Все выпуски

Система гемостаза представляет собой одну из ключевых защитных систем организма, которая присутствует практически во всех его жидких тканях, но наиболее важна в крови. Она активируется при различных повреждениях стенки сосуда, и взаимодействие ее специализированных клеток и гуморальных систем приводит сначала к формированию гемостатического сгустка, останавливающего потерю крови, а затем к постепенному растворению этого сгустка. Образование гемостатического тромба — уникальный с точки зрения физиологии процесс, так как за время порядка минуты система гемостаза образует сложные структуры, имеющие пространственный масштаб от микрометров (в случае повреждения микрососудов или стыков между отдельными эндотелиальными клетками) до сантиметра (в случае повреждения крупных магистральных артерий). Гемостатический ответ зависит от множества скоординированных и параллельно идущих процессов, включающих адгезию тромбоцитов, их активацию, агрегацию, секрецию различных гранул, изменение формы, состава внешней части липидного бислоя, контракцию тромба и образование фибриновой сети в результате работы каскада свертывания крови. Компьютерное моделирование представляет собой мощный инструмент для исследования этой сложной системы и решения практических задач в этой области на разных уровнях организации: от внутриклеточной сигнализации в тромбоцитах, моделирования гуморальных систем свертывания крови и фибринолиза и до разработки многомасштабных моделей тромбообразования. Проблемы, связанные с компьютерным моделированием биологических процессов, можно разделить на две основные категории: отсутствие адекватного физико-математического описания имеющихся в литературе экспериментальных данных из-за сложности биологических систем (проблема отсутствия адекватной теоретической модели биологических процессов) и проблема высокой вычислительной сложности некоторых моделей, которая не позволяет применять их для исследования физиологически интересных сценариев. Здесь мы рассмотрим как некоторые принципиальные проблемы в области моделирования свертывания крови, которые до сих пор остаются нерешенными, так и прогресс в экспериментальных исследованиях гемостаза и тромбоза, ведущий к пересмотру многих ранее принятых представлений, что необходимо отразить в новых компьютерных моделях этих процессов. Особое внимание будет уделено нюансам артериального, венозного и микрососудистого тромбоза, а также проблемам фибринолиза и тромболизиса. В обзоре также кратко обсуждаются основные типы используемых математических моделей, их сложность с точки зрения вычислений, а также принципиальные вопросы, связанные с возможностью описания процессов тромбообразования в артериях.

Hemostasis system is one of the key body’s defense systems, which is presented in all the liquid tissues and especially important in blood. Hemostatic response is triggered as a result of the vessel injury. The interaction between specialized cells and humoral systems leads to the formation of the initial hemostatic clot, which stops bleeding. After that the slow process of clot dissolution occurs. The formation of hemostatic plug is a unique physiological process, because during several minutes the hemostatic system generates complex structures on a scale ranging from microns for microvessel injury or damaged endothelial cell-cell contacts, to centimeters for damaged systemic arteries. Hemostatic response depends on the numerous coordinated processes, which include platelet adhesion and aggregation, granule secretion, platelet shape change, modification of the chemical composition of the lipid bilayer, clot contraction, and formation of the fibrin mesh due to activation of blood coagulation cascade. Computer modeling is a powerful tool, which is used to study this complex system at different levels of organization. This includes study of intracellular signaling in platelets, modelling humoral systems of blood coagulation and fibrinolysis, and development of the multiscale models of thrombus growth. There are two key issues of the computer modeling in biology: absence of the adequate physico-mathematical description of the existing experimental data due to the complexity of the biological processes, and high computational complexity of the models, which doesn’t allow to use them to test physiologically relevant scenarios. Here we discuss some key unresolved problems in the field, as well as the current progress in experimental research of hemostasis and thrombosis. New findings lead to reevaluation of the existing concepts and development of the novel computer models. We focus on the arterial thrombosis, venous thrombosis, thrombosis in microcirculation and the problems of fibrinolysis and thrombolysis. We also briefly discuss basic types of the existing mathematical models, their computational complexity, and principal issues in simulation of thrombus growth in arteries.

Реологическое поведение водных суспензий на основе наноразмерных частиц диоксида кремния сильно зависит от динамической вязкости, которая непосредственно влияет на применение наножидкостей. Целью данной работы являются разработка и валидация моделей для прогнозирования динамической вязкости от независимых входных параметров: концентрации диоксида кремния SiO₂, кислотности рН, а также скорости сдвига $\gamma$. Проведен анализ влияния состава суспензии на ее динамическую вязкость. Выявлены статистически однородные по составу группы суспензий, в рамках которых возможна взаимозаменяемость составов. Показано, что при малых скоростях сдвига реологические свойства суспензий существенно отличаются от свойств, полученных на более высоких скоростях. Установлены значимые положительные корреляции динамической вязкости суспензии с концентрацией SiO₂ и кислотностью рН, отрицательные — со скоростью сдвига $\gamma$. Построены регрессионные модели с регуляризацией зависимости динамической вязкости $\eta$ от концентраций SiO₂, NaOH, H₃PO₄, ПАВ (поверхностно-активное вещество), ЭДА (этилендиамин), скорости сдвига $\gamma$. Для более точного прогнозирования динамической вязкости были обучены модели с применением алгоритмов нейросетевых технологий и машинного обучения (многослойного перцептрона MLP, сети радиальной базисной функции RBF, метода опорных векторов SVM, метода случайного леса RF). Эффективность построенных моделей оценивалась с использованием различных статистических метрик, включая среднюю абсолютную ошибку аппроксимации (MAE), среднюю квадратическую ошибку (MSE), коэффициент детерминации $R^2$, средний процент абсолютного относительного отклонения (AARD%). Модель RF показала себя как лучшая модель на обучающей и тестовой выборках. Определен вклад каждой компоненты в построенную модель, показано, что наибольшее влияние на динамическую вязкость оказывает концентрация SiO₂, далее кислотность рН и скорость сдвига $\gamma$. Точность предлагаемых моделей сравнивается с точностью ранее опубликованных в литературе моделей. Результаты подтверждают, что разработанные модели можно рассматривать как практический инструмент для изучения поведения наножидкостей, в которых используются водные суспензии на основе наноразмерных частиц диоксида кремния.

The rheological behavior of aqueous suspensions based on nanoscale silicon dioxide particles strongly depends on the dynamic viscosity, which affects directly the use of nanofluids. The purpose of this work is to develop and validate models for predicting dynamic viscosity from independent input parameters: silicon dioxide concentration SiO₂, pH acidity, and shear rate $\gamma$. The influence of the suspension composition on its dynamic viscosity is analyzed. Groups of suspensions with statistically homogeneous composition have been identified, within which the interchangeability of compositions is possible. It is shown that at low shear rates, the rheological properties of suspensions differ significantly from those obtained at higher speeds. Significant positive correlations of the dynamic viscosity of the suspension with SiO₂ concentration and pH acidity were established, and negative correlations with the shear rate $\gamma$. Regression models with regularization of the dependence of the dynamic viscosity $\eta$ on the concentrations of SiO₂, NaOH, H₃PO₄, surfactant (surfactant), EDA (ethylenediamine), shear rate γ were constructed. For more accurate prediction of dynamic viscosity, the models using algorithms of neural network technologies and machine learning (MLP multilayer perceptron, RBF radial basis function network, SVM support vector method, RF random forest method) were trained. The effectiveness of the constructed models was evaluated using various statistical metrics, including the average absolute approximation error (MAE), the average quadratic error (MSE), the coefficient of determination $R^2$, and the average percentage of absolute relative deviation (AARD%). The RF model proved to be the best model in the training and test samples. The contribution of each component to the constructed model is determined. It is shown that the concentration of SiO₂ has the greatest influence on the dynamic viscosity, followed by pH acidity and shear rate γ. The accuracy of the proposed models is compared to the accuracy of models previously published. The results confirm that the developed models can be considered as a practical tool for studying the behavior of nanofluids, which use aqueous suspensions based on nanoscale particles of silicon dioxide.

Эпидемии серьезно дестабилизируют экономику, снижая производительность, ослабляя потребительскую активность и перегружая общественные ресурсы, что часто приводит к экономическим кризисам. Пандемия COVID-19 продемонстрировала ключевую роль нематериальных мер, таких как карантин, в сдерживании распространения инфекционных заболеваний. Данное исследование изучает, как развитие эпидемии и введение карантинных мер влияют на экономическое благополучие населения. С помощью компартментальных моделей на основе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) анализируется взаимосвязь между динамикой заболевания и экономическими последствиями, особенно фокусируясь на том, как различные строгости карантина воздействуют как на распространение болезни, так и на благосостояние населения. Результаты показывают, что эпидемии наносят значительный экономический ущерб, однако своевременные и строгие карантинные меры могут снизить нагрузку на систему здравоохранения, резко уменьшая пик заражений и замедляя развитие эпидемии. Тем не менее, стратегически продуманное ослабление карантина не менее важно для предотвращения повторных вспышек. Исследование выявляет ключевые эпидемиологические пороговые значения, такие как скорость передачи, уровень выздоровления и базовое репродуктивное число $(\mathfrak{R}_0)$, которые определяют эффективность карантина. Аналитически определяется оптимальная доля изолированных лиц, необходимая для минимизации общего числа заражений в условиях постоянного иммунитета. С экономической точки зрения, влияние карантина оценивается через динамику благосостояния населения: показано, что экономические последствия зависят от доли изолированных, но сохраняющих экономическую активность граждан. Чем выше эта доля, тем лучше сохраняется благосостояние даже при фиксированных эпидемиологических параметрах. Эти выводы предоставляют властям практические рекомендации для разработки сбалансированных карантинных стратегий, способных сдерживать распространение болезней и одновременно защищать экономическую стабильность в будущих кризисах.

Epidemics severely destabilize economies by reducing productivity, weakening consumer spending, and overwhelming public infrastructure, often culminating in economic recessions. The COVID-19 pandemic underscored the critical role of nonpharmaceutical interventions, such as lockdowns, in containing infectious disease transmission. This study investigates how the progression of epidemics and the implementation of lockdown policies shape the economic well-being of populations. By integrating compartmental ordinary differential equation (ODE) models, the research analyzes the interplay between epidemic dynamics and economic outcomes, particularly focusing on how varying lockdown intensities influence both disease spread and population wealth. Findings reveal that epidemics inflict significant economic damage, but timely and stringent lockdowns can mitigate healthcare system overload by sharply reducing infection peaks and delaying the epidemic’s trajectory. However, carefully timed lockdown relaxation is equally vital to prevent resurgent outbreaks. The study identifies key epidemiological thresholds—such as transmission rates, recovery rates, and the basic reproduction number $(\mathfrak{R}0)$ — that determine the effectiveness of lockdowns. Analytically, it pinpoints the optimal proportion of isolated individuals required to minimize total infections in scenarios where permanent immunity is assumed. Economically, the analysis quantifies lockdown impacts by tracking population wealth, demonstrating that economic outcomes depend heavily on the fraction of isolated individuals who remain economically productive. Higher proportions of productive individuals during lockdowns correlate with better wealth retention, even under fixed epidemic conditions. These insights equip policymakers with actionable frameworks to design balanced lockdown strategies that curb disease spread while safeguarding economic stability during future health crises.

Оптимизация противоопухолевой радиотерапии является актуальной проблемой, поскольку примерно половина пациентов с диагнозом рак проходят радиотерапию во время лечения. Протонная терапия потенциально более эффективна, чем традиционная фотонная терапия из-за фундаментальных различий в физике распределения дозы, которые приводит к лучшему нацеливанию на опухоли и меньшему сопутствующему повреждению здоровых тканей. В настоящее время наблюдается растущий интерес к использованию нерадиоактивных радиосенсибилизирующих опухолеспецифических наночастиц, использование которых может повысить эффективность протонной терапии. Такие наночастицы представляют собой небольшие объемы сенсибилизатора, например, бора-10 или различных оксидов металлов, заключенных в полимерный слой, содержащий опухолеспецифические антитела, что позволяет осуществлять их направленную доставку к злокачественным клеткам. Кроме того, сочетание протонной терапии с антиангиогенной терапией, которая нормализует микрососудистую сеть, связанную с опухолью, может дать дальнейшее синергетическое увеличение общей эффективности лечения.

Мы разработали пространственно распределенную математическую модель, имитирующую рост неинвазивной опухоли, проходящей лечение фракционированной протонной терапией с наносенсибилизаторами и антиангиогенной терапией. Результаты моделирования показывают, что наиболее эффективный способ комбинирования этих методов лечения должен существенно зависеть от скорости пролиферации опухолевых клеток и их собственной радиочувствительности. А именно, сочетание антиангиогенной терапии с протонной терапией, независимо от того, используются ли радиосенсибилизирующие наночастицы, должно повысить эффективность лечения быстрорастущих опухолей, а также радиорезистентных опухолей с умеренной скоростью роста. В этих случаях применение протонной терапии одновременно с антиангиогенными препаратами после первоначальной однократной инъекции наносенсибилизаторов является наиболее эффективным вариантом лечения среди проанализированных. Напротив, для медленнорастущих опухолей максимизация количества инъекций наносенсибилизаторов без антиангиогенной терапии оказывается более эффективным вариантом, причем повышение эффективности лечения растет с ростом радиочувствительности опухоли. Однако результаты также показывают, что общая эффективность протонной терапии, вероятно, должна увеличиться лишь умеренно при добавлении наносенсибилизаторов и антиангиогенных препаратов.

Optimization of antitumor radiotherapy represents an urgent issue, as approximately half of the patients diagnosed with cancer undergo radiotherapy during their treatment. Proton therapy is potentially more efficient than traditional X-ray radiotherapy due to fundamental differences in physics of dose deposition, leading to better targeting of tumors and less collateral damage to healthy tissue. There is increasing interest in the use of non-radioactive radiosensitizing tumor-specific nanoparticles the use of which can boost the performance of proton therapy. Such nanoparticles are small volumes of a sensitizer, such as boron-10 or various metal oxides, enclosed in a polymer layer containing tumor-specific antibodies, which allows for their targeted delivery to malignant cells. Furthermore, a combination of proton therapy with antiangiogenic therapy that normalizes tumor-associated microvasculature may yield further synergistic increase in overall treatment efficacy.

We have developed a spatially distributed mathematical model simulating the growth of a non-invasive tumor undergoing treatment by fractionated proton therapy with nanosensitizers and antiangiogenic therapy. The modeling results suggest that the most effective way to combine these treatment modalities should strongly depend on the tumor cells’ proliferation rate and their intrinsic radiosensitivity. Namely, a combination of antiangiogenic therapy with proton therapy, regardless of whether radiosensitizing nanoparticles are used, benefits treatment efficacy of rapidly growing tumors as well as radioresistant tumors with moderate growth rate. In these cases, administration of proton therapy simultaneously with antiangiogenic drugs after the initial single injection of nanosensitizers is the most effective option among those analyzed. Conversely, for slowly growing tumors, maximization of the number of nanosensitizer injections without antiangiogenic therapy proves to be a more efficient option, with enhancement in treatment efficacy growing with the increase of tumor radiosensitivity. However, the results also show that the overall efficacy of proton therapy is likely to increase only modestly with the addition of nanosensitizers and antiangiogenic drugs.

В данной работе представлены результаты моделирования круговорота кальция в лесных экосистемах. Кальций является одним из основных элементов минерального питания растений, регулирующим разные метаболические процессы. Его недостаток вызывает нарушения роста тканей растений. Увеличение дефицита кальция в лесных экосистемах появляется вследствие усиления кислотной нагрузки или отчуждения биомассы при вырубках. Модель представляет собой описание круговорота на основе потока вещества между пулами, включая подробное описание почвенной части круговорота – трансформация и минерализация подстилки и др. Для калибровки модели использовались экспериментальные данные по еловым лесам Болгарии.

Calcium is a major nutrient regulating metabolism in a plant. Deficiency of calcium results in a growth decline of plant tissues. Ca may be lost from forest soils due to acidic atmospheric deposition and tree harvesting. Plant-available calcium compounds are in the soil cation exchange complex and soil waters. Model of soil calcium dynamics linking it with the model of soil organic matter dynamics ROMUL in forest ecosystems is developed. ROMUL describes the mineralization and humification of the fraction of fresh litter which is further transformed into complex of partially humified substance (CHS) and then to stable humus (H) in dependence on temperature, soil moisture and chemical composition of the fraction (nitrogen, lignin and ash contents, pH). Rates of decomposition and humification being coefficients in the system of ordinary differential equations are evaluated using laboratory experiments and verified on a set of field experiments. Model of soil calcium dynamics describes calcium flows between pools of soil organic matter. Outputs are plant nutrition, leaching, synthesis of secondary minerals. The model describes transformation and mineralization of forest floor in detail. Experimental data for calibration model was used from spruсe forest of Bulgaria.

Данная работа посвящена исследованию закрученных течений. Течения с закруткой потока находят широкое применение в различных технологических процессах. Закрученные течения могут сопровождаться такими нестационарными эффектами, как прецессия вихревого ядра. В свою очередь крупномасштабные пульсации, вызванные прецессией вихря, могут привести к повреждению конструкций и снижению надежности оборудования. Таким образом, для инженерных расчетов требуются подходы, достаточно хорошо описывающие подобные течения. В данной работе представлена методика описания закрученных потоков апробированная в рамках программных комплексов Fluent и SigmaFlow. Проведено численное моделирование нескольких тестовых задач с закруткой потока. Полученные результаты сопоставлены между собой, а также с экспериментальными данными.

This paper is devoted to investigation of the swirl flows. Such flows are widely used in various industrial processes. Swirl flows can be accompanied by time-dependent effects, for example, precession of the vortex core. In turn, the large-scale fluctuations due to the precession of the vortex can cause damage of structures and reduce of equipment reliability. Thus, for engineering calculations approaches that sufficiently well described such flows are required. This paper presents the technique of swirl flows calculation, tested for CFD packages Fluent and SigmaFlow. A numerical simulation of several swirl flow test problems was carried out. Obtained results are compared with each other and with the experimental data.

Предложена имитационная модель коррупционного поведения в иерархических системах, учитывающая индивидуальные стратегии отдельных элементов и позволяющая описывать коллективное поведение достаточно больших групп. Были рассмотрены зависимости различных характеристик системы, таких как уровень коррумпированности и доля коррупционеров в иерархии, от управляющих параметров. Численный анализ позволил исследовать эффективность различных антикоррупционных стратегий.

Simulation model of corruption in hierarchical systems which takes into account individual strategies of elements and collective behavior of large groups is proposed. Evolution of various characteristics like level of corruption or ratio of corrupted elements and their dependence on external parameters are discussed. The effectiveness of various anticorruptional strategies is examined by means of numeric analysis.

В работе исследуется модификация модели Хотеллинга, в которой одна из фирм обладает нерыночным преимуществом, введенным по аналогии с валентностью, используемой в задачах политической экономии. Нерыночное (валентное) преимущество может интерпретироваться как реклама (узнаваемость фирмы). Установлено, что при аддитивной функции полезности потребителей, зависящей квадратично от расстояния до фирмы, существует единственное равновесие по Нэшу. Это равновесие значительно «богаче» равновесия в исходной модели Хотеллинга. В частности, дополнительное нерыночное преимущество может быть избыточным и его использование — неэффективным.

The principle of minimal differentiation, based on the Hotelling model, is well known in the economy. It is applicable to horizontal differentiated goods of almost any nature. The Hotelling approach to modeling competition of oligopolies corresponds to a modern description of monopolistic competition with increasing returns to scale and imperfect competition. We develop a modification of the Hotelling model that endows a firm with a non-market advantage, which is introduced alike the valence advantage known in problems of political economy. The nonmarket (valence) advantage can be interpreted as advertisement (brand awareness of firms). Problem statement. Consider two firms competing with prices and location. Homogeneous consumers vary with its location on a segment. They minimize their costs, which additively includes the price of the product and the distance from them to the product. The utility function is linear with respect to the price and quadratic with respect to the distance. It is also expected that one of the firms (for certainty, firm № 1) has a market advantage d. The consumers are assumed to take into account the sum of the distance to the product and the market advantage of firm 1. Thus, the strategy of the firms and the consumers depend on two parameters: the unit t of the transport costs and the non-market advantage d. I explore characteristics of the equilibrium in the model as a function of the non-market advantage for different fixed t. The aim of the research is to assess the impact of the non-market advantage on the equlibrium. We prove that the Nash equilibrium exists and it is unique under additive consumers' preferences de-pending on the square of the distance between consumers and firms. This equilibrium is ‘richer’ than that in the original Hotelling model. In particular, non-market advantage can be excessive and inefficient to use.

Проблема видового разнообразия является предметом постоянного внимания со стороны биологов и экологов. Она исследуется и в моделях сообществ. Принцип конкурентного исключения имеет прямое отношение к этой проблеме. Он означает невозможность сосуществования в сообществе видов, когда их количество превосходит число влияющих взаимно независимых факторов. Известный советский микробиолог Г. Ф. Гаузе высказал и экспериментально обосновал схожий принцип о том, что каждый вид имеет свою собственную экологическую нишу и никакие два разных вида не могут занять одну и ту же экологическую нишу. Если под влияющими факторами понимать плотностнозависимые контролирующие рост факторы и экологическую нишу описывать с помощью этих факторов, то принцип Гаузе и принцип конкурентного исключения, по сути, идентичны. К настоящему времени известны многие примеры нарушения этого принципа в природных системах. Одним из таких примеров является сообщество видов планктона, сосуществующих на ограниченном пространстве с небольшим числом влияющих факторов. В современной экологии данный парадокс известен как парадокс планктона или парадокс Хатчинсона. Объяснения этому варьируют от неточного выявления набора факторов до различных видов пространственной и временной неоднородностей. Для двухвидового сообщества с одним фактором влияния с нелинейными функциями роста и смертности доказана возможность устойчивого сосуществования видов. В этой работе рассматриваются ситуации нелинейности и пространственной неоднородности в двухвидовом сообществе с одним фактором влияния. Показано, что при нелинейных зависимостях от плотности популяции устойчивое стационарное сосуществование видов возможно в широком диапазоне изменения параметров. Пространственная неоднородность способствует нарушению принципа конкурентного исключения и в случаях неустойчивости стационарного состояния по Тьюрингу. В соответствии с общей теорией возникают квазистационарные устойчивые структуры сосуществования двух видов при одном влияющем факторе. В работе показано, что неустойчивость по Тьюрингу возможна, если хотя бы один из видов оказывает положительное влияние на фактор. Нелинейность модели по фазовым переменным и ее пространственная распределенность порождают нарушения принципа конкурентного исключения (и принципа Гаузе) как в виде устойчивых пространственно-однородных состояний, так и в виде квазиустойчивых пространственно-неоднородных структур при неустойчивом стационарном состоянии сообщества.

Execution or violation of the principle of competitive exclusion in communities is the subject of many studies. The principle of competitive exclusion means that coexistence of species in community is impossible if the number of species exceeds the number of controlling mutually independent factors. At that time there are many examples displaying the violations of this principle in the natural systems. The explanations for this paradox vary from inexact identification of the set of factors to various types of spatial and temporal heterogeneities. One of the factors breaking the principle of competitive exclusion is intraspecific competition. This study holds the model of community with two species and one influencing factor with density-dependent mortality and spatial heterogeneity. For such models possibility of the existence of stable equilibrium is proved in case of spatial homogeneity and negative effect of the species on the factor. Our purpose is analysis of possible variants of dynamics of the system with spatial heterogeneity under the various directions of the species effect on the influencing factor. Numerical analysis showed that there is stable coexistence of the species agreed with homogenous spatial distributions of the species if the species effects on the influencing factor are negative. Density-dependent mortality and spatial heterogeneity lead to violation of the principle of competitive exclusion when equilibriums are Turing unstable. In this case stable spatial heterogeneous patterns can arise. It is shown that Turing instability is possible if at least one of the species effects is positive. Model nonlinearity and spatial heterogeneity cause violation of the principle of competitive exclusion in terms of both stable spatial homogenous states and quasistable spatial heterogeneous patterns.

В работе рассматривается задача оценивания параметров временных рядов, описываемых регрессионными моделями с марковскими переключениями двух режимов в случайные моменты времени и независимыми гауссовскими шумами. Для решения предлагается вариант EM-алгоритма, основанный на итерационной процедуре, в ходе которой происходит чередование оценивания параметров регрессии при заданной последовательности переключений режимов и оценивания последовательности переключений при заданных параметрах моделей регрессии. В отличие от известных методов оценивания параметров регрессий с марковскими переключениями режимов, которые основаны на вычислении апостериорных вероятностей дискретных состояний последовательности переключений, в работе находятся оптимальные по критерию максимума апостериорной вероятности оценки процесса переключений. В результате предлагаемый алгоритм оказывается более простым и требует меньшее количество расчетов. Компьютерное моделирование позволяет выявить факторы, влияющие на точность оценивания. К таким факторам относятся число наблюдений, количество неизвестных параметров регрессии, степень их различия в разных режимах работы, а также величина отношения сигнала к шуму, которую в моделях регрессии можно связать с величиной коэффициента детерминации. Предложенный алгоритм применяется для задачи оценивания параметров в моделях регрессии для доходности индекса РТС в зависимости от доходностей индекса S&P 500 и акций «Газпрома» за период с 2013 года по 2018 год. Проводится сравнение оценок параметров, найденных с помощью предлагаемого алгоритма, с оценками, которые формируются с использованием эконометрического пакета EViews, и с оценками обычного метода наименьших квадратов без учета переключений режимов. Учет переключений позволяет получить более точное представление о структуре статистической зависимости исследуемых переменных. В моделях с переключениями рост отношения сигнала к шуму приводит к тому, что уменьшаются различия в оценках, вырабатываемых предлагаемым алгоритмом и с помощью программы EViews.

The paper considers the problem of estimating the parameters of time series described by regression models with Markov switching of two regimes at random instants of time with independent Gaussian noise. For the solution, we propose a variant of the EM algorithm based on the iterative procedure, during which an estimation of the regression parameters is performed for a given sequence of regime switching and an evaluation of the switching sequence for the given parameters of the regression models. In contrast to the well-known methods of estimating regression parameters in the models with Markov switching, which are based on the calculation of a posteriori probabilities of discrete states of the switching sequence, in the paper the estimates are calculated of the switching sequence, which are optimal by the criterion of the maximum of a posteriori probability. As a result, the proposed algorithm turns out to be simpler and requires less calculations. Computer modeling allows to reveal the factors influencing accuracy of estimation. Such factors include the number of observations, the number of unknown regression parameters, the degree of their difference in different modes of operation, and the signal-to-noise ratio which is associated with the coefficient of determination in regression models. The proposed algorithm is applied to the problem of estimating parameters in regression models for the rate of daily return of the RTS index, depending on the returns of the S&P 500 index and Gazprom shares for the period from 2013 to 2018. Comparison of the estimates of the parameters found using the proposed algorithm is carried out with the estimates that are formed using the EViews econometric package and with estimates of the ordinary least squares method without taking into account regimes switching. The account of regimes switching allows to receive more exact representation about structure of a statistical dependence of investigated variables. In switching models, the increase in the signal-to-noise ratio leads to the fact that the differences in the estimates produced by the proposed algorithm and using the EViews program are reduced.