Все выпуски

Предлагается нелинейная рестриктивная (подчиняющаяся ограничениям типа неравенств) динамическая математическая модель свободного рынка многих товаров в условиях лага поставок товаров на рынок и линейной зависимости вектора спроса от вектора цен. Ставится задача отыскания оптимальных с точки зрения прибыли продавца цен и поставок товаров на рынок. Показано, что максимальная суммарная прибыль продавца выражается непрерывной кусочногладкой функцией вектора объемов поставок с разрывом производных на границах зон товарного дефицита, затоваривания и динамического равновесия рынка по каждому из товаров. С использованием аппарата предикатных функций построен вычислительный алгоритм оптимизации поставок товаров на рынок.

The nonlinear restrictive (with restrictions of the inequalities type) dynamic mathematical model of the committed competition vacant market of many goods in conditions of the goods deliveries time-lag and of the linear dependency of the demand vector from the prices vector is offered. The problem of finding of prices and deliveries of goods into the market which are optimal (from seller’s profit standpoint) is formulated. It is shown the seller’s total profit maximum is expressing by the continuous piecewise smooth function of vector of volumes of deliveries with breakup of the derivative on borders of zones of the goods deficit, of the overstocking and of the dynamic balance of demand and offer of each of goods. With use of the predicate functions technique the computing algorithm of optimization of the goods deliveries into the market is built.

В первой части работы получена оценка скорости сходимости ранее известного ускоренного метода первого порядка AGMsDR на классе задач минимизации, вообще говоря, невыпуклых функций с $M$-липшицевым градиентом и удовлетворяющих условию Поляка – Лоясиевича. При реализации метода не требуется знать параметр $\mu^{PL}>0$ из условия Поляка – Лоясиевича, при этом метод демонстрирует линейную скорость сходимости (сходимость со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем $\left.\left(1 - \frac{\mu^{PL}}{M}\right)\right)$. Ранее для метода была доказана сходимость со скоростью $O\left(\frac1{k^2}\right)$ на классе выпуклых задач с $M$-липшицевым градиентом. А также сходимость со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой $\left(1 - \sqrt{\frac{\mu^{SC}}{M}}\right)$, но только если алгоритму известно значение параметра сильной выпуклости $\mu^{SC}>0$. Новизна результата заключается в том, что удается отказаться от использования методом значения параметра $\mu^{SC}>0$ и при этом сохранить линейную скорость сходимости, но уже без корня в знаменателе прогрессии.

Во второй части представлена новая модификация метода AGMsDR для решения задач, допускающих альтернированную минимизацию (Alternating AGMsDR). Доказываются аналогичные оценки скорости сходимости на тех же классах оптимизационных задач.

Таким образом, представлены адаптивные ускоренные методы с оценкой сходимости $O\left(\min\left\lbrace\frac{M}{k^2},\,\left(1-{\frac{\mu^{PL}}{M}}\right)^{(k-1)}\right\rbrace\right)$ на классе выпуклых функций с $M$-липшицевым градиентом, которые удовлетворяют условию Поляка – Лоясиевича. При этом для работы метода не требуются значения параметров $M$ и $\mu^{PL}$. Если же условие Поляка – Лоясиевича не выполняется, то можно утверждать, что скорость сходимости равна $O\left(\frac1{k^2}\right)$, но при этом методы не требуют никаких изменений.

Также рассматривается адаптивная каталист-оболочка неускоренного градиентного метода, которая позволяет доказать оценку скорости сходимости $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Проведено экспериментальное сравнение неускоренного градиентного метода с адаптивным выбором шага, ускоренного с помощью адаптивной каталист-оболочки с методами AGMsDR, Alternating AGMsDR, APDAGD (Adaptive Primal-Dual Accelerated Gradient Descent) и алгоритмом Синхорна для задачи, двойственной к задаче оптимального транспорта.

Проведенные вычислительные эксперименты показали более быструю работу метода Alternating AGMsDR по сравнению как с неускоренным градиентным методом, ускоренным с помощью адаптивной каталист-оболочки, так и с методом AGMsDR, несмотря на асимптотически одинаковые гарантии скорости сходимости $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Это может быть объяснено результатом о линейной скорости сходимости метода Alternating AGMsDR на классе задач, удовлетворяющих условию Поляка – Лоясиевича. Гипотеза была проверена на квадратичных задачах. Метод Alternating AGMsDR показал более быструю сходимость по сравнению с методом AGMsDR.

In the first part of the paper we present convergence analysis of AGMsDR method on a new class of functions — in general non-convex with $M$-Lipschitz-continuous gradients that satisfy Polyak – Lojasiewicz condition. Method does not need the value of $\mu^{PL}>0$ in the condition and converges linearly with a scale factor $\left(1 - \frac{\mu^{PL}}{M}\right)$. It was previously proved that method converges as $O\left(\frac1{k^2}\right)$ if a function is convex and has $M$-Lipschitz-continuous gradient and converges linearly with a~scale factor $\left(1 - \sqrt{\frac{\mu^{SC}}{M}}\right)$ if the value of strong convexity parameter $\mu^{SC}>0$ is known. The novelty is that one can save linear convergence if $\frac{\mu^{PL}}{\mu^{SC}}$ is not known, but without square root in the scale factor.

The second part presents modification of AGMsDR method for solving problems that allow alternating minimization (Alternating AGMsDR). The similar results are proved.

As the result, we present adaptive accelerated methods that converge as $O\left(\min\left\lbrace\frac{M}{k^2},\,\left(1-{\frac{\mu^{PL}}{M}}\right)^{(k-1)}\right\rbrace\right)$ on a class of convex functions with $M$-Lipschitz-continuous gradient that satisfy Polyak – Lojasiewicz condition. Algorithms do not need values of $M$ and $\mu^{PL}$. If Polyak – Lojasiewicz condition does not hold, the convergence is $O\left(\frac1{k^2}\right)$, but no tuning needed.

We also consider the adaptive catalyst envelope of non-accelerated gradient methods. The envelope allows acceleration up to $O\left(\frac1{k^2}\right)$. We present numerical comparison of non-accelerated adaptive gradient descent which is accelerated using adaptive catalyst envelope with AGMsDR, Alternating AGMsDR, APDAGD (Adaptive Primal-Dual Accelerated Gradient Descent) and Sinkhorn's algorithm on the problem dual to the optimal transport problem.

Conducted experiments show faster convergence of alternating AGMsDR in comparison with described catalyst approach and AGMsDR, despite the same asymptotic rate $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Such behavior can be explained by linear convergence of AGMsDR method and was tested on quadratic functions. Alternating AGMsDR demonstrated better performance in comparison with AGMsDR.

В статье решается актуальная научно-практическая задача математического моделирования и прогнозирования процессов диффузии инноваций и технологических замещений на рынках с ограниченной емкостью. Целью работы является преодоление структурных ограничений классических феноменологических подходов, таких как модели Басса, Гомперца и Мэнсфилда, связанных с жестко фиксированной асимметрией S-образных кривых и отсутствием явного микроэкономического обоснования динамики систем. В основу исследования положен междисциплинарный подход, основанный на переносе экологической концепции рационирования ограниченных ресурсов (модель Ардити–Гинзбурга–Контуа) в теорию операционного менеджмента посредством использования клиринговой функции Кармаркара и производственной функции Леонтьева–Либиха. Автором аналитически выведен альтернативный закон диффузии технологических инноваций, представленный в виде неявной зависимости времени от кумулятивного объема продаж или общего числа потребителей. Для идентификации неизвестных параметров модели по эмпирическим данным применен численный метод инвертирования неявной функции на основе нелинейной оптимизации наименьших квадратов, обеспечивающий высокую вычислительную стабильность алгоритма. Проведена сравнительная эмпирическая верификация предложенного закона в сопоставлении с классическими мировыми аналогами на двух контрастных макроэкономических кейсах: динамике кумулятивных продаж потребительской электроники Apple iPod (сорок девять квартальных точек) и развитии рынка подписок на мобильный интернет в Германии (восемнадцать годовых точек). Оценка качества аппроксимации осуществлялась по критерию остаточной суммы квадратов и коэффициенту детерминации. Показано математическое преимущество авторской модели, продемонстрировавшей наименьшую ошибку невязки на макроэкономических данных высокотехнологичных рынков за счет гибкого параметра асимметрии, адаптирующегося под стартовый лаг-период рынка. Научная новизна работы заключается в фундаментальном обосновании макроэкономической S-кривой через баланс уравнений системы «потребитель–ресурс». Разработанный математический аппарат может быть непосредственно использован аналитическими агентствами, регуляторами сектора информационно-коммуникационных технологий и менеджментом компаний для среднесрочного планирования емкости рынков и прогнозирования точек перегиба, соответствующих пикам темпов технологического замещения.

The author presents a new macroeconomic model designed to analyze and forecast technology diffusion processes in markets characterized by bounded capacity. The study addresses the major limitations of classical phenomenological models, such as the Bass and Gompertz frameworks, which suffer from a rigidly fixed trajectory asymmetry and lack explicit microeconomic foundations. To overcome these constraints, we employ an interdisciplinary approach that transfers the ecological concept of limited resource rationing from the Arditi–Ginzburg–Contois model into operations management theory. This framework integrates the Karmarkar clearing function with the Leontief–Liebig production function to establish a rigorous dynamic balance. By applying this integration, the author analytically derives an alternative technological innovation diffusion law that expresses time as an explicit function of the cumulative market volume. To identify parameters from empirical data, the study develops a robust numerical grid inversion algorithm that utilizes vector linear interpolation within the MATLAB computing environment. This approach avoids iterative root-finding errors and ensures high computational stability for the non-linear least squares optimization procedure. We test the empirical validity of the developed diffusion law using two distinct historical macroeconomic cases: the quarterly cumulative sales of the Apple iPod and the annual subscription data for the mobile broadband market in Germany. The resulting statistical metrics demonstrate that the proposed model provides superior approximation quality and mathematical advantages on high-tech market data due to its highly flexible asymmetry parameter. The fundamental scientific novelty of this research lies in the theoretical justification of the macroeconomic S-curve through the internal balance equations of an open chemostat-type system operating under a competitive vacuum. The proposed mathematical apparatus offers a practical tool for corporate management and regulatory agencies to plan market capacity and accurately forecast peak technological substitution rates.

Предлагается семейство методов Гаусса – Ньютона для решения оптимизационных задачи систем нелинейных уравнений, основанное на идеях использования верхней оценки нормы невязки системы уравнений и квадратичной регуляризации. В работе представлено развитие схемы метода трех квадратов с добавлением моментного члена к правилу обновления искомых параметров в решаемой задаче. Получившаяся схема обладает несколькими замечательными свойствами. Во-первых, в работе алгоритмически описано целое параметрическое семейство методов, минимизирующих функционалы специального вида: композиции невязки нелинейного уравнения и унимодального функционала. Такой функционал, целиком согласующийся с парадигмой «серого ящика» в описании задачи, объединяет в себе большое количество решаемых задач, связанных с приложениями в машинном обучении, с задачами восстановления регрессионной зависимости. Во-вторых, полученное семейство методов описывается как обобщение нескольких форм алгоритма Левенберга – Марквардта, допускающих реализацию в том числе и в неевклидовых пространствах. В алгоритме, описывающем параметрическое семейство методов Гаусса – Ньютона, используется итеративная процедура, осуществляющая неточное параметризованное проксимальное отображение и сдвиг с помощью моментного члена. Работа содержит детальный анализ эффективности предложенного семейства методов Гаусса – Ньютона, выведенные оценки учитывают количество внешних итераций алгоритма решения основной задачи, точность и вычислительную сложность представления локальной модели и вычисления оракула. Для семейства методов выведены условия сублинейной и линейной сходимости, основанные на неравенстве Поляка – Лоясиевича. В обоих наблюдаемых режимах сходимости локально предполагается наличие свойства Липшица у невязки нелинейной системы уравнений. Кроме теоретического анализа схемы, в работе изучаются вопросы ее практической реализации. В частности, в проведенных экспериментах для субоптимального шага приводятся схемы эффективного вычисления аппроксимации наилучшего шага, что позволяет на практике улучшить сходимость метода по сравнению с оригинальным методом трех квадратов. Предложенная схема объединяет в себе несколько существующих и часто используемых на практике модификаций метода Гаусса – Ньютона, в добавок к этому в работе предложена монотонная моментная модификация семейства разработанных методов, не замедляющая поиск решения в худшем случае и демонстрирующая на практике улучшение сходимости метода.

We propose a family of Gauss –Newton methods for solving optimization problems and systems of nonlinear equations based on the ideas of using the upper estimate of the norm of the residual of the system of nonlinear equations and quadratic regularization. The paper presents a development of the «Three Squares Method» scheme with the addition of a momentum term to the update rule of the sought parameters in the problem to be solved. The resulting scheme has several remarkable properties. First, the paper algorithmically describes a whole parametric family of methods that minimize functionals of a special kind: compositions of the residual of a nonlinear equation and an unimodal functional. Such a functional, entirely consistent with the «gray box» paradigm in the problem description, combines a large number of solvable problems related to applications in machine learning, with the regression problems. Secondly, the obtained family of methods is described as a generalization of several forms of the Levenberg –Marquardt algorithm, allowing implementation in non-Euclidean spaces as well. The algorithm describing the parametric family of Gauss –Newton methods uses an iterative procedure that performs an inexact parametrized proximal mapping and shift using a momentum term. The paper contains a detailed analysis of the efficiency of the proposed family of Gauss – Newton methods; the derived estimates take into account the number of external iterations of the algorithm for solving the main problem, the accuracy and computational complexity of the local model representation and oracle computation. Sublinear and linear convergence conditions based on the Polak – Lojasiewicz inequality are derived for the family of methods. In both observed convergence regimes, the Lipschitz property of the residual of the nonlinear system of equations is locally assumed. In addition to the theoretical analysis of the scheme, the paper studies the issues of its practical implementation. In particular, in the experiments conducted for the suboptimal step, the schemes of effective calculation of the approximation of the best step are given, which makes it possible to improve the convergence of the method in practice in comparison with the original «Three Square Method». The proposed scheme combines several existing and frequently used in practice modifications of the Gauss –Newton method, in addition, the paper proposes a monotone momentum modification of the family of developed methods, which does not slow down the search for a solution in the worst case and demonstrates in practice an improvement in the convergence of the method.

В работе представлена модель пополнения банковской ликвидности собственными средствами банков. Дано методологическое обоснование необходимости создания банковских стабилизационных фондов для покрытия убытков в период кризиса в экономике. Приводится эконометрический вывод уравнений описывающих поведение банка в финансовой и операционной деятельности. В соответствии с поставленной целью создания стабилизационного фонда вводится критерий оптимальности осуществляемого управления. На основе полученных уравнений поведения банка, методом динамического программирования выводится вектор оптимальных управлений.

This paper presents a model of replenishment of bank liquidity by additional income of banks. Given the methodological basis for the necessity for bank stabilization funds to cover losses during the economy crisis. An econometric derivation of the equations describing the behavior of the bank financial and operating activity performed. In accordance with the purpose of creating a stabilization fund introduces an optimality criterion used controls. Based on the equations of the behavior of the bank by the method of dynamic programming is derived a vector of optimal controls.

В работе рассматриваются проектные и поверочные этапы, в разработке сложных вычислительных алгоритмов для создания прямых вычислительных экспериментов в гидромеханике. В моделировании физических полей и нестационарных процессов механики сплошных сред желательно опираться на строгие правила конструирования числовых объектов и связанных с ними вычислительных алгоритмов. Синтез адаптивных числовых объектов и эффективных арифметико-логических операций может послужить оптимизации всей вычислительной задачи, при условии строго следования и соблюдения исходных законов гидромеханики. Возможность использования троичной логики позволяет разрешить некоторые противоречия функционального и декларативного программирования в реализации чисто прикладных задач механики. Аналогичные проектные решения приводят к новым численным схемам тензорной математики, которые позволяют оптимизировать эффективность и обосновывать корректность результатов моделирования. Наиболее важным следствием является возможность использования интерактивных графических методов для визуализации промежуточных результатов моделирования, а также для управляемого воздействия на ход вычислительного эксперимента под контролем инженеров аэрогидромехаников–исследователей.

The paper discusses the design and verification stages in the development of complex numerical algorithms to create direct computational experiments in fluid mechanics. The modeling of physical fields and nonstationary processes of continuum mechanics, it is desirable to rely on strict rules of construction the numerical objects and related computational algorithms. Synthesis of adaptive the numerical objects and effective arithmetic- logic operations can serve to optimize the whole computing tasks, provided strict following and compliance with the original of the laws of fluid mechanics. The possibility of using ternary logic enables to resolve some contradictions of functional and declarative programming in the implementation of purely applied problems of mechanics. Similar design decisions lead to new numerical schemes tensor mathematics to help optimize effectiveness and validate correctness the simulation results. The most important consequence is the possibility of using interactive graphical techniques for the visualization of intermediate results of modeling, as well as managed to influence the course of computing experiment under the supervision of engineers aerohydrodynamics– researchers.