Все выпуски

Настоящая статья представляет анализ зависимостей между основными геометрическими параметрами ячейки опорного каркаса и функциональными характеристиками биопротеза клапана аорты. В работе анализировали модели ячеек закрытого типа с различными значениями ширины, толщины и количеством по окружности с оценкой создаваемых радиальных сил, напряженно-деформированного состояния конструкции, остаточной деформации и сил поперечного сжатия. Результаты исследования могут быть использованы при разработке новых моделей транскатетерных протезов клапана аорты или в ходе анализа уже существующих конструкций.

This paper presents the analysis of dependences between frame basic cell geometry parameters and function via finite element analysis. The simplified models of frame cell with varied strut width, thickness and quantity in a circle was researched to evaluate radial forces, maximum stress and strain, permanent residual strain and pinching load forces. The outcomes of this study might help in the development of new artificial heart valves and during the analysis of existing in-clinical TAVI prostheses.

Цель настоящего исследования — показать, как инженерные идеи и подходы работают в клинической реставрационной стоматологии и позволяют оптимизировать выбор реставрационной конструкции с позиции ее долговечности. В работе построена трехмерная компьютерная модель центрального резца верхней челюсти, включающая элементы твердых тканей зуба, поддерживающих его структур и реставрационной конструкции, и проведены вариативные расчеты напряженно-деформированных состояний восстановленного зуба при различных видах реставрационных конструкций в условиях нормальной окклюзионной нагрузки. Методами численного эксперимента изучено влияние применения различных адгезивных технологий при фиксации армирующего элемента в корневом канале на функциональные характеристики реставрированного зуба. Разработанные трехмерные модели могут быть применены на этапе доклинической диагностики с целью определения областей вероятной деструкции восстановленного зуба и предсказания сроков его службы.

The aim of the present study is to show how engineering approaches and ideas work in clinical restorative dentistry, in particular, how they affect the restoration design and durability of restored endodontically treated teeth. For these purposes a 3D-computational model of a first incisor including the elements of hard tooth tissues, periodontal ligament, surrounding bone structures and restoration itself has been constructed and numerically simulated for a variety of restoration designs under normal chewing loadings. It has been researched the effect of different adhesive technologies in root canal on the functional characteristics of a restored tooth. The 3D model designed could be applied for preclinical diagnostics to determine the areas of possible fractures of a restored tooth and prognosticate its longevity.

Моделирование русловых процессов при исследовании береговых деформаций русла требует вычисления параметров гидродинамического потока, учитывающих существование вторичных поперечных течений, формирующихся на закруглении русла. Трехмерное моделирование таких процессов на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов, для реальных речных потоков необходимы модели пониженной размерности. При этом редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным, и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости — «вихрь – функция тока». В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данных скоростей должны быть определены из решения вспомогательных задач или получены из данных натурных или экспериментальных измерений.

Для решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова – Галёркина. Получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений при их сравнении с известными экспериментальными данными.

Полученные погрешности авторы связывают с необходимостью более точного определения циркуляционного поля скоростей в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и граничных условий на свободной границе створа.

Modeling of channel processes in the study of coastal channel deformations requires the calculation of hydrodynamic flow parameters that take into account the existence of secondary transverse currents formed at channel curvature. Three-dimensional modeling of such processes is currently possible only for small model channels; for real river flows, reduced-dimensional models are needed. At the same time, the reduction of the problem from a three-dimensional model of the river flow movement to a two-dimensional flow model in the cross-section assumes that the hydrodynamic flow under consideration is quasi-stationary and the hypotheses about the asymptotic behavior of the flow along the flow coordinate of the cross-section are fulfilled for it. Taking into account these restrictions, a mathematical model of the problem of the a stationary turbulent calm river flow movement in a channel cross-section is formulated. The problem is formulated in a mixed formulation of velocity — “vortex – stream function”. As additional conditions for problem reducing, it is necessary to specify boundary conditions on the flow free surface for the velocity field, determined in the normal and tangential direction to the cross-section axis. It is assumed that the values of these velocities should be determined from the solution of auxiliary problems or obtained from field or experimental measurement data.

To solve the formulated problem, the finite element method in the Petrov – Galerkin formulation is used. Discrete analogue of the problem is obtained and an algorithm for solving it is proposed. Numerical studies have shown that, in general, the results obtained are in good agreement with known experimental data. The authors associate the obtained errors with the need to more accurately determine the circulation velocities field at crosssection of the flow by selecting and calibrating a more appropriate model for calculating turbulent viscosity and boundary conditions at the free boundary of the cross-section.

Аортальный стеноз и другие формы дисфункции аортального клапана сопровождаются нарушением внутрисердечной гемодинамики, перегрузкой левого желудочка и повышением риска сердечно-сосудистых осложнений. Для оценки работы клапана важны не только интегральные клинические показатели, но и локальные механические и гемодинамические характеристики, которые, как правило, не могут быть напрямую измерены in vivo. В связи с этим математическое моделирование рассматривается как один из основных инструментов количественного анализа аортального клапана. Несмотря на широкое применение различных моделей деформируемого твердого тела и постановок связанных задач взаимодействия жидкости и твердого тела (fluid-structure interaction, FSI), для описания динамического поведения створок границы применимости упрощенных постановок по отношению к полной сопряженной задаче остаются недостаточно определенными. В работе рассматривалась идеализированная модель корня аорты с синусами Вальсальвы и трехстворчатым клапаном. Створки описывались анизотропной гиперупругой моделью материала. Выполнено сопоставление пяти расчетных сценариев, включающих полную FSI-постановку, учитывающую как динамику твердого тела, так и жидкости, а также модель деформируемого твердого тела с четырьмя вариантами нагружения, заменяющего влияние кровотока, которые отличаются способом учета давления и направлением приложения нагрузки к створкам. В качестве критериев сравнения использовались деформации, перемещения, напряжения по Мизесу, колебательная динамика створок и площадь геометрического открытия клапана. Показано, что FSI-модель обеспечивает наиболее согласованное описание работы клапана, включая асимметричное открытие створок, более плавную динамику раскрытия и отсутствие выраженного нефизиологичного флаттера. Структурные постановки с нагрузкой, приложенной по локальной нормали к поверхности створок, приводят к завышению деформаций и напряжений, а также к более выраженным колебательным режимам. Сценарии с ограничением направления нагрузки дают более умеренный отклик, однако также не воспроизводят пространственную структуру нагрузки и временную организацию раскрытия створок. Сделан вывод, что при моделировании аортального клапана решающее значение имеет не только величина перепада давления, но и способ его пространственно-временного приложения к створкам. Структурные модели деформируемого твердого тела могут использоваться для качественной оценки отдельных механических тенденций, однако не являются полноценной заменой FSI-постановки при анализе кинематики створок, колебательных режимов, напряженно-деформированного состояния и динамики открытия клапана.

Aortic stenosis and other forms of aortic valve dysfunction are associated with impaired intracardiac hemodynamics, left ventricular overload, and an increased risk of cardiovascular complications. Assessment of valve function requires not only integral clinical indicators but also local mechanical and hemodynamic characteristics, which, as a rule, cannot be measured directly in vivo. Therefore, mathematical modeling is regarded as one of the main tools for the quantitative analysis of the aortic valve. Despite the widespread use of various deformable-solid models and coupled fluid-structure interaction formulations, FSI, for describing leaflet dynamics, the limits of applicability of simplified formulations relative to the fully coupled problem remain insufficiently defined. In this study, an idealized model of the aortic root with the sinuses of Valsalva and a tricuspid valve was considered. The leaflets were described using an anisotropic hyperelastic material model. Five computational scenarios were compared, including a fully coupled FSI formulation that accounts for both solid and fluid dynamics, as well as a deformable-solid model with four loading variants replacing the effect of blood flow, differing in the way pressure was represented and in the direction of load application to the leaflets. The comparison criteria included deformation, displacement, von Mises stress, leaflet oscillatory dynamics, and the geometric opening area of the valve. It was shown that the FSI model provides the most consistent description of valve function, including asymmetric leaflet opening, smoother opening dynamics, and the absence of pronounced nonphysiological flutter. Structural formulations with loads applied along the local normal to the leaflet surface lead to overestimation of deformation and stress, as well as to more pronounced oscillatory regimes. Scenarios with restricted load direction produce a more moderate response, but they also fail to reproduce the spatial load structure and the temporal organization of leaflet opening. It was concluded that, in aortic valve modeling, not only the magnitude of the pressure difference but also the way it is applied to the leaflets in space and time is of decisive importance. Structural deformable-solid models may be used for the qualitative assessment of selected mechanical trends, but they cannot serve as a full substitute for the FSI formulation in the analysis of leaflet kinematics, oscillatory regimes, stress-strain state, and valve opening dynamics.

Настоящая статья представляет анализ влияния конструктивных особенностей опорного каркаса транскатетерного протеза на результаты его имплантации в модель корня аорты. В работе анализировали различные подходы к проектированию подобных конструкций, а также модификации последних с целью повышения их функциональных характеристик в условиях имплантации. В качестве основного метода оценки результатов взаимодействия исследуемых объектов был использован метод конечных элементов с нелинейным описанием материалов и с анализом основных параметров: напряженно-деформированного состояния, радиальных сил и сил трения.

This article presents an analysis of the impact of the transcatheter prosthesis frame design features on the results of its implantation in the aortic root model. In this paper we analyzed the various approaches to the design of such structures, as well as modifications in order to improve their functional characteristics during the implantation. As a general method for obtaining the results of interaction of the objects was used finite element method with nonlinear materials description and analysis of the main parameters: the stress-strain state, radial and friction forces.

В статье приведен пример конечно-элементного моделирования структурного элемента гибких тканых композитов. Армирующей тканью является полотняное переплетение нитей из трощеного жгута. Нити представляются упругим материалом. Матрицей рассматриваемого материала является мягкий полимер с возможностью возникновения необратимых деформаций. Учтена возможность возникновения повреждений в структуре материала при высоких нагрузках. Построена полная диаграмма деформирования при одноосном растяжении. Достоверность модели подтверждается проведенными натурными экспериментами.

The article gives the example of finite-element modeling of the structural element is a flexible woven composites. The reinforcing cloth is a plain weave of threads of assembled harness. Threads are represented by elastic material. The matrix of the material is a soft polymer with the possibility of irreversible deformations. Taken into account the possibility of the occurrence of damage in the structure of the material under high loads. Built detailed diagram of deformation under uniaxial tension. The accuracy of the model is conrmed by in situ experiments.

В работе анализируются методы исследования процесса взаимодействия почвенных сред с рабочими органами почвообрабатывающих машин. Подробно рассмотрены математические методы численного моделирования, позволяющие преодолеть недостатки аналитических и эмпирических подходов. Приводятся классификация и обзор возможностей континуальных (FEM — метод конечных элементов, CFD — вычислительная гидродинамика) и дискретных (DEM — метод дискретных элементов, SPH — гидродинамика сглаженных частиц) численных методов. На основе метода дискретных элементов разработана математическая модель, представляющая почву, в виде множества взаимодействующих сферических элементов малых размеров. Рабочие поверхности почвообрабатывающего орудия в рамках конечноэлементного приближения представлены в виде совокупности элементарных треугольников. В модели рассчитывается движение элементов почвы под действием сил контакта элементов почвы друг с другом и с рабочими поверхностями орудия (упругие силы, силы сухого и вязкого трения). Это дает возможность оценивать влияние геометрических параметров рабочих органов, технологических параметров процесса и параметров почвы на геометрические показатели смещения почвы, показатели самоустановки орудия, силовые нагрузки, показатели качества рыхления и пространственное распределение показателей. Всего исследуются 22 показателя (или распределение показателя в пространстве). Возможности математической модели демонстрируются на примере комплексного исследования процесса обработки почвы дисковой культиваторной батареей. В компьютерном эксперименте использованы виртуальный почвенный канал размером 5×1.4 м и 3D-модель дисковой культиваторной батареи. Радиус почвенных частиц принимался равным 18 мм, скорость рабочего органа — 1 м/с, общее время моделирования — 5 с. Глубина обработки составляла 10 см при углах атаки 10, 15, 20, 25 и 30°. Проверка достоверности результатов моделирования производилась на лабораторной установке, для объемного динамометрирования, путем исследования натурного образца, выполненного в полном соответствии с исследованной 3D-моделью. Контроль осуществлялся по трем составляющим вектора тягового сопротивления: $F_x$, $F_y$ и $F_z$. Сравнение данных, полученных экспериментальным путем, с данными моделирования показало, что расхождение составляет не более 22.2 %, при этом во всех случаях максимальные значения наблюдались при углах атаки 30°. Хорошая согласуемость данных по трем ключевым силовым параметрам подтверждает достоверность всего комплекса исследованных показателей.

The paper analyzes the methods of studying the process of interaction of soil environments with the tillage tools of soil processing machines. The mathematical methods of numerical modeling are considered in detail, which make it possible to overcome the disadvantages of analytical and empirical approaches. A classification and overview of the possibilities the continuous (FEM — finite element method, CFD — computational fluid dynamics) and discrete (DEM — discrete element method, SPH — hydrodynamics of smoothed particles) numerical methods is presented. Based on the discrete element method, a mathematical model has been developed that represents the soil in the form of a set of interacting small spherical elements. The working surfaces of the tillage tool are presented in the framework of the finite element approximation in the form of a combination of many elementary triangles. The model calculates the movement of soil elements under the action of contact forces of soil elements with each other and with the working surfaces of the tillage tool (elastic forces, dry and viscous friction forces). This makes it possible to assess the influence of the geometric parameters of the tillage tools, technological parameters of the process and soil parameters on the geometric indicators of soil displacement, indicators of the self-installation of tools, power loads, quality indicators of loosening and spatial distribution of indicators. A total of 22 indicators were investigated (or the distribution of the indicator in space). This makes it possible to reproduce changes in the state of the system of elements of the soil (soil cultivation process) and determine the total mechanical effect of the elements on the moving tillage tools of the implement. A demonstration of the capabilities of the mathematical model is given by the example of a study of soil cultivation with a disk cultivator battery. In the computer experiment, a virtual soil channel of 5×1.4 m in size and a 3D model of a disk cultivator battery were used. The radius of the soil particles was taken to be 18 mm, the speed of the tillage tool was 1 m/s, the total simulation time was 5 s. The processing depth was 10 cm at angles of attack of 10, 15, 20, 25 and 30°. The verification of the reliability of the simulation results was carried out on a laboratory stand for volumetric dynamometry by examining a full-scale sample, made in full accordance with the investigated 3D-model. The control was carried out according to three components of the traction resistance vector: $F_x$, $F_y$ and $F_z$. Comparison of the data obtained experimentally with the simulation data showed that the discrepancy is not more than 22.2%, while in all cases the maximum discrepancy was observed at angles of attack of the disk battery of 30°. Good consistency of data on three key power parameters confirms the reliability of the whole complex of studied indicators.

Работа посвящена суррогатному моделированию термомеханических откликов процесса лазерной полировки кварцевого стекла по данным конечно-элементных расчетов. Исследуется зависимость температурных и механических характеристик процесса от мощности лазерного излучения, скорости перемещения источника и радиуса лазерного пятна. Для аппроксимации откликов сопоставлены классические и регуляризованные регрессионные модели, методы опорных векторов, ансамбли деревьев решений, физически структурированные модели, тензорные B-сплайны и эволюционно синтезированные нейронные сети. Сравнение выполнено при едином разбиении исходных данных на обучающую, валидационную и независимую тестовую выборки. Наименьшие ошибки прогнозирования для всех исследованных откликов обеспечили стекинг-ансамбли на основе Random Forest, Gradient Boosting и XGBoost; коэффициенты детерминации на тестовой выборке превышали 0,998. Физически структурированные модели уступали ансамблям по абсолютной точности, однако обеспечивали гладкое и интерпретируемое представление зависимостей между параметрами лазерного воздействия и термомеханическими откликами. Эволюционный поиск позволил полу- чить нейросетевую модель с двумя выходами для совместного прогнозирования максимальной температуры и максимального эквивалентного напряжения. В исследованном наборе данных скорость перемещения источника имеет наибольшую перестановочную значимость для качества прогнозирования выбранных моделей. Результаты исследования показывают, что выбор суррогатной модели должен определяться решаемой задачей: ансамблевые модели целесообразны для высокоточного прогнозирования, физически структурированные — для анализа зависимостей и интерпретации, нейросетевые — для совместного прогнозирования взаимосвязанных откликов. Построенные модели могут служить вычислительной основой для анализа режимов и последующей многокритериальной оптимизации лазерной полировки кварцевого стекла.

The study addresses surrogate modeling of thermomechanical responses in quartz-glass laser polishing using finiteelement simulation data. The relationships between thermal and mechanical responses and the main process parameters — laser power, source travel speed, and laser-spot radius — are investigated. Classical and regularized regression models, supportvector regression, tree-based ensembles, physics-structured models, tensor-product B-splines, and evolutionarily synthesized neural networks are compared using a common training, validation, and independent test split. Stacking ensembles based on Random Forest, Gradient Boosting, and XGBoost provided the lowest prediction errors for all investigated responses, with test coefficients of determination above 0.998. Physics-structured models were less accurate in terms of minimum prediction error but provided smooth and interpretable relationships between laser-processing parameters and thermomechanical responses. Evolutionary architecture search produced a two-output neural-network model for simultaneous prediction of the maximum temperature and maximum equivalent stress. Within the investigated dataset, source travel speed has the highest permutation importance for the predictive accuracy of the selected models. The results demonstrate that different classes of surrogate models are suitable for different modeling objectives: ensemble models are preferable when high predictive accuracy is required, physics-structured models are useful for response analysis and physical interpretation, and neural models provide simultaneous approximation of coupled thermal and mechanical responses. The developed surrogate models can therefore be used as a computationally efficient basis for analyzing laser-polishing regimes and for subsequent multicriteria optimization with simultaneous consideration of temperature and stress constraints.

Лазерная полировка является перспективной технологией финишной обработки изделий из кварцевого стекла, позволяющей устранять дефекты подповерхностного слоя, возникающие при механической обработке. Однако сложность и нелинейность физических процессов, протекающих при лазерном воздействии, затрудняют подбор оптимальных технологических режимов. Целью данной статьи является разработка, сравнительный анализ и применение высокоточных прогностических моделей для предсказания и оптимизации основных показателей процесса лазерной полировки кварцевого стекла. На основе верифицированной конечно-элементной модели, реализованной в среде ANSYS, был сгенерирован набор данных о температурных полях и полях напряжений при различных сочетаниях технологических параметров. Этот набор данных использовался для построения и верификации четырех типов прогностических моделей: полиномиальной регрессии, нечеткой системы вывода (Fuzzy Logic), адаптивной нейро-нечеткой системы (ANFIS) и нейронной сети типа многослойный персептрон (MLP). Качество моделей оценивалось на тестовой выборке с использованием статистических метрик МAE, RMSE, MAPE, $R^2$, $R^2_{Adj}$. Сравнительный анализ моделей показал значительное превосходство нейросетевой модели MLP, которая продемонстрировала наивысшую точность прогнозирования для всех выходных параметров, достигнув значений скорректированного коэффициента детерминации ($R^2_{Adj}$) выше 0,97 и средней абсолютной процентной ошибки (МАРЕ) в диапазоне 0,7–2,8%. Использование этой модели в качестве суррогатной функции совместно с генетическим алгоритмом позволило успешно определить оптимальные технологические параметры. Разработанная нейросетевая модель MLP является надежным и высокоточным инструментом не только для прогнозирования, но и для оптимизации результатов лазерной полировки кварцевого стекла СО₂-лазером. Она способна эффективно аппроксимировать сложные нелинейные зависимости в процессе и может служить основой для создания интеллектуальных систем управления и оптимизации данной технологии.

Laser polishing is a promising technology for the finishing of fused quartz (fused silica or quartz glass) products, enabling the removal of subsurface defects induced by mechanical processing. However, the complexity and nonlinearity of the physical processes occurring during laser irradiation complicate the selection of optimal technological parameters. The present paper aims to develop, comparatively analyze, and apply high-precision predictive models for forecasting and optimizing the key performance indicators of the laser polishing process for quartz glass. A verified finite element model implemented in the ANSYS software environment produced a dataset of temperature and stress fields for various combinations of process parameters. This dataset was used to develop and validate four types of predictive models: Polynomial Regression, a Fuzzy Logic System, an Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS), and a Multilayer Perceptron (MLP) neural network. The models’ quality was evaluated on a test set using the statistical metrics MAE, RMSE, MAPE, $R^2$, and  $R^2_{Adj}$. A comparative analysis of the models revealed the significant superiority of the MLP neural network, which demonstrated the highest prediction accuracy for all output parameters, achieving Adjusted $R^2$ ($R^2_{Adj}$.) values above 0.97 and a Mean Absolute Percentage Error (MAPE) in the range of 0.7–2.8%. This model was effectively utilized as a surrogate function in combination with a genetic algorithm to successfully identify the optimal process parameters. The constructed MLP neural network model functions as a reliable and high-precision tool, facilitating both prediction and the optimization of fused quartz polishing outcomes using a CO₂ laser. This approach effectively approximates the complex nonlinear dependencies inherent in the process and can serve as a foundation for developing intelligent control and optimization systems for this technology.

Предложена новая приближенная модель качения деформируемого колеса с пневматиком, позволяющая учесть как усилия в пневматике, так и влияние сил сухого трения на устойчивость прямолинейного качения колеса при прогнозировании явления шимми. Модель основана на теории сухого трения с комбинированнойкине матикойотно сительного движения соприкасающихся тел, т. е. при одновременном качении, скольжении и верчении при учете реальнойф ормы области контакта и распределения контактного давления. Главный вектор и главный момент сил, возникающих при контактном взаимодействии с сухим трением, определяются путем интегрирования по области контакта. При этом контактное давление покоя при нулевых скоростях относительного поступательного движения и верчения и в отсутствие качения определяется из решения статической контактной задачи для пневматика с учетом его реальной структуры и физических свойств материалов. В работе использована конечно-элементная модель типового пневматика с продольным протектором. Расчет осуществлен при фиксированном внутреннем давлении наддува, заданной вертикальной силе и коэффициенте трения покоя, равном 0.5. Получены также решения задач о напряженно-деформированном состоянии пневматика при кинематическом нагружении в боковом направлении и при скручивании относительно вертикальной оси. Показано, что с достаточной степенью точности контактное взаимодействие пневматика с абсолютно жесткой опорной поверхностью можно представить в виде двух этапов — адгезии и проскальзывания, при этом, однако, форма пятна контакта остается близкой к круговой. Построены диаграммы, аппроксимирующие численные решения, для боковой силы и момента; на начальном участке взаимодействия зависимости линейны и соответствуют упругой деформации пневматика, на втором участке величины силы и момента постоянны и соответствуют силе сухого трения и моменту трения верчения. Для последних участков получены приближенные выражения для продольной и боковой силы трения, а также момента трения верчения в соответствии с теорией сухого трения с комбинированной кинематикой. Полученная модель может трактоваться как комбинация модели упруго деформируемого колеса по Келдышу, катящегося без проскальзывания, и жесткого колеса по Климову –Журавлёву, взаимодействующего с опорой посредством сил сухого трения.

A proposed approximate model of the rolling of a deforming wheel with a pneumatic tire allows one to account as well forces in tires as the effect of the dry friction on the stability of the rolling upon the shimmy phenomenon prognosis. The model os based on the theory of the dry friction with combined kinematics of relative motion of interacting bodies, i. e. under the condition of simultaneous rolling, sliding, and spinning with accounting for the real shape of a contact spot and contact pressure distribution. The resultant vector and couple of the forces generated by the contact interaction with dry friction are defined by integration over the contact area, whereas the static contact pressure under the conditions of vanishing velocity of sliding and angular velocity of spinning is computed after the finite-element solution for the statical contact of a pneumatic with a rigid road with accounting forreal internal structure and properties of a tire. The solid finite element model of a typical tire with longitudinal thread is used below as a background. Given constant boost pressure, vertical load and static friction factor 0.5 the numerical solution is constructed, as well as the appropriate solutions for lateral and torsional kinematic loading. It is shown that the contact interaction of a pneumatic tire and an absolutely rigid road could be represented without crucial loss of accuracy as two typical stages, the adhesion and the slip; the contact area shape remains nevertheless close to a circle. The approximate diagrams are constructed for both lateral force and friction torque; on the initial stage the diagrams are linear so that corresponds to the elastic deformation of a tire while on the second stage both force and torque values are constant and correspond to the dry friction force and torque. For the last stages the approximate formulae for the longitudinal and lateral friction force and the friction torque are constructed on the background of the theory of the dry friction with combined kinematics. The obtained model can be treated as a combination of the Keldysh model of elastic wheel with no slip and spin and the Klimov rigid wheel model interacting with a road by dry friction forces.