Все выпуски

Эпидемии серьезно дестабилизируют экономику, снижая производительность, ослабляя потребительскую активность и перегружая общественные ресурсы, что часто приводит к экономическим кризисам. Пандемия COVID-19 продемонстрировала ключевую роль нематериальных мер, таких как карантин, в сдерживании распространения инфекционных заболеваний. Данное исследование изучает, как развитие эпидемии и введение карантинных мер влияют на экономическое благополучие населения. С помощью компартментальных моделей на основе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) анализируется взаимосвязь между динамикой заболевания и экономическими последствиями, особенно фокусируясь на том, как различные строгости карантина воздействуют как на распространение болезни, так и на благосостояние населения. Результаты показывают, что эпидемии наносят значительный экономический ущерб, однако своевременные и строгие карантинные меры могут снизить нагрузку на систему здравоохранения, резко уменьшая пик заражений и замедляя развитие эпидемии. Тем не менее, стратегически продуманное ослабление карантина не менее важно для предотвращения повторных вспышек. Исследование выявляет ключевые эпидемиологические пороговые значения, такие как скорость передачи, уровень выздоровления и базовое репродуктивное число $(\mathfrak{R}_0)$, которые определяют эффективность карантина. Аналитически определяется оптимальная доля изолированных лиц, необходимая для минимизации общего числа заражений в условиях постоянного иммунитета. С экономической точки зрения, влияние карантина оценивается через динамику благосостояния населения: показано, что экономические последствия зависят от доли изолированных, но сохраняющих экономическую активность граждан. Чем выше эта доля, тем лучше сохраняется благосостояние даже при фиксированных эпидемиологических параметрах. Эти выводы предоставляют властям практические рекомендации для разработки сбалансированных карантинных стратегий, способных сдерживать распространение болезней и одновременно защищать экономическую стабильность в будущих кризисах.

Epidemics severely destabilize economies by reducing productivity, weakening consumer spending, and overwhelming public infrastructure, often culminating in economic recessions. The COVID-19 pandemic underscored the critical role of nonpharmaceutical interventions, such as lockdowns, in containing infectious disease transmission. This study investigates how the progression of epidemics and the implementation of lockdown policies shape the economic well-being of populations. By integrating compartmental ordinary differential equation (ODE) models, the research analyzes the interplay between epidemic dynamics and economic outcomes, particularly focusing on how varying lockdown intensities influence both disease spread and population wealth. Findings reveal that epidemics inflict significant economic damage, but timely and stringent lockdowns can mitigate healthcare system overload by sharply reducing infection peaks and delaying the epidemic’s trajectory. However, carefully timed lockdown relaxation is equally vital to prevent resurgent outbreaks. The study identifies key epidemiological thresholds—such as transmission rates, recovery rates, and the basic reproduction number $(\mathfrak{R}0)$ — that determine the effectiveness of lockdowns. Analytically, it pinpoints the optimal proportion of isolated individuals required to minimize total infections in scenarios where permanent immunity is assumed. Economically, the analysis quantifies lockdown impacts by tracking population wealth, demonstrating that economic outcomes depend heavily on the fraction of isolated individuals who remain economically productive. Higher proportions of productive individuals during lockdowns correlate with better wealth retention, even under fixed epidemic conditions. These insights equip policymakers with actionable frameworks to design balanced lockdown strategies that curb disease spread while safeguarding economic stability during future health crises.

В данной работе предлагается и исследуется дискретная по времени математическая модель динамики численности популяции с сезонным характером размножения, позволяющая учесть влияние плотностно-зависимой регуляции и половой структуры на динамику численности животных. При построении модели предполагается, что рождаемость популяции зависит от численности самок. Регуляция роста численности осуществляется путем лимитирования выживаемости молоди, когда с увеличением численности популяции экспоненциально уменьшается выживаемость неполовозрелых особей. Проведено аналитическое и численное исследование предложенной модели. Показано, что когда в популяции выживает более половины самок и самцов, то популяция характеризуется устойчивой динамикой в большей части параметрического пространства при весьма высоком коэффициенте рождаемости. При этом колебания возникают, когда лимитирование выживаемости самок более выражено, чем лимитирование выживаемости самцов. Примечательно, что увеличение интенсивности лимитирования выживаемости самцов может стабилизировать динамику популяции, что особенно ярко проявляется при малой доле новорожденных самок. В результате исследования выявлено, что в зависимости от значений популяционных параметров модель может демонстрировать стабильную, периодическую и нерегулярную динамику. При этом возможно возникновение мультистабильности, когда вариация текущей численности в результате внешних факторов может привести к смене наблюдаемого режима динамики. С целью апробации предложенной структурированной модели предложен подход, позволяющий оценивать демографические параметры реальных популяций на основе их общей численности. Ключевая идея заключается в сведении дискретной во времени двухкомпонентной модели динамики численности лимитированной популяции с половой структурой к уравнению с запаздыванием, зависящему только от общей численности. В этом случае начальная половая структура определяется через общую численность популяции и зависит от демографических параметров популяции. Полученное одномерное уравнение применялось к описанию и оценке популяционных параметров, характеризующих половую структуру популяции конкретных видов, а именно охотничьих видов копытных Еврейской автономной области. Продемонстрировано, что уравнение с запаздыванием от общей численности довольно хорошо описывает реальную динамику копытных, улавливая тенденции изменения численности, и, как результат, вполне может применяться к описанию и анализу их динамики. Полученные в рамках работы точечные оценки располагаются в области биологически содержательных значений параметров и демонстрируют динамику численности популяций, подобную наблюдаемой в природе. Показано, что динамика численности популяций лося, косули и кабарги соответствует стабильному типу. Возникающие ежегодные колебания численности копытных в основном обусловлены влиянием внешних факторов и представляют собой отклонения от состояния равновесия. В целом полученные точечные оценки позволяют анализировать динамику структурированной популяции с сопутствующим краткосрочным прогнозом.

This study proposes and analyzes a discrete-time mathematical model of population dynamics with seasonal reproduction, taking into account the density-dependent regulation and sex structure. In the model, population birth rate depends on the number of females, while density is regulated through juvenile survival, which decreases exponentially with increasing total population size. Analytical and numerical investigations of the model demonstrate that when more than half of both females and males survive, the population exhibits stable dynamics even at relatively high birth rates. Oscillations arise when the limitation of female survival exceeds that of male survival. Increasing the intensity of male survival limitation can stabilize population dynamics, an effect particularly evident when the proportion of female offspring is low. Depending on parameter values, the model exhibits stable, periodic, or irregular dynamics, including multistability, where changes in current population size driven by external factors can shift the system between coexisting dynamic modes. To apply the model to real populations, we propose an approach for estimating demographic parameters based on total abundance data. The key idea is to reduce the two-component discrete model with sex structure to a delay equation dependent only on total population size. In this formulation, the initial sex structure is expressed through total abundance and depends on demographic parameters. The resulting one-dimensional equation was applied to describe and estimate demographic characteristics of ungulate populations in the Jewish Autonomous Region. The delay equation provides a good fit to the observed dynamics of ungulate populations, capturing long-term trends in abundance. Point estimates of parameters fall within biologically meaningful ranges and produce population dynamics consistent with field observations. For moose, roe deer, and musk deer, the model suggests predominantly stable dynamics, while annual fluctuations are primarily driven by external factors and represent deviations from equilibrium. Overall, these estimates enable the analysis of structured population dynamics alongside short-term forecasting based on total abundance data.

Проведение эффективной региональной политики с целью стабилизации производства невозможно без анализа динамики протекающих экономических процессов. Данная статья посвящена разработке математической модели, отражающей взаимодействие нескольких экономических агентов с учетом их интересов. Разработка такой модели и ее исследование может рассматриваться в качестве важного шага в решении теоретических и практических проблем управления экономическим ростом.

An effective regional policy in order to stabilize production is impossible without an analysis of the dynamics of economic processes taking place. This article focuses on developing a mathematical model reflecting the interaction of several economic agents with regard to their interests. Developing such a model and its study can be considered as an important step in solving theoretical and practical problems of managing growth.

Для исследования динамики неоднородной полинуклеотидной цепочки ДНК была использована упрощенная Y-модель с нулевым диссипативным членом. На основе этой модели с помощью численных методов были проведены расчеты, демонстрирующие поведение нелинейного конформационного возмущения (кинка), распространяющегося вдоль неоднородной полинуклеотидной цепи, состоящей из двух разных однородных последовательностей нуклеотидов. Как показал численный анализ, нелинейное возмущение в виде кинка, распространяющееся вдоль рассматриваемой модельной молекулы ДНК, может вести себя тремя разными способами. При достижении границы между двумя однородными последовательностями, состоящими из разных типов оснований, кинк может: а) отразиться, б) пройти границу с ускорением (увеличить скорость), в) пройти границу с замедлением (уменьшить скорость).

To research dynamics of inhomogeneous polynucleotide DNA chain the Y-model with no dissipation term was used. Basing on this model using numerical methods calculations were carried out, which have shown the behaviour of nonlinear conformational excitation (kink), spreading along the inhomogeneous polynucleotide chain, consisting of two different homogeneous nucleotide sequences. As numerical analysis shows there are three ways of behaviour of the nonlinear kink excitation spreading along the DNA chain. After reaching the interface between two homogeneous sequences consisting of different types of bases kink can a) reflect, b) pass the interface with acceleration (increase its velocity), c) pass the interface with deceleration (decrease its velocity).

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш–Розе в параметрической зоне сосуществования устойчивых равновесий и предельных циклов. Изучается явление индуцированных шумом переходов между аттракторами. Под воздействием случайных возмущений равновесные и периодические режимы объединяются в пачечные: система демонстрирует чередование малых колебаний около равновесия с осцилляциями больших амплитуд. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности и предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

We study the stochastic dynamics of the two-dimensional Hindmarsh–Rose model in the parametrical zone of coexisting stable equilibria and limit cycles. The phenomenon of noise-induced transitions between the attractors is investigated. Under the random disturbances, equilibrium and periodic regimes combine in bursting regime: the system demonstrates an alternation of small fluctuations near the equilibrium with high amplitude oscillations. This effect is analysed using the stochastic sensitivity function technique and a method of estimation of critical values for noise intensity is proposed.

Проблема видового разнообразия является предметом постоянного внимания со стороны биологов и экологов. Она исследуется и в моделях сообществ. Принцип конкурентного исключения имеет прямое отношение к этой проблеме. Он означает невозможность сосуществования в сообществе видов, когда их количество превосходит число влияющих взаимно независимых факторов. Известный советский микробиолог Г. Ф. Гаузе высказал и экспериментально обосновал схожий принцип о том, что каждый вид имеет свою собственную экологическую нишу и никакие два разных вида не могут занять одну и ту же экологическую нишу. Если под влияющими факторами понимать плотностнозависимые контролирующие рост факторы и экологическую нишу описывать с помощью этих факторов, то принцип Гаузе и принцип конкурентного исключения, по сути, идентичны. К настоящему времени известны многие примеры нарушения этого принципа в природных системах. Одним из таких примеров является сообщество видов планктона, сосуществующих на ограниченном пространстве с небольшим числом влияющих факторов. В современной экологии данный парадокс известен как парадокс планктона или парадокс Хатчинсона. Объяснения этому варьируют от неточного выявления набора факторов до различных видов пространственной и временной неоднородностей. Для двухвидового сообщества с одним фактором влияния с нелинейными функциями роста и смертности доказана возможность устойчивого сосуществования видов. В этой работе рассматриваются ситуации нелинейности и пространственной неоднородности в двухвидовом сообществе с одним фактором влияния. Показано, что при нелинейных зависимостях от плотности популяции устойчивое стационарное сосуществование видов возможно в широком диапазоне изменения параметров. Пространственная неоднородность способствует нарушению принципа конкурентного исключения и в случаях неустойчивости стационарного состояния по Тьюрингу. В соответствии с общей теорией возникают квазистационарные устойчивые структуры сосуществования двух видов при одном влияющем факторе. В работе показано, что неустойчивость по Тьюрингу возможна, если хотя бы один из видов оказывает положительное влияние на фактор. Нелинейность модели по фазовым переменным и ее пространственная распределенность порождают нарушения принципа конкурентного исключения (и принципа Гаузе) как в виде устойчивых пространственно-однородных состояний, так и в виде квазиустойчивых пространственно-неоднородных структур при неустойчивом стационарном состоянии сообщества.

Execution or violation of the principle of competitive exclusion in communities is the subject of many studies. The principle of competitive exclusion means that coexistence of species in community is impossible if the number of species exceeds the number of controlling mutually independent factors. At that time there are many examples displaying the violations of this principle in the natural systems. The explanations for this paradox vary from inexact identification of the set of factors to various types of spatial and temporal heterogeneities. One of the factors breaking the principle of competitive exclusion is intraspecific competition. This study holds the model of community with two species and one influencing factor with density-dependent mortality and spatial heterogeneity. For such models possibility of the existence of stable equilibrium is proved in case of spatial homogeneity and negative effect of the species on the factor. Our purpose is analysis of possible variants of dynamics of the system with spatial heterogeneity under the various directions of the species effect on the influencing factor. Numerical analysis showed that there is stable coexistence of the species agreed with homogenous spatial distributions of the species if the species effects on the influencing factor are negative. Density-dependent mortality and spatial heterogeneity lead to violation of the principle of competitive exclusion when equilibriums are Turing unstable. In this case stable spatial heterogeneous patterns can arise. It is shown that Turing instability is possible if at least one of the species effects is positive. Model nonlinearity and spatial heterogeneity cause violation of the principle of competitive exclusion in terms of both stable spatial homogenous states and quasistable spatial heterogeneous patterns.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

We consider “predator – prey” model taking into account the competition of prey, predator for different from the prey resources, and their interaction described by the second type Holling trophic function. An analysis of the attractors is carried out depending on the coefficient of competition of predators. In the deterministic case, this model demonstrates the complex behavior associated with the local (Andronov –Hopf and saddlenode) and global (birth of a cycle from a separatrix loop) bifurcations. An important feature of this model is the disappearance of a stable cycle due to a saddle-node bifurcation. As a result of the presence of competition in both populations, parametric zones of mono- and bistability are observed. In parametric zones of bistability the system has either coexisting two equilibria or a cycle and equilibrium. Here, we investigate the geometrical arrangement of attractors and separatrices, which is the boundary of basins of attraction. Such a study is an important component in understanding of stochastic phenomena. In this model, the combination of the nonlinearity and random perturbations leads to the appearance of new phenomena with no analogues in the deterministic case, such as noise-induced transitions through the separatrix, stochastic excitability, and generation of mixed-mode oscillations. For the parametric study of these phenomena, we use the stochastic sensitivity function technique and the confidence domain method. In the bistability zones, we study the deformations of the equilibrium or oscillation regimes under stochastic perturbation. The geometric criterion for the occurrence of such qualitative changes is the intersection of confidence domains and the separatrix of the deterministic model. In the zone of monostability, we evolve the phenomena of explosive change in the size of population as well as extinction of one or both populations with minor changes in external conditions. With the help of the confidence domains method, we solve the problem of estimating the proximity of a stochastic population to dangerous boundaries, upon reaching which the coexistence of populations is destroyed and their extinction is observed.

В работе представлена модель типа «хищник–жертва», описывающая пространственно-временную динамику планктонного сообщества с учетом биогенных элементов. Система описывается уравнениями типа «реакция–диффузия–адвекция» в одномерной области, соответствующей вертикальному столбу воды в поверхностном слое. Адвективный член уравнения хищника описывает вертикальные перемещения зоопланктона в направлении градиента фитопланктона. Исследование посвящено определению условий возникновения пространственно-неоднородных структур, генерируемых системой под воздействием этих перемещений (таксиса). В предположении равных коэффициентов диффузии всех компонент модели анализируется неустойчивость системы в окрестности гомогенного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям.

В результате линейного анализа получены условия для возникновения неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости. Определено, что соотношения между параметрами локальной кинетики системы определяют возможность потери устойчивости системой и тип неустойчивости. В качестве бифуркационного параметра в исследовании рассматривается скорость таксиса. Показано, что при малых значениях этого параметра система устойчива, а начиная с некоторого критического значения устойчивость может теряться, и система способна генерировать либо стационарные пространственно-неоднородные структуры, либо структуры, неоднородные и по времени, и по пространству. Полученные результаты согласуются с ранними исследованиями подобных двухкомпонентных моделей.

В работе получен интересный результат, указывающий, что бесконечное увеличение скорости таксиса не будет существенно менять вид этих структур. Выявлено, что существует предел величины волнового числа, соответствующего самой неустойчивой моде. Это значение и определяет вид пространственной структуры. В подтверждение полученных результатов в работе приведены варианты пространственно-временной динамики компонент модели в случае неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости.

The paper deals with a prey-predator model, which describes the spatiotemporal dynamics of plankton community and the nutrients. The system is described by reaction-diffusion-advection equations in a onedimensional vertical column of water in the surface layer. Advective term of the predator equation represents the vertical movements of zooplankton with velocity, which is assumed to be proportional to the gradient of phytoplankton density. This study aimed to determine the conditions under which these movements (taxis) lead to the spatially heterogeneous structures generated by the system. Assuming diffusion coefficients of all model components to be equal the instability of the system in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations is analyzed.

Necessary conditions for the flow-induced instability were obtained through linear stability analysis. Depending on the local kinetics parameters, increasing the taxis rate leads to Turing or wave instability. This fact is in good agreement with conditions for the emergence of spatial and spatiotemporal patterns in a minimal phytoplankton–zooplankton model after flow-induced instabilities derived by other authors. This mechanism of generating patchiness is more general than the Turing mechanism, which depends on strong conditions on the diffusion coefficients.

While the taxis exceeding a certain critical value, the wave number corresponding to the fastest growing mode remains unchanged. This value determines the type of spatial structure. In support of obtained results, the paper presents the spatiotemporal dynamics of the model components demonstrating Turing-type pattern and standing wave pattern.

Рассматривается упрощенный неявный метод Эйлера как альтернатива явному методу Эйлера, являющемуся наиболее распространенным в области численного решения уравнений, описывающих электрическую активность нервных клеток и кардиоцитов. Многие модели электрофизиологии имеют высокую степень жесткости, так как описывают динамику процессов с существенно разными характерными временами: миллисекундная деполяризации предшествует значительно более медленной гиперполяризации при формировании потенциала действия в электровозбудимых клетках. Оценка степени жесткости в работе проводится по формуле, не требующей вычисления собственных значений матрицы Якоби системы ОДУ. Эффективность численных методов сравнивается на примере типичных представителей из классов детальных и концептуальных моделей возбудимых клеток: модели Ходжкина–Хаксли для нейронов и Алиева–Панфилова для кардиоцитов. Сравнение эффективности численных методов проведено с использованием распространенных в биомедицинских задачах видов норм. Исследовано влияние степени жесткости моделей на величину ускорения при использовании упрощенного неявного метода: выигрыш во времени при высокой степени жесткости зафиксирован только для модели Ходжкина–Хаксли. Обсуждаются целесообразность применения простых методов и методов высоких порядков точности для решения задач электрофизиологии, а также устойчивость методов. Обсуждение позволяет прояснить вопрос о причинах отказа от использования высокоточных методов в пользу простых при проведении практических расчетов. На примере модели Ходжкина–Хаксли c различными степенями жесткости вычислены производные решения высших порядков и обнаружены их значительные максимальные абсолютные значения. Последние входят в формулы констант аппроксимации и, следовательно, нивелируют малость множителя, зависящего от порядка точности. Этот факт не позволяет считать погрешности численного метода малыми. Проведенный на качественном уровне анализ устойчивости явного метода Эйлера позволяет оценить вид функции параметров модели для описания границы области устойчивости. Описание границы области устойчивости, как правило, используется при априорном принятии решения о выборе величины шага численного интегрирования.

A simplified implicit Euler method was analyzed as an alternative to the explicit Euler method, which is a commonly used method in numerical modeling in electrophysiology. The majority of electrophysiological models are quite stiff, since the dynamics they describe includes a wide spectrum of time scales: a fast depolarization, that lasts milliseconds, precedes a considerably slow repolarization, with both being the fractions of the action potential observed in excitable cells. In this work we estimate stiffness by a formula that does not require calculation of eigenvalues of the Jacobian matrix of the studied ODEs. The efficiency of the numerical methods was compared on the case of typical representatives of detailed and conceptual type models of excitable cells: Hodgkin–Huxley model of a neuron and Aliev–Panfilov model of a cardiomyocyte. The comparison of the efficiency of the numerical methods was carried out via norms that were widely used in biomedical applications. The stiffness ratio’s impact on the speedup of simplified implicit method was studied: a real gain in speed was obtained for the Hodgkin–Huxley model. The benefits of the usage of simple and high-order methods for electrophysiological models are discussed along with the discussion of one method’s stability issues. The reasons for using simplified instead of high-order methods during practical simulations were discussed in the corresponding section. We calculated higher order derivatives of the solutions of Hodgkin-Huxley model with various stiffness ratios; their maximum absolute values appeared to be quite large. A numerical method’s approximation constant’s formula contains the latter and hence ruins the effect of the other term (a small factor which depends on the order of approximation). This leads to the large value of global error. We committed a qualitative stability analysis of the explicit Euler method and were able to estimate the model’s parameters influence on the border of the region of absolute stability. The latter is used when setting the value of the timestep for simulations a priori.

При заболеваниях человека в результате бактериального заражения для наблюдения за ходом болезни используются различные характеристики организма. В настоящее время одним из таких индикаторов принимается динамика концентраций цитокинов, вырабатываемых в основном клетками иммунной системы. В организме человека и многих видов животных присутствуют эти низкомолекулярные белки. Исследование цитокинов имеет важное значение для интерпретации нарушений функциональной состоятельности иммунной системы организма, оценки степени тяжести, мониторинга эффективности проводимой терапии, прогноза течения и исхода лечения. При заболевании возникает цитокиновый отклик организма, указывающий на характеристики течения болезни. Для исследования закономерностей такой индикации проведены эксперименты на лабораторных мышах. В работе анализируются экспериментальные данные о развитии пневмонии и лечении несколькими препаратами при бактериальном заражении мышей. В качестве препаратов использовались иммуномодулирующие препараты «Ронколейкин», «Лейкинферон» и «Тинростим». Данные представлены динамикой концентраций двух видов цитокинов в легочной ткани и крови животных. Многосторонний статистический и нестатистический анализ данных позволил выявить общие закономерности изменения концентраций цитокинов в организме и связать их со свойствами лечебных препаратов. Исследуемые цитокины «Интерлейкин-10» (ИЛ-10) и «Интерферон Гамма» (ИФН$\gamma$) у зараженных мышей отклоняются от нормального уровня интактных животных, указывая на развитие заболевания. Изменения концентраций цитокинов в группах лечимых мышей сравниваются с этими показателями в группе здоровых (не зараженных) мышей и группе зараженных нелеченных особей. Сравнение делается по группам особей, так как концентрации цитокинов индивидуальны и значительно отличаются у разных особей. В этих условиях только группы особей могут указать на закономерности процессов течения болезни. Эти группы мышей наблюдались в течение двух недель. Динамика концентраций цитокинов указывает на характеристики течения болезни и эффективность применяемых лечебных препаратов. Воздействие лечебного препарата на организмы отслеживается по расположению указанных групп особей в пространстве концентраций цитокинов. В этом пространстве используется расстояние Хаусдорфа между множествами векторов концентраций цитокинов у особей, основанное на евклидовом расстоянии между элементами этих множеств. Выяснено, что препараты «Ронколейкин» и «Лейкинферон» оказывают в целом сходное между собой и отличное от препарата «Тинростим» воздействие на течение болезни.

When person`s diseases is result of bacterial infection, various characteristics of the organism are used for observation the course of the disease. Currently, one of these indicators is dynamics of cytokine concentrations are produced, mainly by cells of the immune system. There are many types of these low molecular weight proteins in human body and many species of animals. The study of cytokines is important for the interpretation of functional disorders of the body's immune system, assessment of the severity, monitoring the effectiveness of therapy, predicting of the course and outcome of treatment. Cytokine response of the body indicating characteristics of course of disease. For research regularities of such indication, experiments were conducted on laboratory mice. Experimental data are analyzed on the development of pneumonia and treatment with several drugs for bacterial infection of mice. As drugs used immunomodulatory drugs “Roncoleukin”, “Leikinferon” and “Tinrostim”. The data are presented by two types cytokines` concentration in lung tissue and animal blood. Multy-sided statistical ana non statistical analysis of the data allowed us to find common patterns of changes in the “cytokine profile” of the body and to link them with the properties of therapeutic preparations. The studies cytokine “Interleukin-10” (IL-10) and “Interferon Gamma” (IFN$\gamma$) in infected mice deviate from the normal level of infact animals indicating the development of the disease. Changes in cytokine concentrations in groups of treated mice are compared with those in a group of healthy (not infected) mice and a group of infected untreated mice. The comparison is made for groups of individuals, since the concentrations of cytokines are individual and differ significantly in different individuals. Under these conditions, only groups of individuals can indicate the regularities of the processes of the course of the disease. These groups of mice were being observed for two weeks. The dynamics of cytokine concentrations indicates characteristics of the disease course and efficiency of used therapeutic drugs. The effect of a medicinal product on organisms is monitored by the location of these groups of individuals in the space of cytokine concentrations. The Hausdorff distance between the sets of vectors of cytokine concentrations of individuals is used in this space. This is based on the Euclidean distance between the elements of these sets. It was found that the drug “Roncoleukin” and “Leukinferon” have a generally similar and different from the drug “Tinrostim” effect on the course of the disease.