Все выпуски

Рассматривается метод изучения дисперсионных характеристик фотонных кристаллов — сред с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью. Метод основывается на представлении волновых функций и диэлектрической проницаемости периодической среды в виде рядов Фурье и последующей их подстановки в волновое уравнение, приводящей к формулировке дисперсионного уравнения. Пользуясь последним, для каждого значения волнового вектора можно определить набор собственных частот, каждая из которых, являясь непрерывной функцией волнового числа, образует отдельную дисперсионную кривую. Коэффициенты фурье-разложения диэлектрической проницаемости, зависящие от векторов обратной решетки фотонного кристалла, определяются на основе данных о геометрических характеристиках элементов, образующих кристалл, их электрофизических свойствах и плотности заполнения кристалла. Решение найденного дисперсионного уравнения позволяет получить полную информацию о количестве мод, распространяющихся в периодической структуре на различных частотах, и о возможности формирования в ней запрещенных зон — диапазонов частот, в пределах которых волновое распространение через фотонный кристалл невозможно. Основное внимание в работе уделяется приложению данного метода к анализу дисперсионных свойств металлических фотонных кристаллов. Сложности, возникающие в данном случае из-за наличия собственных дисперсионных свойств металлов, образующих элементы кристалла, преодолеваются аналитическим описанием их диэлектрической проницаемости, основывающимся на модели свободных электронов. В итоге формулируется дисперсионное уравнение, численное решение которого легко алгоритмизируется, что позволяет определять дисперсионные характеристики металлических фотонных кристаллов с произвольными параметрами. В работе сопоставляются полученные по данной методике результаты расчета дисперсионных диаграмм, характеризующих двумерные металлические фотонные кристаллы, с экспериментальными данными и численными результатами, полученными с использованием метода самосогласованных уравнений. Демонстрируется их хорошее согласие.

A method for studying the dispersion characteristics of photonic crystals — media with a dielectric constant that varies periodically in space — is considered. The method is based on the representation of the wave functions and permittivity of a periodic medium in the form of Fourier series and their subsequent substitution into the wave equation, which leads to the formulation of the dispersion equation. Using the latter, for each value of the wave vector it is possible determined a set of eigen frequencies. Each of eigen frequency forms a separate dispersion curve as a continuous function of the wave number. The Fourier expansion coefficients of the permittivity, which depend on the vectors of the reciprocal lattice of the photonic crystal, are determined on the basis of data on the geometric characteristics of the elements that form the crystal, their electrophysical properties and the density of the crystal. The solution of the dispersion equation found makes it possible to obtain complete information about the number of modes propagating in a periodic structure at different frequencies, and about the possibility of forming band gaps, i.e. frequency ranges within which wave propagation through a photonic crystal is impossible. The focus of this work is on the application of this method to the analysis of the dispersion properties of metallic photonic crystals. The difficulties that arise in this case due to the presence of intrinsic dispersion properties of the metals that form the elements of the crystal are overcome by an analytical description of their permittivity based on the model of free electrons. As a result, a dispersion equation is formulated, the numerical solution of which is easily algorithmized. That makes possible to determine the dispersion characteristics of metallic photonic crystals with arbitrary parameters. Obtained by this method the results of calculation of dispersion diagrams, which characterize two-dimensional metal photonic crystals, are compared with experimental data and numerical results obtained using the method of self-consistent equations. Their good agreement is demonstrated.

Статья посвящена моделированию гидродинамических процессов мелководных водоемов на примере Азовского моря. В статье приведена математическая модель гидродинамики мелководного водоема, позволяющая вычислить трехмерные поля вектора скорости движения водной среды. Применение регуляризаторов по Б.Н. Четверушкину в уравнении неразрывности привело к изменению способа расчета поля давления, базирующегося на решении волнового уравнения. Построена дискретная конечно-разностная схема для расчета давления в области, линейные размеры которой по вертикали существенно меньше размеров по горизонтальным координатным направлениям, что является характерным для геометрии мелководных водоемов. Описаны метод и алгоритм решения сеточных уравнений с предобуславливателем трехдиагонального вида. Предложенный метод применен для решения сеточных уравнений, возникающих при расчете давления для трехмерной задачи гидродинамики Азовского моря. Показано, что предложенный метод сходится быстрее модифицированного попеременно-треугольного метода. Представлена параллельная реализация предложенного метода решения сеточных уравнений и проведены теоретические и практические оценки ускорения алгоритма с учетом времени латентности вычислительной системы. Приведены результаты вычислительных экспериментов для решения задач гидродинамики Азовского моря с использованием гибридной технологии MPI + OpenMP. Разработанные модели и алгоритмы применялись для реконструкции произошедшей в 2001 году в Азовском море экологической катастрофы и решения задачи движения водной среды в устьевых районах. Численные эксперименты проводились на гибридном вычислительном кластере К-60 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

The article is devoted to modeling the shallow water hydrodynamic processes using the example of the Azov Sea. The article presents a mathematical model of the hydrodynamics of a shallow water body, which allows one to calculate three-dimensional fields of the velocity vector of movement of the aquatic environment. Application of regularizers according to B.N.Chetverushkin in the continuity equation led to a change in the method of calculating the pressure field, based on solving the wave equation. A discrete finite-difference scheme has been constructed for calculating pressure in an area whose linear vertical dimensions are significantly smaller than those in horizontal coordinate directions, which is typical for the geometry of shallow water bodies. The method and algorithm for solving grid equations with a tridiagonal preconditioner are described. The proposed method is used to solve grid equations that arise when calculating pressure for the three-dimensional problem of hydrodynamics of the Azov Sea. It is shown that the proposed method converges faster than the modified alternating triangular method. A parallel implementation of the proposed method for solving grid equations is presented and theoretical and practical estimates of the acceleration of the algorithm are carried out taking into account the latency time of the computing system. The results of computational experiments for solving problems of hydrodynamics of the Sea of Azov using the hybrid MPI + OpenMP technology are presented. The developed models and algorithms were used to reconstruct the environmental disaster that occurred in the Sea of Azov in 2001 and to solve the problem of the movement of the aquatic environment in estuary areas. Numerical experiments were carried out on the K-60 hybrid computing cluster of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences.

В работе на основе предложенной ранее русловой модели решена одномерная задача устойчивости песчаного дна напорного канала. Особенностью исследуемой задачи является используемое оригинальное уравнение русловых деформаций, учитывающее влияние физико-механических и гранулометрических характеристик донного материала и неровности донной поверхности при русловом анализе. Еще одной особенностью рассматриваемой задачи является учет влияния не только придонного касательного, но и нормального напряжения при изучении русловой неустойчивости. Из решения задачи устойчивости песчаного дна для напорного канала получена аналитическая зависимость, определяющая длину волны для быстрорастущих донных возмущений. Выполнен анализ полученной аналитической зависимости, показано, что она обобщает ряд известных эмпирических формул: Коулмана, Шуляка и Бэгнольда. Структура полученной аналитической зависимости указывает на существование двух гидродинамических режимов, характеризуемых числом Фруда, при которых рост донных возмущений может сильно или слабо зависеть от числа Фруда. Учитывая природную стохастичность процесса движения донных волн и наличие области определения решения со слабой зависимостью от чисел Фруда, можно сделать вывод о том, что экспериментальное наблюдение за процессом развития движения донных волн в данной области должно приводить к получению данных, имеющих существенную дисперсию, что и происходит в действительности.

In this paper on the basis of the riverbed model proposed earlier the one-dimensional stability problem of closed flow channel with sandy bed is solved. The feature of the investigated problem is used original equation of riverbed deformations, which takes into account the influence of mechanical and granulometric bed material characteristics and the bed slope when riverbed analyzing. Another feature of the discussed problem is the consideration together with shear stress influence normal stress influence when investigating the riverbed instability. The analytical dependence determined the wave length of fast-growing bed perturbations is obtained from the solution of the sandy bed stability problem for closed flow channel. The analysis of the obtained analytical dependence is performed. It is shown that the obtained dependence generalizes the row of well-known empirical formulas: Coleman, Shulyak and Bagnold. The structure of the obtained analytical dependence denotes the existence of two hydrodynamic regimes characterized by the Froude number, at which the bed perturbations growth can strongly or weakly depend on the Froude number. Considering a natural stochasticity of the waves movement process and the presence of a definition domain of the solution with a weak dependence on the Froude numbers it can be concluded that the experimental observation of the of the bed waves movement development should lead to the data acquisition with a significant dispersion and it occurs in reality.

Сейсмическая разведка является наиболее распространённым методом поиска и разведки месторождений полезных ископаемых: нефти и природного газа. Зародившись в начале XX века, она получила значительное развитие и в настоящий момент используется практически всеми сервисными нефтяными компаниями. Основными ее преимуществами являются приемлемая стоимость проведения полевых работ (по сравнению с бурением скважин) и точность восстановления характеристик подповерхностного пространства. Однако с открытием нетрадиционных месторождений (например, Арктический шельф, Баженовская свита) актуальной стала задача усовершенствования существующих и создания новых технологий обработки сейсмических данных. Значительное развитие в данном направлении возможно с использованием численного моделирования распространения сейсмических волн в реалистичных моделях геологического массива, поскольку реализуется возможность задания произвольной внутренней структуры среды с последующей оценкой синтетического сигнала-отклика.

Настоящая работа посвящена исследованию пространственных динамических процессов, протекающих в геологических средах, содержащих трещиноватые включения, в процессе сейсмической разведки. Авторами построена трехмерная модель слоистого массива, содержащего пласт из флюидонасыщенных трещин, позволяющая оценить сигнал-отклик при варьировании структуры неоднородного включения. Для описания физических процессов используется система уравнений линейно-упругого тела в частных производных второго порядка, которая решается численно сеточно-характеристическим методом на гексаэдральных расчетных сетках. При этом плоскости трещин выделяются на этапе построения расчетной сетки, в дальнейшем используется дополнительная корректировка, обеспечивающая корректный сейсмический отклик для параметров модели, характерных для геологических сред.

В работе получены площадные трехкомпонентные сейсмограммы с общим пунктом взрыва. На их основе проведена оценка влияния структуры трещиноватой среды на анизотропию сейсмического отклика, регистрируемого на дневной поверхности на различном удалении от источника. Установлено, что кинематические характеристики сигнала остаются постоянными, тогда как динамические характеристики для упорядоченных и неупорядоченных моделей могут различаться на десятки процентов.

Seismic survey process is the common method of prospecting and exploration of deposits: oil and natural gas. Invented at the beginning of the XX century, it has received significant development and is currently used by almost all service oil companies. Its main advantages are the acceptable cost of fieldwork (in comparison with drilling wells) and the accuracy of estimating the characteristics of the subsurface area. However, with the discovery of non-traditional deposits (for example, the Arctic shelf, the Bazhenov Formation), the task of improving existing and creating new seismic data processing technologies became important. Significant development in this direction is possible with the use of numerical simulation of the propagation of seismic waves in realistic models of the geological medium, since it is possible to specify an arbitrary internal structure of the medium with subsequent evaluation of the synthetic signal-response.

The present work is devoted to the study of spatial dynamic processes occurring in geological medium containing fractured inclusions in the process of seismic exploration. The authors constructed a three-dimensional model of a layered massif containing a layer of fluid-saturated cracks, which makes it possible to estimate the signal-response when the structure of the inhomogeneous inclusion is varied. To describe physical processes, we use a system of equations for a linearly elastic body in partial derivatives of the second order, which is solved numerically by a grid-characteristic method on hexahedral grid. In this case, the crack planes are identified at the stage of constructing the grid, and further an additional correction is used to ensure a correct seismic response for the model parameters typical for geological media.

In the paper, three-component area seismograms with a common explosion point were obtained. On their basis, the effect of the structure of a fractured medium on the anisotropy of the seismic response recorded on the day surface at a different distance from the source was estimated. It is established that the kinematic characteristics of the signal remain constant, while the dynamic characteristics for ordered and disordered models can differ by tens of percents.

В работе рассматривается применение технологии Message Passing Interface (MPI) для распараллеливания программного алгоритма, основанного на сеточно-характеристическом методе, применительно к численному решению уравнения линейной теории упругости. Данный алгоритм позволяет численно моделировать распространение динамических волновых возмущений в твердых деформируемых телах. К такого рода задачам относится решение прямой задачи распространения сейсмических волн, что представляет интерес в сейсмике и геофизике. Во снове решателя лежит сеточно-характеристический метод. В работе предложен способ уменьшения времени взаимодействия между процессами MPI в течение расчета. Это необходимо для того, чтобы можно было производить моделирование в сложных постановках, при этом сохраняя высокую эффективность параллелизма даже при большом количестве процессов. Решение проблемы эффективного взаимодействия представляет большой интерес, когда в расчете используется несколько расчетных сеток с произвольной геометрией контактов между ними. Сложность данной задачи возрастает, если допускается независимое распределение узлов расчетных сеток между процессами. В работе сформулирован обобщенный подход для обработки контактных условий в терминах переинтерполяции узлов из заданного участка одной сетки в определенную область второй сетки. Предложен эффективный способ распараллеливания и установления эффективных межпроцессорных коммуникаций. Приведены результаты работы реализованного программного кода: получены волновые поля и сейсмограммы как для 2D-, так и для 3D-постановок. Показано, что данный алгоритм может быть реализован в том числе на криволинейных расчетных сетках. Рассмотренные постановки демонстрируют возможность проведения расчета с учетом топографии среды и криволинейных контактов между слоями. Это позволяет получать более точные результаты, чем при расчете только с использованием декартовых сеток. Полученная эффективность распараллеливания — практически 100% вплоть до 4096 процессов (за основу отсчета взята версия, запущенная на 128 процессах). Дале наблюдается ожидаемое постепенное снижение эффективности. Скорость спада не велика, на 16384 процессах удается сохранить 80%-ную эффективность.

We consider an application of the Message Passing Interface (MPI) technology for parallelization of the program code which solves equation of the linear elasticity theory. The solution of this equation describes the propagation of elastic waves in demormable rigid bodies. The solution of such direct problem of seismic wave propagation is of interest in seismics and geophysics. Our implementation of solver uses grid-characteristic method to make simulations. We consider technique to reduce time of communication between MPI processes during the simulation. This is important when it is necessary to conduct modeling in complex problem formulations, and still maintain the high level of parallelism effectiveness, even when thousands of processes are used. A solution of the problem of effective communication is extremely important when several computational grids with arbirtrary geometry of contacts between them are used in the calculation. The complexity of this task increases if an independent distribution of the grid nodes between processes is allowed. In this paper, a generalized approach is developed for processing contact conditions in terms of nodes reinterpolation from a given section of one grid to a certain area of the second grid. An efficient way of parallelization and establishing effective interprocess communications is proposed. For provided example problems we provide wave fileds and seismograms for both 2D and 3D formulations. It is shown that the algorithm can be realized both on Cartesian and on structured (curvilinear) computational grids. The considered statements demonstrate the possibility of carrying out calculations taking into account the surface topographies and curvilinear geometry of curvilinear contacts between the geological layers. Application of curvilinear grids allows to obtain more accurate results than when calculating only using Cartesian grids. The resulting parallelization efficiency is almost 100% up to 4096 processes (we used 128 processes as a basis to find efficiency). With number of processes larger than 4096, an expected gradual decrease in efficiency is observed. The rate of decline is not great, so at 16384 processes the parallelization efficiency remains at 80%.

На основе метода расщепления для нестационарного уравнения Шредингера предложена разностная схема численного решения нестационарной системы двух уравнений Шредингера с оператором спин-орбитального взаимодействия для двухкомпонентной спинорной волновой функции. Выполнено компьютерное моделирование эволюции волновых функций внешних нейтронов с различными проекциями полного момента на межъядерную ось и вероятности их передачи при лобовых столкновениях ядер ¹⁸O и ⁵⁸Ni.

The difference scheme for numerical solution of a time-dependant system of two Schrödinger equations with the operator of a spin-orbit interaction for a two-component spinor wave function is offered on the basis of a split method for a time-dependant Schrödinger equations. The computer simulation of the external neutrons’ wave functions evolution with different values of the full moment projection upon internuclear axis and probabilities of their transfer are executed for head-on collisions of ¹⁸O and ⁵⁸Ni nuclei.

В данной работе рассматриваются формулы Рэлея, полученные из интегральных формул Кирхгофа, которые в дальнейшем могут быть применены для получения миграционных изображений. Актуальность проведенных в работе исследований обусловлена распространенностью применения миграции в интересах сейсмической разведки нефти и газа. Предлагаемый подход позволит существенно повысить качество сейсмической разведки в сложных случаях, таких как вечная мерзлота и шельфовые зоны южных и северных морей. Особенностью работы является использование упругого приближения для описания динамического поведения геологической среды, в отличие от широко распространенного акустического приближения. Сложность применения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды, для получения формул Рэлея и алгоритмов на их основе возникает из-за значительного роста количества вычислений, математической и аналитической сложности итоговых алгоритмов по сравнению со случаем акустической среды. Поэтому в промышленной сейсморазведке в настоящий момент не используют алгоритмы миграции для случая упругих волн, что создает определенные трудности, так как акустическое приближение описывает только продольные сейсмические волны в геологических средах. В данной статье представлены итоговые аналитические выражения, которые можно использовать для разработки программных комплексов, используя описание упругих сейсмических волн (продольных и поперечных), тем самым охватывая весь диапазон сейсмических волн (продольных отраженных PP-волн, продольных отраженных SP-волн, поперечных отраженных PS-волн и поперечных отраженных SS-волн). Также в работе приведены результаты сравнения численных решений, полученных на основе формул Рэлея, с численными решениями, полученными сеточно-характеристическим методом. Ценность такого сравнения обусловлена тем, что метод на основе интегралов Рэлея основан на аналитических выражениях, в то время как сеточно-характеристический метод является методом численного интегрирования решения по расчетной сетке. В проведенном сравнении рассматривались различные типы источников: модель точечного источника, широко используемого в морской и наземной сейсморазведке, и модель плоской волны, которую также иногда применяют в полевых исследованиях.

In this paper we present Rayleigh formulas obtained from Kirchhoff integral formulas, which can later be used to obtain migration images. The relevance of the studies conducted in the work is due to the widespread use of migration in the interests of seismic oil and gas seismic exploration. A special feature of the work is the use of an elastic approximation to describe the dynamic behaviour of a geological environment, in contrast to the widespread acoustic approximation. The proposed approach will significantly improve the quality of seismic exploration in complex cases, such as permafrost and shelf zones of the southern and northern seas. The complexity of applying a system of equations describing the state of a linear-elastic medium to obtain Rayleigh formulas and algorithms based on them is a significant increase in the number of computations, the mathematical and analytical complexity of the resulting algorithms in comparison with the case of an acoustic medium. Therefore in industrial seismic surveys migration algorithms for the case of elastic waves are not currently used, which creates certain difficulties, since the acoustic approximation describes only longitudinal seismic waves in geological environments. This article presents the final analytical expressions that can be used to develop software systems using the description of elastic seismic waves: longitudinal and transverse, thereby covering the entire range of seismic waves: longitudinal reflected PP-waves, longitudinal reflected SP-waves, transverse reflected PS-waves and transverse reflected SS-waves. Also, the results of comparison of numerical solutions obtained on the basis of Rayleigh formulas with numerical solutions obtained by the grid-characteristic method are presented. The value of this comparison is due to the fact that the method based on Rayleigh integrals is based on analytical expressions, while the grid-characteristic method is a method of numerical integration of solutions based on a calculated grid. In the comparison, different types of sources were considered: a point source model widely used in marine and terrestrial seismic surveying and a flat wave model, which is also sometimes used in field studies.

В основу обзора положены некоторые ранние работы авторов, представляющие определенный научный, методический и практический интерес; наибольшее внимание уделено работам последних лет, где выполнены достаточно подробные численные исследования не только одиночных, но также двойных и множественных взрывов в широком диапазоне высот и условий в окружающей среде. Так как в нижней атмосфере ударная волна мощного взрыва является одним из главных поражающих факторов, то в обзоре большое внимание уделено физическому анализу их распространения и взаимодействия. С помощью разработанных авторами трехмерных алгоритмов рассмотрены интересные с физической точки зрения эффекты интерференции и дифракции нескольких ударных волн в отсутствие и при наличии подстилающей поверхности различной структуры. Определены количественные характеристики в области их максимальных значений, что представляет известный практический интерес. Для взрывов в плотной атмосфере найдены некоторые новые аналитические решения на основе метода малых возмущений, удобные для приближенных расчетов. Для ряда условий показана возможность использования автомодельных свойств уравнений первого и второго рода для решения задач о развитии взрыва.

На основе численного анализа показано принципиальное изменение в структуре развития возмущенной области при изменении высоты взрыва в диапазоне 100–120 км. На высотах более 120 км геомагнитное поле начинает влиять на развитие взрыва, поэтому даже для одиночного взрыва картина плазменного течения через несколько секунд становится существенно трехмерной. Для расчета взрывов на высотах 120–1000 км под руководством академика Холодова А. С. был разработан специальный трехмерный численный алгоритм на основе МГД-приближения. Были выполнены многочисленные расчеты и впервые получена достаточно подробная картина трехмерного течения плазмы взрыва с образованием через 5–10 с восходящей струи, направленной в меридиональной плоскости примерно по геомагнитному полю. После некоторой модификации данный алгоритм использовался для расчета двойных взрывов в ионосфере, разнесенных на некоторое расстояние. Взаимодействие между ними осуществлялось как плазменными потоками, так и через геомагнитное поле. Некоторые результаты приведены в данном обзоре и подробно изложены в оригинальных статьях.

The review is based on some of the authors ’early works of particular scientific, methodological and practical interest and the greatest attention is paid to recent works, where quite detailed numerical studies of not only single, but also double and multiple explosions in a wide range of heights and environmental conditions have been performed . Since the shock wave of a powerful explosion is one of the main damaging factors in the lower atmosphere, the review focuses on both the physical analysis of their propagation and their interaction. Using the three-dimensional algorithms developed by the authors, the effects of interference and diffraction of several shock waves, which are interesting from a physical point of view, in the absence and presence of an underlying surface of various structures are considered. Quantitative characteristics are determined in the region of their maximum values, which is of known practical interest. For explosions in a dense atmosphere, some new analytical solutions based on the small perturbation method have been found that are convenient for approximate calculations. For a number of conditions, the possibility of using the self-similar properties of equations of the first and second kind to solve problems on the development of an explosion has been shown.

Based on numerical analysis, a fundamental change in the structure of the development of the perturbed region with a change in the height of the explosion in the range of 100–120 km is shown. At altitudes of more than 120 km, the geomagnetic field begins to influence the development of the explosion; therefore, even for a single explosion, the picture of the plasma flow after a few seconds becomes substantially three-dimensional. For the calculation of explosions at altitudes of 120–1000 km under the guidance of academician A. Kholodov. A special three-dimensional numerical algorithm based on the MHD approximation was developed. Numerous calculations were performed and for the first time a quite detailed picture of the three-dimensional flow of the explosion plasma was obtained with the formation of an upward jet in 5–10 s directed in the meridional plane approximately along the geomagnetic field. After some modification, this algorithm was used to calculate double explosions in the ionosphere, spaced a certain distance. The interaction between them was carried out both by plasma flows and through a geomagnetic field. Some results are given in this review and are described in detail in the original articles.

В данной работе приводится обзор исследований, посвященных нелинейной супратрансмиссии и сопутствую- щим явлениям. Данный эффект заключается в передаче энергии на частотах, не поддерживаемых рассматриваемыми системами. Супратрансмиссия не зависит от интегрируемости системы, устойчива к демпфированию и различным классамгр аничных условий. Кроме того, нелинейная дискретная среда при некоторых общих условиях, накладываемых на структуру, может создавать неустойчивость, обусловленную внешним периодическим воздействием. Она является порождающимпроце ссом, лежащим в основе нелинейной супратрансмиссии. Это возможно, когда система поддерживает нелинейные моды различной природы, в частности дискретные бризеры. Тогда энергия проникает в систему, как только амплитуда внешнего гармонического возбуждения превышает максимальную амплитуду статического бризера той же частоты.

Эффект нелинейной супратрансмиссии является важным свойством многих дискретных структур. Необходимыми условиями для его существования являются дискретность и нелинейность среды. Его проявление в системах различной природы говорит о его фундаментальности и значимости. В данном обзоре рассмотрены основные работы, затрагивающие вопрос нелинейной супратрансмисии в различных системах, преимущественно модельных.

Многими авторскими коллективами ведутся исследования данного эффекта. В первую очередь это модели, описываемые дискретными уравнениями, в том числе sin-Гордона и дискретным нелинейным уравнением Шрёдингера. При этом эффект не является исключительно модельным и проявляет себя в натурных экспериментах в электрических цепях, в нелинейных цепочках осцилляторов, а также в метастабильных модульных метаструктурах. Происходит поэтапное усложнение моделей, что приводит к более глубокому пониманию явления супратрансмиссии, а переход к разупорядоченным и с элементами хаоса структурам позволяет говорить о более тонком проявлении данного эффекта. Численные асимптотические подходы позволяют исследовать нелинейную супратрансмиссию в сложных неинтегрируемых системах. Усложнение всевозможных осцилляторов, как физических, так и электрических, актуально для различных реальных устройств, базирующихся на подобных системах. В том числе в области нанообъектов и транспорта энергии в них посредством рассматриваемого эффекта. К таким системам относятся молекулярные, кристаллические кластеры и наноустройства. В заключении работы приводятся основные тенденции исследований нелинейной супратрансмиссии.

This paper provides an overview of studies on nonlinear supratransmission and related phenomena. This effect consists in the transfer of energy at frequencies not supported by the systems under consideration. The supratransmission does not depend on the integrability of the system, it is resistant to damping and various classes of boundary conditions. In addition, a nonlinear discrete medium, under certain general conditions imposed on the structure, can create instability due to external periodic influence. This instability is the generative process underlying the nonlinear supratransmission. This is possible when the system supports nonlinear modes of various nature, in particular, discrete breathers. Then the energy penetrates into the system as soon as the amplitude of the external harmonic excitation exceeds the maximum amplitude of the static breather of the same frequency.

The effect of nonlinear supratransmission is an important property of many discrete structures. A necessary condition for its existence is the discreteness and nonlinearity of the medium. Its manifestation in systems of various nature speaks of its fundamentality and significance. This review considers the main works that touch upon the issue of nonlinear supratransmission in various systems, mainly model ones.

Many teams of authors are studying this effect. First of all, these are models described by discrete equations, including sin-Gordon and the discrete Schr¨odinger equation. At the same time, the effect is not exclusively model and manifests itself in full-scale experiments in electrical circuits, in nonlinear chains of oscillators, as well as in metastable modular metastructures. There is a gradual complication of models, which leads to a deeper understanding of the phenomenon of supratransmission, and the transition to disordered structures and those with elements of chaos structures allows us to talk about a more subtle manifestation of this effect. Numerical asymptotic approaches make it possible to study nonlinear supratransmission in complex nonintegrable systems. The complication of all kinds of oscillators, both physical and electrical, is relevant for various real devices based on such systems, in particular, in the field of nano-objects and energy transport in them through the considered effect. Such systems include molecular and crystalline clusters and nanodevices. In the conclusion of the paper, the main trends in the research of nonlinear supratransmission are given.

Изучается приближенная математическая модель кровотока в осесимметричном кровеносном сосуде. Под таким сосудом понимается бесконечно длинный круговой цилиндр, стенки которого состоят из упругих колец. Кровь рассматривается как несжимаемая жидкость, текущая в этом цилиндре. Повышенное давление вызывает радиально-симметричное растяжение упругих колец. Следуя Дж. Лэму, кольца расположены близко друг к другу так, что жидкость между ними не протекает. Для мысленной реализации этого достаточно предположить, что кольца обтянуты непроницаемой пленкой, не обладающей упругими свойствами. Упругостью обладают лишь кольца. Рассматриваемая модель кровотока в кровеносном сосуде состоит из трех уравнений: уравнения неразрывности, закона сохранения количества движения и уравнения состояния. Рассматривается приближенная процедура сведения рассматриваемых уравнений к уравнению Кортевега – де Фриза (КдФ), которая рассмотрена Дж. Лэмом не в полной мере, лишь для установления зависимости коэффициентов уравнения КдФ от физических параметров рассматриваемой модели течения несжимаемого флюида в осесимметричном сосуде. Из уравнения КдФ стандартным переходом к бегущим волнам получаются ОДУ третьего, второго и первого порядка соответственно. В зависимости от различных случаев расположения трех стационарных решений ОДУ первого порядка стандартно получаются кноидальная волна и солитон. Основное внимание уделено неограниченному периодическому решению, которое названо нами вырожденной кноидальной волной. Математически кноидальные волны описываются эллиптическими интегралами с параметрами, определяющими амплитуды и периоды. Солитон и вырожденная кноидальная волна описываются элементарными функциями. Указан гемодинамический смысл этих видов решений. Благодаря тому, что множества решений ОДУ первого, второго и третьего порядков не совпадают, установлено, что задачу Коши для ОДУ второго и третьего порядков можно задавать во всех точках, а для ОДУ первого порядка — лишь в точках роста или убывания. Задачу Коши для ОДУ первого порядка нельзя задавать в точках экстремума благодаря нарушению условия Липшица. Численно проиллюстрировано перерождение кноидальной волны в вырожденную кноидальную волну, которая может привести к разрыву стенок сосуда. Приведенная таблица описывает два режима приближения кноидальной волны к вырожденной кноидальной волне.

An approximate mathematical model of blood flow in an axisymmetric blood vessel is studied. Such a vessel is understood as an infinitely long circular cylinder, the walls of which consist of elastic rings. Blood is considered as an incompressible fluid flowing in this cylinder. Increased pressure causes radially symmetrical stretching of the elastic rings. Following J. Lamb, the rings are located close to each other so that liquid does not flow between them. To mentally realize this, it is enough to assume that the rings are covered with an impenetrable film that does not have elastic properties. Only rings have elasticity. The considered model of blood flow in a blood vessel consists of three equations: the continuity equation, the law of conservation of momentum and the equation of state. An approximate procedure for reducing the equations under consideration to the Korteweg – de Vries (KdV) equation is considered, which was not fully considered by J. Lamb, only to establish the dependence of the coefficients of the KdV equation on the physical parameters of the considered model of incompressible fluid flow in an axisymmetric vessel. From the KdV equation, by a standard transition to traveling waves, ODEs of the third, second and first orders are obtained, respectively. Depending on the different cases of arrangement of the three stationary solutions of the first-order ODE, a cnoidal wave and a soliton are standardly obtained. The main attention is paid to an unbounded periodic solution, which we call a degenerate cnoidal wave. Mathematically, cnoidal waves are described by elliptic integrals with parameters defining amplitudes and periods. Soliton and degenerate cnoidal wave are described by elementary functions. The hemodynamic meaning of these types of decisions is indicated. Due to the fact that the sets of solutions to first-, second- and third-order ODEs do not coincide, it has been established that the Cauchy problem for second- and third-order ODEs can be specified at all points, and for first-order ODEs only at points of growth or decrease. The Cauchy problem for a first-order ODE cannot be specified at extremum points due to the violation of the Lipschitz condition. The degeneration of the cnoidal wave into a degenerate cnoidal wave, which can lead to rupture of the vessel walls, is numerically illustrated. The table below describes two modes of approach of a cnoidal wave to a degenerate cnoidal wave.