Все выпуски

В работе методом математического моделирования проведено исследование механизмов влияния света на скорость роста и макромолекулярный состав накопительной культуры микроводорослей. Показано, что даже при единственном лимитирующем факторе рост микроводорослей сопряжен со значительным изменением биохимического состава биомассы. Отмечено, что существующие математические модели, основанные на принципах ферментативной кинетики, не учитывают возможную смену лимитирующего фактора в процессе увеличения биомассы и не позволяют описать динамику относительного содержания ее биохимических компонентов. В качестве альтернативного подхода предложена двухкомпонентная модель, в основе которой положено предположение о двухстадийности фотоавтотрофного роста. Биомассу микроводорослей можно рассматривать в виде суммы двух макромолекулярных составляющих — структурной и резервной. Предполагается пропорциональность всех структурных компонентов биомассы, что значительно упрощает математические выкладки и верификацию модели. Предлагаемая модель представлена системой двух дифференциальных уравнений: скорость синтеза резервных составляющих биомассы определяется интенсивностью света, а структурных компонентов — потоком резервов на ключевой мультиферментный комплекс. Модель учитывает, что часть резервных компонентов расходуется на пополнение пула макроэргов. Скорости синтеза структурных и резервных форм биомассы заданы линейными сплайнами, которые позволяют учесть смену лимитирующего фактора с ростом плотности накопительной культуры. Показано, что в условиях светового лимитирования накопительную кривую необходимо разделять на несколько областей: неограниченного роста, малой концентрации клеток и оптически плотной культуры. Для каждого участка получены аналитические решения предлагаемой модели, которые выражены в элементарных функциях и позволяют оценить видоспецифические коэффициенты. Проведена верификация модели на экспериментальных данных роста биомассы и динамики относительного содержания хлорофилла $a$ накопительной культуры красной морской микроводоросли Pоrphуridium purpurеum.

В статье рассматривается проблема рационального использования водных ресурсов на уровне региона. Приводится обзор существующих методов контроля качества и количества водных ресурсов на различных уровнях — от отдельных домохозяйств до мирового. В самой работе проблема рассматривается для регионов России с малой водообеспеченностью — количеством воды на человека в год. Особое внимание уделяется регионам, в которых данный показатель мал из-за природных особенностей региона, а не большого числа жителей. В таких регионах много ресурсов выделяется на различную водную инфраструктуру, в том числе водохранилища, переброску воды из соседних регионов. При этом основными потребителями воды являются промышленность и сельское хозяйство. В работе представлена динамическая двухуровневая модель, сопоставляющая потребление регионом воды и объем производства в регионе (валовый региональный продукт, ВРП). На верхнем уровне модели находится администрация региона (центр), назначающая плату за использование воды, а на нижнем — предприятия региона (агенты). Проведены аналитическое исследование и идентификация модели. Аналитическое исследование позволяет с помощью принципа максимума Понтрягина найти оптимальные управления агентов. Идентификация модели позволяет, используя статистические данные для региона, определить коэффициенты модели таким образом, чтобы она соответствовала данному региону. Для идентификации модели используются данные Росстата. Далее следует численное исследование модели для конкретных регионов с использованием алгоритма trust region reflective.

Для ряда регионов РФ с низким уровнем водообеспеченности приведены результаты идентификации модели на основе данных Росстата, а также возможные значения ВРП и потребления воды в зависимости от выбранной стратегии центра. Для многих регионов расчеты показывают возможность существенного (>20%) сокращения потребления воды при некотором сокращении производства (≈10%).

Приведенная в работе модель позволяет рассчитывать размер дополнительной платы за использование воды для достижения оптимального соотношения экономических и экологических последствий.

Разработана динамическая макромодельмиров ой динамики. В модели мир разбит на 19 регионов по географическому принципу согласно классификации Организации объединенных наций. Внутреннее развитие регионов описывается уравнениями разностного типа для демографических и экономических индикаторов, таких как численностьнас еления, валовой продукт, валовое накопление. Межрегиональные взаимодействия представляют собой агрегированные торговые потоки от региона к региону и описываются регрессионными уравнениями. В качестве регрессоров использовались время, валовой продукт экспортера и валовой продукт импортера. Рассматривалосьчеты ре типа: временная парная регрессия — зависимость торгового потока от времени, экспортная функция — зависимостьд оли торгового потока в валовом продукте экспортера от валового продукта импортера, импортная функция — зависимостьд оли торгового потока в валовой продукции импортера от валового продукта экспортера, множественная регрессия — зависимостьт оргового потока от валовых продуктов экспортера и импортера. Для каждого типа применялосьд ва вида функциональной зависимости: линейная и логарифмически-линейная, всего исследовано восемьв ариантов торгового уравнения. Проведено сравнение качества регрессионных моделей по коэффициенту детерминации. Расчеты показывают, что модель удовлетворительно аппроксимирует динамику монотонно меняющихся показателей. Проанализирована динамика немонотонных торговых потоков, для их аппроксимации предложено три вида функциональной зависимости от времени. Показано, что с 10%-й погрешностью множество внешнеторговых рядов может бытьприб лижено пространством семи главных компонент. Построен прогноз автономного развития регионов и глобальной динамики до 2040 года.

Многие свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений определяются свойствами системы в вариациях. Продолженной системой будем называть систему ОДУ, включающую в себя одновременно исходную нелинейную систему и систему уравнений в вариациях. При исследовании свойств задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений переход к продолженным системам позволяет исследовать многие тонкие свойства решений. Например, переход к продолженной системе позволяет повысить порядок аппроксимации численных методов, дает подходы к построению функции чувствительности без использования процедур численного дифференцирования, позволяет применять для решения обратной задачи методы повышенного порядка сходимости. Использован метод Бройдена, относящийся к классу квазиньютоновских методов. Для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Розенброка с комплексными коэффициентами. В данном случае он эквивалентен методу второго порядка аппроксимации для продолженной системы.

В качестве примера использования подхода рассматривается несколько связанных между собой математических моделей свертывания крови. По результатам численных расчетов делается вывод о необходимости включения в систему уравнений описания петли положительных обратных связей по фактору свертывания XI. Приводятся оценки некоторых скоростей реакций на основе решения обратной задачи.

Рассматривается влияние освобождения фактора V при активации тромбоцитов. При модификации математической модели удалось достичь количественного соответствия по динамике производства тромбина с экспериментальными данными для искусственной системы. На основе анализа чувствительности проверена гипотеза об отсутствии влияния состава липидной мембраны (числа сайтов для тех или иных факторов системы свертывания, кроме сайтов для тромбина) на динамику процесса.