Все выпуски

В первой части статьи сформулирована общая цель работы, состоящая в численном исследовании химических, ионизационных, оптических и температурных характеристик нижней ионосферы, возмущенной мощным потоком радиоизлучения. Дан краткий обзор основных экспериментальных и теоретических исследований физических явлений в ионосфере при воздействии на нее потока радиоволн коротковолнового диапазона, генерируемого нагревными стендами различной мощности. Показана определяющая роль $D$-области ионосферы в поглощении энергии радиолуча. Выполнен подробный анализ кинетических процессов в возмущенной $D$-области ионосферы, которая является наиболее сложной в кинетическом отношении. Показано, что для полного описания ионизационно-химических и оптических характеристик возмущенной области необходимо учитывать более 70 компонент, которые по своему основному физическому содержанию удобно разделить на пять групп. Представлена кинетическая модель для описания изменения концентраций взаимодействующих между собой компонентов (общее число реакций — 259). Система кинетических уравнений решалась с помощью специально адаптированного к такого рода задачам полунеявного численного метода. На основе предложенной структуры разработан программный комплекс, в котором схема алгоритма допускала менять как содержимое отдельных блоков программы, так и их количество, что позволило проводить подробные численные исследования отдельных процессов в поведении параметров возмущенной области. Полный численный алгоритм основан на двухтемпературном приближении, в котором главное внимание уделялось расчету электронной температуры, так как на ее поведение определяющее влияние оказывают неупругие кинетические процессы с участием электронов. Постановка задачи носит общий характер и позволяет рассчитывать параметры возмущенной ионосферы в широком диапазоне мощностей и частот радиоизлучения. На основе разработанной численной методики можно исследовать широкий круг явлений как в естественной, так и в возмущенной ионосфере.

The main aim, formulated in the first part of article, is to carry out detailed numerical studies of the chemical, ionization, optical, and temperature characteristics of the lower ionosphere perturbed by powerful radio emission. The brief review of the main experimental and theoretical researches of physical phenomena occurring in the ionosphere when it is heated by high-power high-frequency radio waves from heating facilities is given. The decisive role of the $D$-region of the ionosphere in the absorption of radio beam energy is shown. A detailed analysis of kinetic processes in the disturbed $D$-region, which is the most complex in kinetic terms, has been performed. It is shown that for a complete description of the ionization-chemical and optical characteristics of the disturbed region, it is necessary to take into account more than 70 components, which, according to their main physical content, can be conveniently divided into five groups. A kinetic model is presented to describe changes in the concentrations of components interacting (the total number of reactions is 259). The system of kinetic equations was solved using a semi-implicit numerical method specially adapted to such problems. Based on the proposed structure, a software package was developed in which the algorithm scheme allowed changing both the content of individual program blocks and their number, which made it possible to conduct detailed numerical studies of individual processes in the behavior of the parameters of the perturbed region. The complete numerical algorithm is based on the two-temperature approximation, in which the main attention was paid to the calculation of the electron temperature, since its behavior is determined by inelastic kinetic processes involving electrons. The formulation of the problem is of a rather general nature and makes it possible to calculate the parameters of the disturbed ionosphere in a wide range of powers and frequencies of radio emission. Based on the developed numerical technique, it is possible to study a wide range of phenomena both in the natural and disturbed ionosphere.

В работе рассмотрено два варианта понятия острого минимума для задач математического программирования с квазивыпуклой целевой функцией и ограничениями-неравенствами. Исследована задача описания варианта простого субградиентного метода с переключениями по продуктивным и непродуктивным шагам, для которого бы на классе задач с липшицевыми функциями можно было гарантировать сходимость со скоростью геометрической прогрессии ко множеству точных решений или его окрестности. При этом важно, чтобы для реализации метода не было необходимости знать параметр острого минимума, который обычно сложно оценить на практике. В качестве решения проблемы авторы предлагают использовать процедуру регулировки шага, аналогичную предложенной ранее Б. Т. Поляком. Однако при этом более остро по сравнению с классом задач без ограничений встает проблема знания точного значения минимума целевой функции. В работе описываются условия на погрешность этой информации, которые позволяют сохранить сходимость со скоростью геометрической прогрессии в окрестность множества точек минимума задачи. Рассмотрено два аналога понятия острого минимума для задач с ограничениями-неравенствами. В первом случае возникает проблема приближения к точному решению лишь до заранее выбранного уровня точности, при этом рассматривается случай, когда минимальное значение целевой функции неизвестно, вместо этого дано некоторое его приближение. Описаны условия на неточность минимума целевой функции, при которой все еще сохраняется сходимость к окрестности искомого множества точек со скоростью геометрической прогрессии. Второй рассматриваемый вариант острого минимума не зависит от желаемой точности задачи. Для него предложен несколько иной способ проверки продуктивности шага, позволяющий в случае точной информации гарантировать сходимость метода к точному решению со скоростью геометрической прогрессии. Доказаны оценки сходимости в условиях слабой выпуклости ограничений и некоторых ограничениях на выбор начальной точки, а также сформулирован результат-следствие для выпуклого случая, когда необходимость дополнительного предположения о выборе начальной точки пропадает. Для обоих подходов доказано убывание расстояния от текущей точки до множества решений с ростом количества итераций. Это, в частности, позволяет ограничить требования используемых свойств функций (липшицевость, острый минимум) лишь для ограниченного множества. Выполнены вычислительные эксперименты, в том числе для задачи проектирования механических конструкций.

In this paper, we consider two variants of the concept of sharp minimum for mathematical programming problems with quasiconvex objective function and inequality constraints. It investigated the problem of describing a variant of a simple subgradient method with switching along productive and non-productive steps, for which, on a class of problems with Lipschitz functions, it would be possible to guarantee convergence with the rate of geometric progression to the set of exact solutions or its vicinity. It is important that to implement the proposed method there is no need to know the sharp minimum parameter, which is usually difficult to estimate in practice. To overcome this problem, the authors propose to use a step adjustment procedure similar to that previously proposed by B. T. Polyak. However, in this case, in comparison with the class of problems without constraints, it arises the problem of knowing the exact minimal value of the objective function. The paper describes the conditions for the inexactness of this information, which make it possible to preserve convergence with the rate of geometric progression in the vicinity of the set of minimum points of the problem. Two analogs of the concept of a sharp minimum for problems with inequality constraints are considered. In the first one, the problem of approximation to the exact solution arises only to a pre-selected level of accuracy, for this, it is considered the case when the minimal value of the objective function is unknown; instead, it is given some approximation of this value. We describe conditions on the inexact minimal value of the objective function, under which convergence to the vicinity of the desired set of points with a rate of geometric progression is still preserved. The second considered variant of the sharp minimum does not depend on the desired accuracy of the problem. For this, we propose a slightly different way of checking whether the step is productive, which allows us to guarantee the convergence of the method to the exact solution with the rate of geometric progression in the case of exact information. Convergence estimates are proved under conditions of weak convexity of the constraints and some restrictions on the choice of the initial point, and a corollary is formulated for the convex case when the need for an additional assumption on the choice of the initial point disappears. For both approaches, it has been proven that the distance from the current point to the set of solutions decreases with increasing number of iterations. This, in particular, makes it possible to limit the requirements for the properties of the used functions (Lipschitz-continuous, sharp minimum) only for a bounded set. Some computational experiments are performed, including for the truss topology design problem.

С помощью комплекса биофизических и математических методов исследовано влияние ионов меди на первичные процессы фотосинтеза пресноводной микроводоросли Scenedesmus quadricauda. Проведена оценка воздействия меди (0,1–10 мкМ CuSO₄) по индукционным кривым флуоресценции хлорофилла a, полученным как на суспензии клеток, так и на отдельных клетках водорослей после инкубации в световых и темных условиях. Установлено, что медь оказывает дозозависимое воздействие на фотосинтетический аппарат микроводорослей. Низкие (0,1 мкМ) концентрации CuSO₄ по ряду параметров оказывают стимулирующие воздействие, тогда как концентрация 10 мкМ приводила к существенным нарушениям функционирования фотосистемы II. Анализ флуоресценции одиночных клеток оказался более чувствительным по сравнению с традиционными измерениями на суспензиях, позволив выявить гетерогенность реакции клеток на действие CuSO₄. Анализ кинетики быстрой флуоресценции хлорофилла a (JIP-тест) показал, что наибольшую чувствительность к воздействию меди проявили параметры $\delta_{Ro}$ и $\varphi_{Ro}$, которые достоверно отличались от контроля при воздействии не только высокой, но и средней концентрации (1 мкМ). При инкубации с CuSO₄ в световых условиях снижение фотохимической активности клеток было менее выражено, чем в условиях темновой инкубации. Нормирование данных по интенсивности начальной и максимальной флуоресценции на оптическую плотность суспензии при $\lambda = 455$ нм значительно повысило чувствительность метода и позволило более точно интерпретировать эти данные. Использование L₁-регуляризации (LASSO) по методу наименьших углов (LARS) для спектральной мультиэкспоненциальной аппроксимации индукционной кривой позволило выявить ее временные характеристики. Результаты математической обработки полученных данных дают основание предположить, что действие ионов меди приводит к увеличению нефотохимического тушения флуоресценции, являющегося защитным механизмом рассеивания избыточной энергии возбуждения. Наблюдаемая гетерогенность реакций отдельных клеток водорослей на воздействие меди, по-видимому, является важным адаптационным механизмом, позволяющим популяции сохранять жизнеспособность в условиях стресса. Полученные данные подтверждают перспективность использования методов флуоресцентного анализа для ранней диагностики стрессовых воздействий тяжелых металлов на фотосинтезирующие организмы.

The effect of copper ions on the primary processes of photosynthesis in freshwater microalgae Scenedesmus quadricauda was studied using a set of biophysical and mathematical methods. Chlorophyll a fluorescence transients were recorded both in cell suspensions and at the level of single cells after incubation at copper concentrations of 0.1–10 $\mu$M under light and dark conditions. It was found that copper has a dose-dependent effect on the photosynthetic apparatus of microalgae. At low copper concentration (0.1 $\mu$M), a stimulating effect on a number of studied parameters was observed, whereas significant disruption of Photosystem II activity was detected at 10 $\mu$M. The method of analyzing fluorescence of single cells proved to be more sensitive compared to traditional suspension measurements, allowing the detection of heterogeneous cellular responses to the toxicant. Analysis of chlorophyll a fast fluorescence kinetics showed that the JIP-test parameters $\delta_{Ro}$ and $\varphi_{Ro}$ were the most sensitive to copper exposure and were significantly different from the control when exposed not only to high but also to medium (1 $\mu$M) copper concentrations. The decrease in photochemical activity of cells during light incubation was less pronounced compared to dark conditions. The application of data normalization to optical density at $\lambda = 455$ nm significantly increased the sensitivity of the method and accuracy of result interpretation. The use of L₁-regularization (LASSO) by the least angles method (LARS) for the spectral multi-exponential approximation of the fluorescence transients allowed us to reveal their temporal characteristics. Mathematical analysis of the obtained data suggested that copper exposure leads to increased non-photochemical quenching of fluorescence, which serves as a protective mechanism for dissipating excess excitation energy. The revealed heterogeneity of cellular responses to copper action may have important ecological significance, ensuring the survival of part of the population under stress conditions. The obtained data confirm the promise of using fluorescent analysis methods for early diagnosis of heavy metal stress effects on photosynthesizing organisms.

В статье предложена математическая модель фазового перехода на примере гидрирования/дегидрирования порошка металла. Рассматривается одна частица, форма которой обладает некоторой симметрией. Шар, цилиндр и плоская пластина являются частными случаями симметричных форм. Модель описывает как сценарий «сжимающегося ядра» (формирование слоя новой фазы на поверхности частицы с его последующим утолщением), так и сценарий «образования и роста зародышей», при которых сплошной слой не формируется до полного исчезновения старой фазы. Модель представляет собой неклассическую диффузионную краевую задачу со свободной границей и нелинейными граничными условими III рода. Предположения симметрии позволяют свести задачу к одной пространственной переменной. Модель апробирована на серии экспериментальных данных. Показано, что влияние формы частиц на кинетику несущественно. Также показано, что ансамбль частиц различных форм с распределением по размерам может быть аппроксимирован одной частицей «среднего» размера простой формы, что оправдывает использование в моделях упрощающих предположений.

In the paper we construct the model of phase change. Process of hydriding / dehydriding is taken as an example. A single powder particle is considered under the assumption about its symmetry. A ball, a cylinder, and a flat plate are examples of such symmetrical shapes. The model desribes both the "shrinking core"(when the skin of the new phase appears on the surface of the particle) and the "nucleation and growth"(when the skin does not appear till complete vanishing of the old phase) scenarios. The model is the non-classical boundary-value problem with the free boundary and nonlinear Neumann boundary condition. The symmetry assumptions allow to reduce the problem to the single spatial variable. The model was tested on the series of experimental data. We show that the particle shape’s influence on the kinetics is insignificant. We also show that a set of particles of different shapes with size distribution can be approxomated by the single particle of the "average" size and of a simple shape; this justifies using single particle approximation and simple shapes in mathematical models.

В работе развивается новый математический метод решения задачи совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях распределения Райса, основанный на комбинировании метода максимума правдоподобия и метода моментов. При этом определение искомых параметров задачи осуществляется посредством обработки выборочных измерений амплитуды анализируемого райсовского сигнала. Получена система уравнений для искомых параметров сигнала и шума, а также представлены результаты численных расчетов, подтверждающие эффективность предлагаемого метода. Показано, что решение двухпараметрической задачи разработанным методом не приводит к увеличению объема требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с решением однопараметрической задачи. В частном случае малой величины отношения сигнала к шуму получено аналитическое решение задачи. В работе проведено исследование зависимости погрешности и разброса расчетных данных для искомых параметров от количества измерений в экспериментальной выборке. Как показали численные эксперименты, величина разброса расчетных значений искомых параметров сигнала и шума, полученных предлагаемым методом, изменяется обратно пропорционально количеству измерений в выборке. Проведено сопоставление точности оценивания искомых райсовских параметров предлагаемым методом и ранее развитым вариантом метода моментов. Решаемая в работе задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации, в системах ультразвуковой визуализации, при анализе оптических сигналов в системах дальнометрии, в радиолокации, а также при решении многих других научных и прикладных задач, адекватно описываемых статистической моделью Райса.

The paper develops a new mathematical method of the joint signal and noise calculation at the Rice statistical distribution based on combing the maximum likelihood method and the method of moments. The calculation of the sough-for values of signal and noise is implemented by processing the sampled measurements of the analyzed Rician signal’s amplitude. The explicit equations’ system has been obtained for required signal and noise parameters and the results of its numerical solution are provided confirming the efficiency of the proposed technique. It has been shown that solving the two-parameter task by means of the proposed technique does not lead to the increase of the volume of demanded calculative resources if compared with solving the task in one-parameter approximation. An analytical solution of the task has been obtained for the particular case of small value of the signal-to-noise ratio. The paper presents the investigation of the dependence of the sought for parameters estimation accuracy and dispersion on the quantity of measurements in experimental sample. According to the results of numerical experiments, the dispersion values of the estimated sought-for signal and noise parameters calculated by means of the proposed technique change in inverse proportion to the quantity of measurements in a sample. There has been implemented a comparison of the accuracy of the soughtfor Rician parameters’ estimation by means of the proposed technique and by earlier developed version of the method of moments. The problem having been considered in the paper is meaningful for the purposes of Rician data processing, in particular, at the systems of magnetic-resonance visualization, in devices of ultrasonic visualization, at optical signals’ analysis in range-measuring systems, at radar signals’ analysis, as well as at solving many other scientific and applied tasks that are adequately described by the Rice statistical model.

Для функционирования регуляторных областей ДНК решающее значение имеет не нуклеотидная последовательность (генетический текст), а их физико-химические и структурные свойства. Именно они обеспечивают кодирование ДНК-белковых взаимодействий, лежащих в основе различных процессов регуляции. Среди таких свойств SIDD (Stress-Induced Duplex Destabilization) — характеристика, описывающая склонность участка дуплекса ДНК к плавлению при заданном уровне суперспирализации. Ранее для данного параметра дуплекса показана роль в функционировании областей регуляции различного типа. В данной работе модель SIDD использована для получения профилей вероятности плавления последовательностей промоторов бактериофага T7. Данный геном характеризуется малым размером (примерно 40 тыс. пар нуклеотидов) и временной организацией экспрессии генов: на первом этапе инфекции ранняя область Т7-ДНК транскрибируется РНК-полимеразой бактерии-хозяина, на более поздних этапах жизненного цикла фагоспецифичная РНК-полимераза последовательно производит транскрипцию областей генов II класса и III класса. При этом механизмы дифференциального узнавания промоторов разных групп ферментом-полимеразой не могут быть основаны исключительно на их нуклеотидной последовательности, в частности в связи с тем, что она очень близка для большинства таких промоторов. В то же время полученные профили SIDD данных промоторов сильно различаются и могут быть разделены на характерные группы, соответствующие функциональным классам промоторов Т7-ДНК. Так, все промоторы ранней области находятся в области влияния одного максимально дестабилизированного участка дуплекса ДНК, соответствующего различным областям конкретных промоторов. Промоторы класса II лишены значительно дестабилизированных областей вблизи точки старта транскрипции. Напротив, промоторы III класса имеют характерные пики профилей вероятности плавления, в каждом случае локализованные в ближней downstream-области. Таким образом, установлены значительные различия профилей для промоторных областей при очень близкой нуклеотидной последовательности (промоторы II и III классов отличаются единичными заменами нуклеотидов), что подтверждает высокую чувствительность рассматриваемого свойства дуплекса к первичной структуре, а также необходимость рассмотрения широкого генетического контекста. Описанные различия профилей вероятности плавления на основе модели SIDD наряду с другими физическими свойствами могут определять дифференциальное узнавание промоторов разных классов РНК-полимеразами.

The functioning of DNA regulatory regions rely primarily on their physicochemical and structural properties but not on nucleotide sequences, i.e. ‘genetic text’. The formers are responsible for coding of DNA-protein interactions that govern various regulatory events. One of the characteristics is SIDD (Stress-Induced Duplex Destabilization) that quantify DNA duplex region propensity to melt under the imposed superhelical stress. The duplex property has been shown to participate in activity of various regulatory regions. Here we employ the SIDD model to calculate melting probability profiles for T7 bacteriophage promoter sequences. The genome is characterized by small size (approximately 40 thousand nucleotides) and temporal organization of expression: at the first stage of infection early T7 DNA region is transcribed by the host cell RNA polymerase, later on in life cycle phage-specific RNA polymerase performs transcription of class II and class III genes regions. Differential recognition of a particular group of promoters by the enzyme cannot be solely explained by their nucleotide sequences, because of, among other reasons, it is fairly similar among most the promoters. At the same time SIDD profiles obtained vary significantly and are clearly separated into groups corresponding to functional promoter classes of T7 DNA. For example, early promoters are affected by the same maximally destabilized DNA duplex region located at the varying region of a particular promoter. class II promoters lack substantially destabilized regions close to transcription start sites. Class III promoters, in contrast, demonstrate characteristic melting probability maxima located in the near-downstream region in all cases. Therefore, the apparent differences among the promoter groups with exceptional textual similarity (class II and class III differ by only few singular substitutions) were established. This confirms the major impact of DNA primary structure on the duplex parameter as well as a need for a broad genetic context consideration. The differences in melting probability profiles obtained using SIDD model alongside with other DNA physicochemical properties appears to be involved in differential promoter recognition by RNA polymerases.

В статье рассматривается процесс поиска опорных траекторий движения плоского пятизвенного двуногого шагающего робота с точечным контактом. Для этого используются метод приведения динамики к низкоразмерному нулевому многообразию с помощью наложения виртуальных связей и алгоритмы нелинейной оптимизации для поиска параметров наложенных связей. Проведен анализ влияния степени полиномов Безье, аппроксимирующих виртуальные связи, а также условия непрерывности управляющих воздействий на энергоэффективность движения. Численные расчеты показали, что на практике достаточно рассматривать полиномы со степенями 5 или 6, так как дальнейшее увеличение степени приводит к увеличению вычислительных затрат, но не гарантирует уменьшение энергозатрат походки. Помимо этого, было установлено, что введение ограничений на непрерывность управляющих воздействий не приводит к существенному уменьшению энергоэффективности и способствует реализуемости походки на реальном роботе благодаря плавному изменению крутящих моментов в приводах. В работе показано, что для решения задачи поиска минимума целевой функции в виде энергозатрат при наличии большого количества ограничений целесообразно на первом этапе найти допустимые точки в пространстве параметров, а на втором этапе — осуществлять поиск локальных минимумов, стартуя с этих точек. Для первого этапа предложен алгоритм расчета начальных приближений искомых параметров, позволяющий сократить время поиска траекторий (в среднем до 3-4 секунд) по сравнению со случайным начальным приближением. Сравнение значений целевых функций на первом и на втором этапах показывает, что найденные на втором этапе локальные минимумы дают в среднем двукратный выигрыш по энергоэффективности в сравнении со случайно найденной на первом этапе допустимой точкой. При этом времязатраты на выполнение локальной оптимизации на втором этапе являются существенными.

In this paper, we discuss the procedure for finding nominal trajectories of the planar five-link bipedal robot with point contact. To this end we use a virtual constraints method that transforms robot’s dynamics to a lowdimensional zero manifold; we also use a nonlinear optimization algorithms to find virtual constraints parameters that minimize robot’s cost of transportation. We analyzed the effect of the degree of Bezier polynomials that approximate the virtual constraints and continuity of the torques on the cost of transportation. Based on numerical results we found that it is sufficient to consider polynomials with degrees between five and six, as further increase in the degree of polynomial results in increased computation time while it does not guarantee reduction of the cost of transportation. Moreover, it was shown that introduction of torque continuity constraints does not lead to significant increase of the objective function and makes the gait more implementable on a real robot.

We propose a two step procedure for finding minimum of the considered optimization problem with objective function in the form of cost of transportation and with high number of constraints. During the first step we solve a feasibility problem: remove cost function (set it to zero) and search for feasible solution in the parameter space. During the second step we introduce the objective function and use the solution found in the first step as initial guess. For the first step we put forward an algorithm for finding initial guess that considerably reduced optimization time of the first step (down to 3–4 seconds) compared to random initialization. Comparison of the objective function of the solutions found during the first and second steps showed that on average during the second step objective function was reduced twofold, even though overall computation time increased significantly.

Несмотря на многочисленные достижения современной науки, до сих пор остается нераскрытой проблема зарождения молниевого разряда в безэлектродном грозовом облаке, максимальная напряженность электрического поля в котором примерно на порядок меньше диэлектрической прочности воздуха. Хотя не вызывает сомнений тот факт, что развитие разряда начинается с появления в облаке положительных стримеров, развитие которых становится возможным при примерно вдвое меньших значениях электрического поля по сравнению с отрицательными, на настоящий момент остается неизученным вопрос о том, каким образом холодные слабопроводящие стримерные системы объединяются в горячий хорошо проводящий лидерный канал, способный к самостоятельному распространению за счет эффективной поляризации в относительно слабом внешнем поле. В данной работе представлена самоорганизующаяся транспортная модель, реализованная на примере формирования фрактального древа электрического разряда в грозовом облаке и направленная на численное моделирование процесса начальной стадии развития молниевого разряда. Среди инновационных особенностей нашего подхода, отсутствующих в других численных моделях развития молнии, можно выделитьот сутствие привязки элементов проводящей структуры графа к узлам пространственной решетки, высокое пространственно-временное разрешение и учет временной эволюции электрических параметров транспортных каналов. Кроме того, модельучи тывает известную из многочисленных экспериментов асимметрию полей развития положительных и отрицательных стримеров. В рамках используемого подхода результирующий хорошо проводящий лидерный канал формируется за счет коллективного эффекта объединения токов десятков тысяч взаимодействующих между собой стримеров, каждый из которых изначально обладает пренебрежимо малой проводимостью и температурой, не отличающейся от температуры окружающей среды. Модельное биполярное древо представляет собой направленный граф (имеет положительную и отрицательную части) и имеет морфологические и электро-динамические характеристики, промежуточные между лабораторной длинной искрой и развитой молнией. Модель имеет универсальный характер, что при необходимости позволяет использовать ее в рамках других задач, связанных с исследованием транспортных (в широком смысле слова) сетей.

Despite numerous achievements of modern science the problem of lightning initiation in an electrodeless thundercloud, the maximum electric field strength inside which is approximately an order of magnitude lower than the dielectric strength of air, remains unsolved. Although there is no doubt that discharge activity begins with the appearance of positive streamers, which can develop under approximately half the threshold electric field as compared to negative ones, it remains unexplored how cold weakly conducting streamer systems unite in a joint hot well-conducting leader channel capable of self-propagation due to effective polarization in a relatively small external field. In this study, we present a self-organizing transport model which is applied to the case of electric discharge tree formation in a thundercloud. So, the model is aimed at numerical simulation of the initial stage of lightning discharge development. Among the innovative features of the model are the absence of grid spacing, high spatiotemporal resolution, and consideration of temporal evolution of electrical parameters of transport channels. The model takes into account the widely known asymmetry between threshold fields needed for positive and negative streamers development. In our model, the resulting well-conducting leader channel forms due to collective effect of combining the currents of tens of thousands of interacting streamer channels each of which initially has negligible conductivity and temperature that does not differ from the ambient one. The model bipolar tree is a directed graph (it has both positive and negative parts). It has morphological and electrodynamic characteristics which are intermediate between laboratory long spark and developed lightning. The model has universal character which allows to use it in other tasks related to the study of transport (in the broad sense of the word) networks.

Предлагается простая модель на основе уравнения кинетического типа для описания распространения вируса в пространстве посредством миграции носителей вируса из выделенного центра. Рассматриваются страны, для которых применима одномерная модель: Россия, Италия, Чили. Одномерный подход возможен из-за географического расположения этих стран и их протяженности в направлениях от центров заражения (Москвы, Ломбардии и Сантьяго соответственно). Определяется изменение плотности зараженных во времени и пространстве. Применяется двухпараметрическая модель. Первый параметр — величина средней скорости распространения, соответствующий переносу инфицированных транспортными средствами. Второй параметр — частота уменьшения количества инфицированных элементов по мере продвижения по территории страны, что связано с прибытием пассажиров в места назначения, а также с карантинными мерами, препятствующими их перемещению по стране. Параметры модели определяются по фактически известным данным. Строится аналитическое решение, для получения серии расчетов применяются также простые численные методы. В модели рассматривается пространственное распространение заболевания, при этом заражения на местах не учитываются. Поэтому вычисленные значения на начальном этапе хорошо соответствуют экспериментальным данным, а затем плотность заболевших начинает быстрее возрастать из-за заражений на местах. Тем не менее модельные расчеты позволяют делать некоторые предсказания. Помимо скорости заражения, возможна аналогичная «скорость выздоровления». По моменту времени достижения охвата большей части населения страны при движении фронта выздоровления делается вывод о начале глобального выздоровления, что соответствует реальным данным.

A simple model based on a kinetic-type equation is proposed to describe the spread of a virus in space through the migration of virus carriers from a certain center. The consideration is carried out on the example of three countries for which such a one-dimensional model is applicable: Russia, Italy and Chile. The geographical location of these countries and their elongation in the direction from the centers of infection (Moscow, Milan and Lombardia in general, as well as Santiago, respectively) makes it possible to use such an approximation. The aim is to determine the dynamic density of the infected in time and space. The model is two-parameter. The first parameter is the value of the average spreading rate associated with the transfer of infected moving by transport vehicles. The second parameter is the frequency of the decrease of the infected as they move through the country, which is associated with the passengers reaching their destination, as well as with quarantine measures. The parameters are determined from the actual known data for the first days of the spatial spread of the epidemic. An analytical solution is being built; simple numerical methods are also used to obtain a series of calculations. The geographical spread of the disease is a factor taken into account in the model, the second important factor is that contact infection in the field is not taken into account. Therefore, the comparison of the calculated values with the actual data in the initial period of infection coincides with the real data, then these data become higher than the model data. Those no less model calculations allow us to make some predictions. In addition to the speed of infection, a similar “speed of recovery” is possible. When such a speed is found for the majority of the country's population, a conclusion is made about the beginning of a global recovery, which coincides with real data.

В данной работе рассматривается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Найденные точные решения описывают течения жидкости в пористой среде и связаны с вопросами разработки кернового симулятора и задачами управления параметрами несжимаемой жидкости и направлены на создание отечественной технологии «цифровое месторождение». Центральной проблемой, связанной с использованием вычислительной техники, являются сеточные аппроксимации большой размерности и суперЭВМ высокой производительности с большим числом параллельно работающих микропроцессоров. В качестве возможной альтернативы сеточным аппроксимациям большой размерности разрабатываются кинетические методы решения дифференциальных уравнений и методы «склейки» точных решений на грубых сетках. Сравнительный анализ эффективности вычислительных систем позволяет сделать вывод о необходимости развития организации вычислений, основанных на целочисленной арифметике в сочетании с универсальными приближенными методами. Предложен класс точных решений системы Навье – Стокса, описывающий трехмерные течения для несжимаемой жидкости, а также точные решения нестационарной трехмерной магнитной гидродинамики. Эти решения важны для практических задач управляемой динамики минерализованных флюидов, а также для создания библиотек тестов для верификации приближенных методов. Выделены ряд явлений, связанных с образованием макроскопических структур за счет высокой интенсивности взаимодействия элементов пространственно однородных систем, а также их возникновение за счет линейного пространственного переноса в пространственно-неоднородных системах. Принципиальным является то, что возникновение структур — это следствие разрывности операторов в нормах законов сохранения. Наиболее разработанной и универсальной является теория вычислительных методов для линейных задач. Поэтому с этой точки зрения важными являются процедуры «погружения» нелинейных задач в общие классы линейных за счет изменения исходной размерности описания и расширения функциональных пространств. Отождествление функциональных решений с функциями позволяет вычислять интегральные средние неизвестной, но в то же время ее нелинейные суперпозиции, вообще говоря, не являются слабыми пределами нелинейных суперпозиций приближений метода, т.е. существуют функциональные решения, которые не являются обобщенными в смысле С. Л. Соболева.

In this paper, the system of equations of magnetic hydrodynamics (MHD) is considered. The exact solutions found describe fluid flows in a porous medium and are related to the development of a core simulator and are aimed at creating a domestic technology «digital deposit» and the tasks of controlling the parameters of incompressible fluid. The central problem associated with the use of computer technology is large-dimensional grid approximations and high-performance supercomputers with a large number of parallel microprocessors. Kinetic methods for solving differential equations and methods for «gluing» exact solutions on coarse grids are being developed as possible alternatives to large-dimensional grid approximations. A comparative analysis of the efficiency of computing systems allows us to conclude that it is necessary to develop the organization of calculations based on integer arithmetic in combination with universal approximate methods. A class of exact solutions of the Navier – Stokes system is proposed, describing three-dimensional flows for an incompressible fluid, as well as exact solutions of nonstationary three-dimensional magnetic hydrodynamics. These solutions are important for practical problems of controlled dynamics of mineralized fluids, as well as for creating test libraries for verification of approximate methods. A number of phenomena associated with the formation of macroscopic structures due to the high intensity of interaction of elements of spatially homogeneous systems, as well as their occurrence due to linear spatial transfer in spatially inhomogeneous systems, are highlighted. It is fundamental that the emergence of structures is a consequence of the discontinuity of operators in the norms of conservation laws. The most developed and universal is the theory of computational methods for linear problems. Therefore, from this point of view, the procedures of «immersion» of nonlinear problems into general linear classes by changing the initial dimension of the description and expanding the functional spaces are important. Identification of functional solutions with functions makes it possible to calculate integral averages of an unknown, but at the same time its nonlinear superpositions, generally speaking, are not weak limits of nonlinear superpositions of approximations of the method, i.e. there are functional solutions that are not generalized in the sense of S. L. Sobolev.