Все выпуски

Задачи негладкой оптимизации нередко возникают во многих приложениях. Вопросы разработки эффективных вычислительных процедур для негладких задач в пространствах больших размерностей весьма актуальны. В таких случаях разумно применятьмет оды первого порядка (субградиентные методы), однако в достаточно общих ситуациях они приводят к невысоким скоростным гарантиям. Одним из подходов к этой проблеме может являться выделение подкласса негладких задач, допускающих относительно оптимистичные результаты о скорости сходимости в пространствах больших размерностей. К примеру, одним из вариантов дополнительных предположений может послужитьуслови е острого минимума, предложенное в конце 1960-х годов Б. Т. Поляком. В случае доступности информации о минимальном значении функции для липшицевых задач с острым минимумом известен субградиентный метод с шагом Б. Т. Поляка, который гарантирует линейную скорость сходимости по аргументу. Такой подход позволил покрыть ряд важных прикладных задач (например, задача проектирования точки на выпуклый компакт или задача отыскания общей точки системы выпуклых множеств). Однако как условие доступности минимального значения функции, так и само условие острого минимума выглядят довольно ограничительными. В этой связи в настоящей работе предлагается обобщенное условие острого минимума, аналогичное известному понятию неточного оракула. Предложенный подход позволяет расширить класс применимости субградиентных методов с шагом Б. Т. Поляка на ситуации неточной информации о значении минимума, а также неизвестной константы Липшица целевой функции. Более того, использование в теоретической оценке качества выдаваемого методом решения локальных аналогов глобальных характеристик целевой функции позволяет применять результаты такого типа и к более широким классам задач. Показана возможностьпр именения предложенного подхода к сильно выпуклым негладким задачам и выполнено экспериментальное сравнение с известным оптимальным субградиентным методом на таком классе задач. Более того, получены результаты о применимости предложенной методики для некоторых типов задач с релаксациями выпуклости: недавно предложенное понятие слабой $\beta$-квазивыпуклости и обычной квазивыпуклости. Исследовано обобщение описанной методики на ситуацию с предположением о доступности на итерациях $\delta$-субградиента целевой функции вместо обычного субградиента. Для одного из рассмотренных методов найдены условия, при которых на практике можно отказаться от проектирования итеративной последовательности на допустимое множество поставленной задачи.

Рассматривается возможность численного 3D-моделирования образования тромбов.

Известные детальные математические модели формирования тромбов включают в себя большое число уравнений. Для совмещения таких подробных математических моделей с гидродинамическими кодами для моделирования роста тромбов в кровотоке необходимы значительные вычислительные ресурсы. Разумной альтернативой представляется использование редуцированных математических моделей. В настоящей работе описаны две математические модели, основанные на редуцированной математической модели производства тромбина.

Первая модель описывает рост тромбоцитарного тромба в крупном сосуде (артерии). Течения в артериях существенно нестационарные, для артерий характерны пульсовые волны. Скорость течения крови в них велика по сравнению с венозным деревом. Редуцированная модель производства тромбина и тромбообразования в артериях относительно проста. Показано, что процессы производства тромбина хорошо описываются приближением нулевого порядка.

Для вен характерны более низкие скорости, меньшие градиенты и, как следствие, меньшие значения напряжений сдвига. Для моделирования производства тромбина в венах необходимо решать более сложную систему уравнений, учитывающую все нелинейные слагаемые в правых частях.

Моделирование проводится в индустриальном программном комплексе (ПК) FlowVision.

Проведенные тестовые расчеты показали адекватность редуцированных моделей производства тромбина и тромбообразования. В частности, расчеты демонстрируют формирование зоны возвратного течения за тромбом. За счет формирования такой зоны происходит медленный рост тромба в направлении вниз по потоку. В наветренной части тромба концентрация активных тромбоцитов мала, соответственно, рост тромба в направлении вверх по потоку незначителен.

При учете изменения течения в процессе сердечного цикла рост тромба происходит гораздо медленнее, чем при задании осредненных (по сердечному циклу) условий. Тромбин и активированные тромбоциты, наработанные во время диастолы, быстро уносятся потоком крови во время систолы. Заметный эффект оказывает учет неньютоновской реологии крови.

В первой части работы получена оценка скорости сходимости ранее известного ускоренного метода первого порядка AGMsDR на классе задач минимизации, вообще говоря, невыпуклых функций с $M$-липшицевым градиентом и удовлетворяющих условию Поляка – Лоясиевича. При реализации метода не требуется знать параметр $\mu^{PL}>0$ из условия Поляка – Лоясиевича, при этом метод демонстрирует линейную скорость сходимости (сходимость со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем $\left.\left(1 - \frac{\mu^{PL}}{M}\right)\right)$. Ранее для метода была доказана сходимость со скоростью $O\left(\frac1{k^2}\right)$ на классе выпуклых задач с $M$-липшицевым градиентом. А также сходимость со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой $\left(1 - \sqrt{\frac{\mu^{SC}}{M}}\right)$, но только если алгоритму известно значение параметра сильной выпуклости $\mu^{SC}>0$. Новизна результата заключается в том, что удается отказаться от использования методом значения параметра $\mu^{SC}>0$ и при этом сохранить линейную скорость сходимости, но уже без корня в знаменателе прогрессии.

Во второй части представлена новая модификация метода AGMsDR для решения задач, допускающих альтернированную минимизацию (Alternating AGMsDR). Доказываются аналогичные оценки скорости сходимости на тех же классах оптимизационных задач.

Таким образом, представлены адаптивные ускоренные методы с оценкой сходимости $O\left(\min\left\lbrace\frac{M}{k^2},\,\left(1-{\frac{\mu^{PL}}{M}}\right)^{(k-1)}\right\rbrace\right)$ на классе выпуклых функций с $M$-липшицевым градиентом, которые удовлетворяют условию Поляка – Лоясиевича. При этом для работы метода не требуются значения параметров $M$ и $\mu^{PL}$. Если же условие Поляка – Лоясиевича не выполняется, то можно утверждать, что скорость сходимости равна $O\left(\frac1{k^2}\right)$, но при этом методы не требуют никаких изменений.

Также рассматривается адаптивная каталист-оболочка неускоренного градиентного метода, которая позволяет доказать оценку скорости сходимости $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Проведено экспериментальное сравнение неускоренного градиентного метода с адаптивным выбором шага, ускоренного с помощью адаптивной каталист-оболочки с методами AGMsDR, Alternating AGMsDR, APDAGD (Adaptive Primal-Dual Accelerated Gradient Descent) и алгоритмом Синхорна для задачи, двойственной к задаче оптимального транспорта.

Проведенные вычислительные эксперименты показали более быструю работу метода Alternating AGMsDR по сравнению как с неускоренным градиентным методом, ускоренным с помощью адаптивной каталист-оболочки, так и с методом AGMsDR, несмотря на асимптотически одинаковые гарантии скорости сходимости $O\left(\frac1{k^2}\right)$. Это может быть объяснено результатом о линейной скорости сходимости метода Alternating AGMsDR на классе задач, удовлетворяющих условию Поляка – Лоясиевича. Гипотеза была проверена на квадратичных задачах. Метод Alternating AGMsDR показал более быструю сходимость по сравнению с методом AGMsDR.

Развитие технологий определяет появление данных с высокой детализацией во времени и пространстве, что расширяет возможности анализа, позволяя рассматривать потребительские решения и конкурентное поведение предприятий во всем их многообразии, с учетом контекста территории и особенностей временных периодов. Несмотря на перспективность таких исследований, в настоящее время в научной литературе они представлены ограниченно, что определяется их особенностями. С целью их раскрытия в статье обращается внимание на ключевые проблемы, возникающие при работе с обезличенными высокочастотными данными, аккумулируемыми фискальными операторами, и направления их решения, проводится спектр тестов, направленный на выявление возможности моделирования изменений потребления во времени и пространстве. Особенности нового вида данных рассмотрены на примере реальных обезличенных данных, полученных от оператора фискальных данных «Первый ОФД» (АО «Энергетические системы и коммуникации»). Показано, что одновременно со спектром свойственных высокочастотным данным проблем существуют недостатки, связанные с процессом формирования данных на стороне продавцов, требующие более широкого применения инструментов интеллектуального анализа данных. На рассматриваемых данных проведена серия статистических тестов, включая тест на наличие ложной регрессии, ненаблюдаемых эффектов в остатках модели, последовательной корреляции и кросс-секционной зависимости остатков панельной модели, авторегрессии первого порядка в случайных эффектах, сериальной корреляции на первых разностях панельных данных и др. Наличие пространственной автокорреляции данных тестировалось с помощью модифицированных тестов множителей Лагранжа. Проведенные тесты показали наличие последовательной корреляции и пространственной зависимости данных, обуславливающих целесообразность применения методов панельного и пространственного анализа применительно к высокочастотным данным, аккумулируемым фискальными операторами. Построенные модели позволили обосновать пространственную связь роста продаж и ее зависимость от дня недели. Ограничением для повышения предсказательной возможности построенных моделей и последующего их усложнения, за счет включения объясняющих факторов, стало отсутствие в открытом доступе статистики, сгруппированной в необходимой детализации во времени и пространстве, что определяет актуальность формирования баз высокочастотных географически структурированных данных.