Все выпуски

Проведено математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного излучения в замкнутой вращающейся квадратной полости. Рассматриваемая область решения имела две противоположные изотермические стенки, поддерживаемые при постоянных низкой и высокой температурах, остальные стенки являлись адиабатическими. Стенки считались диффузно-серыми. Анализируемая полость вращалась с постоянной угловой скоростью относительно оси, проходящей через центр полости и ориентированной ортогонально области решения. Математическая модель, сформулированная в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность скорости» на основе приближений Буссинеска и диатермичности рабочей среды, была реализована численно методом конечных разностей. Уравнения дисперсии завихренности и энергии решались на основе локально-одномерной схемы А. А. Самарского. Диффузионные слагаемые аппроксимировались центральными разностями, конвективные — с использованием монотонной аппроксимации А. А. Самарского. Разностные уравнения решались методом прогонки. Разностное уравнение Пуассона для функции тока решалось отдельно с применением метода последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов. Анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка. Разработанный вычислительный код был протестирован на множестве сеток, а также верифицирован путем сопоставления полученных результатов при решении модельной задачи с экспериментальными и численными данными других авторов.

Численные исследования нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного теплового излучения в замкнутой вращающейся полости проведены при следующих значениях безразмерных параметров: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. Все распределения были получены для двадцатого полного оборота полости, когда наблюдается установление периодической картины течения и теплопереноса. В результате анализа установлено, что при малой угловой скорости вращения полости возможна интенсификация течения, а дальнейший рост скорости вращения приводит к ослаблению конвективного течения. Радиационное число Нуссельта незначительно изменяется при варьировании числа Тейлора.

В данной работе приводятся нижние оценки скорости сходимости для класса численных методов выпуклой оптимизации первого порядка и выше, т. е. использующих градиент и старшие производные. Обсуждаются вопросы достижимости данных оценок. Приведенные в статье оценки замыкают известные на данный момент результаты в этой области. Отметим, что замыкание осуществляется без должного обоснования, поэтому в той общности, в которой данные оценки приведены в статье, их стоит понимать как гипотезу. Опишембо лее точно основной результат работы. Пожалуй, наиболее известнымм етодом второго порядка является метод Ньютона, использующий информацию о градиенте и матрице Гессе оптимизируемой функции. Однако даже для сильно выпуклых функций метод Ньютона сходится лишь локально. Глобальная сходимость метода Ньютона обеспечивается с помощью кубической регуляризации оптимизируемой на каждом шаге квадратичной модели функции [Nesterov, Polyak, 2006]. Сложность решения такой вспомогательной задачи сопоставима со сложностью итерации обычного метода Ньютона, т. е. эквивалентна по порядку сложности обращения матрицы Гессе оптимизируемой функции. В 2008 году Ю. Е. Нестеровымбыл предложен ускоренный вариант метода Ньютона с кубической регуляризацией [Nesterov, 2008]. В 2013 г. Monteiro – Svaiter сумели улучшить оценку глобальной сходимости ускоренного метода с кубической регуляризацией [Monteiro, Svaiter, 2013]. В 2017 году Arjevani – Shamir – Shiff показали, что оценка Monteiro – Svaiter оптимальна (не может быть улучшена более чем на логарифми- ческий множитель на классе методов 2-го порядка) [Arjevani et al., 2017]. Также удалось получить вид нижних оценок для методов порядка $p ≥ 2$ для задач выпуклой оптимизации. Отметим, что при этом для сильно выпуклых функций нижние оценки были получены только для методов первого и второго порядка. В 2018 году Ю. Е. Нестеров для выпуклых задач оптимизации предложил методы 3-го порядка, которые имеют сложность итерации сопоставимую со сложностью итерации метода Ньютона и сходятся почти по установленным нижним оценкам [Nesterov, 2018]. Таким образом, было показано, что методы высокого порядка вполне могут быть практичными. В данной работе приводятся нижние оценки для методов высокого порядка $p ≥ 3$ для сильно выпуклых задач безусловной оптимизации. Работа также может рассматриваться как небольшой обзор современного состояния развития численных методов выпуклой оптимизации высокого порядка.

Математические модели многих естественных процессов описываются дифференциальными уравнениями с особенностями решения. Классические численные методы для нахождения приближенного решения таких задач оказываются неэффективными. В настоящей работе рассмотрена краевая задача для векторного волнового уравнения в двумерной L-образной области. Наличие входящего угла величиной  $3\pi/2$ на границе расчетной области обусловливает сильную сингулярность задачи, то есть ее решение не принадлежит пространству Соболева $H^1$, в результате чего классические и специализированные численные методы имеют скорость сходимости ниже чем $O(h)$. Поэтому в работе введено специальное весовое множество вектор-функций. В этом множестве решение рассматриваемой краевой задачи определено как $R_ν$-обобщенное.

Для численного нахождения $R_ν$-обобщенного решения построен весовой векторный метод конечных элементов. Основным отличием этого метода является введение в базисные функции в качестве сомножителя специальной весовой функции в степени, определяемой свойствами решения исходной краевой задачи. Это позволило существенно повысить скорость сходимости приближенного решения к точному при измельчении конечноэлементной сетки. Кроме того, введенные базисные функции соленоидальны, что обеспечило точный учет условия соленоидальности искомого решения и предотвратило появление ложных численных решений.

Представлены результаты численного эксперимента для серии модельных задач различных типов: для задач, решение которых содержит только сингулярную составляющую, и для задач, решение которых содержит как сингулярную, так и регулярную составляющие. Результаты численного анализа показали, что при измельчении конечноэлементной сетки скорость сходимости построенного весового векторного метода конечных элементов составляет $O(h)$, что по порядку степени в полтора раза выше, чем в разработанных к настоящему времени специализированных методах решения рассматриваемой задачи: методе сингулярных дополнений и методе регуляризации. Другие особенности построенного метода — его алгоритмическая простота и естественность определения решения, что является преимуществом при проведении численных расчетов.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

В данной работе рассматривается задача восстановления матрицы корреспонденций для наблюдений реальных корреспонденций в г. Москве. Следуя общепринятому подходу [Гасников и др., 2013], транспортная сеть рассматривается как ориентированный граф, дуги которого соответствуют участкам дороги, а вершины графа — районы, из которых выезжают / в которые въезжают участники движения. Число жителей города считается постоянным. Задача восстановления матрицы корреспонденций состоит в расчете всех корреспонденций израйона $i$ в район $j$.

Для восстановления матрицы предлагается использовать один из наиболее популярных в урбанистике способов расчета матрицы корреспонценций — энтропийная модель. В работе, в соответствии с работой [Вильсон, 1978], приводится описание эволюционного обоснования энтропийной модели, описывается основная идея перехода к решению задачи энтропийно-линейного программирования (ЭЛП) при расчете матрицы корреспонденций. Для решения полученной задачи ЭЛП предлагается перейти к двойственной задаче и решать задачу относительно двойственных переменных. В работе описывается несколько численных методов оптимизации для решения данной задачи: алгоритм Синхорна и ускоренный алгоритм Синхорна. Далее приводятся численные эксперименты для следующих вариантов функций затрат: линейная функция затрат и сумма степенной и логарифмической функции затрат. В данных функциях затраты представляют из себя некоторую комбинацию среднего времени в пути и расстояния между районами, которая зависит от параметров. Для каждого набора параметров функции затрат рассчитывается матрица корреспонденций и далее оценивается качество восстановленной матрицы относительно известной матрицы корреспонденций. Мы предполагаем, что шум в восстановленной матрице корреспонденций является гауссовским, в результате в качестве метрики качества выступает среднеквадратичное отклонение. Данная задача представляет из себя задачу невыпуклой оптимизации. В статье приводится обзор безградиенных методов оптимизации для решения невыпуклых задач. Так как число параметров функции затрат небольшое, для определения оптимальных параметров функции затрат было выбрано использовать метод перебора по сетке значений. Таким образом, для каждого набора параметров рассчитывается матрица корреспонденций и далее оценивается качество восстановленной матрицы относительно известной матрицы корреспонденций. Далее по минимальному значению невязки для каждой функции затрат определяется, для какой функции затрат и при каких значениях параметров восстановленная матрица наилучшим образом описывает реальные корреспонденции.

Важную роль при построении математических моделей динамических систем играют обратные задачи, к которым, в частности, относится задача параметрической идентификации. В отличие от классических моделей, оперирующих точечными значениями, интервальные модели дают ограничения сверху и снизу на исследуемые величины. В работе рассматривается интерполяционный подход к решению интервальных задач параметрической идентификации динамических систем для случая, когда экспериментальные данные представлены внешними интервальными оценками. Цель предлагаемого подхода заключается в нахождении такой интервальной оценки параметров модели, при которой внешняя интервальная оценка решения прямой задачи моделирования содержала бы экспериментальные данные или минимизировала бы отклонение от них. В основе подхода лежит алгоритм адаптивной интерполяции для моделирования динамических систем с интервальными неопределенностями, позволяющий в явном виде получать зависимость фазовых переменных от параметров системы. Сформулирована задача минимизации расстояния между экспериментальными данными и модельным решением в пространстве границ интервальных оценок параметров модели. Получено выражение для градиента целевой функции. На репрезентативном наборе задач продемонстрированы эффективность и работоспособность предлагаемого подхода.

Разработана численная 2D-модель погружения холодной океанической плиты в толщу верхней мантии Земли, где этапу начального погружения плиты предшествует установление режима термогравитационной конвекции мантийного вещества. Модельным приближением мантии выступает двумерный образ несжимаемой ньютоновской квазижидкости в декартовой системе координат, где вследствие высокой вязкости среды уравнения мантийной конвекции принимаются в стоксовском приближении. Полагается, что вместе с плитой в верхние слои мантии поступает просочившаяся сюда морская вода. С глубиной рост давления и температуры приводит к определенным потерям ее легких фракций и флюидов, потерям воды и газов водосодержащих минералов плиты, перестройке их кристаллической решетки и, как следствие, фазовым превращениям. Эти потери обусловливают рост плотности плиты и неравномерность распределения вдоль плиты напряжений (начальные участки плиты оказываются менее плотными), что в последствии вместе с воздействием на плиту мантийных течений вызывает ее фрагментацию. Рассматривается состояние мантийной конвекции, когда плита и ее отдельные фрагменты опустились на подошву верхней мантии. Разработаны вычислительные схемы решения уравнений модели. Расчеты мантийной конвекции выполнены в терминах приближения Стокса для завихренности и функции тока, а для расчетов состояния и погружения плиты использован SPH. Выполнен ряд вычислительных экспериментов. Показано, что вследствие воздействия на плиту мантийной конвекции и с развитием вдоль плиты неоднородного поля напряжений происходит ее фрагментация. Следуя уравнениям модели, оценивается время финальной стадии субдукции, т. е. времени выхода всей океанической плиты на дно верхней мантии. В геодинамике этот процесс определяется коллизией плит, следует непосредственно за субдукцией и рассматривается обычно в качестве конечного этапа цикла Уилсона (т. е. цикла развития складчатых поясов).

Численными методами исследовано формирование пространственных структур, описываемых скалярным уравнением Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с нелокальными конкурентными потерями и конвекцией, линейно зависящей от пространственных переменных. Показано, что при соответствующем выборе значений параметров уравнения, начальная функция, локализованная в окрестности точки, трансформируется в функцию, локализованную в окрестности кольца с симметрично расположенными на нем локальными максимумами. Радиус кольца и число максимумов зависят от конвекции.

Построены модели жидкого гептана и циклогексана, макроскопические свойства которых соотвествуют таковым реальных растворителей. Спектры рассеяния рентгеновского излучения модельных систем также хорошо соотносятся с экспериментальными спектрами. Анализ радиальных функций распределения позволило установить принципиальную особенность молекулярного строения жидкого циклогексана. Изометричные молекулы циклогексана упакованы более плотно и упорядоченно. Более того, плотная упаковка приводит к дефициту свободного объема, что объясняет повышенную вязкость и температуру плавления циклогексана.

Работа посвящена проблеме анализа близости популяционной системы к опасным границам, при пересечении которых в системе разрушается устойчивое сосуществование взаимодействующих популяций. В качестве причины такого разрушения рассматриваются случайные возмущения, неизбежно присутствующие в любой живой системе. Это исследование проводится на примере известной модели взаимодействия популяций хищника и жертвы, учитывающей как стабилизирующий фактор конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы, так и дестабилизирующий фактор насыщения хищника. Для описания насыщения хищника используется трофическая функция Холлинга второго типа. Динамика системы исследуется в зависимости от коэффициента, характеризующего насыщение хищника, и коэффициента конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы. В работе дается параметрическое описание возможных режимов динамики детерминированной модели, исследуются локальные и глобальные бифуркации и выделяются зоны устойчивого сосуществования популяций в равновесном и осцилляционном режимах. Интересной математической особенностью данной модели, впервые рассмотренной Базыкиным, является глобальная бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы. В работе исследуется воздействие шума на равновесный и осцилляционный режимы сосуществования популяций хищника и жертвы. Показано, что увеличение интенсивности случайных возмущений может привести к значительным деформациям этих режимов вплоть до их разрушения. Целью данной работы является разработка конструктивного вероятностного критерия близости этой стохастической системы к опасным границам. Основой предлагаемого математического подхода является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей — доверительных эллипсов, окружающих устойчивое равновесие, и доверительных полос вокруг устойчивого цикла. Размеры доверительных областей пропорциональны интенсивности шума и стохастической чувствительности исходных детерминированных аттракторов. Геометрическим критерием выхода популяционной системы из режима устойчивого сосуществования является пересечение доверительных областей и соответствующих сепаратрис детерминированной модели. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок и результатов прямого численного моделирования.