Все выпуски

В работе изучено влияние избирательного антропогенного изъятия на режимы динамики сообщества «хищник–жертва» с возрастной структурой. Исследуемая модель представляет собой модификацию модели Николсона–Бейли. Предполагается, что регуляция роста численности популяции жертвы осуществляется путем лимитирования выживаемости молоди. Целью работы является изучение механизмов формирования и развития динамических режимов, возникающих в модели динамики сообщества «хищник–жертва» с возрастной структурой жертвы при избирательном изъятии особей. Рассмотрены случаи, когда осуществляется изъятие только из младшего, либо только из старшего возрастного класса жертвы, либо из двух возрастных классов жертвы одновременно, либо из популяции хищника. Изучены условия устойчивого сосуществования взаимодействующих видов и сценарии возникновения колебательных режимов численности. Показано, что изъятие только молодых особей жертвы или одновременное изъятие молодых и взрослых особей приводит к расширению области значений параметров, при которых наблюдается устойчивая динамика популяции жертвы как при наличии хищника, так и без него. При этом уменьшается диапазон значений параметров, при которых отмечается бистабильность динамики, когда в зависимости от начальных условий хищник либо сохраняется в сообществе либо погибает от недостатка питания. В случае изъятия части взрослых особей жертв или хищников сохранение хищника в сообществе обеспечивается высокими значениями коэффициента рождаемости жертвы, причем при этом увеличивается параметрическая область бистабильности динамики. При изъятии как молоди жертвы, так и хищников увеличение значений выживаемости взрослых особей жертв приводит к стабилизации дина- мики видов. Продемонстрировано, что изъятие части молодых особей жертв может приводить к затуханию колебаний и стабилизировать динамику жертвы в отсутствие хищника. Более того, оно может изменить сценарий сосуществования видов — от обитания жертвы без хищника к устойчивому сосуществованию обоих видов. Выявлено, что изъятие особей жертв либо только из ее старшего возрастного класса, либо из популяции хищника может приводить к затуханию колебаний и устойчивой динамике взаимодействующего сообщества или к разрушению сообщества, то есть к гибели хищника.

The paper studies the influence of selective harvest on dynamic modes of the «predator–prey» community with age structure for prey. We use a slight modification of the Nicholson-Bailey model to describe the interaction between predator and prey. We assume the prey population size is regulated by a decrease in survival rate of juvenile with an increase in the size of age class. The aim is to study the mechanisms of formation and evolution of dynamic modes for the structured «predator–prey» community model due to selective harvesting. We considered the cases when a harvest of some part of predator or prey population or one of the prey’s age classes is realized. The conditions of stable coexistence of interacting species and scenarios of the occurrence of oscillatory modes of abundance are studied. It is shown the harvesting of only young individuals of prey or simultaneous removal of young and adult individuals leads to expansion of parameter space domain with stable dynamics of prey population both with and without a predator. At the same time, the bistability domain narrows, in which changing initial conditions leads to the predator either remains in the community or dies from lack of food. In the case of the harvest for prey adult individuals or predator, the predator preservation in the community is ensured by high values of the prey birth rate, moreover bistability domain expands. With the removal of both juvenile preys and predators, an increase in the survival rates of adult prey leads to stabilization of the community dynamics. The juveniles’ harvest can lead to damping of oscillations and stabilize the prey dynamics in the predator absence. Moreover, it can change the scenario of the coexistence of species — from habitation of preys without predators to a sustainable coexistence of both species. The harvest of some part of predator or prey or the prey’s older age class can lead to both oscillations damping and stable dynamics of the interacting species, and to the destruction of the community, that is, to the death of predator.

В работе исследуется динамика конечномерной модели, описывающей взаимодействие трех популяций: жертвы $x(t)$, потребляющего ее хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Математически задача записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правой частью $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, где $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) — положительные коэффициенты. Рассматриваемая модель относится к классу кoсимметричных динамических систем при функциональном отклике Лотки – Вольтерры $g=x$, $f=yz$ и дополнительных условиях на параметры: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. В этом случае формируется семейство равновесий в виде прямой в фазовом пространстве. Проанализирована устойчивость равновесий семейства и изолированных равновесий, построены карты существования стационарных решений и предельных циклов. Изучено разрушение семейства при нарушении условий косимметрии и использовании моделей Хoллинга $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ и Беддингтона–ДеАнгелиса $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. Для этого применяется аппарат теории косимметрии В.И. Юдовича, включающий вычисление косимметрических дефектов и селективных функций. С использованием численного эксперимента проанализированы инвазивные сценарии: внедрение суперхищника в систему «хищник–жертва», выдавливание хищника или суперхищника.

The paper investigates the dynamics of a finite-dimensional model describing the interaction of three populations: prey $x(t)$, its consuming predator $y(t)$, and a superpredator $z(t)$ that feeds on both species. Mathematically, the problem is formulated as a system of nonlinear first-order differential equations with the following right-hand side: $[x(1-x)-(y+z)g;\,\eta_1^{}yg-d_1^{}f-\mu_1^{}y;\,\eta_2^{}zg+d_2^{}f-\mu_2^{}z]$, where $\eta_j^{}$, $d_j^{}$, $\mu_j^{}$ ($j=1,\,2$) are positive coefficients. The considered model belongs to the class of cosymmetric dynamical systems under the Lotka\,--\,Volterra functional response $g=x$, $f=yz$, and two parameter constraints: $\mu_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\mu_1^{}}{d_1^{}}\right)$, $\eta_2^{}=d_2^{}\left(1+\frac{\eta_1^{}}{d_1^{}}\right)$. In this case, a family of equilibria is being of a straight line in phase space. We have analyzed the stability of the equilibria from the family and isolated equilibria. Maps of stationary solutions and limit cycles have been constructed. The breakdown of the family is studied by violating the cosymmetry conditions and using the Holling model $g(x)=\frac x{1+b_1^{}x}$ and the Beddington–DeAngelis model $f(y,\,z)=\frac{yz}{1+b_2^{}y+b_3^{}z}$. To achieve this, the apparatus of Yudovich's theory of cosymmetry is applied, including the computation of cosymmetric defects and selective functions. Through numerical experimentation, invasive scenarios have been analyzed, encompassing the introduction of a superpredator into the predator-prey system, the elimination of the predator, or the superpredator.

In this paper, a mathematical model is developed and analyzed to assess the indirect impact of controlling rhinoceros beetles on red palm weevil populations in coconut plantations. The model consists of a system of six non-linear ordinary differential equations (ODEs), capturing the interactions among healthy and infected coconut trees, rhinoceros beetles, red palm weevils, and the oryctes virus. The model ensures biological feasibility through positivity and boundedness analysis. The basic reproduction number $R_0$ is derived using the next-generation matrix method. Both local and global stability of the equilibrium points are analyzed to determine conditions for pest persistence or eradication. Sensitivity analysis identifies the most influential parameters for pest management. Numerical simulations reveal that by effectively controlling the rhinoceros beetle population particularly through infection with the oryctes virus, the spread of the red palm weevil can also be suppressed. This indirect control mechanism helps to protect the coconut tree population more efficiently and supports sustainable pest management in coconut plantations.

In this paper, a mathematical model is developed and analyzed to assess the indirect impact of controlling rhinoceros beetles on red palm weevil populations in coconut plantations. The model consists of a system of six non-linear ordinary differential equations (ODEs), capturing the interactions among healthy and infected coconut trees, rhinoceros beetles, red palm weevils, and the oryctes virus. The model ensures biological feasibility through positivity and boundedness analysis. The basic reproduction number $R_0$ is derived using the next-generation matrix method. Both local and global stability of the equilibrium points are analyzed to determine conditions for pest persistence or eradication. Sensitivity analysis identifies the most influential parameters for pest management. Numerical simulations reveal that by effectively controlling the rhinoceros beetle population particularly through infection with the oryctes virus, the spread of the red palm weevil can also be suppressed. This indirect control mechanism helps to protect the coconut tree population more efficiently and supports sustainable pest management in coconut plantations.

Один из принципов формирования рыночной конкурентной среды состоит в создании условий для реализации экономическими агентами стратегий, оптимальных по Нэшу – Курно. При стандартном подходе к определению рыночных стратегий, оптимальных по Нэшу – Курно, экономические агенты должны обладать полной информацией о показателях и динамических характеристиках всех участников рынка. Что не соответствует действительности.

В связи с этим для отыскания оптимальных по Нэшу – Курно решений в динамических моделях необходимо наличие координатора, обладающего полной информацией об участниках. Однако в случае большого числа участников игры, даже при наличии у координатора необходимой информации, появляются вычислительные трудности, связанные с необходимостью решения большого числа связанных (coupled) уравнений (в случае линейных динамических игр с квадратическим критерием — матричных уравнений Риккати).

В связи с этим возникает необходимость в декомпозиции общей задачи определения оптимальных стратегий участников рынка на частные (локальные) задачи. Применительно к линейным динамическим играм с квадратическим критерием исследовались подходы, основанные на итерационной декомпозиции связанных матричных уравнений Риккати и решении локальных уравнений Риккати. В настоящей статье рассматривается более простой подход к итерационному определению равновесия по Нэшу – Курно в олигополии путем декомпозиции с использованием операционного исчисления (операторного метода).

Предлагаемый подход основан на следующей процедуре. Виртуальный координатор, обладающий информацией о параметрах обратной функции спроса, формирует цены на перспективный период. Олигополисты при заданной фиксированной динамике цен определяют свои стратегии в соответствии с несколько измененным критерием оптимальности. Оптимальные объемы продукции олигополистов поступают к координатору, который на основе итерационного алгоритма корректирует динамику цены на предыдущем шаге.

Предлагаемая процедура иллюстрируется на примере статической и динамической моделей рационального поведения участников олигополии, которые максимизируют чистую текущую стоимость (NPV).

При использовании методов операционного исчисления (и, в частности, обратного Z-преобразования) найдены условия, при которых итерационная процедура приводит к равновесным уровням цены и объемов производства в случае линейных динамических игр как с квадратичными, так и с нелинейными (вогнутыми) критериями оптимизации.

Рассмотренный подход использован применительно к примерам дуополии, триополии, дуополии на рынке с дифференцированным продуктом, дуополии с взаимодействующими олигополистами при линейной обратной функции спроса. Сопоставление результатов расчетов динамики цены и объемов производства олигополистов для рассмотренных примеров на основе связанных (coupled) уравнений матричных уравнений Риккати в Matlab, а также в соответствии с предложенным итерационным методом в широко доступной системе Excel показывает их практическую идентичность.

Кроме того, применение предложенной итерационной процедуры проиллюстрировано на примере дуополии с нелинейной функцией спроса.

One of the principles of forming a competitive market environment is to create conditions for economic agents to implement Nash – Cournot optimal strategies. With the standard approach to determining Nash – Cournot optimal market strategies, economic agents must have complete information about the indicators and dynamic characteristics of all market participants. Which is not true.

In this regard, to find Nash – Cournot optimal solutions in dynamic models, it is necessary to have a coordinator who has complete information about the participants. However, in the case of a large number of game participants, even if the coordinator has the necessary information, computational difficulties arise associated with the need to solve a large number of coupled equations (in the case of linear dynamic games — Riccati matrix equations).

In this regard, there is a need to decompose the general problem of determining optimal strategies for market participants into private (local) problems. Approaches based on the iterative decomposition of coupled matrix Riccati equations and the solution of local Riccati equations were studied for linear dynamic games with a quadratic criterion. This article considers a simpler approach to the iterative determination of the Nash – Cournot equilibrium in an oligopoly, by decomposition using operational calculus (operator method).

The proposed approach is based on the following procedure. A virtual coordinator, which has information about the parameters of the inverse demand function, forms prices for the prospective period. Oligopolists, given fixed price dynamics, determine their strategies in accordance with a slightly modified optimality criterion. The optimal volumes of production of the oligopolists are sent to the coordinator, who, based on the iterative algorithm, adjusts the price dynamics at the previous step.

The proposed procedure is illustrated by the example of a static and dynamic model of rational behavior of oligopoly participants who maximize the net present value (NPV). Using the methods of operational calculus (and in particular, the inverse Z-transformation), conditions are found under which the iterative procedure leads to equilibrium levels of price and production volumes in the case of linear dynamic games with both quadratic and nonlinear (concave) optimization criteria.

The approach considered is used in relation to examples of duopoly, triopoly, duopoly on the market with a differentiated product, duopoly with interacting oligopolists with a linear inverse demand function. Comparison of the results of calculating the dynamics of price and production volumes of oligopolists for the considered examples based on coupled equations of the matrix Riccati equations in Matlab (in the table — Riccati), as well as in accordance with the proposed iterative method in the widely available Excel system shows their practical identity.

In addition, the application of the proposed iterative procedure is illustrated by the example of a duopoly with a nonlinear demand function.

Рассматривается модель, описывающая пространственно-временную динамику сообщества, состоящего из трех популяций, представляющих звенья трофической цепи. Локальные взаимодействия популяций строятся по типу «хищник – жертва», причем хищник потребляет не только жертву, но и ресурс, составляющий рацион жертвы. В предыдущей работе автором был проведен анализ модели без учета пространственной неоднородности. Данное исследование продолжает модельное изучение сообщества, учитывая диффузию особей, а также направленные перемещения хищника. Предполагается, что хищник реагирует на пространственное изменение ресурса и жертвы, занимая области с более высокой плотностью или избегая их. В модели такое поведение описывается адвективным членом со скоростью, пропорциональной градиенту плотности ресурса и жертвы. Система рассматривается в одномерной области в предположении нулевых потоков через границу. Динамика модели определяется устойчивостью системы в окрестности пространственно-однородного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям. В работе проведен анализ возможности возникновения в системе волновой неустойчивости, приводящей к возникновению автоволн и неустойчивости Тьюринга, в результате которой образуются стационарные структуры. Получены достаточные условия существования обоих видов неустойчивости, определяющие границы области значений коэффициентов таксиса, при которых система может потерять устойчивость. Анализ влияния параметров локальной кинетики модели на возможность образования пространственных структур показал, что при положительном таксисе на ресурс возможна лишь неустойчивость Тьюринга, а при отрицательном — оба вида неустойчивости. Для поиска численного решения системы использован метод линий с расщеплением разностного оператора по физическим процессам. Пространственно-временная динамика системы представлена в нескольких вариантах, реализующих один из типов неустойчивости. В случае положительного таксиса на жертву в областях меньшего размера возможно как реализация автоволнового режима, так и образование стационарных структур; с увеличением области тьюринговы структуры не образуются. Если же таксис на жертву отрицательный, то стационарные структуры возникают в областях любого размера, периодические структуры появляются только в более крупных областях.

The spatiotemporal dynamics of a three-component model for food web is considered. The model describes the interactions among resource, prey and predator that consumes both species. In a previous work, the author analyzed the model without taking into account spatial heterogeneity. This study continues the model study of the community considering the diffusion of individuals, as well as directed movements of the predator. It is assumed that the predator responds to the spatial change in the resource and prey density by occupying areas where species density is higher or avoiding them. Directed predator movement is described by the advection term, where velocity is proportional to the gradient of resource and prey density. The system is considered on a one-dimensional domain with zero-flux conditions as boundary ones. The spatiotemporal dynamics produced by model is determined by the system stability in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations. The paper analyzes the possibility of wave instability leading to the emergence of autowaves and Turing instability, as a result of which stationary patterns are formed. Sufficient conditions for the existence of both types of instability are obtained. The influence of local kinetic parameters on the spatial structure formation was analyzed. It was shown that only Turing instability is possible when taxis on the resource is positive, but with a negative taxis, both types of instability are possible. The numerical solution of the system was found by using method of lines (MOL) with the numerical integration of ODE system by means of splitting techniques. The spatiotemporal dynamics of the system is presented in several variants, realizing one of the instability types. In the case of a positive taxis on the prey, both autowave and stationary structures are formed in smaller regions, with an increase in the region size, Turing structures are not formed. For negative taxis on the prey, stationary patterns is observed in both regions, while periodic structures appear only in larger areas.

Коллективное поведение может выступать в роли механизма терморегуляции и играть ключевую роль при выживании группы организмов. Такие явления в среде животных, как правило, являются предметом изучения биологии, так как внезапные переходы к коллективному поведению трудно дифференцировать от психологической и социальной адаптации животных в группе. Тем не менее в работе указывается важный пример, когда стая животных демонстрирует фазовые переходы, сходные с явлением классической тепловой конвекции в жидкостях и газах. Этот вопрос может быть изучен также экспериментально в рамках синтетических систем, состоящих из самодвижущихся роботов, которые действуют по определенному заданному алгоритму. Обобщая оба эти случая, мы рассматриваем задачу о фазовых переходах в плотной группе взаимодействующих самодвижущихся агентов. Врамк ах микроскопической теории мы предлагаем математическую модель явления, в которой агенты представлены в виде тел, взаимодействующих друг с другом в соответствии с эффективным потенциалом особого вида, выражающим стремление агентов двигаться в направлении градиента общего теплового поля. Показано, что управляющим параметром задачи является численность группы. Дискретная модель с индивидуальной динамикой агентов воспроизводит большинство явлений, наблюдаемых как в естественных стаях животных, демонстрирующих коллективную терморегуляцию, так и в синтетических сложных системах, состоящих из роботов. Наблюдается фазовый переход 1-го рода со сменой агрегатного состояния в среде агентов, который заключается в самосборке первоначальной слабоструктурированной массы агентов в плотные квазикристаллические структуры. Кроме того, показано, что с увеличением численности скопления наблюдается фазовый переход 2-го рода в форме тепловой конвекции, который включает внезапное ожижение группы и переход к вихревому движению. Последнее обеспечивает более эффективное расходование энергии в случае синтетической системы взаимодействующих роботов и коллективное выживание всех особей в случае природных стай животных. С ростом численности группы происходят вторичные бифуркации, вихревая структура толпы агентов усложняется.

Collective behavior can serve as a mechanism of thermoregulation and play a key role in the joint survival of a group of organisms. In higher animals, such phenomena are usually the subject of study of biology since sudden transitions to collective behavior are difficult to differentiate from the psychological and social adaptation of animals. However, in this paper, we indicate several important examples when a flock of higher animals demonstrates phase transitions similar to known phenomena in liquids and gases. This issue can also be studied experimentally within the framework of synthetic systems consisting of self-propelled robots that act according to a certain given algorithm. Generalizing both of these cases, we consider the problem of phase transitions in a dense group of interacting selfpropelled agents. Within the framework of microscopic theory, we propose a mathematical model of the phenomenon, in which agents are represented as bodies interacting with each other in accordance with an effective potential of a special type, expressing the desire of agents to move in the direction of the gradient of the joint thermal field. We show that the number of agents in the group, the group power, is the control parameter of the problem. A discrete model with individual dynamics of agents reproduces most of the phenomena observed both in natural flocks of higher animals engaged in collective thermoregulation and in synthetic complex systems. A first-order phase transition is observed, which symbolizes a change in the aggregate state in a group of agents. One observes the self-assembly of the initial weakly structured mass of agents into dense quasi-crystalline structures. We demonstrate also that, with an increase in the group power, a second-order phase transition in the form of thermal convection can occur. It manifests in a sudden liquefaction of the group and a transition to vortex motion, which ensures more efficient energy consumption in the case of a synthetic system of interacting robots and the collective survival of all individuals in the case of natural animal flocks.With an increase in the group power, secondary bifurcations occur, the vortex structure in agent medium becomes more complicated.

Модели распространения эпидемий широко применяются для моделирования социальной активности, например распространения слухов или паники. С другой стороны, для моделирования распространения активности традиционно используются модели возбудимых сред. Проведено моделирование распространения активности в виртуальном сообществе в рамках двух моделей: модели распространения эпидемий SIRS и модели возбудимой среды Винера – Розенблюта. Использованы сетевые версии этих моделей. Сеть предполагалась неоднородной: каждый элемент сети обладает индивидуальным набором характеристик, что соответствует различным психологическим типам членов сообщества. Структура виртуальной сети полагается соответствующей безмасштабной сети. Моделирование проводилось на безмасштабных сетях с различными значениями средней степени вершин. Дополнительно рассмотрен частный случай — полный граф, соответствующий узкой профессиональной группе, когда каждый член группы взаимодействует с каждым. Участники виртуального сообщества могут находиться в одном из трех состояний: 1) потенциальная готовность к восприятию определенной информации; 2) активный интерес к этой информации; 3) полное безразличие к этой информации. Эти состояния вполне соответствуют состояниям, которые обычно используют в моделях распространения эпидемий: 1) восприимчивый к ин- фекции субъект, 2) больной, 3) переболевший и более невосприимчивый к инфекции в силу приобретенного иммунитета или смерти от болезни. Сопоставление двух моделей показало их близость как на уровне формулировки основных положений, так и на уровне возможных режимов. Распространение активности по сети аналогично распространению инфекционных заболеваний. Показано, что активность в виртуальной сети может испытывать колебания или затухать.

Epidemic models are widely used to mimic social activity, such as spreading of rumors or panic. Simultaneously, models of excitable media are traditionally used to simulate the propagation of activity. Spreading of activity in the virtual community was simulated within two models: the SIRS epidemic model and the Wiener – Rosenblut model of the excitable media. We used network versions of these models. The network was assumed to be heterogeneous, namely, each element of the network has an individual set of characteristics, which corresponds to different psychological types of community members. The structure of a virtual network relies on an appropriate scale-free network. Modeling was carried out on scale-free networks with various values of the average degree of vertices. Additionally, a special case was considered, namely, a complete graph corresponding to a close professional group, when each member of the group interacts with each. Participants in a virtual community can be in one of three states: 1) potential readiness to accept certain information; 2) active interest to this information; 3) complete indifference to this information. These states correspond to the conditions that are usually used in epidemic models: 1) susceptible to infection, 2) infected, 3) refractory (immune or death due to disease). A comparison of the two models showed their similarity both at the level of main assumptions and at the level of possible modes. Distribution of activity over the network is similar to the spread of infectious diseases. It is shown that activity in virtual networks may experience fluctuations or decay.

В работе предложен набор достаточно простых алгоритмов, который может быть применен для анализа широкого круга белок-белковых взаимодействий. В настоящей работе мы совместно используем методы броуновской и молекулярной динамики для описания процесса образования комплекса белков пластоцианина и цитохрома f высших растений. В диффузионно-столкновительном комплексе выявлено два кластера структур, переход между которыми возможен с сохранением положения центра масс молекул и сопровождается лишь поворотом пластоцианина на 134 градуса. Первый и второй кластеры структур столкновительных комплексов отличаются тем, что в первом кластере с положительно заряженной областью вблизи малого домена цитохрома f контактирует только «нижняя» область пластоцианина, в то время как во втором кластере — обе отрицательно заряженные области. «Верхняя» отрицательно заряженная область пластоцианина в первом кластере оказывается в контакте с аминокислотным остатком лизина K122. При образовании финального комплекса происходит поворот молекулы пластоцианина на 69 градусов вокруг оси, проходящей через обе области электростатического контакта. При этом повороте происходит вытеснение воды из областей, находящихся вблизи кофакторов молекул и сформированных гидрофобными аминокислотными остатками. Это приводит к появлению гидрофобных контактов, уменьшению расстояния между кофакторами до расстояния менее 1,5 нм и дальнейшей стабилизации комплекса в положении, пригодном для передачи электрона. Такие характеристики, как матрицы контактов, оси поворота при переходе между состояниями и графики изменения количества контактов в процессе моделирования, позволяют определить ключевые аминокислотные остатки, участвующие в формировании комплекса и выявить физико-химические механизмы, лежащие в основе этого процесса.

The paper proposes a set of fairly simple analysis algorithms that can be used to analyze a wide range of protein-protein interactions. In this work, we jointly use the methods of Brownian and molecular dynamics to describe the process of formation of a complex of plastocyanin and cytochrome f proteins in higher plants. In the diffusion-collision complex, two clusters of structures were revealed, the transition between which is possible with the preservation of the position of the center of mass of the molecules and is accompanied only by a rotation of plastocyanin by 134 degrees. The first and second clusters of structures of collisional complexes differ in that in the first cluster with a positively charged region near the small domain of cytochrome f, only the “lower” plastocyanin region contacts, while in the second cluster, both negatively charged regions. The “upper” negatively charged region of plastocyanin in the first cluster is in contact with the amino acid residue of lysine K122. When the final complex is formed, the plastocyanin molecule rotates by 69 degrees around an axis passing through both areas of electrostatic contact. With this rotation, water is displaced from the regions located near the cofactors of the molecules and formed by hydrophobic amino acid residues. This leads to the appearance of hydrophobic contacts, a decrease in the distance between the cofactors to a distance of less than 1.5 nm, and further stabilization of the complex in a position suitable for electron transfer. Characteristics such as contact matrices, rotation axes during the transition between states, and graphs of changes in the number of contacts during the modeling process make it possible to determine the key amino acid residues involved in the formation of the complex and to reveal the physicochemical mechanisms underlying this process.

Разработана динамическая макромодельмиров ой динамики. В модели мир разбит на 19 регионов по географическому принципу согласно классификации Организации объединенных наций. Внутреннее развитие регионов описывается уравнениями разностного типа для демографических и экономических индикаторов, таких как численностьнас еления, валовой продукт, валовое накопление. Межрегиональные взаимодействия представляют собой агрегированные торговые потоки от региона к региону и описываются регрессионными уравнениями. В качестве регрессоров использовались время, валовой продукт экспортера и валовой продукт импортера. Рассматривалосьчеты ре типа: временная парная регрессия — зависимость торгового потока от времени, экспортная функция — зависимостьд оли торгового потока в валовом продукте экспортера от валового продукта импортера, импортная функция — зависимостьд оли торгового потока в валовой продукции импортера от валового продукта экспортера, множественная регрессия — зависимостьт оргового потока от валовых продуктов экспортера и импортера. Для каждого типа применялосьд ва вида функциональной зависимости: линейная и логарифмически-линейная, всего исследовано восемьв ариантов торгового уравнения. Проведено сравнение качества регрессионных моделей по коэффициенту детерминации. Расчеты показывают, что модель удовлетворительно аппроксимирует динамику монотонно меняющихся показателей. Проанализирована динамика немонотонных торговых потоков, для их аппроксимации предложено три вида функциональной зависимости от времени. Показано, что с 10%-й погрешностью множество внешнеторговых рядов может бытьприб лижено пространством семи главных компонент. Построен прогноз автономного развития регионов и глобальной динамики до 2040 года.

The paper present a dynamic macro model of world dynamics. The world is divided into 19 geographic regions in the model. The internal development of the regions is described by regression equations for demographic and economic indicators (Population, Gross Domestic Product, Gross Capital Formation). The bilateral trade flows from region to region describes interregional interactions and represented the trade submodel. Time, the gross product of the exporter and the gross product of the importer were used as regressors. Four types were considered: time pair regression — dependence of trade flow on time, export function — dependence of the share of trade flow in the gross product of the exporter on the gross product of the importer, import function — dependence of the share of trade flow in the gross product of the importer on the gross product of the exporter, multiple regression — dependence of trade flow on the gross products of the exporter and importer. Two types of functional dependence were used for each type: linear and log-linear, in total eight variants of the trading equation were studied. The quality of regression models is compared by the coefficient of determination. By calculations the model satisfactorily approximates the dynamics of monotonically changing indicators. The dynamics of non-monotonic trade flows is analyzed, three types of functional dependence on time are proposed for their approximation. It is shown that the number of foreign trade series can be approximated by the space of seven main components with a 10% error. The forecast of regional development and global dynamics up to 2040 is constructed.

В работе рассматриваются базовая модель конкурентных взаимодействий и ее использование для анализа и описания социальных процессов. Особенностью модели является то, что она описывает взаимодействие нескольких конкурирующих акторов, при этом акторы могут варьировать стратегию своих действий, в частности, образовывать коалиции для совместного противодействия общему противнику.

В результате моделирования выявлены различные режимы конкурентного взаимодействия, проведена их классификация, описаны их особенности. В ходе исследования уделено внимание так называемым негрубым (по А.А. Андронову) случаям реализации конкурентного взаимодействия, которые до сих пор редко рассматривались в научной литературе, но зато достаточно часто встречаются в реальной жизни. Сиспо льзованием базовой математической модели рассмотрены условия реализации различных режимов конкурентных взаимодействий, определены условия перехода от одних режимов к другим, приведены примеры реализации этих режимов в экономике, социальной и политической жизни.

Показано, что при относительно невысоком уровне конкуренции, носящей неантагонистический характер, конкуренция может приводить к повышению активности взаимодействующих акторов и к общему экономическому росту. Причем при наличии расширяющихся ресурсных возможностей (до тех пор, пока такие возможности сохраняются) данный рост может иметь гиперболический характер. При снижении ресурсных возможностей и усилении конкуренции происходит переход к колебательному режиму, когда более слабые акторы объединяются для совместного противодействия более сильным. При дальнейшем снижении ресурсных возможностей и усилении конкуренции происходит переход к формированию устойчивых иерархических структур. При этом модель показывает, что в определенный момент происходит потеря устойчивости, система становится негрубой (по А.А. Андронову) и чувствительной к флуктуациям изменений параметров. В результате сложившиеся иерархии могут разрушиться и замениться на новые. При дальнейшем повышении интенсивности конкуренции происходит полное подавление актором-лидером своих оппонентов и установление монополизма.

Приведены примеры из экономической, социальной, политической жизни, иллюстрирующие закономерности, выявленные на основе моделирования с использованием базовой модели конкуренции. Полученные результаты могут быть использованы при анализе, моделировании и прогнозировании социально-экономических и политических процессов.

The paper considers the basic model of competitive interactions and its use for the analysis and description of social processes. The peculiarity of the model is that it describes the interaction of several competing actors, while actors can vary the strategy of their actions, in particular, form coalitions to jointly counter a common enemy. As a result of modeling, various modes of competitive interaction were identified, their classification was conducted, and their features were described. In the course of the study, the attention is paid to the so-called “rough” (according to A.A. Andronov) cases of the implementation of competitive interaction, which until now have rarely been considered in the scientific literature, but are quite common in real life. Using a basic mathematical model, the conditions for the implementation of various modes of competitive interactions are considered, the conditions for the transition from one mode to another are determined, examples of the implementation of these modes in the economy, social and political life are given. It is shown that with a relatively low level of competition, which is non-antagonistic in nature, competition can lead to an increase in the activity of interacting actors and to overall economic growth. Moreover, in the presence of expanding resource opportunities (as long as such opportunities remain), this growth may have a hyperbolic character. With a decrease in resource capabilities and increased competition, there is a transition to an oscillatory mode, when weaker actors unite to jointly counteract stronger ones. With a further decrease in resource opportunities and increased competition, there is a transition to the formation of stable hierarchical structures. At the same time, the model shows that at a certain moment there is a loss of stability, the system becomes “rough” according to A.A. Andronov and sensitive to fluctuations in parameter changes. As a result, the existing hierarchies may collapse and be replaced by new ones. With a further increase in the intensity of competition, the actor-leader completely suppresses his opponents and establishes monopolism. Examples from economic, social, and political life are given, illustrating the patterns identified on the basis of modeling using the basic model of competition. The obtained results can be used in the analysis, modeling and forecasting of socioeconomic and political processes.