движущихся как единое целое. В ходе работы изучались гидродинамические параметры систем с двумя основными типами движителей: локомоторными (аналогами рыбьих хвостов) и гребными винтами. Из соображений природоподобия рассматривались формации, аналогичные по структуре рыбьим косякам, затем оценивалась их применимость для роботов разных видов. Была определена связь между скоростью движения группировки и лобовым сопротивлением каждого из ее участников. Математическое моделирование обтекания группировки роботов проводилось при помощи метода конечных объемов двумя программными комплексами (FlowVision и OpenFoam). Показано, что роботы с винтовым движителем при размещении в тесных формациях мешают друг другу, а для локомоторного случая нахождение в зоне возмущения, наоборот, предпочтительно. Также при плохо обтекаемых корпусах отрывающиеся от поверхности потоки могут превращаться в узкие струи, сильно мешающие задним роботам. Установлено, что эффект водяной тени снижает затраты энергии только при малых скоростях движения — около 5 см/с; при больших скоростях движение в колоннах затрудняется для задних роботов. Кроме того, для рыбоподобного движителя не было выявлено большой разницы в лобовом сопротивлении между одиночным роботом и группой. Таким образом, программное моделирование позволило выработать и обосновать рекомендации по оптимизации построений роботов при групповом движении. Полученные результаты могут оказаться полезными для разработки подводных аппаратов, способных работать в группах, и средств управления ими.

Представлена программа NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) численного решения граничных задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с использованием нумеровской конечно-разностной аппроксимации четвертого порядка относительно шага дискретизации по пространственной переменной. Обсуждаются алгоритмы вычисления ньютоновского итерационного параметра. Выполнены методические расчеты, демонстрирующие влияние выбора итерационного параметра на сходимость итерационного процесса. Представлены результаты проведенного с помощью программы NINE численного исследования положительных частицеподобных решений уравнения скалярного поля.

Изучается геометрия сплошных сред с внутренними степенями свободы методом подвижного репера Картана. Выводятся условия неразрывности деформаций в форме уравнений структуры для многообразий. Предлагаются определяющие соотношения для жесткопластических сред с внутренними степенями свободы. Доказываются аналоги теорем о предельных нагрузках. Показано применение этих теорем для анализа поведения жесткопластических континуальных оболочек из материалов, обладающих памятью формы. Приведено вычисление предельных нагрузок для оболочек вращения при воздействии внешних сил и при восстановлении формы от нагрева.