Все выпуски

Методы оптимизации первого порядка являются важным рабочим инструментов для широкого спектра современных приложений в разных областях, среди которых можно выделить экономику, физику, биологию, машинное обучение и управление. Среди методов первого порядка особого внимания заслуживают ускоренные (моментные) методы в силу их практической эффективности. Метод тяжелого шарика (heavy-ball method — HB) — один из первых ускоренных методов. Данный метод был разработан в 1964 г., и для него был проведен анализ сходимости для квадратичных сильно выпуклых функций. С тех пор были предложены и проанализированы разные варианты HB. В частности, HB известен своей простотой реализации и эффективностью при решении невыпуклых задач. Однако, как и другие моментные методы, он имеет немонотонное поведение; более того, при сходимости HB с оптимальными параметрами наблюдается нежелательное явление, называемое пик-эффектом. Чтобы решить эту проблему, в этой статье мы рассматриваем усредненную версию метода тяжелого шарика (averaged heavy-ball method — AHB). Мы показываем, что для квадратичных задач AHB имеет меньшее максимальное отклонение от решения, чем HB. Кроме того, для общих выпуклых и сильно выпуклых функций доказаны неускоренные скорости глобальной сходимости AHB, его версии WAHB cо взвешенным усреднением, а также для AHB с рестартами R-AHB. Насколько нам известно, такие гарантии для HB с усреднением не были явно доказаны для сильно выпуклых задач в существующих работах. Наконец, мы проводим несколько численных экспериментов для минимизации квадратичных и неквадратичных функций, чтобы продемонстрировать преимущества использования усреднения для HB. Кроме того, мы также протестировали еще одну модификацию AHB, называемую методом tail-averaged heavy-ball (TAHB). В экспериментах мы наблюдали, что HB с правильно настроенной схемой усреднения сходится быстрее, чем HB без усреднения, и имеет меньшие осцилляции.

Статья посвящена решению некорректно поставленных задач математической физики для эллиптических и параболических уравнений, а именно задачи Коши для уравнения Гельмгольца и ретроспективной задачи Коши для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Эти задачи сводятся к задачам выпуклой оптимизации в гильбертовом пространстве. Градиенты соответствующих функционалов вычисляются приближенно с помощью решения двух корректных задач. Предлагается метод решения исследуемых задач оптимизации — покомпонентный спуск в базисе из собственных функций связанного с задачей самосопряженного оператора. Если бы было возможно точное вычисление градиента, то этот метод давал бы сколь угодно точное решение задачи в зависимости от количества рассматриваемых элементов базиса. В реальных случаях возникновение погрешностей при вычислениях приводит к нарушению монотонности, что требует применения рестартов и ограничивает достижимое качество. В работе приводятся результаты экспериментов, подтверждающие эффективность построенного метода. Определяется, что новый подход превосходит подходы, основанные на использовании градиентных методов оптимизации: он позволяет достичь лучшего качества решения при значительно меньшем расходе вычислительных ресурсов. Предполагается, что построенный метод может быть обобщен и на другие задачи.

В работе проводятся моделирование смеси газов в многокаскадном микронасосе и оценка его эффективности при разделении компонентов смеси. Рассматривается устройство в виде протяженного канала с последовательностью поперечно расположенных пластин, различие температур сторон которых приводит к радиометрическому течению газа внутри. Скорость течения газов зависит от их масс, что приводит к разделению смеси. Моделирование основывается на численном решении кинетического уравнения Больцмана, для чего используется схема расщепления, при которой поочередно осуществляются решения уравнений переноса и задач релаксации. Вычисление интеграла столкновений осуществляется с помощью консервативного проекционного метода, при использовании которого строго выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии, и важное асимптотическое свойство — равенство интеграла от максвелловской функции нулю. Для решения уравнения переноса используются явная разностная схема первого порядка точности и TVD-схема второго порядка. Расчеты проводятся для смеси неона и аргона в модели твердых сфер с реальным отношением молекулярных диаметров и масс. Разработана программно-моделирующая среда, которая позволяет проводить расчеты как на персональных компьютерах, так и на многопроцессорных кластерах. Использование распараллеливания приводит к ускорению вычислений относительно последовательной версии и постоянству времени одной итерации для устройств разных размеров, что позволило моделировать системы с большим числом пластин. Подобраны геометрические размеры устройства, при которых разделения смеси оказывается наибольшим. Обнаружено, что величина разделения смеси, то есть отношение концентраций на концах устройства линейно зависит от числа каскадов в устройстве, что дает возможность оценить разделение для многокаскадных систем, компьютерное моделирование которых невозможно. Построены изображения и проведен анализ течений и распределений концентраций газов внутри устройства во время его работы. Показано, что устройства такого вида при достаточно большом числе пластин подходят для разделения газовых смесей, притом что они не имеют движущихся частей и, соответственно, достаточно просты в изготовлении и мало подвержены износу.

Работа посвящена изучению волновых и релаксационных эффектов при импульсном истечении смеси газа с большим содержанием твердых частиц из цилиндрического канала при его начальном частичном заполнении. Задача сформулирована в двухскоростной двухтемпературной постановке и решалась численно гибридным методом крупных частиц второго порядка аппроксимации. Численный алгоритм реализован в виде параллельных вычислений с использованием базовых языковых средств Free Pascal. Применимость и точность метода для волновых потоков концентрированных газовзвесей подтверждены сопоставлением с тестовыми асимптотически точными решениями. Погрешность расчета на сетке невысокой детализации вх арактерных зонах течения двухфазной среды составила 10⁻⁶ . . . 10⁻⁵.

На основе волновой диаграммы выполнен анализ физической картины истечении газовзвеси, частично заполняющей цилиндрический канал. Установлено, что в зависимости от степени начального заполнения канала формируются различные режимы истечения. Первый режим реализуется при небольшой степени загрузки камеры высокого давления, при которой левая граница смеси газа и частиц пересекает выходное сечение до прихода отраженной от дна канала волны разрежения. При этом достигается максимальное значение массового расхода смеси. Другие режимы формируются в случаях большего начального заполнения канала, когда отраженные от дна канала волны разрежения взаимодействуют со слоем газовзвеси и уменьшают интенсивность ее истечения.

Изучено влияние релаксационных свойств при изменении размеров частиц на динамику ограниченного слоя газодисперсной среды. Сопоставление истечения ограниченного слоя газовзвеси с различными размерами частиц показывает, что для мелких частиц (число Стокса меньше 0,001) наблюдается аномальное явление одновременного существования ударно-волновых структур в сверх- и дозвуковом потоке газа и взвеси. С увеличением размеров дисперсных включений скачки уплотнения в области двухфазной смеси сглаживаются, а для частиц (число Стокса больше 0,1) — практически исчезают. При этом ударно-волновая конфигурация сверхзвукового газового потока на выходе из канала сохраняется, а положения и границы энергонесущих объемов газовзвеси при изменении размеров частиц близки.

В работе рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Изучаемые уравнения содержат оператор Бесселя, два оператора дробного дифференцирования Герасимова – Капуто с разными порядками $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрены два вида интегро-дифференциальных уравнений: в первом случае уравнение содержит нелокальный источник, т.е. интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x$, а во втором — случае интеграл по временной переменной $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении процессов с предысторией. Для решения дифференциальных задач при различных соотношениях $\alpha$ и $\beta$ получены априорные оценки в дифференциальной форме, откуда следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. Для приближенного решения поставленных задач построены разностные схемы с порядком аппроксимации $O(h^2+\tau^2)$ при $\alpha=\beta$ и $O(h^2+\tau^{2-\max\{\alpha,\beta\}})$ при $\alpha\neq\beta$. Исследование единственности, устойчивости и сходимости решения проводится с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решений разностных задач при различных соотношениях $\alpha$ и $\beta$, откуда следуют единственность и устойчивость, а также сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Исследованы пути упрощения разностных схем интегрирования уравнения Ланжевена варьированием коэффициента корреляции приращений. Для семейства численных методов получено общее аналитическое выражение для координаты и скорости. Показано, что асимптотическое значение среднего квадрата скорости для ряда разностных схем зависит от размера шага. Оценивается область применимости численных методов, а также соотношение между порядками сходимости. Выявлено, что без точного учета скоррелированности приращений разностная схема, построенная на точном решении, имеет ошибку, сравнимую с методами первого порядка.

Разработана физико-математическая модель горения полидисперсной реагирующей газовзвеси. Физико-математическая постановка задачи учитывала выход летучих компонентов из частиц при их нагреве, излучение от частиц в окружающую среду, теплоотдачу от газа в окружающую среду через боковую поверхность сферического объема, зависимость коэффициента теплопроводности газа от температуры. Учитывалась полидисперсность угольной пыли: задавалось число фракций N. Фракции подразделялись на инертные и реагирующие частицы нескольких размеров. В уравнении изменения плотности окислителя учитывался расход окислителя на две реакции: гетерогенную на поверхности частиц и гомогенную в газе. Экзотермические химические реакции в газе определялись по закону Аррениуса с кинетикой второго порядка. Гетерогенная реакция на частицах задавалась реакцией первого порядка. Задача решалась методом Рунге–Кутты–Мерсона с автоматическим выбором шага. Достоверность расчетов проверялась путем решения частных постановок задачи. Было выполнено численное исследование задачи при варьировании процентного содержания летучих и инертных частиц в угольной пыли, а так же суммарной массы частиц. Определено влияние процентного содержания летучих и инертных частиц на характер горения полидисперсной газовзвеси угольной пыли в метано-воздушной смеси. Результаты показали, что при малых массах угольной пыли увеличение процентного содержания летучих частиц в смеси приводит к увеличению максимального давления в объеме. При больших массах угольной пыли с увеличением процентного содержания летучих частиц в пыли величина максимального давления уменьшается. Увеличение процентного содержания инертных частиц в смеси приводит к уменьшению максимального давления, достигаемого в системе. Было определено, что существует экстремальное значение радиуса крупных частиц, для которого достигается наибольшее давление в объеме.

В этой статье мы предлагаем новый метод первого порядка для композитных невыпуклых задач минимизации с простыми ограничениями и неточным оракулом. Целевая функция задается как сумма «сложной», возможно, невыпуклой части с неточным оракулом и «простой» выпуклой части. Мы обобщаем понятие неточного оракула для выпуклых функций на случай невыпуклых функций. Неформально говоря, неточность оракула означает, что для «сложной» части в любой точке можно приближенно вычислить значение функции и построить квадратичную функцию, которая приближенно ограничивает эту функцию сверху. Рассматривается два возможных типа ошибки: контролируемая, которая может быть сде- лана сколь угодно маленькой, например, за счет решения вспомогательной задачи, и неконтролируемая. Примерами такой неточности являются: гладкие невыпуклые функции с неточным и непрерывным по Гёльдеру градиентом, функции, заданные вспомогательной равномерно вогнутой задачей максимизации, которая может быть решена лишь приближенно. Для введенного класса задачм ы предлагаем метод типа проекции градиента / зеркального спуска, который позволяет использовать различные прокс-функции для задания неевклидовой проекции на допустимое множество и более гибкой адаптации к геометрии допустимого множества; адаптивно выбирает контролируемую ошибку оракула и ошибку неевклидового проектирования; допускает неточное проксимальное отображение с двумя типами ошибки: контролируемой и неконтролируемой. Мы доказываем скорость сходимости нашего метода в терминах нормы обобщенного градиентного отображения и показываем, что в случае неточного непрерывного по Гёльдеру градиента наш метод является универсальным по отношению к параметру и константе Гёльдера. Это означает, что методу не нужно знание этих параметров для работы. При этом полученная оценка сложности является равномерно наилучшей при всех параметрах Гёльдера. Наконец, в частном случае показано, что малое значение нормы обобщенного градиентного отображения в точке означает, что в этой точке приближенно выполняется необходимое условие локального минимума.

Статья посвящена описанию процесса миграции некоторой популяции с учетом пространственной неоднородности локальной емкости экологической ниши. Предполагается, что эта пространственная неоднородность обусловлена различными природными или искусственными факторами. Математическая модель рассматриваемого процесса миграции представляет собой задачу Коши на прямой для некоторого квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка, которому удовлетворяет линейная плотность численности рассматриваемой популяции. В данной работе найдено общее решение этой задачи Коши для произвольной зависимости локальной емкости экологической ниши от пространственной координаты. Это общее решение было применено для описания миграции рассматриваемой популяции в двух различных случаях: в случае зависимости локальной емкости экологической ниши от пространственной координаты в виде гладкой ступеньки и в случае холмообразной зависимости локальной емкости экологической ниши от пространственной координаты. В обоих случаях решение задачи Коши выражается через высшие трансцендентные функции. Наложением специальных соотношений на параметры модели эти высшие трансцендентные функции сводятся к элементарным функциям, что позволяет получить точные решения модели в явном виде, выраженные через элементарные функции. С помощью этих точных решений реализована обширная программа вычислительных экспериментов, показывающих, как начальная плотность популяции гауссовской формы рассеивается на рассмотренных двух видах пространственной неоднородности локальной емкости экологической ниши. Эти вычислительные эксперименты показали, что при прохождении и через ступенеобразную, и через холмообразную пространственную неоднородность локальной емкости экологической ниши с узкой, по сравнению с характерным пространственным масштабом этих неоднородностей, шириной гауссоиды ее начальной плотности система забывает свое начальное состояние. В частности, если интерпретировать исследуемую систему как популяцию, обитающую в протяженной спокойной прямолинейной реке вдоль ее русла, то можно утверждать, что при таком начальном условии после того, как течение этой реки пронесет рассматриваемую популяцию через область пространственной неоднородности локальной емкости экологической ниши, плотность численности популяции становится квазипрямоугольной функцией.

Финансовая математика является одним из наиболее естественных приложений для статистического анализа временных рядов. Действительно, финансовые временные ряды являются порождением одновременной деятельности большого числа различных экономических агентов, что дает основания ожидать, что к ним могут быть применимы методы статистической физики и теории случайных процессов.

В настоящей работе проведен статистический анализ временных рядов для пар валют на рынке FOREX. Особый интерес представляет сравнение поведения временного ряда как функции, с одной стороны, физического времени и, с другой стороны, условного торгового времени, измеряемого в числе элементарных актов изменения цены (тиков). Экспериментально наблюдаемая статистика рассмотренных временных рядов (пар валют «евро–доллар» для первых половин 2007 и 2009 годов и «британский фунт–доллар» для 2007 года) радикально отличается в зависимости от выбора способа измерения времени. Так, при измерении времени в единицах тиков распределение приращений цены может быть хорошо описано нормальным распределением уже на масштабе порядка десяти тиков. При этом при измерении приращений цены как функции реального физического времени распределение приращений продолжает радикально отличаться от нормального, вплоть до масштабов порядка минут и даже часов.

Для объяснения этого явления нами исследованы статистические свойства элементарных приращений по цене и по времени. В частности, показано, что распределение времени между тиками для всех трех рассмотренных временных рядов имеет длинные (1-2 порядка по времени) степенные хвосты с экспоненциальным обрезанием на больших временах. Получены приближенные выражения для распределений времен ожидания для всех трех рассмотренных случаев. Другие статистические характеристики временного ряда (распределение элементарных изменений цены, парные корреляционные функции для приращений цены и для времен ожидания) демонстрируют достаточно простое поведение. Таким образом, именно аномально широкое распределение времен ожидания играет наиболее важную роль в наблюдаемом отклонении распределения приращений от нормального. В связи с этим результатом мы обсуждаем возможность применения модели случайного процесса с непрерывным временем (continuous time random walk, CTRW) для описания временных рядов FOREX.