Все выпуски

Эпидемии серьезно дестабилизируют экономику, снижая производительность, ослабляя потребительскую активность и перегружая общественные ресурсы, что часто приводит к экономическим кризисам. Пандемия COVID-19 продемонстрировала ключевую роль нематериальных мер, таких как карантин, в сдерживании распространения инфекционных заболеваний. Данное исследование изучает, как развитие эпидемии и введение карантинных мер влияют на экономическое благополучие населения. С помощью компартментальных моделей на основе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) анализируется взаимосвязь между динамикой заболевания и экономическими последствиями, особенно фокусируясь на том, как различные строгости карантина воздействуют как на распространение болезни, так и на благосостояние населения. Результаты показывают, что эпидемии наносят значительный экономический ущерб, однако своевременные и строгие карантинные меры могут снизить нагрузку на систему здравоохранения, резко уменьшая пик заражений и замедляя развитие эпидемии. Тем не менее, стратегически продуманное ослабление карантина не менее важно для предотвращения повторных вспышек. Исследование выявляет ключевые эпидемиологические пороговые значения, такие как скорость передачи, уровень выздоровления и базовое репродуктивное число $(\mathfrak{R}_0)$, которые определяют эффективность карантина. Аналитически определяется оптимальная доля изолированных лиц, необходимая для минимизации общего числа заражений в условиях постоянного иммунитета. С экономической точки зрения, влияние карантина оценивается через динамику благосостояния населения: показано, что экономические последствия зависят от доли изолированных, но сохраняющих экономическую активность граждан. Чем выше эта доля, тем лучше сохраняется благосостояние даже при фиксированных эпидемиологических параметрах. Эти выводы предоставляют властям практические рекомендации для разработки сбалансированных карантинных стратегий, способных сдерживать распространение болезней и одновременно защищать экономическую стабильность в будущих кризисах.

Epidemics severely destabilize economies by reducing productivity, weakening consumer spending, and overwhelming public infrastructure, often culminating in economic recessions. The COVID-19 pandemic underscored the critical role of nonpharmaceutical interventions, such as lockdowns, in containing infectious disease transmission. This study investigates how the progression of epidemics and the implementation of lockdown policies shape the economic well-being of populations. By integrating compartmental ordinary differential equation (ODE) models, the research analyzes the interplay between epidemic dynamics and economic outcomes, particularly focusing on how varying lockdown intensities influence both disease spread and population wealth. Findings reveal that epidemics inflict significant economic damage, but timely and stringent lockdowns can mitigate healthcare system overload by sharply reducing infection peaks and delaying the epidemic’s trajectory. However, carefully timed lockdown relaxation is equally vital to prevent resurgent outbreaks. The study identifies key epidemiological thresholds—such as transmission rates, recovery rates, and the basic reproduction number $(\mathfrak{R}0)$ — that determine the effectiveness of lockdowns. Analytically, it pinpoints the optimal proportion of isolated individuals required to minimize total infections in scenarios where permanent immunity is assumed. Economically, the analysis quantifies lockdown impacts by tracking population wealth, demonstrating that economic outcomes depend heavily on the fraction of isolated individuals who remain economically productive. Higher proportions of productive individuals during lockdowns correlate with better wealth retention, even under fixed epidemic conditions. These insights equip policymakers with actionable frameworks to design balanced lockdown strategies that curb disease spread while safeguarding economic stability during future health crises.

Оптимизация противоопухолевой радиотерапии является актуальной проблемой, поскольку примерно половина пациентов с диагнозом рак проходят радиотерапию во время лечения. Протонная терапия потенциально более эффективна, чем традиционная фотонная терапия из-за фундаментальных различий в физике распределения дозы, которые приводит к лучшему нацеливанию на опухоли и меньшему сопутствующему повреждению здоровых тканей. В настоящее время наблюдается растущий интерес к использованию нерадиоактивных радиосенсибилизирующих опухолеспецифических наночастиц, использование которых может повысить эффективность протонной терапии. Такие наночастицы представляют собой небольшие объемы сенсибилизатора, например, бора-10 или различных оксидов металлов, заключенных в полимерный слой, содержащий опухолеспецифические антитела, что позволяет осуществлять их направленную доставку к злокачественным клеткам. Кроме того, сочетание протонной терапии с антиангиогенной терапией, которая нормализует микрососудистую сеть, связанную с опухолью, может дать дальнейшее синергетическое увеличение общей эффективности лечения.

Мы разработали пространственно распределенную математическую модель, имитирующую рост неинвазивной опухоли, проходящей лечение фракционированной протонной терапией с наносенсибилизаторами и антиангиогенной терапией. Результаты моделирования показывают, что наиболее эффективный способ комбинирования этих методов лечения должен существенно зависеть от скорости пролиферации опухолевых клеток и их собственной радиочувствительности. А именно, сочетание антиангиогенной терапии с протонной терапией, независимо от того, используются ли радиосенсибилизирующие наночастицы, должно повысить эффективность лечения быстрорастущих опухолей, а также радиорезистентных опухолей с умеренной скоростью роста. В этих случаях применение протонной терапии одновременно с антиангиогенными препаратами после первоначальной однократной инъекции наносенсибилизаторов является наиболее эффективным вариантом лечения среди проанализированных. Напротив, для медленнорастущих опухолей максимизация количества инъекций наносенсибилизаторов без антиангиогенной терапии оказывается более эффективным вариантом, причем повышение эффективности лечения растет с ростом радиочувствительности опухоли. Однако результаты также показывают, что общая эффективность протонной терапии, вероятно, должна увеличиться лишь умеренно при добавлении наносенсибилизаторов и антиангиогенных препаратов.

Optimization of antitumor radiotherapy represents an urgent issue, as approximately half of the patients diagnosed with cancer undergo radiotherapy during their treatment. Proton therapy is potentially more efficient than traditional X-ray radiotherapy due to fundamental differences in physics of dose deposition, leading to better targeting of tumors and less collateral damage to healthy tissue. There is increasing interest in the use of non-radioactive radiosensitizing tumor-specific nanoparticles the use of which can boost the performance of proton therapy. Such nanoparticles are small volumes of a sensitizer, such as boron-10 or various metal oxides, enclosed in a polymer layer containing tumor-specific antibodies, which allows for their targeted delivery to malignant cells. Furthermore, a combination of proton therapy with antiangiogenic therapy that normalizes tumor-associated microvasculature may yield further synergistic increase in overall treatment efficacy.

We have developed a spatially distributed mathematical model simulating the growth of a non-invasive tumor undergoing treatment by fractionated proton therapy with nanosensitizers and antiangiogenic therapy. The modeling results suggest that the most effective way to combine these treatment modalities should strongly depend on the tumor cells’ proliferation rate and their intrinsic radiosensitivity. Namely, a combination of antiangiogenic therapy with proton therapy, regardless of whether radiosensitizing nanoparticles are used, benefits treatment efficacy of rapidly growing tumors as well as radioresistant tumors with moderate growth rate. In these cases, administration of proton therapy simultaneously with antiangiogenic drugs after the initial single injection of nanosensitizers is the most effective option among those analyzed. Conversely, for slowly growing tumors, maximization of the number of nanosensitizer injections without antiangiogenic therapy proves to be a more efficient option, with enhancement in treatment efficacy growing with the increase of tumor radiosensitivity. However, the results also show that the overall efficacy of proton therapy is likely to increase only modestly with the addition of nanosensitizers and antiangiogenic drugs.

В данной работе предлагается и исследуется дискретная по времени математическая модель динамики численности популяции с сезонным характером размножения, позволяющая учесть влияние плотностно-зависимой регуляции и половой структуры на динамику численности животных. При построении модели предполагается, что рождаемость популяции зависит от численности самок. Регуляция роста численности осуществляется путем лимитирования выживаемости молоди, когда с увеличением численности популяции экспоненциально уменьшается выживаемость неполовозрелых особей. Проведено аналитическое и численное исследование предложенной модели. Показано, что когда в популяции выживает более половины самок и самцов, то популяция характеризуется устойчивой динамикой в большей части параметрического пространства при весьма высоком коэффициенте рождаемости. При этом колебания возникают, когда лимитирование выживаемости самок более выражено, чем лимитирование выживаемости самцов. Примечательно, что увеличение интенсивности лимитирования выживаемости самцов может стабилизировать динамику популяции, что особенно ярко проявляется при малой доле новорожденных самок. В результате исследования выявлено, что в зависимости от значений популяционных параметров модель может демонстрировать стабильную, периодическую и нерегулярную динамику. При этом возможно возникновение мультистабильности, когда вариация текущей численности в результате внешних факторов может привести к смене наблюдаемого режима динамики. С целью апробации предложенной структурированной модели предложен подход, позволяющий оценивать демографические параметры реальных популяций на основе их общей численности. Ключевая идея заключается в сведении дискретной во времени двухкомпонентной модели динамики численности лимитированной популяции с половой структурой к уравнению с запаздыванием, зависящему только от общей численности. В этом случае начальная половая структура определяется через общую численность популяции и зависит от демографических параметров популяции. Полученное одномерное уравнение применялось к описанию и оценке популяционных параметров, характеризующих половую структуру популяции конкретных видов, а именно охотничьих видов копытных Еврейской автономной области. Продемонстрировано, что уравнение с запаздыванием от общей численности довольно хорошо описывает реальную динамику копытных, улавливая тенденции изменения численности, и, как результат, вполне может применяться к описанию и анализу их динамики. Полученные в рамках работы точечные оценки располагаются в области биологически содержательных значений параметров и демонстрируют динамику численности популяций, подобную наблюдаемой в природе. Показано, что динамика численности популяций лося, косули и кабарги соответствует стабильному типу. Возникающие ежегодные колебания численности копытных в основном обусловлены влиянием внешних факторов и представляют собой отклонения от состояния равновесия. В целом полученные точечные оценки позволяют анализировать динамику структурированной популяции с сопутствующим краткосрочным прогнозом.

This study proposes and analyzes a discrete-time mathematical model of population dynamics with seasonal reproduction, taking into account the density-dependent regulation and sex structure. In the model, population birth rate depends on the number of females, while density is regulated through juvenile survival, which decreases exponentially with increasing total population size. Analytical and numerical investigations of the model demonstrate that when more than half of both females and males survive, the population exhibits stable dynamics even at relatively high birth rates. Oscillations arise when the limitation of female survival exceeds that of male survival. Increasing the intensity of male survival limitation can stabilize population dynamics, an effect particularly evident when the proportion of female offspring is low. Depending on parameter values, the model exhibits stable, periodic, or irregular dynamics, including multistability, where changes in current population size driven by external factors can shift the system between coexisting dynamic modes. To apply the model to real populations, we propose an approach for estimating demographic parameters based on total abundance data. The key idea is to reduce the two-component discrete model with sex structure to a delay equation dependent only on total population size. In this formulation, the initial sex structure is expressed through total abundance and depends on demographic parameters. The resulting one-dimensional equation was applied to describe and estimate demographic characteristics of ungulate populations in the Jewish Autonomous Region. The delay equation provides a good fit to the observed dynamics of ungulate populations, capturing long-term trends in abundance. Point estimates of parameters fall within biologically meaningful ranges and produce population dynamics consistent with field observations. For moose, roe deer, and musk deer, the model suggests predominantly stable dynamics, while annual fluctuations are primarily driven by external factors and represent deviations from equilibrium. Overall, these estimates enable the analysis of structured population dynamics alongside short-term forecasting based on total abundance data.

В данной работе представлены результаты моделирования круговорота кальция в лесных экосистемах. Кальций является одним из основных элементов минерального питания растений, регулирующим разные метаболические процессы. Его недостаток вызывает нарушения роста тканей растений. Увеличение дефицита кальция в лесных экосистемах появляется вследствие усиления кислотной нагрузки или отчуждения биомассы при вырубках. Модель представляет собой описание круговорота на основе потока вещества между пулами, включая подробное описание почвенной части круговорота – трансформация и минерализация подстилки и др. Для калибровки модели использовались экспериментальные данные по еловым лесам Болгарии.

Calcium is a major nutrient regulating metabolism in a plant. Deficiency of calcium results in a growth decline of plant tissues. Ca may be lost from forest soils due to acidic atmospheric deposition and tree harvesting. Plant-available calcium compounds are in the soil cation exchange complex and soil waters. Model of soil calcium dynamics linking it with the model of soil organic matter dynamics ROMUL in forest ecosystems is developed. ROMUL describes the mineralization and humification of the fraction of fresh litter which is further transformed into complex of partially humified substance (CHS) and then to stable humus (H) in dependence on temperature, soil moisture and chemical composition of the fraction (nitrogen, lignin and ash contents, pH). Rates of decomposition and humification being coefficients in the system of ordinary differential equations are evaluated using laboratory experiments and verified on a set of field experiments. Model of soil calcium dynamics describes calcium flows between pools of soil organic matter. Outputs are plant nutrition, leaching, synthesis of secondary minerals. The model describes transformation and mineralization of forest floor in detail. Experimental data for calibration model was used from spruсe forest of Bulgaria.

Данная работа посвящена исследованию закрученных течений. Течения с закруткой потока находят широкое применение в различных технологических процессах. Закрученные течения могут сопровождаться такими нестационарными эффектами, как прецессия вихревого ядра. В свою очередь крупномасштабные пульсации, вызванные прецессией вихря, могут привести к повреждению конструкций и снижению надежности оборудования. Таким образом, для инженерных расчетов требуются подходы, достаточно хорошо описывающие подобные течения. В данной работе представлена методика описания закрученных потоков апробированная в рамках программных комплексов Fluent и SigmaFlow. Проведено численное моделирование нескольких тестовых задач с закруткой потока. Полученные результаты сопоставлены между собой, а также с экспериментальными данными.

This paper is devoted to investigation of the swirl flows. Such flows are widely used in various industrial processes. Swirl flows can be accompanied by time-dependent effects, for example, precession of the vortex core. In turn, the large-scale fluctuations due to the precession of the vortex can cause damage of structures and reduce of equipment reliability. Thus, for engineering calculations approaches that sufficiently well described such flows are required. This paper presents the technique of swirl flows calculation, tested for CFD packages Fluent and SigmaFlow. A numerical simulation of several swirl flow test problems was carried out. Obtained results are compared with each other and with the experimental data.

Предложена имитационная модель коррупционного поведения в иерархических системах, учитывающая индивидуальные стратегии отдельных элементов и позволяющая описывать коллективное поведение достаточно больших групп. Были рассмотрены зависимости различных характеристик системы, таких как уровень коррумпированности и доля коррупционеров в иерархии, от управляющих параметров. Численный анализ позволил исследовать эффективность различных антикоррупционных стратегий.

Simulation model of corruption in hierarchical systems which takes into account individual strategies of elements and collective behavior of large groups is proposed. Evolution of various characteristics like level of corruption or ratio of corrupted elements and their dependence on external parameters are discussed. The effectiveness of various anticorruptional strategies is examined by means of numeric analysis.

В работе исследуется модификация модели Хотеллинга, в которой одна из фирм обладает нерыночным преимуществом, введенным по аналогии с валентностью, используемой в задачах политической экономии. Нерыночное (валентное) преимущество может интерпретироваться как реклама (узнаваемость фирмы). Установлено, что при аддитивной функции полезности потребителей, зависящей квадратично от расстояния до фирмы, существует единственное равновесие по Нэшу. Это равновесие значительно «богаче» равновесия в исходной модели Хотеллинга. В частности, дополнительное нерыночное преимущество может быть избыточным и его использование — неэффективным.

The principle of minimal differentiation, based on the Hotelling model, is well known in the economy. It is applicable to horizontal differentiated goods of almost any nature. The Hotelling approach to modeling competition of oligopolies corresponds to a modern description of monopolistic competition with increasing returns to scale and imperfect competition. We develop a modification of the Hotelling model that endows a firm with a non-market advantage, which is introduced alike the valence advantage known in problems of political economy. The nonmarket (valence) advantage can be interpreted as advertisement (brand awareness of firms). Problem statement. Consider two firms competing with prices and location. Homogeneous consumers vary with its location on a segment. They minimize their costs, which additively includes the price of the product and the distance from them to the product. The utility function is linear with respect to the price and quadratic with respect to the distance. It is also expected that one of the firms (for certainty, firm № 1) has a market advantage d. The consumers are assumed to take into account the sum of the distance to the product and the market advantage of firm 1. Thus, the strategy of the firms and the consumers depend on two parameters: the unit t of the transport costs and the non-market advantage d. I explore characteristics of the equilibrium in the model as a function of the non-market advantage for different fixed t. The aim of the research is to assess the impact of the non-market advantage on the equlibrium. We prove that the Nash equilibrium exists and it is unique under additive consumers' preferences de-pending on the square of the distance between consumers and firms. This equilibrium is ‘richer’ than that in the original Hotelling model. In particular, non-market advantage can be excessive and inefficient to use.

Проблема видового разнообразия является предметом постоянного внимания со стороны биологов и экологов. Она исследуется и в моделях сообществ. Принцип конкурентного исключения имеет прямое отношение к этой проблеме. Он означает невозможность сосуществования в сообществе видов, когда их количество превосходит число влияющих взаимно независимых факторов. Известный советский микробиолог Г. Ф. Гаузе высказал и экспериментально обосновал схожий принцип о том, что каждый вид имеет свою собственную экологическую нишу и никакие два разных вида не могут занять одну и ту же экологическую нишу. Если под влияющими факторами понимать плотностнозависимые контролирующие рост факторы и экологическую нишу описывать с помощью этих факторов, то принцип Гаузе и принцип конкурентного исключения, по сути, идентичны. К настоящему времени известны многие примеры нарушения этого принципа в природных системах. Одним из таких примеров является сообщество видов планктона, сосуществующих на ограниченном пространстве с небольшим числом влияющих факторов. В современной экологии данный парадокс известен как парадокс планктона или парадокс Хатчинсона. Объяснения этому варьируют от неточного выявления набора факторов до различных видов пространственной и временной неоднородностей. Для двухвидового сообщества с одним фактором влияния с нелинейными функциями роста и смертности доказана возможность устойчивого сосуществования видов. В этой работе рассматриваются ситуации нелинейности и пространственной неоднородности в двухвидовом сообществе с одним фактором влияния. Показано, что при нелинейных зависимостях от плотности популяции устойчивое стационарное сосуществование видов возможно в широком диапазоне изменения параметров. Пространственная неоднородность способствует нарушению принципа конкурентного исключения и в случаях неустойчивости стационарного состояния по Тьюрингу. В соответствии с общей теорией возникают квазистационарные устойчивые структуры сосуществования двух видов при одном влияющем факторе. В работе показано, что неустойчивость по Тьюрингу возможна, если хотя бы один из видов оказывает положительное влияние на фактор. Нелинейность модели по фазовым переменным и ее пространственная распределенность порождают нарушения принципа конкурентного исключения (и принципа Гаузе) как в виде устойчивых пространственно-однородных состояний, так и в виде квазиустойчивых пространственно-неоднородных структур при неустойчивом стационарном состоянии сообщества.

Execution or violation of the principle of competitive exclusion in communities is the subject of many studies. The principle of competitive exclusion means that coexistence of species in community is impossible if the number of species exceeds the number of controlling mutually independent factors. At that time there are many examples displaying the violations of this principle in the natural systems. The explanations for this paradox vary from inexact identification of the set of factors to various types of spatial and temporal heterogeneities. One of the factors breaking the principle of competitive exclusion is intraspecific competition. This study holds the model of community with two species and one influencing factor with density-dependent mortality and spatial heterogeneity. For such models possibility of the existence of stable equilibrium is proved in case of spatial homogeneity and negative effect of the species on the factor. Our purpose is analysis of possible variants of dynamics of the system with spatial heterogeneity under the various directions of the species effect on the influencing factor. Numerical analysis showed that there is stable coexistence of the species agreed with homogenous spatial distributions of the species if the species effects on the influencing factor are negative. Density-dependent mortality and spatial heterogeneity lead to violation of the principle of competitive exclusion when equilibriums are Turing unstable. In this case stable spatial heterogeneous patterns can arise. It is shown that Turing instability is possible if at least one of the species effects is positive. Model nonlinearity and spatial heterogeneity cause violation of the principle of competitive exclusion in terms of both stable spatial homogenous states and quasistable spatial heterogeneous patterns.

В работе рассматривается задача оценивания параметров временных рядов, описываемых регрессионными моделями с марковскими переключениями двух режимов в случайные моменты времени и независимыми гауссовскими шумами. Для решения предлагается вариант EM-алгоритма, основанный на итерационной процедуре, в ходе которой происходит чередование оценивания параметров регрессии при заданной последовательности переключений режимов и оценивания последовательности переключений при заданных параметрах моделей регрессии. В отличие от известных методов оценивания параметров регрессий с марковскими переключениями режимов, которые основаны на вычислении апостериорных вероятностей дискретных состояний последовательности переключений, в работе находятся оптимальные по критерию максимума апостериорной вероятности оценки процесса переключений. В результате предлагаемый алгоритм оказывается более простым и требует меньшее количество расчетов. Компьютерное моделирование позволяет выявить факторы, влияющие на точность оценивания. К таким факторам относятся число наблюдений, количество неизвестных параметров регрессии, степень их различия в разных режимах работы, а также величина отношения сигнала к шуму, которую в моделях регрессии можно связать с величиной коэффициента детерминации. Предложенный алгоритм применяется для задачи оценивания параметров в моделях регрессии для доходности индекса РТС в зависимости от доходностей индекса S&P 500 и акций «Газпрома» за период с 2013 года по 2018 год. Проводится сравнение оценок параметров, найденных с помощью предлагаемого алгоритма, с оценками, которые формируются с использованием эконометрического пакета EViews, и с оценками обычного метода наименьших квадратов без учета переключений режимов. Учет переключений позволяет получить более точное представление о структуре статистической зависимости исследуемых переменных. В моделях с переключениями рост отношения сигнала к шуму приводит к тому, что уменьшаются различия в оценках, вырабатываемых предлагаемым алгоритмом и с помощью программы EViews.

The paper considers the problem of estimating the parameters of time series described by regression models with Markov switching of two regimes at random instants of time with independent Gaussian noise. For the solution, we propose a variant of the EM algorithm based on the iterative procedure, during which an estimation of the regression parameters is performed for a given sequence of regime switching and an evaluation of the switching sequence for the given parameters of the regression models. In contrast to the well-known methods of estimating regression parameters in the models with Markov switching, which are based on the calculation of a posteriori probabilities of discrete states of the switching sequence, in the paper the estimates are calculated of the switching sequence, which are optimal by the criterion of the maximum of a posteriori probability. As a result, the proposed algorithm turns out to be simpler and requires less calculations. Computer modeling allows to reveal the factors influencing accuracy of estimation. Such factors include the number of observations, the number of unknown regression parameters, the degree of their difference in different modes of operation, and the signal-to-noise ratio which is associated with the coefficient of determination in regression models. The proposed algorithm is applied to the problem of estimating parameters in regression models for the rate of daily return of the RTS index, depending on the returns of the S&P 500 index and Gazprom shares for the period from 2013 to 2018. Comparison of the estimates of the parameters found using the proposed algorithm is carried out with the estimates that are formed using the EViews econometric package and with estimates of the ordinary least squares method without taking into account regimes switching. The account of regimes switching allows to receive more exact representation about structure of a statistical dependence of investigated variables. In switching models, the increase in the signal-to-noise ratio leads to the fact that the differences in the estimates produced by the proposed algorithm and using the EViews program are reduced.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

We consider “predator – prey” model taking into account the competition of prey, predator for different from the prey resources, and their interaction described by the second type Holling trophic function. An analysis of the attractors is carried out depending on the coefficient of competition of predators. In the deterministic case, this model demonstrates the complex behavior associated with the local (Andronov –Hopf and saddlenode) and global (birth of a cycle from a separatrix loop) bifurcations. An important feature of this model is the disappearance of a stable cycle due to a saddle-node bifurcation. As a result of the presence of competition in both populations, parametric zones of mono- and bistability are observed. In parametric zones of bistability the system has either coexisting two equilibria or a cycle and equilibrium. Here, we investigate the geometrical arrangement of attractors and separatrices, which is the boundary of basins of attraction. Such a study is an important component in understanding of stochastic phenomena. In this model, the combination of the nonlinearity and random perturbations leads to the appearance of new phenomena with no analogues in the deterministic case, such as noise-induced transitions through the separatrix, stochastic excitability, and generation of mixed-mode oscillations. For the parametric study of these phenomena, we use the stochastic sensitivity function technique and the confidence domain method. In the bistability zones, we study the deformations of the equilibrium or oscillation regimes under stochastic perturbation. The geometric criterion for the occurrence of such qualitative changes is the intersection of confidence domains and the separatrix of the deterministic model. In the zone of monostability, we evolve the phenomena of explosive change in the size of population as well as extinction of one or both populations with minor changes in external conditions. With the help of the confidence domains method, we solve the problem of estimating the proximity of a stochastic population to dangerous boundaries, upon reaching which the coexistence of populations is destroyed and their extinction is observed.