Все выпуски

В работе представлена новая версия программного комплекса FlowVision, предназначенного для автоматизации инженерных расчетов в области вычислительной гидродинамики: FlowVision 3.09.05. Программный комплекс (ПК) FlowVision используется для решения различных прикладных задач в различных областях промышленности. Его популярность основана на том, что он позволяет решать сложные нетрадиционные задачи, находящиеся на стыке различных дисциплин, с одной стороны, и, с другой стороны, на парадигме полной автоматизации таких трудоемких для инженера процессов, как построение расчетной сетки. FlowVision — это программный комплекс, полностью отчуждаемый от разработчиков. Он имеет развитый графический интерфейс, систему задания расчетного проекта и систему визуализации течений различными методами — от построения контуров (для скалярных переменных) и векторов (для векторных переменных) на плоскостях и поверхностях до объемной визуализации расчетных данных. Кроме этого, ПК FlowVision предоставляет пользователю возможность вычислять интегральные характеристики на поверхностях и в ограниченных объемах.

ПК основан на конечно-объемном подходе к аппроксимации основных уравнений движения жидкости. В нем реализованы явный и неявный методы решения этих уравнений. ПК имеет автоматический построитель неструктурированной сетки с возможностью ее локальной динамической адаптации. В ПК реализован двухуровневый параллелизм, позволяющий эффективно проводить расчеты на компьютерах, имеющих распределенную и общую память одновременно. FlowVision обладает широким спектром физико-математических моделей: турбулентности (URANS, LES, ILES), горения, массопереноса с учетом химических превращений и радиоактивного распада, электрогидродинамики.

FlowVision позволяет решать задачи движения жидкостей со скоростями, соответствующими несжимаемому или гиперзвуковому режимам за счет использования все-скоростного метода расщепления по физическим переменным для решения уравнений Навье–Стокса. FlowVision позволяет решать междисциплинарные задачи с использованием различных средств моделирования, например: моделировать многофазные течения методом VOF, обтекание подвижных тел с помощью эйлерова подхода при неподвижной расчетной сетке, моделировать вращающиеся машины с использованием метода скользящей сетки, решать задачи взаимодействия жидкости и конструкций методом двухстороннего сопряжения FlowVision с конечно-элементными кодами. В данной работе показаны примеры решения задач-вызовов: a) посадка космического корабля на воду при торможении ракетными двигателями, где есть граница раздела «воздух–вода», подвижные тела и взаимодействие сверхзвуковой струи газа с границей раздела «вода–воздух»; б) моделирование работы человеческого сердца с искусственными и живыми клапанами, спроектированными на базе томографических исследований, с использованием двухстороннего сопряжения «жидкостной» расчетной области с конечно-элементной моделью мышц сердца.

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

Предложен модифицированный вариант метода решеточных уравнений Больцмана для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. Метод основан на использовании расщепления дифференциального оператора в уравнении Навье–Стокса и идее о мгновенной максвеллизации функций распределения. Метод основан на использовании явных схем и не приводит к сложностям при распараллеливании вычислений. С помощью метода фон Неймана показана устойчивость метода в широком диапазоне изменения входного параметра. Эффективность предложенного метода показана при решении задачи о плоском течении в каверне.

В настоящей работе приводятся результаты численного моделирования свободного сдвигового течения с помощью схемы «КАБАРЕ», реализованной в приближении слабой сжимаемости. Анализ схемы проводится на основе изучения свойств неустойчивости Кельвина–Гельмгольца и порождаемой ею двумерной турбулентности, с использованием интегральных кривых кинетической энергии и энстрофии, картин временной эволюции завихренности, спектров энстрофии и энергии, а также дисперсионного соотношения для инкремента неустойчивости. Расчеты проводились для числа Рейнольдса $\text{Re} = 4 \times 10^5$, на квадратных последовательно сгущаемых сетках в диапазоне $128^2-2048^2$ ячеек. Внимание уделено проблеме «недоразрешенности слоев», проявляющейся в возникновении лишнего вихря при свертывании двух вихревых листов (слоев вихревой пелены). Данное явление существует только на грубых сетках $(128^2)$, однако, полностью симметричная картина эволюции завихренности начинает наблюдаться только при переходе к сетке $1024^2$ ячеек. Размерные оценки отношения вихрей на границах инерционного интервала показывают, что наиболее подробная сетка $2048^2$ ячеек оказывается достаточной для качественного отображения мелкомасштабных сгустков завихренности. Тем не менее можно говорить о достижении хорошей сходимости при отображении крупномасштабных структур. Эволюция турбулентности, в полном соответствии с теоретическими представлениями, приводит к появлению крупных вихрей, в которых сосредотачивается вся кинетическая энергия движения, и уединенных мелкомасштабных образований. Последние обладают свойствами когерентных структур, выживая в процессе нитеобразования (филаментации), и практически не взаимодействуют с вихрями других масштабов. Обсуждение диссипативных характеристик схемы ведется на основе анализа графиков скорости диссипации кинетической энергии, вычисляемой непосредственно, а также на основе теоретических соотношений для моделей несжимаемой жидкости (по кривым энстрофии) и сжимаемого газа (по влиянию тензора скоростей деформации и эффектов дилатации). Асимптотическое поведение каскадов кинетической энергии и энстрофии подчиняется реализующимся в двумерной турбулентности соотношениям $E(k) \propto k^{−3}$, $\omega^2(k) \propto k^{−1}$. Исследование зависимости инкремента неустойчивости от безразмерного волнового числа показывает хорошее согласие с данными других исследователей, вместе с тем часто используемый способ расчета инкремента неустойчивости не всегда оказывается достаточно точным, вследствие чего была предложена его модификация.

Таким образом, реализованная схема, отличаясь малой диссипативностью и хорошим вихреразрешением, оказывается вполне конкурентоспособной в сравнении с методами высокого порядка точности.

Большой класс задач описывает физические процессы, протекающие в невыпуклых областях, содержащих угол больший 180 градусов на границе. Решение в окрестности такого угла сингулярно, а его отыскание, при использовании классических подходов, влечет за собой потерю точности. В представленной работе рассмотрены стационарные, линеаризованные с помощью итераций Пикара несжимаемые уравнения Навье – Стокса течения вязкой жидкости в конвективной форме в $L$-образной области. Определено $R_\nu$-обобщенное решение задачи в специальных множествах весовых пространств. Для нахождения приближенного $R_\nu$-обобщенного решения построен специальный метод конечных элементов. Во-первых, пространства конечно-элементных функций удовлетворяют закону сохранения массы в сильном смысле, то есть в узлах сетки. Для этой цели используется Скотт – Вогелиус конечно-элементная пара. Выполнение закона сохранения массы ведет к отысканию более точного с физической точки зрения решения. Во-вторых, базисные функции конечномерных пространств дополнены весовыми функциями как множителями, которые совпадают с расстоянием от точки до вершины тупого угла в $\delta$-окрестности точки сингулярности и радиусом $\delta$ вне ее. Степень весовой функции, как и параметр $\nu$ в определении $R_\nu$-обобщенного решения, так и радиус $\delta$-окрестности точки сингулярности являются свободными параметрами метода. Специально подобранная их комбинация приводит к увеличению порядка сходимости приближенного решения к точному решению задачи почти в два раза по сравнению с классическими подходами и достигает единицы по шагу сетки в нормах весовых пространств Соболева. Таким образом, установлено, что скорость сходимости не зависит от величины угла.

Описано развитие метода расщепления по физическим факторам для исследования течений несжимаемой жидкости (МЕРАНЖ), прошедшее за последние 50 лет. Гибридная явная конечно-разностная схема метода основана на модифицированной схеме с центральными разностями (МСЦР) и модифицированной схеме с ориентированными разностями (MСОР) со специальным условием переключения в зависимости от знака скорости переноса и знаков первой и второй разностей переносимых функций. Показано применение данного метода для решения некоторых задач (пространственный поток около сферы и кругового цилиндра для случаев однородной и стратифицированной жидкостей в широком диапазоне безразмерных параметров задачи, включая переходные режимы обтекания (2D–3D-переход, ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое); плоскостная задача течения жидкости со свободной поверхностью; динамика вихревой пары в воде; коллапс пятен в стратифицированной жидкости; моделирование воздухо-, тепло- и массопереноса в «чистых производственных помещениях»).

Предложен бессеточно-спектральный метод расчета динамики плоских вихревых течений невязкой несжимаемой жидкости в геофизических приближениях с учетом планетарного вращения. Математически задача описывается системой двух уравнений в частных производных относительно функций тока и завихренности с различными граничными условиями (замкнутая область течения и периодические условия). В основе метода лежат следующие положения: поле завихренности задано значениями на множестве частиц; функция завихренности приближается с помощью кусочно-непрерывной аппроксимации кубическими полиномами от двух пространственных переменных; коэффициенты полиномов находятся методом наименьших квадратов; функция тока на каждом временном шаге находится методом Бубнова–Галёркина; динамика жидких частиц рассчитывается псевдосимплектическим методом Рунге–Кутты. В статье впервые подробно описан вариант метода для периодических граничных условий. Адекватность численной схемы проверена на тестовых примерах.

В численном эксперименте исследована динамика конфигурации четырех круглых вихревых пятен с одинаковымр адиусоми постоянной завихренностью, расположенных в вершинах квадрата с центром в полюсе. Изучено влияние планетарного вращения и радиуса пятен на динамику и формирование вихревых структур. Показано, что в случае достаточно большого расстояния между границами вихревых пятен их динамика близка к поведению точечных вихрей с той же интенсивностью. При росте радиуса возникает взаимодействие между вихрями, которое приводит к их слиянию. В зависимости от направления вращения сила Кориолиса может усиливать или замедлять процессы взаимодействия и перемешивания вихрей. Так, вихревая структура из четырех вихрей при небольших радиусах пятен стабилизируется в случае сонаправленности собственного и планетарного вращений и разрушается на меньших временах при противоположных направлениях. При больших радиусах вихревая структура не стабилизируется.

В данной работе описана методика генерации синтетической базы данных стенозов, состоящей из 1620 записей. Каждая запись представляет собой результаты численного эксперимента по моделированию трехмерного течения вязкой несжимаемой жидкости через трубку с переменным сечением: перепад давлений, средний поток, усредненная по сечению скорость кровотока на входе в трубку, максимальная степень сужения стеноза, длина стеноза, асимметрия стеноза, радиус трубки, число Рейнольдса. База данных валидировалась путем сравнения с другими моделями (с эластичными стенками) и стендовыми экспериментами и показала отклонение перепадов давлений не выше 4%. База данных синтетических стенозов использовалась для обучения физически информированной нейронной сети для быстрой оценки перепада давления по четырем ключевым входным показателям: число Рейнольдса, длина стеноза, степень стеноза, степень асимметрии стеноза. Физическая информированность достигалась за счет введения штрафов в функцию потерь за отсутствие положительного перепада давления и за отсутствие монотонности перепада давления по входным параметрам. Физически информированная нейронная сеть показала более высокую точность на гемодинамических значимых стенозах при тестировании на валидационной выборке и на новых стенозах, не представленных в базе данных. Средняя относительная ошибка на стенозах длиной в 8 радиусов здорового сосуда составила 6% для физически информированной сети и 13% для классической нейронной сети. Ошибки на коротких стенозах длиной в 4 радиуса оказались почти одинаковы: 9,5% для физически информированной сети и 10% для классической нейронной сети. Разработанный метод функциональной оценки гемодинамической значимости стенозов может использоваться как самостоятельный инструмент для клинической оценки стенозов и как компонент сетевых моделей кровотока. Наибольшую актуальность подход приобретает при моделировании многососудистых поражений, которые доминируют в клинической практике. Ключевое преимущество метода заключается в физической корректности результатов и точности, сопоставимой с классическим моделированием, при значительно меньших вычислительных затратах.

В работе осуществлено математическое моделирование нестационарной слоистой конвекции Бенара–Марангони вязкой несжимаемой жидкости. Движение жидкости происходит в бесконечно протяженном слое. Система Обербека–Буссинеска, описывающая слоистую конвекцию Бенара–Марангони, является переопределенной, поскольку вертикальная скорость тождественно равна нулю. Для вычисления двух компонент вектора скорости, температурыи давления имеется система пяти уравнений (три уравнения сохранения импульсов, уравнение несжимаемости и уравнение теплопроводности). Для разрешимости системы Обербека–Буссинеска предложен класс точных решений. Структура предложенного решения такова, что уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно. Таким образом, удается устранить «лишнее» уравнение. Основное внимание уделено исследованию теплообмена на свободной границе слоя, которая считается недеформируемой. При описании термокапиллярного конвективного движения теплообмен задавался согласно закону Ньютона–Рихмана. Использование такого закона распространения тепла приводит к начально-краевой задаче третьего рода. Показано, что переопределенная начально-краевая задача в рамках представленного в статье класса точных решений уравнений Обербека–Буссинеска сводится к проблеме Штурма–Лиувилля. Следовательно, гидродинамические поля выражаются через тригонометрические функции (базис Фурье). Для определения собственных чисел задачи получено трансцендентное уравнение, которое решалось численно. Проведен численный анализ решений системы эволюционных и градиентных уравнений, описывающих течение жидкости. На основании вычислительного эксперимента проведен анализ гидродинамических полей. При исследовании краевой задачи было показано существование противотечений в слое жидкости. Существование противотечений эквивалентно наличию застойных точек в жидкости, что говорит о существовании локального экстремума кинетической энергии жидкости. Установлено, что у каждой компонентыск орости может быть не более одного нулевого значения. Таким образом, поток жидкости расслаивается на две зоны. В этих зонах касательные напряжения разного знака. Причем существует толщина слоя жидкости, при которой на нижней границе слоя жидкости касательные напряжения равны нулю. Данный физический эффект возможен только для классических ньютоновских жидкостей. Для поля температурыи давления справедливы те же свойства, что и для скоростей. Отметим, что в данном случае все нестационарные решения выходят на установившийся режим.