Все выпуски

С целью обобщения уравнения крутильных колебаний на случай нелинейно деформируемых реологически активных валов в статье представлена методика линеаризации эффективной функции мгновенного деформирования материала. В работе рассматриваются слоистые и структурно неоднородные, в среднем изотропные валы из нелинейно вязкоупругих компонент. Методика заключается в определении аппроксимирующего модуля сдвига материала посредством минимизации среднеквадратического отклонения при приближении эффективной диаграммы мгновенного деформирования линейной функцией.

Представленная методика позволяет в аналитическом виде произвести оценку величин частот свободных колебаний слоистых и структурно неоднородных нелинейно вязкоупругих цилиндрических стержней. Это, в свою очередь, предоставляет возможность существенно сократить ресурсы при вибрационном анализе, а также отследить изменения значений собственных частот при изменении геометрических, физико-механических и структурных параметров валов, что особенно важно на начальных этапах моделирования и проектирования. Кроме того, в работе показано, что только выраженная нелинейность эффективного уравнения состояния материала оказывает значимое влияние на частоты свободных колебаний, и в некоторых случаях нелинейностью при определении собственных частот можно пренебречь.

В качестве уравнений состояния компонент композиционного материала в статье рассматриваются уравнения нелинейной наследственности с функциями мгновенного деформирования в виде билинейных диаграмм Прандтля. Для гомогенизации уравнений состояния слоистых цилиндрических стержней в работе применяются гипотезы Фойгта об однородности деформаций и Рейсса об однородности напряжений в объеме композиционного тела. При использовании данных предположений получены эффективные секущий и касательный модули сдвига, пределы пропорциональности, а также ядра ползучести и релаксации продольно, аксиально и поперечно-слоистых валов. Кроме того, в работе получены указанные эффективные характеристики структурно неоднородного, в среднем изотропного цилиндрического стержня с помощью ранее предложенного авторами метода гомогенизации, основанного на определении параметров деформирования материала по правилу смеси для уравнений состояния по Фойгту и Рейссу.

The article presents a method for linearization the effective function of material instantaneous deformation in order to generalize the torsional vibration equation to the case of nonlinearly deformable rheologically active shafts. It is considered layered and structurally heterogeneous, on average isotropic shafts made of nonlinearly viscoelastic components. The technique consists in determining the approximate shear modulus by minimizing the root-mean-square deviation in approximation of the effective diagram of instantaneous deformation.

The method allows to estimate analytically values of natural frequencies of layered and structurally heterogeneous nonlinearly viscoelastic shaft. This makes it possible to significantly reduce resources in vibration analysis, as well as to track changes in values of natural frequencies with changing geometric, physico-mechanical and structural parameters of shafts, which is especially important at the initial stages of modeling and design. In addition, the paper shows that only a pronounced nonlinearity of the effective state equation has an effect on the natural frequencies, and in some cases the nonlinearity in determining the natural frequencies can be neglected.

As equations of state of the composite material components, the article considers the equations of nonlinear heredity with instantaneous deformation functions in the form of the Prandtl’s bilinear diagrams. To homogenize the state equations of layered shafts, it is applied the Voigt’s hypothesis on the homogeneity of deformations and the Reuss’ hypothesis on the homogeneity of stresses in the volume of a composite body. Using these assumptions, effective secant and tangential shear moduli, proportionality limits, as well as creep and relaxation kernels of longitudinal, axial and transversely layered shafts are obtained. In addition, it is obtained the indicated effective characteristics of a structurally heterogeneous, on average isotropic shaft using the homogenization method previously proposed by the authors, based on the determination of the material deformation parameters by the rule of a mixture for the Voigt’s and the Reuss’ state equations.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Большой класс задач описывает физические процессы, протекающие в невыпуклых областях, содержащих угол больший 180 градусов на границе. Решение в окрестности такого угла сингулярно, а его отыскание, при использовании классических подходов, влечет за собой потерю точности. В представленной работе рассмотрены стационарные, линеаризованные с помощью итераций Пикара несжимаемые уравнения Навье – Стокса течения вязкой жидкости в конвективной форме в $L$-образной области. Определено $R_\nu$-обобщенное решение задачи в специальных множествах весовых пространств. Для нахождения приближенного $R_\nu$-обобщенного решения построен специальный метод конечных элементов. Во-первых, пространства конечно-элементных функций удовлетворяют закону сохранения массы в сильном смысле, то есть в узлах сетки. Для этой цели используется Скотт – Вогелиус конечно-элементная пара. Выполнение закона сохранения массы ведет к отысканию более точного с физической точки зрения решения. Во-вторых, базисные функции конечномерных пространств дополнены весовыми функциями как множителями, которые совпадают с расстоянием от точки до вершины тупого угла в $\delta$-окрестности точки сингулярности и радиусом $\delta$ вне ее. Степень весовой функции, как и параметр $\nu$ в определении $R_\nu$-обобщенного решения, так и радиус $\delta$-окрестности точки сингулярности являются свободными параметрами метода. Специально подобранная их комбинация приводит к увеличению порядка сходимости приближенного решения к точному решению задачи почти в два раза по сравнению с классическими подходами и достигает единицы по шагу сетки в нормах весовых пространств Соболева. Таким образом, установлено, что скорость сходимости не зависит от величины угла.

An essential class of problems describes physical processes occurring in non-convex domains containing a corner greater than 180 degrees on the boundary. The solution in a neighborhood of a corner is singular and its finding using classical approaches entails a loss of accuracy. In the paper, we consider stationary, linearized by Picard’s iterations, Navier – Stokes equations governing the flow of a incompressible viscous fluid in the convection form in $L$-shaped domain. An $R_\nu$-generalized solution of the problem in special sets of weighted spaces is defined. A special finite element method to find an approximate $R_\nu$-generalized solution is constructed. Firstly, functions of the finite element spaces satisfy the law of conservation of mass in the strong sense, i.e. at the grid nodes. For this purpose, Scott – Vogelius element pair is used. The fulfillment of the condition of mass conservation leads to the finding more accurate, from a physical point of view, solution. Secondly, basis functions of the finite element spaces are supplemented by weight functions. The degree of the weight function, as well as the parameter $\nu$ in the definition of an $R_\nu$-generalized solution, and a radius of a neighborhood of the singularity point are free parameters of the method. A specially selected combination of them leads to an increase almost twice in the order of convergence rate of an approximate solution to the exact one in relation to the classical approaches. The convergence rate reaches the first order by the grid step in the norms of Sobolev weight spaces. Thus, numerically shown that the convergence rate does not depend on the corner value.

В данной работе рассматриваются нейросетевые модели и полиномиальные модели на основе полинома Чебышёва для компенсации помех. Показано, что нейросетевая модель обеспечивает компенсацию паразитных помех без необходимости настройки параметров, в отличие от полиномиальной модели, где требуется подбор оптимальных задержек. Для обеих архитектур использован метод L-BFGS, который достигает уровня компенсации, сопоставимого с решением LS для полиномиальной модели, с результатом NMSE = −23,59 дБ и требует менее 2000 итераций, что подтверждает его высокую эффективность. Также благодаря высокой обобщающей способности нейросетевых моделей метод первого порядка для нейросетевых архитектур демонстрирует более быструю сходимость по сравнению с полиномиальной моделью. За 20 000 итераций нейросетевая модель достигает прироста уровня компенсации на 0,44 дБ по сравнению с полиномом. В отличие от этого полиномиальная модель может достичь высокого уровня компенсации только при оптимальной настройке параметров методов первого порядка, что подчеркивает одно из ключевых преимуществ нейросетевых моделей.

This paper investigates neural network models and polynomial models based on Chebyshev polynomials for interference compensation. It is shown that the neural network model provides compensation for parasitic interference without the need for parameter tuning, unlike the polynomial model, which requires the selection of optimal delays. The L-BFGS method is applied to both architectures, achieving a compensation level comparable to the LS solution for the polynomial model, with an NMSE result of −23.59 dB and requiring fewer than 2000 iterations, confirming its high efficiency. Additionally, due to the strong generalization ability of neural network architectures, the first-order method for neural networks demonstrates faster convergence compared to the polynomial model. In 20 000 iterations, the neural network model achieves a 0.44 dB improvement in compensation level compared to the polynomial model. In contrast, the polynomial model can only achieve high compensation levels with optimal first-order method parameter tuning, highlighting one of the key advantages of neural network models.

В статье проводится систематическое исследование возможностей метода решеточных уравнений Больцмана (lattice Boltzmann method, LBM или РУБ) для описания распространения акустических волн. Рассмотрена задача о распространении возмущений от точечного гармонического источника акустических возмущений в неограниченном пространстве как в неподвижной среде (число Маха $M=0$), так и при наличии набегающего потока (число Маха $M=0{,}2$). Обе рассмотренные задачи имеют аналитическое решение в приближении линейной акустики, что позволяет количественно оценить точность численного метода.

Численная реализация осуществлена с использованием двумерной модели скоростей D2Q9 и оператора столкновений Бхатнагара – Гросса – Крука (BGK). Источник колебаний задавался согласно схеме Gou, а возникающий от источника паразитный шум в моментах старших порядков убирался за счет использования процедуры регуляризации функций распределения. Для минимизации отражений от границ расчетной области использовался гибридный подход, основанный на совместном использовании характеристических граничных условий на основе инвариантов Римана и поглощающих PML-слоев (perfectly matched layer) с параболическим профилем затухания.

В ходе работы проведен детальный анализ влияния вычислительных параметров метода на точность расчета. Исследована зависимость погрешности от толщины PML-слоя ($L_{\text{PML}}^{}$) и максимального коэффициента демпфирования ($\sigma_{\max}^{}$), безразмерной амплитуды источника ($Q'_0$) и шага расчетной сетки. Показано, что метод РУБ применим для моделирования распространения акустических волн и обладает вторым порядком точности. Установлено, что для достижения высокой точности расчета (относительная погрешность давления — не более $1\,\%$) достаточно пространственного разрешения в $20$ точек на длину волны ($\lambda$). Определены минимальные эффективные параметры PML-слоя: $\sigma_{\max}^{}\geqslant 0{,}02$ и $L_{\text{PML}}^{} \geqslant 2\lambda$, обеспечивающие отсутствие отражения от границ расчетной области. Также продемонстрировано, что при амплитудах источника $Q_0' \geqslant 0{,}1$ влияние нелинейных эффектов становится существенным по сравнению с другими источниками погрешности.

The article presents a systematic investigation of the capabilities of the lattice Boltzmann method (LBM) for modeling the propagation of acoustic waves. The study considers the problem of wave propagation from a point harmonic source in an unbounded domain, both in a quiescent medium (Mach number $M=0$) and in the presence of a uniform mean flow ($M=0.2$). Both scenarios admit analytical solutions within the framework of linear acoustics, allowing for a quantitative assessment of the accuracy of the numerical method.

The numerical implementation employs the two-dimensional D2Q9 velocity model and the Bhatnagar – Gross – Krook (BGK) collision operator. The oscillatory source is modeled using Gou’s scheme, while spurious high-order moment noise generated by the source is suppressed via a regularization procedure applied to the distribution functions. To minimize wave reflections from the boundaries of the computational domain, a hybrid approach is used, combining characteristic boundary conditions based on Riemann invariants with perfectly matched layers (PML) featuring a parabolic damping profile.

A detailed analysis is conducted to assess the influence of computational parameters on the accuracy of the method. The dependence of the error on the PML thickness ($L_{\text{PML}}^{}$) and the maximum damping coefficient ($\sigma_{\max}^{}$), the dimensionless source amplitude ($Q'_0$), and the grid resolution is thoroughly examined. The results demonstrate that the LBM is suitable for simulating acoustic wave propagation and exhibits second-order accuracy. It is shown that achieving high accuracy (relative pressure error below $1\,\%$) requires a spatial resolution of at least $20$ grid points per wavelength ($\lambda$). The minimal effective PML parameters ensuring negligible boundary reflections are identified as $\sigma_{\max}^{}\geqslant 0.02$ and $L_{\text{PML}}^{} \geqslant 2\lambda$. Additionally, it is shown that for source amplitudes $Q_0' \geqslant 0.1$, nonlinear effects become significant compared to other sources of error.

В работе изложены основные моменты приближения среднего поля в применении к многокомпонентным стохастическим реакционно-диффузионным системам.

Представлена изучаемая модель химической реакции — брюсселятор. Записаны кинетические уравнения реакции, учитывающие диффузию промежуточных компонент и флуктуации концентраций исходных веществ. Флуктуации моделируются как случайные гауссовы однородные и изотропные в пространстве поля, с нулевым средним и пространственной корреляционной функцией, имеющей нетривиальную структуру. В работе рассматриваются значения параметров модели, соответствующие пространственно неоднородному упорядоченному состоянию в детерминированном случае.

В работе получено одноточечное двумерное нелинейное самосогласованное уравнение Фоккера–Планка в интерпретации Стратоновича в приближении среднего поля для пространственно распределенного стохастического брюсселятора, которое описывает динамику плотности распределения вероятностей значений концентраций компонент рассматриваемой системы. Найдены значения интенсивности внешнего шума, соответствующие двум типам решений уравнения Фоккера–Планка: решению с времен- ной бимодальностью и решению с многократным чередованием одно- и бимодального видов плотности вероятностей. Проведено численное исследование динамики плотности распределения вероятностей и изучено поведение во времени дисперсий, математических ожиданий и наиболее вероятных значений концентраций компонент при различных значениях интенсивности шума и бифуркационного параметра в указанных областях параметров задачи.

Показано, что, начиная с некоторого значения интенсивности внешнего шума, внутри упорядоченной фазы зарождается беспорядок, существующий конечное время, причем чем больше шум, тем больше его время жизни. Чем дальше от точки бифуркации, тем меньше шум, который его порождает, и тем уже область значений интенсивности шума, при которых система эволюционирует к упорядоченному, но уже новому статистически стационарному состоянию. При некотором втором значении интенсивности шума возникает перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз. Увеличение интенсивности шума приводит к тому, что частота перемежаемости увеличивается.

Таким образом, показано, что сценарием шумоиндуцированного перехода «порядок–беспорядок» в изучаемой системе является перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз.

We now review the main points of mean-field approximation (MFA) in its application to multicomponent stochastic reaction-diffusion systems.

We present the chemical reaction model under study — brusselator. We write the kinetic equations of reaction supplementing them with terms that describe the diffusion of the intermediate components and the fluctuations of the concentrations of the initial products. We simulate the fluctuations as random Gaussian homogeneous and spatially isotropic fields with zero means and spatial correlation functions with a non-trivial structure. The model parameter values correspond to a spatially-inhomogeneous ordered state in the deterministic case.

In the MFA we derive single-site two-dimensional nonlinear self-consistent Fokker–Planck equation in the Stratonovich's interpretation for spatially extended stochastic brusselator, which describes the dynamics of probability distribution density of component concentration values of the system under consideration. We find the noise intensity values appropriate to two types of Fokker–Planck equation solutions: solution with transient bimodality and solution with the multiple alternation of unimodal and bimodal types of probability density. We study numerically the probability density dynamics and time behavior of variances, expectations, and most probable values of component concentrations at various noise intensity values and the bifurcation parameter in the specified region of the problem parameters.

Beginning from some value of external noise intensity inside the ordered phase disorder originates existing for a finite time, and the higher the noise level, the longer this disorder “embryo” lives. The farther away from the bifurcation point, the lower the noise that generates it and the narrower the range of noise intensity values at which the system evolves to the ordered, but already a new statistically steady state. At some second noise intensity value the intermittency of the ordered and disordered phases occurs. The increasing noise intensity leads to the fact that the order and disorder alternate increasingly.

Thus, the scenario of the noise induced order–disorder transition in the system under study consists in the intermittency of the ordered and disordered phases.

В работе развивается новый математический метод решения задачи совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях статистического распределения Райса посредством метода моментов, основанного на анализе данных для начальных моментов 1-го и 3-го порядков случайной райсовской величины. Получена в явном виде система уравнений для искомых параметров сигнала и шума. В предельном случае малой величины отношения сигнала к шуму получены аналитические формулы, позволяющие рассчитать искомые параметры задачи без необходимости численного решения уравнений. Развитый в работе метод обеспечивает эффективное разделение информативной и шумовой компонент анализируемых данных в отсутствие каких-либо априорных предположений, лишь на основе обработки результатов выборочных измерений сигнала. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации, в системах ультразвуковой визуализации, при анализе оптических сигналов в системах дальнометрии, в радиолокации и т. д. Как показали результаты исследований, решение двухпараметрической задачи разработанным методом не приводит к увеличению объема требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с решением однопараметрической задачи, решаемой в предположении априорной известности второго параметра. В работе приведены результаты компьютерного моделирования разработанного метода. Результаты численного расчета параметров сигнала и шума разработанным методом подтверждают его эффективность. Проведено сопоставление точности определения искомых параметров развитым в работе методом и ранее разработанным вариантом метода моментов, основанным на обработке измеренных данных для низших четных моментов анализируемого сигнала.

The paper develops a new mathematical method of the joint signal and noise parameters determination at the Rice statistical distribution by method of moments based upon the analysis of data for the 1-st and the 3-rd raw moments of the random rician value. The explicit equations’ system have been obtained for required parameters of the signal and noise. In the limiting case of the small value of the signal-to-noise ratio the analytical formulas have been derived that allow calculating the required parameters without the necessity of solving the equations numerically. The technique having been elaborated in the paper ensures an efficient separation of the informative and noise components of the data to be analyzed without any a-priori restrictions, just based upon the processing of the results of the signal’s sampled measurements. The task is meaningful for the purposes of the rician data processing, in particular in the systems of magnetic-resonance visualization, in ultrasound visualization systems, at the optical signals’ analysis in range measuring systems, in radio location, etc. The results of the investigation have shown that the two parameter task solution of the proposed technique does not lead to the increase in demanded volume of computing resources compared with the one parameter task being solved in approximation that the second parameter of the task is known a-priori There are provided the results of the elaborated technique’s computer simulation. The results of the signal and noise parameters’ numerical calculation have confirmed the efficiency of the elaborated technique. There has been conducted the comparison of the accuracy of the sought-for parameters estimation by the technique having been developed in this paper and by the previously elaborated method of moments based upon processing the measured data for lower even moments of the signal to be analyzed.

Современные методы комплексного планирования выполнения пакетов заданий в многостадийных системах характеризуются наличием ограничений на размерность решаемой задачи, невозможностью гарантированного получения эффективных решений при различных значениях ее входных параметров, а также невозможностью учета условия формирования комплектов из результатов и ограничения на длительности интервалов времени функционирования системы. Для решения задачи планирования выполнения пакетов заданий при формировании комплектов результатов и ограничении на длительности интервалов времени функционирования системы реализована декомпозиция обобщенной функции системы на совокупность иерархически взаимосвязанных подфункций. Применение декомпозиции позволило использовать иерархический подход для планирования выполнения пакетов заданий в многостадийных системах, предусматривающий определение решений по составам пакетов заданий на первом уровне иерархии, решений по составам групп пакетов заданий, выполняемых в течение временных интервалов ограниченной длительности, на втором уровне и расписаний выполнения пакетов на третьем уровне иерархии. С целью оценки оптимальности решений по составам пакетов результаты их выполнения, полученные в течение заданных временных интервалов, распределяются по комплектам. Для определения комплексных решений применен аппарат теории иерархических игр. Построена модель иерархической игры для принятия решений по составам пакетов, групп пакетов и расписаниям выполнения пакетов, представляющая собой систему иерархически взаимосвязанных критериев оптимизации решений. В модели учтены условие формирования комплектов из результатов выполнения пакетов заданий и ограничение на длительность интервалов времени ее функционирования. Задача определения составов пакетов заданий и групп пакетов заданий является NP-трудной, поэтому для ее решения требуется применение приближенных методов оптимизации. С целью оптимизации групп пакетов заданий реализовано построение метода формирования начальных решений по их составам, которые в дальнейшем оптимизируются. Также сформулирован алгоритм распределения по комплектам результатов выполнения пакетов заданий, полученных в течение временных интервалов ограниченной длительности. Предложен метод локальной оптимизации решений по составам групп пакетов, в соответствии с которым из групп исключаются пакеты, результаты выполнения которых не входят в комплекты, и добавляются пакеты, не включенные ни в одну из групп. Выполнена программная реализация рассмотренного метода комплексной оптимизации составов пакетов заданий, групп пакетов заданий и расписаний выполнения пакетов заданий из групп (в том числе реализация метода оптимизации составов групп пакетов заданий). С ее использованием проведены исследования особенностей рассматриваемой задачи планирования. Сформулированы выводы, касающиеся зависимости эффективности планирования выполнения пакетов заданий в многостадийных системах при введенных условиях от входных параметров задачи. Использование метода локальной оптимизации составов групп пакетов заданий позволяет в среднем на 60% увеличить количество формируемых комплектов из результатов выполнения заданий в пакетах из групп по сравнению с фиксированными группами (не предполагающими оптимизацию).

Modern methods of complex planning the execution of task packages in multistage systems are characterized by the presence of restrictions on the dimension of the problem being solved, the impossibility of guaranteed obtaining effective solutions for various values of its input parameters, as well as the impossibility of registration the conditions for the formation of sets from the result and the restriction on the interval duration of time of the system operating. The decomposition of the generalized function of the system into a set of hierarchically interconnected subfunctions is implemented to solve the problem of scheduling the execution of task packages with generating sets of results and the restriction on the interval duration of time for the functioning of the system. The use of decomposition made it possible to employ the hierarchical approach for planning the execution of task packages in multistage systems, which provides the determination of decisions by the composition of task groups at the first level of the hierarchy decisions by the composition of task packages groups executed during time intervals of limited duration at the second level and schedules for executing packages at the third level the hierarchy. In order to evaluate decisions on the composition of packages, the results of their execution, obtained during the specified time intervals, are distributed among the packages. The apparatus of the theory of hierarchical games is used to determine complex solutions. A model of a hierarchical game for making decisions by the compositions of packages, groups of packages and schedules of executing packages is built, which is a system of hierarchically interconnected criteria for optimizing decisions. The model registers the condition for the formation of sets from the results of the execution of task packages and restriction on duration of time intervals of its operating. The problem of determining the compositions of task packages and groups of task packages is NP-hard; therefore, its solution requires the use of approximate optimization methods. In order to optimize groups of task packages, the construction of a method for formulating initial solutions by their compositions has been implemented, which are further optimized. Moreover, a algorithm for distributing the results of executing task packages obtained during time intervals of limited duration by sets is formulated. The method of local solutions optimization by composition of packages groups, in accordance with which packages are excluded from groups, the results of which are not included in sets, and packages, that aren’t included in any group, is proposed. The software implementation of the considered method of complex optimization of the compositions of task packages, groups of task packages, and schedules for executing task packages from groups (including the implementation of the method for optimizing the compositions of groups of task packages) has been performed. With its use, studies of the features of the considered planning task are carried out. Conclusion are formulated concerning the dependence of the efficiency of scheduling the execution of task packages in multistage system under the introduced conditions from the input parameters of the problem. The use of the method of local optimization of the compositions of groups of task packages allows to increase the number of formed sets from the results of task execution in packages from groups by 60% in comparison with fixed groups (which do not imply optimization).

Рассмотрена модель горения предварительно перемешанной смеси газов с одной глобальной химической реакцией, включающая в себя уравнения второго порядка относительно температуры смеси и концентраций топлива и окислителя, в правые части которых входит функция скорости реакции. Эта функция зависит от пяти неизвестных параметров глобальной реакции и служит приближением для многоступенчатого механизма реакций. Модель сводится к одному уравнению второго порядка относительно температуры смеси, которое после замены переменных преобразуется к уравнению первого порядка относительно производной температуры, зависящей от температуры, в которое входит параметр скорости распространения пламени. Таким образом, для вычисления параметра скорости распространения пламени необходимо решить задачу Дирихле для уравнения первого порядка, в результате чего получится модельная зависимость скорости распространения пламени от эквивалентного отношения смеси при заданных параметрах скорости реакции. При наличии экспериментальных данных зависимости скорости распространения пламени от эквивалентного отношения смеси ставится задача оптимального подбора параметров скорости реакции, исходя из минимизации среднеквадратичного отклонения модельных значений скорости распространения пламени от эксперимента. Целью работы является исследование однозначности решения этой задачи. Для этого применяется вычислительный эксперимент, в ходе которого решается задача глобального поиска оптимумов с помощью мультистарта градиентного спуска. В ходе вычислительного эксперимента выяснено, что обратная задача в такой постановке является недоопределенной, и всякий раз при запуске градиентного метода из новой точки получается новая предельная точка. Исследована структура множества предельных точек в пятимерном пространстве параметров и показано, что это множество может быть описано тремя линейными уравнениями. Таким образом, будет некорректным табулировать все пять параметров скорости реакции исходя из одного лишь критерия соответствия модели данным скорости распространения пламени. Вывод исследования заключается в том, что для корректного табулирования параметров необходимо указать значения двух из них исходя из дополнительных критериев оптимальности.

A model of combustion of premixed mixture of gases with one global chemical reaction is considered, the model includes equations of the second order for temperature of mixture and concentrations of fuel and oxidizer, and the right-hand sides of these equations contain the reaction rate function. This function depends on five unknown parameters of the global reaction and serves as approximation to multistep reaction mechanism. The model is reduced, after replacement of variables, to one equation of the second order for temperature of mixture that transforms to a first-order equation for temperature derivative depending on temperature that contains a parameter of flame propagation velocity. Thus, for computing the parameter of burning velocity, one has to solve Dirichlet problem for first-order equation, and after that a model dependence of burning velocity on mixture equivalence ratio at specified reaction rate parameters will be obtained. Given the experimental data of dependence of burning velocity on mixture equivalence ratio, the problem of optimal selection of reaction rate parameters is stated, based on minimization of the mean square deviation of model values of burning velocity on experimental ones. The aim of our study is analysis of uniqueness of this problem solution. To this end, we apply computational experiment during which the problem of global search of optima is solved using multistart of gradient descent. The computational experiment clarifies that the inverse problem in this statement is underdetermined, and every time, when running gradient descent from a selected starting point, it converges to a new limit point. The structure of the set of limit points in the five-dimensional space is analyzed, and it is shown that this set can be described with three linear equations. Therefore, it might be incorrect to tabulate all five parameters of reaction rate based on just one match criterion between model and experimental data of flame propagation velocity. The conclusion of our study is that in order to tabulate reaction rate parameters correctly, it is necessary to specify the values of two of them, based on additional optimality criteria.

В статье исследуется одно из возможных решений задачи компенсации собственных помех (SIC, Self-Interference Cancellation), возникающей при проектировании полнодуплексных (IBFD, In-band Full-Duplex) систем связи. Подавление собственных помех осуществляется в цифровой области с помощью многослойных нелинейных моделей, которые адаптируются на основе метода градиентного спуска. Наличие локальных оптимумов и седловых точек при адаптации многослойных моделей делает невозможным использование методов второго порядка ввиду знаконеопределенности матрицы Гессе.

В данной работе предложено использовать смешанный метод Ньютона (MNM, mixed Newton method), который учитывает информацию о смешанных производных второго порядка функции потерь и, как следствие, обеспечивает высокую скорость сходимости по сравнению с традиционными методами первого порядка. Использование лишь только смешанных частных производных второго порядка при построении матрицы Гессе позволяет избежать проблемы «застревания» в седловых точках при использовании смешанного метода Ньютона для адаптации многослойных нелинейных компенсаторов собственных помех при проектировании полнодуплексных систем связи.

В качестве модели собственных нелинейных помех выбрана модель Гаммерштейна с комплексными параметрами. Данный выбор обусловлен тем, что модель эффективно описывает физические свойства, лежащие в основе формирования собственных помех. Благодаря свойству голоморфности выхода модели смешанный метод Ньютона обеспечивает свойство «отталкивания» от седловых точек в ландшафте функции потерь.

В работе приводятся кривые сходимости при адаптации модели Гаммерштейна смешанным методом Ньютона, а также при помощи классических подходов на основе метода градиентного спуска. Кроме того, приводится вывод предложенного метода, а также оценка вычислительной сложности.

The paper investigates a potential solution to the problem of Self-Interference Cancellation (SIC) encountered in the design of In-Band Full-Duplex (IBFD) communication systems. The suppression of selfinterference is implemented in the digital domain using multilayer nonlinear models adapted via the gradient descent method. The presence of local optima and saddle points in the adaptation of multilayer models prevents the use of second-order methods due to the indefinite nature of the Hessian matrix.

This work proposes the use of the Mixed Newton Method (MNM), which incorporates information about the second-order mixed partial derivatives of the loss function, thereby enabling a faster convergence rate compared to traditional first-order methods. By constructing the Hessian matrix solely with mixed second-order partial derivatives, this approach mitigates the issue of “getting stuck” at saddle points when applying the Mixed Newton Method for adapting multilayer nonlinear self-interference compensators in full-duplex system design.

The Hammerstein model with complex parameters has been selected to represent nonlinear selfinterference. This choice is motivated by the model’s ability to accurately describe the underlying physical properties of self-interference formation. Due to the holomorphic property of the model output, the Mixed Newton Method provides a “repulsion” effect from saddle points in the loss landscape.

The paper presents convergence curves for the adaptation of the Hammerstein model using both the Mixed Newton Method and conventional gradient descent-based approaches. Additionally, it provides a derivation of the proposed method along with an assessment of its computational complexity.