Все выпуски

В данной работе приводятся нижние оценки скорости сходимости для класса численных методов выпуклой оптимизации первого порядка и выше, т. е. использующих градиент и старшие производные. Обсуждаются вопросы достижимости данных оценок. Приведенные в статье оценки замыкают известные на данный момент результаты в этой области. Отметим, что замыкание осуществляется без должного обоснования, поэтому в той общности, в которой данные оценки приведены в статье, их стоит понимать как гипотезу. Опишембо лее точно основной результат работы. Пожалуй, наиболее известнымм етодом второго порядка является метод Ньютона, использующий информацию о градиенте и матрице Гессе оптимизируемой функции. Однако даже для сильно выпуклых функций метод Ньютона сходится лишь локально. Глобальная сходимость метода Ньютона обеспечивается с помощью кубической регуляризации оптимизируемой на каждом шаге квадратичной модели функции [Nesterov, Polyak, 2006]. Сложность решения такой вспомогательной задачи сопоставима со сложностью итерации обычного метода Ньютона, т. е. эквивалентна по порядку сложности обращения матрицы Гессе оптимизируемой функции. В 2008 году Ю. Е. Нестеровымбыл предложен ускоренный вариант метода Ньютона с кубической регуляризацией [Nesterov, 2008]. В 2013 г. Monteiro – Svaiter сумели улучшить оценку глобальной сходимости ускоренного метода с кубической регуляризацией [Monteiro, Svaiter, 2013]. В 2017 году Arjevani – Shamir – Shiff показали, что оценка Monteiro – Svaiter оптимальна (не может быть улучшена более чем на логарифми- ческий множитель на классе методов 2-го порядка) [Arjevani et al., 2017]. Также удалось получить вид нижних оценок для методов порядка $p ≥ 2$ для задач выпуклой оптимизации. Отметим, что при этом для сильно выпуклых функций нижние оценки были получены только для методов первого и второго порядка. В 2018 году Ю. Е. Нестеров для выпуклых задач оптимизации предложил методы 3-го порядка, которые имеют сложность итерации сопоставимую со сложностью итерации метода Ньютона и сходятся почти по установленным нижним оценкам [Nesterov, 2018]. Таким образом, было показано, что методы высокого порядка вполне могут быть практичными. В данной работе приводятся нижние оценки для методов высокого порядка $p ≥ 3$ для сильно выпуклых задач безусловной оптимизации. Работа также может рассматриваться как небольшой обзор современного состояния развития численных методов выпуклой оптимизации высокого порядка.

In this paper we discuss lower bounds for convergence of convex optimization methods of high order and attainability of this bounds. We formulate a hypothesis that covers all the cases. It is noticeable that we provide this statement without a proof. Newton method is the most famous method that uses gradient and Hessian of optimized function. However, it converges locally even for strongly convex functions. Global convergence can be achieved with cubic regularization of Newton method [Nesterov, Polyak, 2006], whose iteration cost is comparable with iteration cost of Newton method and is equivalent to inversion of Hessian of optimized function. Yu.Nesterov proposed accelerated variant of Newton method with cubic regularization in 2008 [Nesterov, 2008]. R.Monteiro and B. Svaiter managed to improve global convergence of cubic regularized method in 2013 [Monteiro, Svaiter, 2013]. Y.Arjevani, O. Shamir and R. Shiff showed that convergence bound of Monteiro and Svaiter is optimal (cannot be improved by more than logarithmic factor with any second order method) in 2017 [Arjevani et al., 2017]. They also managed to find bounds for convex optimization methods of p-th order for $p ≥ 2$. However, they got bounds only for first and second order methods for strongly convex functions. In 2018 Yu.Nesterov proposed third order convex optimization methods with rate of convergence that is close to this lower bounds and with similar to Newton method cost of iteration [Nesterov, 2018]. Consequently, it was showed that high order methods can be practical. In this paper we formulate lower bounds for p-th order methods for $p ≥ 3$ for strongly convex unconstrained optimization problems. This paper can be viewed as a little survey of state of the art of high order optimization methods.

Рассматривается классическая для нелинейной динамики модель «брюсселятор», дополненная третьей переменной, играющей роль быстро диффундирующего ингибитора. Модель исследуется в одномерном случае в области параметров, где проявляются два типа диффузионной неустойчивости однородного стационарного состояния системы: волновая неустойчивость, приводящая к самопроизвольному формированию автоволн, и неустойчивость Тьюринга, приводящая к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур, или структур Тьюринга. Показано, что благодаря субкритическому характеру бифуркации Тьюринга взаимодействие двух неустойчивостей в данной системе приводит к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур еще до прохождения бифуркации Тьюринга. В ответ на различные случайные шумовые возмущения пространственно-однородного стационарного состояния в исследуемой параметрической области в окрестности точки двойной бифуркации в системе могут устанавливаться различные режимы: как чистые, состоящие только из стационарных или только автоволновых диссипативных структур, так и смешанные, при которых разные режимы проявляются в разных участках расчетного пространства. В рассматриваемой параметрической области система является мультистабильной и проявляет высокую чувствительность к начальным шумовым условиям, что приводит к размытию границ между качественно разными режимами. При этом даже в зоне доминирования смешанных режимов с преобладанием структур Тьюринга значительную вероятность имеет установление чистого автоволнового режима. В случае установившихся смешанных режимов достаточно сильное локальное возмущение в участке расчетного пространства, где проявляется автоволновой режим, может инициировать локальное формирование новых стационарных диссипативных структур. Локальное возмущение стационарного однородного состояния в исследуемой области параметрического пространства приводит к качественно схожей карте устоявшихся режимов, при этом зона доминирования чистых автоволновых режимов расширяется с увеличением амплитуды локального возмущения. В двумерном случае в системе не устанавливаются смешанные режимы. При эволюции системы в случае появления локальных структур Тьюринга под воздействием автоволнового режима со временем они заполняют все расчетное пространство.

A classical for nonlinear dynamics model, Brusselator, is considered, being augmented by addition of a third variable, which plays the role of a fast-diffusing inhibitor. The model is investigated in one-dimensional case in the parametric domain, where two types of diffusive instabilities of system’s homogeneous stationary state are manifested: wave instability, which leads to spontaneous formation of autowaves, and Turing instability, which leads to spontaneous formation of stationary dissipative structures, or Turing structures. It is shown that, due to the subcritical nature of Turing bifurcation, the interaction of two instabilities in this system results in spontaneous formation of stationary dissipative structures already before the passage of Turing bifurcation. In response to different perturbations of spatially uniform stationary state, different stable regimes are manifested in the vicinity of the double bifurcation point in the parametric region under study: both pure regimes, which consist of either stationary or autowave dissipative structures; and mixed regimes, in which different modes dominate in different areas of the computational space. In the considered region of the parametric space, the system is multistable and exhibits high sensitivity to initial noise conditions, which leads to blurring of the boundaries between qualitatively different regimes in the parametric region. At that, even in the area of dominance of mixed modes with prevalence of Turing structures, the establishment of a pure autowave regime has significant probability. In the case of stable mixed regimes, a sufficiently strong local perturbation in the area of the computational space, where autowave mode is manifested, can initiate local formation of new stationary dissipative structures. Local perturbation of the stationary homogeneous state in the parametric region under investidation leads to a qualitatively similar map of established modes, the zone of dominance of pure autowave regimes being expanded with the increase of local perturbation amplitude. In two-dimensional case, mixed regimes turn out to be only transient — upon the appearance of localized Turing structures under the influence of wave regime, they eventually occupy all available space.

В работе изучается многомерное уравнение конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и неклассическим граничным условием. Рассмотрены два случая: в первом случае первое граничное условие содержит интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x_\alpha^{}$, а во втором случае — интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении переноса примеси вдоль русла рек. Для приближенного решения поставленной задачи предложена эффективная в плане экономичности, устойчивости и сходимости разностная схема — локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации~$O(h^2+\tau)$. Ввиду того что уравнение содержит первую производную от неизвестной функции по пространственной переменной $x_\alpha^{}$, для повышения порядка точности локально-одномерной схемы используется известный метод, предложенный А.А. Самарским при построении монотонной схемы второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ для уравнения параболического типа общего вида, содержащего односторонние производные, учитывающие знак $r_\alpha^{}(x,\,t)$. Для повышения до второго порядка точности по $h_\alpha^{}$ краевых условий третьего рода воспользовались уравнением в предположении, что оно справедливо и на границах. Исследование единственности и устойчивости решения проводилось с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решения разностной задачи в $L_2^{}$-норме, откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная зависимость решения разностной задачи от входных данных, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в $L_2^{}$-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе теоретические результаты.

The paper studies a multidimensional convection-diffusion equation with variable coefficients and a nonclassical boundary condition. Two cases are considered: in the first case, the first boundary condition contains the integral of the unknown function with respect to the integration variable $x_\alpha^{}$, and in the second case, the integral of the unknown function with respect to the integration variable $\tau$, denoting the memory effect. Similar problems arise when studying the transport of impurities along the riverbed. For an approximate solution of the problem posed, a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii with order of approximation $O(h^2+\tau)$. In view of the fact that the equation contains the first derivative of the unknown function with respect to the spatial variable $x_\alpha^{}$, the wellknown method proposed by A.A. Samarskii in constructing a monotonic scheme of the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$ for a general parabolic type equation containing one-sided derivatives taking into account the sign of $r_\alpha^{}(x,t)$. To increase the boundary conditions of the third kind to the second order of accuracy in $h_\alpha^{}$, we used the equation, on the assumption that it is also valid at the boundaries. The study of the uniqueness and stability of the solution was carried out using the method of energy inequalities. A priori estimates are obtained for the solution of the difference problem in the $L_2^{}$-norm, which implies the uniqueness of the solution, the continuous and uniform dependence of the solution of the difference problem on the input data, and the convergence of the solution of the locally onedimensional difference scheme to the solution of the original differential problem in the $L_2^{}$-norm with speed equal to the order of approximation of the difference scheme. For a two-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.

При взаимодействии сверхзвукового потока воздуха с поперечной вторичной струей, инжектируемой в этот поток через отверстие на плоской стенке, формируется особая структура течения. Это течение имеет место при инжекции топлива в прямоточные камеры сгорания сверхзвуковых авиационных двигателей, поэтому в последние годы в России и за рубежом предлагаются и исследуются разнообразные подходы к интенсификации смешения газов в этом течении. Предлагаемый в данной работе подход состоит в использовании искровых разрядов для импульсного нагрева газа и генерации неустойчивостей в сдвиговом слое на границе вторичной струи. С помощью моделирования в российском программном комплексе FlowVision 3.13 были получены характеристики этого течения при отсутствии и наличии импульсно-периодического локального тепловыделения на стенке с наветренной стороны от отверстия инжектора. Проведено сравнение локальных характеристик при различной периодичности импульсного нагрева (соответствующей значениям числа Струхаля 0,25 и 0,31). Показано, что импульсный нагрев может приводить к стимуляции формирования возмущений в сдвиговом слое на границе струи. Для случая отсутствия нагрева и для двух режимов импульсного нагрева было рассчитано значение интегрального критерия эффективности смешения. Показано, что импульсный нагрев может приводить как к уменьшению среднего значения эффективности смешения, так и к его увеличению (до 9% в рассмотренном режиме нагрева). Также проведена валидация использованного метода расчета (нестационарные уравнения Навье – Стокса, осредненные по Рейнольдсу, с модифицированной моделью турбулентности $k-\varepsilon$) на примере типового случая взаимодействия сверхзвукового потока с вторичной поперечной струей, изученного несколькими независимыми группами исследователей и хорошо документированного в литературе. Была показана сеточная сходимость расчета этого типового случая во FlowVision. Было проведено количественное сравнение результатов расчетов FlowVision с экспериментальными данными и другими расчетами. Результаты данного исследования могут быть полезны для специалистов, занимающихся проблемами смешения газов и горения в сверхзвуковом потоке, а также разработкой двигателей для сверхзвуковой авиации.

When a supersonic air flow interacts with a transverse secondary jet injected into this flow through an orifice on a flat wall, a special flow structure is formed. This flow takes place during fuel injection into combustion chambers of supersonic aircraft engines; therefore, in recent years, various approaches to intensifying gas mixing in this type of flow have been proposed and studied in several countries. The approach proposed in this work implies using spark discharges for pulsed heating of the gas and generating the instabilities in the shear layer at the boundary of the secondary jet. Using simulation in the software package FlowVision 3.13, the characteristics of this flow were obtained in the absence and presence of pulsed-periodic local heat release on the wall on the windward side of the injector opening. A comparison was made of local characteristics at different periodicities of pulsed heating (corresponding to the values of the Strouhal number 0.25 and 0.31). It is shown that pulsed heating can stimulate the formation of perturbations in the shear layer at the jet boundary. For the case of the absence of heating and for two modes of pulsed heating, the values of an integral criterion for mixing efficiency were calculated. It is shown that pulsed heating can lead both to a decrease in the average mixing efficiency and to its increase (up to 9% in the considered heating mode). The calculation method used (unsteady Reynolds-averaged Navier – Stokes equations with a modified $k-\varepsilon$ turbulence model) was validated by considering a typical case of the secondary transverse jet interaction with a supersonic flow, which was studied by several independent research groups and well documented in the literature. The grid convergence was shown for the simulation of this typical case in FlowVision. A quantitative comparison was made of the results obtained from FlowVision calculations with experimental data and calculations in other programs. The results of this study can be useful for specialists dealing with the problems of gas mixing and combustion in a supersonic flow, as well as the development of engines for supersonic aviation.

Работа посвящена анализу известных классов моделей сверточных нейронных сетей и исследованию выбранных из них перспективных моделей для детектирования летающих объектов на изображениях. Под детектированием объектов (англ. — Object Detection) здесь понимаются обнаружение, локализация в пространстве и классификация летающих объектов. Комплексное исследование выбранных перспективных моделей сверточных нейронных сетей проводится с целью выявления наиболее эффективных из них для создания мобильных систем компьютерного зрения реального времени. Показано, что наиболее приемлемыми для детектирования летающих объектов на изображениях с учетом сформулированных требований к мобильным системам компьютерного зрения реального времени и, соответственно, к лежащим в их основе моделям сверточных нейронных сетей являются модели семейства YOLO, причем наиболее перспективными следует считать пять моделей из этого семейства: YOLOv4, YOLOv4-Tiny, YOLOv4-CSP, YOLOv7 и YOLOv7-Tiny. Для обучения, валидации и комплексного исследования этих моделей разработан соответствующий набор данных. Каждое размеченное изображение из набора данных включает от одного до нескольких летающих объектов четырех классов: «птица», «беспилотный летательный аппарат самолетного типа», «беспилотный летательный аппарат вертолетного типа» и «неизвестный объект» (объекты в воздушном пространстве, не входящие в первые три класса). Исследования показали, что все модели сверточных нейронных сетей по скорости детектирования объектов на изображении (по скорости вычисления модели) значительно превышают заданное пороговое значение, однако только модели YOLOv4-CSP и YOLOv7, причем только частично, удовлетворяют требованию по точности детектирования (классификации) летающих объектов. Наиболее сложным для детектирования классом объектов является класс «птица». При этом выявлено, что наиболее эффективной по точности классификации является модель YOLOv7, модель YOLOv4-CSP на втором месте. Обе модели рекомендованы к использованию в составе мобильной системы компьютерного зрения реального времени при условии увеличения в созданном наборе данных числа изображений с объектами класса «птица» и дообучения этих моделей с тем, чтобы они удовлетворяли требованию по точности детектирования летающих объектов каждого из четырех классов.

The work analyzes known classes of convolutional neural network models and studies selected from them promising models for detecting flying objects in images. Object detection here refers to the detection, localization in space and classification of flying objects. The work conducts a comprehensive study of selected promising convolutional neural network models in order to identify the most effective ones from them for creating mobile real-time computer vision systems. It is shown that the most suitable models for detecting flying objects in images, taking into account the formulated requirements for mobile real-time computer vision systems, are models of the YOLO family, and five models from this family should be considered: YOLOv4, YOLOv4-Tiny, YOLOv4-CSP, YOLOv7 and YOLOv7-Tiny. An appropriate dataset has been developed for training, validation and comprehensive research of these models. Each labeled image of the dataset includes from one to several flying objects of four classes: “bird”, “aircraft-type unmanned aerial vehicle”, “helicopter-type unmanned aerial vehicle”, and “unknown object” (objects in airspace not included in the first three classes). Research has shown that all convolutional neural network models exceed the specified threshold value by the speed of detecting objects in the image, however, only the YOLOv4-CSP and YOLOv7 models partially satisfy the requirements of the accuracy of detection of flying objects. It was shown that most difficult object class to detect is the “bird” class. At the same time, it was revealed that the most effective model is YOLOv7, the YOLOv4-CSP model is in second place. Both models are recommended for use as part of a mobile real-time computer vision system with condition of additional training of these models on increased number of images with objects of the “bird” class so that they satisfy the requirement for the accuracy of detecting flying objects of each four classes.

В работе с помощью аналитических и численных методов рассматривается задача о структуре и динамике связанных локализованных нелинейных волн в модели синус-Гордона с тремя одинаковыми притягивающими протяженными примесями, которые моделируются пространственной неоднородностью периодического потенциала. Найдены два возможных типа связанных нелинейных локализованных волн — бризерного и солитонного. Проведен анализ влияния параметров системы и начальных условий на структуру локализованных волн, их амплитуду и частоту. Связанные колебания локализованных волн бризерного типа, как и для случая точечных примесей, представляет собой сумму трех гармонических колебаний: синфазного, синфазно-антифазного и антифазного типа. Частотный анализ локализованных на примесях волн, которые были получены в ходе численного эксперимента, выполнялся с помощью дискретного преобразования Фурье. Для анализа локализованных волн бризерного типа применялся численный метод конечных разностей. Для проведения качественно анализа полученных численных результатов задача решалась аналитически для случая малых амплитуд локализованных на примесях колебаний. Показано, что при определенных параметрах примеси (глубина, ширина) можно получить локализованные волны солитонного типа. Найдены области значений параметров системы, в которых существуют локализованные волны определенного типа, а также область перехода от бризерных к солитонным типам колебаний. Были определены значения глубины и ширины примеси, при которых наблюдается переход от бризерного к солитонному типу локализованных колебаний. Были получены и рассмотрены различные сценарии колебаний солитонного типа с отрицательными и положительными значениями амплитуд на всех трех примесях, а также и смешанные случаи. Показано, что в случае расстояния между примесями много меньше единицы отсутствует переходная область, в которой зарождающийся бризер после потери энергии на излучение переходит в солитон. Показано, что рассмотренная модель может быть использована, например, для описания динамики волн намагниченности в мультислойных магнетиках.

In this work, we use analytical and numerical methods to consider the problem of the structure and dynamics of coupled localized nonlinear waves in the sine-Gordon model with three identical attractive extended “impurities”, which are modeled by spatial inhomogeneity of the periodic potential. Two possible types of coupled nonlinear localized waves are found: breather and soliton. The influence of system parameters and initial conditions on the structure, amplitude, and frequency of localized waves was analyzed. Associated oscillations of localized waves of the breather type as in the case of point impurities, are the sum of three harmonic oscillations: in-phase, in-phase-antiphase and antiphase type. Frequency analysis of impurity-localized waves that were obtained during a numerical experiment was performed using discrete Fourier transform. To analyze localized breather-type waves, the numerical finite difference method was used. To carry out a qualitative analysis of the obtained numerical results, the problem was solved analytically for the case of small amplitudes of oscillations localized on impurities. It is shown that, for certain impurity parameters (depth and width), it is possible to obtain localized solitontype waves. The ranges of values of the system parameters in which localized waves of a certain type exist, as well as the region of transition from breather to soliton types of oscillations, have been found. The values of the depth and width of the impurity at which a transition from the breather to the soliton type of localized oscillations is observed were determined. Various scenarios of soliton-type oscillations with negative and positive amplitude values for all three impurities, as well as mixed cases, were obtained and considered. It is shown that in the case when the distance between impurities much less than one, there is no transition region where which the nascent breather, after losing energy through radiation, transforms into a soliton. It is shown that the considered model can be used, for example, to describe the dynamics of magnetization waves in multilayer magnets.

Численными методами исследовано формирование пространственных структур, описываемых скалярным уравнением Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с нелокальными конкурентными потерями и конвекцией, линейно зависящей от пространственных переменных. Показано, что при соответствующем выборе значений параметров уравнения, начальная функция, локализованная в окрестности точки, трансформируется в функцию, локализованную в окрестности кольца с симметрично расположенными на нем локальными максимумами. Радиус кольца и число максимумов зависят от конвекции.

Pattern formation described by the scalar Fisher–Kolmogorov–Petrovsky–Piscounov equation with nonlocal competition loses and convection linear on coordinates is considered numerically. Initial function localized around a point is shown to transform in a function localized around a ring with symmetrically sited local maxima. The ring radius and number of maxima depend on convection.

Представлена математическая модель для расчета нестационарных процессов вентиляции сети выработок угольной шахты. Приведены результаты расчетов процесса вентиляции тупиковой выработки вентилятором местного проветривания и нестационарных аэродинамических процессов при реверсировании вентилятора главного проветривания в модельной сети выработок шахты.

Mathematical model of non-stationary ventilation processes of coal mining is presented. Numerical simulation of dead-end excavation ventilation processes using local ventilation fan and occurred non-stationary aerodynamic processes by reversing main ventilation fan in modeling of coal mining are presented in this study Poisson on circle and other areas.

С помощью численных методов исследована динамика кинков модифицированного уравнения синус-Гордона в модели с локализованной пространственной модуляцией периодического потенциала (или примесью). Рассмотрен случай наличия двух одинаковых примесей. Показано, что возможно наблюдение коллективных эффектов влияния примесей, которые сильно зависят от расстояния между ними. Продемонстрировано наличие определенного критического значения расстояния между примесями, которое приводит к двум качественно различным сценариям динамического поведения кинка.

We investigated numerically the dynamics of kinks of modified sine-Gordon equation in the model with localized spatial modulation of a periodic potential (or impurity). We considered the case of two identical impurities. We showed the possibility of collective effects of the influence of impurities, which are heavily dependent on the distance between them. We demonstrated the existence of a certain critical value of the distance between impurities, which has two qualitatively different scenarios of the dynamic behavior of kink.

Работа посвящена проблеме анализа близости популяционной системы к опасным границам, при пересечении которых в системе разрушается устойчивое сосуществование взаимодействующих популяций. В качестве причины такого разрушения рассматриваются случайные возмущения, неизбежно присутствующие в любой живой системе. Это исследование проводится на примере известной модели взаимодействия популяций хищника и жертвы, учитывающей как стабилизирующий фактор конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы, так и дестабилизирующий фактор насыщения хищника. Для описания насыщения хищника используется трофическая функция Холлинга второго типа. Динамика системы исследуется в зависимости от коэффициента, характеризующего насыщение хищника, и коэффициента конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы. В работе дается параметрическое описание возможных режимов динамики детерминированной модели, исследуются локальные и глобальные бифуркации и выделяются зоны устойчивого сосуществования популяций в равновесном и осцилляционном режимах. Интересной математической особенностью данной модели, впервые рассмотренной Базыкиным, является глобальная бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы. В работе исследуется воздействие шума на равновесный и осцилляционный режимы сосуществования популяций хищника и жертвы. Показано, что увеличение интенсивности случайных возмущений может привести к значительным деформациям этих режимов вплоть до их разрушения. Целью данной работы является разработка конструктивного вероятностного критерия близости этой стохастической системы к опасным границам. Основой предлагаемого математического подхода является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей — доверительных эллипсов, окружающих устойчивое равновесие, и доверительных полос вокруг устойчивого цикла. Размеры доверительных областей пропорциональны интенсивности шума и стохастической чувствительности исходных детерминированных аттракторов. Геометрическим критерием выхода популяционной системы из режима устойчивого сосуществования является пересечение доверительных областей и соответствующих сепаратрис детерминированной модели. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок и результатов прямого численного моделирования.

The paper is devoted to the analysis of the proximity of the population system to dangerous boundaries. An intersection of these boundaries results in the collapse of the stable coexistence of interacting populations. As a reason of such destruction one can consider random perturbations inevitably presented in any living system. This study is carried out on the example of the well-known model of interaction between predator and prey populations, taking into account both a stabilizing factor of the competition of predators for another than prey resources, and also a destabilizing saturation factor for predators. To describe the saturation of predators, we use the second type Holling trophic function. The dynamics of the system is studied as a function of the predator saturation, and the coefficient of predator competition for resources other than prey. The paper presents a parametric description of the possible dynamic regimes of the deterministic model. Here, local and global bifurcations are studied, and areas of sustainable coexistence of populations in equilibrium and the oscillation modes are described. An interesting feature of this mathematical model, firstly considered by Bazykin, is a global bifurcation of the birth of limit cycle from the separatrix loop. We study the effects of noise on the equilibrium and oscillatory regimes of coexistence of predator and prey populations. It is shown that an increase of the intensity of random disturbances can lead to significant deformations of these regimes right up to their destruction. The aim of this work is to develop a constructive probabilistic criterion for the proximity of the population stochastic system to the dangerous boundaries. The proposed approach is based on the mathematical technique of stochastic sensitivity functions, and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable cycle, this domain is a confidence band. The size of the confidence domain is proportional to the intensity of the noise and stochastic sensitivity of the initial deterministic attractor. A geometric criterion of the exit of the population system from sustainable coexistence mode is the intersection of the confidence domain and the corresponding separatrix of the unforced deterministic model. An effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimates and results of direct numerical simulations.