Все выпуски

Работа посвящена построению и анализу разностных схем для системы уравнений гемодинамики, полученной осреднением уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости по поперечному сечению сосуда. Рассматриваются модели крови как идеальной и как вязкой ньютоновской жидкости. Предложены разностные схемы, аппроксимирующие уравнения со вторым порядком по пространственной переменной. Алгоритмы расчета по построенным схемам основаны на методе расщепления по физическим процессам, в рамках которого на одном шаге по времени уравнения модели рассматриваются раздельно и последовательно. Практическая реали- зация предложенных схем приводит к последовательному решению на каждом шаге по времени двух линейных систем с трехдиагональными матрицами. Показано, что схемы являются $\rho$-устойчивыми при незначительных ограничениях на шаг по времени в случае достаточно гладких решений.

При решении задачи с известным аналитическим решением показано, что имеет место сходимость численного решения со вторым порядком по пространственной переменной в широком диапазоне значений шага сетки. При проведении вычислительных экспериментов по моделированию течения крови в модельных сосудистых системах производилось сравнение предложенных схем с такими известными явными схемами, как схема Лакса – Вендроффа, Лакса – Фридрихса и МакКормака. При решении задач показано, что результаты, полученные с помощью предложенных схем, близки к результатам расчетов, полученных по другим вычислительными схемам, в том числе построенным на основе других методов дискретизации. Показано, что в случае разных пространственных сеток время расчетов для предложенных схем значительно меньше, чем в случае явных схем, несмотря на необходимость решения на каждом шаге систем линейных уравнений. Недостатками схем является ограничение на шаг по времени в случае разрывных или сильно меняющихся решений и необходимость использования экстраполяции значений в граничных точках сосудов. В связи с этим актуальными для дальнейших исследований являются вопросы об адаптации схем расщепления к решению задач с разрывными решениями и в случаях специальных типов условий на концах сосудов.

Статья посвящена изучению применения методов выпуклой оптимизации для решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца, которая является некорректной, поскольку уравнение относится к эллиптическому типу. Задача Коши формулируется как обратная задача и сводится к задаче выпуклой оптимизации в гильбертовом пространстве. Оптимизируемый функционал и его градиент вычисляются с помощью решения краевых задач, которые, в свою очередь, корректны и могут быть приближенно решены стандартными численными методами, такими как конечно-разностные схемы и разложения в ряды Фурье. Экспериментально исследуются сходимость применяемого быстрого градиентного метода и качество получаемого таким образом решения. Эксперимент показывает, что ускоренный градиентный метод — метод подобных треугольников — сходится быстрее, чем неускоренный метод. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительной сложности полученных алгоритмов. Установлено, что разложения в ряды Фурье превосходят конечно-разностные схемы по скорости вычислений и улучшают качество получаемого решения. Сделана попытка использовать рестарты метода подобных треугольников после уменьшения невязки функционала вдвое. В этом случае сходимость не улучшается, что подтверждает отсутствие сильной выпуклости. Эксперименты показывают, что неточность вычислений более адекватно описывается аддитивной концепцией шума в оракуле первого порядка. Этот фактор ограничивает достижимое качество решения, но ошибка не накапливается. Полученные результаты показывают, что использование ускоренных градиентных методов оптимизации позволяет эффективно решать обратные задачи.

Задачи негладкой оптимизации нередко возникают во многих приложениях. Вопросы разработки эффективных вычислительных процедур для негладких задач в пространствах больших размерностей весьма актуальны. В таких случаях разумно применятьмет оды первого порядка (субградиентные методы), однако в достаточно общих ситуациях они приводят к невысоким скоростным гарантиям. Одним из подходов к этой проблеме может являться выделение подкласса негладких задач, допускающих относительно оптимистичные результаты о скорости сходимости в пространствах больших размерностей. К примеру, одним из вариантов дополнительных предположений может послужитьуслови е острого минимума, предложенное в конце 1960-х годов Б. Т. Поляком. В случае доступности информации о минимальном значении функции для липшицевых задач с острым минимумом известен субградиентный метод с шагом Б. Т. Поляка, который гарантирует линейную скорость сходимости по аргументу. Такой подход позволил покрыть ряд важных прикладных задач (например, задача проектирования точки на выпуклый компакт или задача отыскания общей точки системы выпуклых множеств). Однако как условие доступности минимального значения функции, так и само условие острого минимума выглядят довольно ограничительными. В этой связи в настоящей работе предлагается обобщенное условие острого минимума, аналогичное известному понятию неточного оракула. Предложенный подход позволяет расширить класс применимости субградиентных методов с шагом Б. Т. Поляка на ситуации неточной информации о значении минимума, а также неизвестной константы Липшица целевой функции. Более того, использование в теоретической оценке качества выдаваемого методом решения локальных аналогов глобальных характеристик целевой функции позволяет применять результаты такого типа и к более широким классам задач. Показана возможностьпр именения предложенного подхода к сильно выпуклым негладким задачам и выполнено экспериментальное сравнение с известным оптимальным субградиентным методом на таком классе задач. Более того, получены результаты о применимости предложенной методики для некоторых типов задач с релаксациями выпуклости: недавно предложенное понятие слабой $\beta$-квазивыпуклости и обычной квазивыпуклости. Исследовано обобщение описанной методики на ситуацию с предположением о доступности на итерациях $\delta$-субградиента целевой функции вместо обычного субградиента. Для одного из рассмотренных методов найдены условия, при которых на практике можно отказаться от проектирования итеративной последовательности на допустимое множество поставленной задачи.

Сеточно-характеристический метод успешно применяется для решения различных гиперболических систем уравнений в частных производных (например, уравнения переноса, акустики, линейной упругости). Он позволяет корректно строить алгоритмы на контактных границах и границах области интегрирования, в определенной степени учитывать физику задачи (распространение разрывов вдоль характеристических поверхностей), обладает важнымдля рассматриваемых задач свойством монотонности. В случае двумерных и трехмерных задач используется процедура расщепления по пространственным направлениям, позволяющая решить исходную систему путем последовательного решения нескольких одномерных систем. На настоящий момент во множестве работ используются схемы до третьего порядка точности при решении одномерных задач и простейшие схемы расщепления, которые в общем случае не позволяют получить порядок точности по времени выше второго. Значительное развитие получило направление операторного расщепления, доказана возможность повышения порядка сходимости многомерных схем. Его особенностью является необходимость выполнения шага в обратном направлении по времени, что порождает сложности, например, для параболических задач.

В настоящей работе схемы расщепления 3-го и 4-го порядка были применены непосредственно к решению двумерной гиперболической системы уравнений в частных производных линейной теории упругости. Это позволило повысить итоговый порядок сходимости расчетного алгоритма. В работе эмпирически оценена сходимость по нормам $L_1$ и $L_\infty$ с использованиемана литических решений определяющей системы достаточной степени гладкости. Для получения объективных результатов рассмотрены случаи продольных и поперечных плоских волн, распространяющихся как вдоль диагонали расчетной ячейки, так и не вдоль нее. Проведенные численные эксперименты подтверждают повышение точности метода и демонстрируют теоретически ожидаемый порядок сходимости. При этом увеличивается в 3 и в 4 раза время моделирования (для схем 3-го и 4-го порядка соответственно), но не возрастает потребление оперативной памяти. Предложенное усовершенствование вычислительного алгоритма сохраняет простоту его параллельной реализации на основе пространственной декомпозиции расчетной сетки.

В первой части работы получена оценка скорости сходимости ранее известного ускоренного метода первого порядка AGMsDR на классе задач минимизации, вообще говоря, невыпуклых функций с $M$-липшицевым градиентом и удовлетворяющих условию Поляка – Лоясиевича. При реализации метода не требуется знать параметр $\mu^{PL}>0$ из условия Поляка – Лоясиевича, при этом метод демонстрирует линейную скорость сходимости (сходимость со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем $\left.\left(1 - \frac{\mu^{PL}}{M}\right)\right)$. Ранее для метода была доказана сходимость со скоростью $O\left(\frac1{k^2}\right)$ на классе выпуклых задач с $M$-липшицевым градиентом. А также сходимость со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой $\left(1 - \sqrt{\frac{\mu^{SC}}{M}}\right)$, но только если алгоритму известно значение параметра сильной выпуклости $\mu^{SC}>0$. Новизна результата заключается в том, что удается отказаться от использования методом значения параметра $\mu^{SC}>0$ и при этом сохранить линейную скорость сходимости, но уже без корня в знаменателе прогрессии.

Во второй части представлена новая модификация метода AGMsDR для решения задач, допускающих альтернированную минимизацию (Alternating AGMsDR). Доказываются аналогичные оценки скорости сходимости на тех же классах оптимизационных задач.

Таким образом, представлены адаптивные ускоренные методы с оценкой сходимости $O\left(\min\left\lbrace\frac{M}{k^2},\,\left(1-{\frac{\mu^{PL}}{M}}\right)^{(k-1)}\right\rbrace\right)$ на классе выпуклых функций с $M$-липшицевым градиентом, которые удовлетворяют условию Поляка – Лоясиевича. При этом для работы метода не требуются значения параметров $M$ и $\mu^{PL}$. Если же условие Поляка – Лоясиевича не выполняется, то можно утверждать, что скорость сходимости равна $O\left(\frac1{k^2}\right)$, но при этом методы не требуют никаких изменений.

Также рассматривается адаптивная каталист-оболочка неускоренного градиентного метода, которая позволяет доказать оценку скорости сходимости $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Проведено экспериментальное сравнение неускоренного градиентного метода с адаптивным выбором шага, ускоренного с помощью адаптивной каталист-оболочки с методами AGMsDR, Alternating AGMsDR, APDAGD (Adaptive Primal-Dual Accelerated Gradient Descent) и алгоритмом Синхорна для задачи, двойственной к задаче оптимального транспорта.

Проведенные вычислительные эксперименты показали более быструю работу метода Alternating AGMsDR по сравнению как с неускоренным градиентным методом, ускоренным с помощью адаптивной каталист-оболочки, так и с методом AGMsDR, несмотря на асимптотически одинаковые гарантии скорости сходимости $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Это может быть объяснено результатом о линейной скорости сходимости метода Alternating AGMsDR на классе задач, удовлетворяющих условию Поляка – Лоясиевича. Гипотеза была проверена на квадратичных задачах. Метод Alternating AGMsDR показал более быструю сходимость по сравнению с методом AGMsDR.

Проблема разработки эффективных численных методов для невыпуклых (в том числе негладких) задач довольно актуальна в связи с широкой распространенностью таких задач в приложениях. Работа посвящена субградиентным методам для задач минимизации липшицевых $\mu$-слабо выпуклых функций, причем не обязательно гладких. Хорошо известно, что для пространств большой размерности субградиентные методы имеют невысокие скоростные гарантии даже на классе выпуклых функций. При этом, если выделить подкласс функций, удовлетворяющих условию острого минимума, а также использовать шаг Поляка, можно гарантировать линейную скорость сходимости субградиентного метода. Однако возможны ситуации, когда значения функции или субградиента численному методу доступны лишь с некоторой погрешностью. В таком случае оценка качества выдаваемого этим численным методом приближенного решения может зависеть от величины погрешности. В настоящей статье для субградиентного метода с шагом Поляка исследованы ситуации, когда на итерациях используется неточная информация о значении целевой функции или субградиента. Доказано, что при определенном выборе начальной точки субградиентный метод с аналогом шага Поляка сходится со скоростью геометрической прогрессии на классе $\mu$-слабо выпуклых функций с острым минимумом в случае аддитивной неточности в значениях субградиента. В случае когда как значение функции, так и значение ее субградиента в текущей точке известны с погрешностью, показана сходимость в некоторую окрестность множества точных решений и получены оценки качества выдаваемого решения субградиентным методом с соответствующим аналогом шага Поляка. Также в статье предложен субградиентный метод с клиппированным шагом и получена оценка качества выдаваемого им решения на классе $\mu$-слабо выпуклых функций с острым минимумом. Проведены численные эксперименты для задачи восстановления матрицы малого ранга. Они показали, что эффективность исследуемых алгоритмов может не зависеть от точности локализации начального приближения внутри требуемой области, а неточность в значениях функции и субградиента может влиять на количество итераций, необходимых для достижения приемлемого качества решения, но почти не влияет на само качество решения.

Многие свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений определяются свойствами системы в вариациях. Продолженной системой будем называть систему ОДУ, включающую в себя одновременно исходную нелинейную систему и систему уравнений в вариациях. При исследовании свойств задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений переход к продолженным системам позволяет исследовать многие тонкие свойства решений. Например, переход к продолженной системе позволяет повысить порядок аппроксимации численных методов, дает подходы к построению функции чувствительности без использования процедур численного дифференцирования, позволяет применять для решения обратной задачи методы повышенного порядка сходимости. Использован метод Бройдена, относящийся к классу квазиньютоновских методов. Для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Розенброка с комплексными коэффициентами. В данном случае он эквивалентен методу второго порядка аппроксимации для продолженной системы.

В качестве примера использования подхода рассматривается несколько связанных между собой математических моделей свертывания крови. По результатам численных расчетов делается вывод о необходимости включения в систему уравнений описания петли положительных обратных связей по фактору свертывания XI. Приводятся оценки некоторых скоростей реакций на основе решения обратной задачи.

Рассматривается влияние освобождения фактора V при активации тромбоцитов. При модификации математической модели удалось достичь количественного соответствия по динамике производства тромбина с экспериментальными данными для искусственной системы. На основе анализа чувствительности проверена гипотеза об отсутствии влияния состава липидной мембраны (числа сайтов для тех или иных факторов системы свертывания, кроме сайтов для тромбина) на динамику процесса.

Вариационные неравенства представляют собой широкий класс задач, имеющих применение во множестве областей, включая теорию игр, экономику и машинное обучение. Однако, методы решения современных вариационных неравенств становятся все более вычислительно требовательными. Поэтому растет необходимость использовать распределенных подходов для решения таких задач за разумное время. В распределенной постановке вычислительным устройствам необходимо обмениваться данными друг с другом, что является узким местом. Существует три основных приема снижения стоимости и количества обменов данными: использование похожести локальных операторов, сжатие сообщений и применение локальных шагов на устройствах. Известен алгоритм, который использует эти три техники одновременно для решения распределенных вариационных неравенств и превосходит все остальные методы с точки зрения коммуникационных затрат. Однако этот метод работает только с так называемыми несмещенными операторами сжатия. Между тем использование смещенных операторов приводит к лучшим результатам на практике, но требует дополнительных модификаций алгоритма и больших усилий при доказательстве сходимости. В этой работе представляется новый алгоритм, который решает распределенные вариационные неравенства, используя похожесть локальных операторов, смещенное сжатие и локальные обновления на устройствах; выводится теоретическая сходимость такого алгоритма и проводятся эксперименты.

Предлагается семейство методов Гаусса – Ньютона для решения оптимизационных задачи систем нелинейных уравнений, основанное на идеях использования верхней оценки нормы невязки системы уравнений и квадратичной регуляризации. В работе представлено развитие схемы метода трех квадратов с добавлением моментного члена к правилу обновления искомых параметров в решаемой задаче. Получившаяся схема обладает несколькими замечательными свойствами. Во-первых, в работе алгоритмически описано целое параметрическое семейство методов, минимизирующих функционалы специального вида: композиции невязки нелинейного уравнения и унимодального функционала. Такой функционал, целиком согласующийся с парадигмой «серого ящика» в описании задачи, объединяет в себе большое количество решаемых задач, связанных с приложениями в машинном обучении, с задачами восстановления регрессионной зависимости. Во-вторых, полученное семейство методов описывается как обобщение нескольких форм алгоритма Левенберга – Марквардта, допускающих реализацию в том числе и в неевклидовых пространствах. В алгоритме, описывающем параметрическое семейство методов Гаусса – Ньютона, используется итеративная процедура, осуществляющая неточное параметризованное проксимальное отображение и сдвиг с помощью моментного члена. Работа содержит детальный анализ эффективности предложенного семейства методов Гаусса – Ньютона, выведенные оценки учитывают количество внешних итераций алгоритма решения основной задачи, точность и вычислительную сложность представления локальной модели и вычисления оракула. Для семейства методов выведены условия сублинейной и линейной сходимости, основанные на неравенстве Поляка – Лоясиевича. В обоих наблюдаемых режимах сходимости локально предполагается наличие свойства Липшица у невязки нелинейной системы уравнений. Кроме теоретического анализа схемы, в работе изучаются вопросы ее практической реализации. В частности, в проведенных экспериментах для субоптимального шага приводятся схемы эффективного вычисления аппроксимации наилучшего шага, что позволяет на практике улучшить сходимость метода по сравнению с оригинальным методом трех квадратов. Предложенная схема объединяет в себе несколько существующих и часто используемых на практике модификаций метода Гаусса – Ньютона, в добавок к этому в работе предложена монотонная моментная модификация семейства разработанных методов, не замедляющая поиск решения в худшем случае и демонстрирующая на практике улучшение сходимости метода.