Все выпуски

В работе изложены основные моменты приближения среднего поля в применении к многокомпонентным стохастическим реакционно-диффузионным системам.

Представлена изучаемая модель химической реакции — брюсселятор. Записаны кинетические уравнения реакции, учитывающие диффузию промежуточных компонент и флуктуации концентраций исходных веществ. Флуктуации моделируются как случайные гауссовы однородные и изотропные в пространстве поля, с нулевым средним и пространственной корреляционной функцией, имеющей нетривиальную структуру. В работе рассматриваются значения параметров модели, соответствующие пространственно неоднородному упорядоченному состоянию в детерминированном случае.

В работе получено одноточечное двумерное нелинейное самосогласованное уравнение Фоккера–Планка в интерпретации Стратоновича в приближении среднего поля для пространственно распределенного стохастического брюсселятора, которое описывает динамику плотности распределения вероятностей значений концентраций компонент рассматриваемой системы. Найдены значения интенсивности внешнего шума, соответствующие двум типам решений уравнения Фоккера–Планка: решению с времен- ной бимодальностью и решению с многократным чередованием одно- и бимодального видов плотности вероятностей. Проведено численное исследование динамики плотности распределения вероятностей и изучено поведение во времени дисперсий, математических ожиданий и наиболее вероятных значений концентраций компонент при различных значениях интенсивности шума и бифуркационного параметра в указанных областях параметров задачи.

Показано, что, начиная с некоторого значения интенсивности внешнего шума, внутри упорядоченной фазы зарождается беспорядок, существующий конечное время, причем чем больше шум, тем больше его время жизни. Чем дальше от точки бифуркации, тем меньше шум, который его порождает, и тем уже область значений интенсивности шума, при которых система эволюционирует к упорядоченному, но уже новому статистически стационарному состоянию. При некотором втором значении интенсивности шума возникает перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз. Увеличение интенсивности шума приводит к тому, что частота перемежаемости увеличивается.

Таким образом, показано, что сценарием шумоиндуцированного перехода «порядок–беспорядок» в изучаемой системе является перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз.

Математическое и компьютерное моделирование тепловых процессов в технических системах, проводимое в настоящее время, основано на допущении, согласно которому все параметры, определяющие тепловые процессы, полностью и однозначно известны и определены, то есть являются детерминированными. Между тем практика показывает, что параметры, определяющие тепловые процессы, носят неопределенный интервально стохастический характер, что, в свою очередь, обусловливает интервально стохастический характер тепловых процессов в технической системе. Это означает, что реальные значения температуры каждого элемента в технической системе будут случайным образом распределены внутри интервалов своего изменения. Поэтому детерминированный подход к моделированию тепловых процессов, при котором получаются конкретные значения температур элементов, не позволяет адекватно рассчитывать температурные распределения в технических системах. Интервально стохастический характер параметров, определяющих тепловые процессы, обусловливается тремя группами факторов: (a) статистическим технологическим разбросом параметров элементов при изготовлении и сборке системы; (b) случайным характером факторов, обусловленных функционированием технической системы (флуктуациями токов, напряжений, мощностями потребления, температурами и скоростями потоков охлаждающей жидкости и среды внутри системы; (c) случайностью параметров окружающей среды (температурой, давлением, скоростью). Интервально стохастическая неопределенность определяющих факторов в технических системах является неустранимой, поэтому пренебрежение ею приводит к ошибкам при проектировании технических систем. В статье развивается метод, позволяющий моделировать нестационарные нелинейные интервально стохастические тепловые процессы в технических и, в частности, электронных системах при интервальной неопределенности определяющих параметров. Метод основан на получении и последующем решении уравнений для нестационарных статистических мер (математических ожиданий, дисперсий, ковариаций) распределений температуры в технической системе при заданных интервалах изменения и статистических мерах определяющих параметров. Рассмотрено применение разработанного метода к моделированию интервально стохастического теплового процесса в конкретной электронной системе.

Эффективность систем связи и передачи данных (ССиПД), являющихся неотъемлемой составляющей современных систем практически в любой области науки и техники, во многом зависит от стабильности частоты формируемых сигналов. Формируемые в ССиПД сигналы могут рассматриваться как процессы, частота которых изменяется под действием совокупности внешних воздействий. Изменение частоты сигналов приводит к уменьшению отношения «сигнал/шум» (ОСШ) и, соответственно, ухудшению характеристик ССиПД, таких как вероятность битовой ошибки, пропускная способность. Описание таких изменений частоты сигналов наиболее удобно рассматривать как случайные процессы, аппарат которых находит широкое применение при построении математических моделей, описывающих функционирование систем и устройств в различных областях науки и техники. При этом во многих случаях характеристики случайного процесса, такие как закон распределения, математическое ожидание и дисперсия, могут являться неизвестными или известными с погрешностями, не позволяющими получить приемлемые по точности оценки параметров сигналов. В статье предлагается алгоритм решения задачи по определению характеристик случайного процесса (частоты сигнала) на основе набора отсчетов его частоты, позволяющих определить выборочное среднее, выборочную дисперсию и закон распределения отклонений частоты в генеральной совокупности. Основой данного алгоритма является сравнение измеренных на некотором временном интервале значений наблюдаемого случайного процесса с набором того же количества случайных значений, сформированных на основе модельных законов распределения. В качестве модельных законов распределения могут рассматриваться законы распределения, принятые на основе математических моделей этих систем и устройств или соответствующие аналогичным системам и устройствам. В качестве математического ожидания и дисперсии при формировании набора случайных значений для принятого модельного закона распределения принимаются выборочные среднее значение и дисперсия, полученные по результатам измерений наблюдаемого случайного процесса. Особенность алгоритма заключается в проведении сравнения упорядоченных по возрастанию или убыванию измеренных значений наблюдаемого случайного процесса и сформированных наборов значений в соответствии с принятыми моделями законов распределения. Приведены результаты математического моделирования, иллюстрирующие применение данного алгоритма.

В статье анализируется модель сильного согласования реплик в базах данных NoSQL. Описывается процесс подготовки и проведения натурного эксперимента в облаке для доказательства адекватности модели. Приводятся спецификации программ, с помощью которых производился доступ к NoSQL-системе? и программы обработки журналов. Часть из полученных экспериментальным путем данных использовалась для адаптации модели, другая часть — для оценки адекватности. Приводится анализ адекватности модели.

В работе разработан кластерный метод математического моделирования интервально-стохастических тепловых процессов в сложных технических, в частности электронных, системах (ЭС). В кластерном методе конструкция сложной ЭС представляется в виде тепловой модели, являющейся системой кластеров, каждый из которых содержит ядро, объединяющее в себе тепловыделяющие элементы, попадающие в данный кластер, оболочку кластера и поток среды, протекающий через кластер. Состояние теплового процесса в каждом кластере и в каждый момент времени характеризуется тремя интервально-стохастическими переменными состояния, а именно температурами ядра, оболочки и потока среды. При этом элементы каждого кластера, а именно ядро, оболочка и поток среды, находятся в тепловом взаимодействии между собой и элементами соседних кластеров. В отличие от существующих методов кластерный метод позволяет моделировать тепловые процессы в сложных ЭС с учетом неравномерного распределения температуры в потоке среды нагнетаемой в ЭС, сопряженного характера теплообмена между пото- ком среды в ЭС, ядрами и оболочками кластеров и интервально-стохастического характера тепловых процессов в ЭС, вызванного статистическим технологическим разбросом изготовления и монтажа электронных элементов в ЭС, и случайными флуктуациями тепловых параметров окружающей среды. Математическая модель, описывающая состояния тепловых процессов в кластерной тепловой модели, представляет собой систему интервально-стохастических матрично-блочных уравнений с матричными и векторными блоками, соответствующими кластерам тепловой модели. Решением интервально-стохастических уравнений являются статистические меры переменных состояния тепловых процессов в кластерах — математические ожидания, ковариации между переменными состояния и дисперсии. Методика применения кластерного метода показана на примере реальной ЭС.

В статье рассматривается проблема надежности эксплуатации открытой интеграционной платформы, обеспечивающей взаимодействие различных программных комплексов моделирования режимов транспорта газа, с учетом предоставления доступа к ним, в том числе через тонких клиентов, по принципу «программное обеспечение как услуга». Математически описаны функционирование, надежность хранения, передачи информации и реализуемость вычислительного процесса системы, что является необходимым для обеспечения работы автоматизированной системы диспетчерского управления транспортом нефти и газа. Представлено системное решение вопросов моделирования работы интеграционной платформы и тонких клиентов в условиях неопределенности и риска на базе метода динамики средних теории марковских случайных процессов. Рассматривается стадия стабильной работы — стационарный режим работы цепи Маркова с непрерывным временем и дискретными состояниями, которая описывается системами линейных алгебраический уравнений Колмогорова–Чепмена, записанных относительно средних численностей (математических ожиданий) состояний объектов исследования. Объектами исследования являются как элементы системы, присутствующие в большом количестве (тонкие клиенты и вычислительные модули), так и единичные (сервер, сетевой менеджер (брокер сообщений), менеджер технологических схем). В совокупности они представляют собой взаимодействующие Марковские случайные процессы, взаимодействие которых определяется тем, что интенсивности переходов в одной группе элементов зависят от средних численностей других групп элементов.

Через средние численности состояний объектов и интенсивностей их переходов из состояния в состояние предлагается многокритериальная дисперсионная модель оценки риска (как в широком, так и узком смысле, в соответствии со стандартом МЭК). Риск реализации каждого состояния параметров системы вычисляется как среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра системы объектов (в данном случае — средние численности и вероятности состояний элементов открытой интеграционной платформы и облака) от их среднего значения. На основании определенной дисперсионной модели риска функционирования элементов системы вводятся модели критериев оптимальности и рисков функционирования системы в целом. В частности, для тонкого клиента рассчитываются риск недополучения выгоды от подготовки и обработки запроса, суммарный риск потерь, связанный только с непроизводительными состояниями элемента, суммарный риск всех потерь от всех состояний системы. Для полученной многокритериальной задачи оценки рисков предлагаются модели (схемы компромисса) выбора оптимальной стратегии эксплуатации.

В последние десятилетия активно развивается теория аномальной диффузии, объединяющая различные транспортные процессы, в которых характерное среднеквадратичное рассеяние растет со временем по степенному закону, а не линейно, как для нормальной диффузии. Так, к примеру, диффузия жидкостей в пористых телах, перенос зарядов в аморфных полупроводниках и молекулярный транспорт в вязких средах демонстрируют аномальное «замедление» по сравнению со стандартной моделью.

Удобным инструментом исследования таких процессов является прямое стохастическое моделирование. В работе описана одна из возможных схем такого рода, в основе которой лежит процесс восстановления с временами ожидания, имеющими степенную асимптотику. Аналитические построения показывают тесную связь между рассмотренным классом случайных процессов и уравнениями с производными нецелого порядка. Этот подход легко можно распространить ( соответствующий алгоритм представлен в тексте) на системы, в которых, помимо транспорта, возможны химические реакции. Актуальность исследований в этой области продиктована тем, что точный вид интегро-дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику в системах с аномальной диффузией, остается пока предметом дискуссии.

Поскольку рассматриваемый класс случайных процессов не обладает марковским свойством, здесь возникают принципиально новые проблемы по сравнению с моделированием химических реакций при нормальной диффузии. Главная из них заключается в способе, которым определяется, какие молекулы должны «погибнуть» в ходе реакции. Поскольку точная схема, отслеживающая каждую возможную комбинацию реактантов, неприемлема с вычислительной точки зрения из-за слишком большого числа таких комбинаций, было предложено несколько простых эвристических процедур. Серия вычислительных экспериментов показала, что результаты весьма чувствительны к выбору одной из этих эвристик.

Осуществлено численное моделирование с применением алгоритма тепловой бани неравновесного критического поведения в трехмерной как однородной, так и структурно неупорядоченной модели Изинга. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционных функций и динамической восприимчивости для систем со спиновыми концентрациями p = 1,0, p = 0,8 и 0,6 были выявлены эффекты старения c аномальным замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания. Доказано нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы и получены значения универсального предельного флуктуационно-диссипативного отношения для рассматриваемых систем. Показано, что увеличение концентрации дефектов структуры приводит к усилению эффектов старения.

В статье предлагается подход к имитационному моделированию спортивной игры, состоящей из дискретного набора отдельных поединков, основанный на рассмотрении матча как случайного процесса, в общем случае не являющегося марковским. Первоначально ход игры рассматривается как марковский процесс, на основании чего строятся рекуррентные соотношения между вероятностями достижения состояний теннисного матча, а также между вторичными показателями, такими как математическое ожидание и дисперсия числа розыгрышей, остающихся до завершения гейма. Затем, в рамках имитационной системы, моделирующей матч, мы позволяем произвольное изменение вероятностей исходов составляющих матч поединков, в том числе и в зависимости от результатов предыдущих. Данная работа посвящена модификации модели, ранее предлагавшейся авторами для спортивных игр с непрерывным временем.

Предлагаемый подход позволяет оценивать не только вероятность того или иного исхода матча, но и вероятности достижения каждого из возможных промежуточных результатов, а также вторичные показатели игры, такие как число таких отдельных поединков, потребовавшееся для завершения матча. Подробно изложено построение имитационной системы для гейма теннисного матча, по аналогии с которой осуществляется моделирование сета и всего матча. Доказано утверждение относительно справедливости правил подачи в теннисе, понимаемой в смысле отсутствия влиянии права первой подачи на исход матча. В качестве примера проведены моделирование и анализ планировавшейся, но не состоявшейся игры одного из турниров серии ATP. Получены наиболее вероятные промежуточные и окончательные результаты матча для трех сценариев хода игры.

Основным результатом данной работы является предлагаемая методика имитационного моделирования матча, применимая не только к теннису, но и к другим видам спортивных игр с дискретным временем.

Финансовая математика является одним из наиболее естественных приложений для статистического анализа временных рядов. Действительно, финансовые временные ряды являются порождением одновременной деятельности большого числа различных экономических агентов, что дает основания ожидать, что к ним могут быть применимы методы статистической физики и теории случайных процессов.

В настоящей работе проведен статистический анализ временных рядов для пар валют на рынке FOREX. Особый интерес представляет сравнение поведения временного ряда как функции, с одной стороны, физического времени и, с другой стороны, условного торгового времени, измеряемого в числе элементарных актов изменения цены (тиков). Экспериментально наблюдаемая статистика рассмотренных временных рядов (пар валют «евро–доллар» для первых половин 2007 и 2009 годов и «британский фунт–доллар» для 2007 года) радикально отличается в зависимости от выбора способа измерения времени. Так, при измерении времени в единицах тиков распределение приращений цены может быть хорошо описано нормальным распределением уже на масштабе порядка десяти тиков. При этом при измерении приращений цены как функции реального физического времени распределение приращений продолжает радикально отличаться от нормального, вплоть до масштабов порядка минут и даже часов.

Для объяснения этого явления нами исследованы статистические свойства элементарных приращений по цене и по времени. В частности, показано, что распределение времени между тиками для всех трех рассмотренных временных рядов имеет длинные (1-2 порядка по времени) степенные хвосты с экспоненциальным обрезанием на больших временах. Получены приближенные выражения для распределений времен ожидания для всех трех рассмотренных случаев. Другие статистические характеристики временного ряда (распределение элементарных изменений цены, парные корреляционные функции для приращений цены и для времен ожидания) демонстрируют достаточно простое поведение. Таким образом, именно аномально широкое распределение времен ожидания играет наиболее важную роль в наблюдаемом отклонении распределения приращений от нормального. В связи с этим результатом мы обсуждаем возможность применения модели случайного процесса с непрерывным временем (continuous time random walk, CTRW) для описания временных рядов FOREX.