Все выпуски

Фоновая социальная напряженность общества может быть количественно оценена по различным статистическим индикаторам. Модели, прогнозирующие динамику социальной напряженности, успешно применяются для описания различных социальных процессов. Когда количество рассматриваемых групп общества мало, динамику соответствующих индикаторов можно описать при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При увеличении количества взаимодействующих элементов резко возрастает сложность задач, что существенно затрудняет их аналитическое исследование. Модель сплошной социальной стратификации получаетсяв результате перехода от дискретной цепочки взаимодействующих социальных слоев к их непрерывному распределению на некотором интервале, то есть перехода к модели сплошной среды. В этом случае напряженность распространяется локально, но в действительности элита общества влияет на все слои через средства массовой информации, а также интернет позволяет влиять всем группам на другие. Эти факторы можно учесть через слагаемое модели, описывающее негативное внешнее воздействие. В настоящей работе предложена модель сплошной социальной стратификации, описывающая динамику системы из двух социумов, связанных через процесс миграции населения. Предполагается, что из социального слоя системы-донора с наибольшей напряженностью происходит отток людей, переносящих свою напряженность в систему-акцептор, причем при миграции люди попадают в более бедные слои принимающего общества. Рассматриваетсяслуч ай пространственно однородных коэффициентов, что соответствует частному случаю небольшого социума. При помощи метода конечных объемов построена пространственнаяди скретизация задачи, корректно отражающая конечную скорость распространения напряженности в обществе. Выполнена проверка выбранной дискретизации путем сравненияч исленного решения с точными решениями вспомогательного уравнения нелинейной диффузии. Проведено численное исследование системы с миграцией при различных значениях параметров, проанализировано влияние интенсивности миграции на принимающее общество, найдены условия дестабилизации общества акцептора под влиянием миграции. Полученные в работе результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании модели в случае пространственно неоднородных коэффициентов, что соответствует более реалистичной картине общества.

The background social strain of a society can be quantitatively estimated using various statistical indicators. Mathematical models, allowing to forecast the dynamics of social strain, are successful in describing various social processes. If the number of interacting groups is small, the dynamics of the corresponding indicators can be modelled with a system of ordinary differential equations. The increase in the number of interacting components leads to the growth of complexity, which makes the analysis of such models a challenging task. A continuous social stratification model can be considered as a result of the transition from a discrete number of interacting social groups to their continuous distribution in some finite interval. In such a model, social strain naturally spreads locally between neighbouring groups, while in reality, the social elite influences the whole society via news media, and the Internet allows non-local interaction between social groups. These factors, however, can be taken into account to some extent using the term of the model, describing negative external influence on the society. In this paper, we develop a continuous social stratification model, describing the dynamics of two societies connected through migration. We assume that people migrate from the social group of donor society with the highest strain level to poorer social layers of the acceptor society, transferring the social strain at the same time. We assume that all model parameters are constants, which is a realistic assumption for small societies only. By using the finite volume method, we construct the spatial discretization for the problem, capable of reproducing finite propagation speed of social strain. We verify the discretization by comparing the results of numerical simulations with the exact solutions of the auxiliary non-linear diffusion equation. We perform the numerical analysis of the proposed model for different values of model parameters, study the impact of migration intensity on the stability of acceptor society, and find the destabilization conditions. The results, obtained in this work, can be used in further analysis of the model in the more realistic case of inhomogeneous coefficients.

The viscoelastic fluid flow model across a porous medium has captivated the interest of many contemporary researchers due to its industrial and technical uses, such as food processing, paper and textile coating, packed bed reactors, the cooling effect of transpiration and the dispersion of pollutants through aquifers. This article focuses on the influence of variable viscosity and viscoelasticity on the magnetohydrodynamic oscillatory flow of second-order fluid through thermally radiating wavy walls. A mathematical model for this fluid flow, including governing equations and boundary conditions, is developed using the usual Boussinesq approximation. The governing equations are transformed into a system of nonlinear ordinary differential equations using non-similarity transformations. The numerical results obtained by applying finite-difference code based on the Lobatto IIIa formula generated by bvp4c solver are compared to the semi-analytical solutions for the velocity, temperature and concentration profiles obtained using the homotopy perturbation method (HPM). The effect of flow parameters on velocity, temperature, concentration profiles, skin friction coefficient, heat and mass transfer rate, and skin friction coefficient is examined and illustrated graphically. The physical parameters governing the fluid flow profoundly affected the resultant flow profiles except in a few cases. By using the slope linear regression method, the importance of considering the viscosity variation parameter and its interaction with the Lorentz force in determining the velocity behavior of the viscoelastic fluid model is highlighted. The percentage increase in the velocity profile of the viscoelastic model has been calculated for different ranges of viscosity variation parameters. Finally, the results are validated numerically for the skin friction coefficient and Nusselt number profiles.

The viscoelastic fluid flow model across a porous medium has captivated the interest of many contemporary researchers due to its industrial and technical uses, such as food processing, paper and textile coating, packed bed reactors, the cooling effect of transpiration and the dispersion of pollutants through aquifers. This article focuses on the influence of variable viscosity and viscoelasticity on the magnetohydrodynamic oscillatory flow of second-order fluid through thermally radiating wavy walls. A mathematical model for this fluid flow, including governing equations and boundary conditions, is developed using the usual Boussinesq approximation. The governing equations are transformed into a system of nonlinear ordinary differential equations using non-similarity transformations. The numerical results obtained by applying finite-difference code based on the Lobatto IIIa formula generated by bvp4c solver are compared to the semi-analytical solutions for the velocity, temperature and concentration profiles obtained using the homotopy perturbation method (HPM). The effect of flow parameters on velocity, temperature, concentration profiles, skin friction coefficient, heat and mass transfer rate, and skin friction coefficient is examined and illustrated graphically. The physical parameters governing the fluid flow profoundly affected the resultant flow profiles except in a few cases. By using the slope linear regression method, the importance of considering the viscosity variation parameter and its interaction with the Lorentz force in determining the velocity behavior of the viscoelastic fluid model is highlighted. The percentage increase in the velocity profile of the viscoelastic model has been calculated for different ranges of viscosity variation parameters. Finally, the results are validated numerically for the skin friction coefficient and Nusselt number profiles.

Гидриды металлов представляют собой интересный класс соединений, способных обратимо связывать большое количество водорода и потому представляющих интерес для приложений энергетики. Особенно важно понимание факторов, влияющих на кинетику формирования и разложения гидридов. Особенности материала, экспериментальной установки и условий влияют на математическое описание процессов, которое может претерпевать существенные изменения в ходе обработки экспериментальных данных. В статье предложен общий подход к численному моделированию формирования и разложения гидридов металлов и решения обратных задач оценки параметров материала по данным измерений. Модели делятся на два класса: диффузионные, принимающие во внимание градиент концентрации водорода в решетке металла, и модели с быстрой диффузией. Первые более сложны и имеют форму неклассических краевых задач параболического типа. Описан подход к сеточному решению таких задач. Вторые решаются сравнительно просто, но могут сильно меняться при изменении модельных предположений. Опыт обработки экспериментальных данных показывает, что необходимо гибкое программное средство, позволяющее, с одной стороны, строить модели из стандартных блоков, свободно изменяя их при необходимости, а с другой — избегать реализации рутинных алгоритмов, причем приспособленное для высокопроизводительных систем различной парадигмы. Этим условиям удовлетворяет представленная в работе библиотека HIMICOS, протестированная на большом числе экспериментальных данных. Она позволяет моделировать кинетику формирования и разложения гидридов металлов (и других соединений) на трех уровнях абстракции. На низком уровне пользователь определяет интерфейсные процедуры, такие как расчет слоя по времени на основании предыдущего слоя или всей предыстории, вычисление наблюдаемой величины и независимой переменной по переменным задачи, сравнение кривой с эталонной. При этом могут использоваться алгоритмы, решающие краевые задачи параболического типа со свободными границами в весьма общей постановке, в том числе с разнообразными квазилинейными (линейными по производной) граничными условиями, а также вычисляющие расстояние между кривыми в различных метрических пространствах и с различной нормировкой. Это средний уровень абстракции. На высоком уровне достаточно выбрать готовую модель для того или иного материала и модифицировать ее применительно к условиям эксперимента.

Metal hydrides are an interesting class of chemical compounds that can reversibly bind a large amount of hydrogen and are, therefore, of interest for energy applications. Understanding the factors affecting the kinetics of hydride formation and decomposition is especially important. Features of the material, experimental setup and conditions affect the mathematical description of the processes, which can undergo significant changes during the processing of experimental data. The article proposes a general approach to numerical modeling of the formation and decomposition of metal hydrides and solving inverse problems of estimating material parameters from measurement data. The models are divided into two classes: diffusive ones, that take into account the gradient of hydrogen concentration in the metal lattice, and models with fast diffusion. The former are more complex and take the form of non-classical boundary value problems of parabolic type. A rather general approach to the grid solution of such problems is described. The second ones are solved relatively simply, but can change greatly when model assumptions change. Our experience in processing experimental data shows that a flexible software tool is needed; a tool that allows, on the one hand, building models from standard blocks, freely changing them if necessary, and, on the other hand, avoiding the implementation of routine algorithms. It also should be adapted for high-performance systems of different paradigms. These conditions are satisfied by the HIMICOS library presented in the paper, which has been tested on a large number of experimental data. It allows simulating the kinetics of formation and decomposition of metal hydrides, as well as related tasks, at three levels of abstraction. At the low level, the user defines the interface procedures, such as calculating the time layer based on the previous layer or the entire history, calculating the observed value and the independent variable from the task variables, comparing the curve with the reference. Special algorithms can be used for solving quite general parabolic-type boundary value problems with free boundaries and with various quasilinear (i.e., linear with respect to the derivative only) boundary conditions, as well as calculating the distance between the curves in different metric spaces and with different normalization. This is the middle level of abstraction. At the high level, it is enough to choose a ready tested model for a particular material and modify it in relation to the experimental conditions.

В работе предложена простая нелинейная модель, позволяющая рассчитать суточные и месячные значения валовой (GPP) и нетто (NPP) первичной продукции лесов по параметрам, характеризующим эффективность использования растениями ФАР на GPP и NPP, а также по интегральной величине поглощенной растительностью фотосинтетически активной радиации ФАР, определяемой в ходе измерений, в том числе средствами дистанционного зондирования. Необходимые для построения модели значения GPP и NPP определялись по данным измерений потоков СО₂ в еловых и влажных тропических лесах с применением процесс-ориентированной модели Mixfor-SVAT.

A simple non-linear model allowing to calculate daily and monthly GPP and NPP of forests using parameters characterizing the light-use efficiencies for GPP and NPP, and integral values of absorbed photosynthetically active radiation, obtained using field measurements and remotes sensing data was suggested. Daily and monthly GPP, NPP of the forest ecosystems were derived from the field measurements of the net ecosystem exchange of CO₂ in the spruce and tropical rain forests using a process-based Mixfor-SVAT model.

В работе исследуется модификация модели Хотеллинга, в которой одна из фирм обладает нерыночным преимуществом, введенным по аналогии с валентностью, используемой в задачах политической экономии. Нерыночное (валентное) преимущество может интерпретироваться как реклама (узнаваемость фирмы). Установлено, что при аддитивной функции полезности потребителей, зависящей квадратично от расстояния до фирмы, существует единственное равновесие по Нэшу. Это равновесие значительно «богаче» равновесия в исходной модели Хотеллинга. В частности, дополнительное нерыночное преимущество может быть избыточным и его использование — неэффективным.

The principle of minimal differentiation, based on the Hotelling model, is well known in the economy. It is applicable to horizontal differentiated goods of almost any nature. The Hotelling approach to modeling competition of oligopolies corresponds to a modern description of monopolistic competition with increasing returns to scale and imperfect competition. We develop a modification of the Hotelling model that endows a firm with a non-market advantage, which is introduced alike the valence advantage known in problems of political economy. The nonmarket (valence) advantage can be interpreted as advertisement (brand awareness of firms). Problem statement. Consider two firms competing with prices and location. Homogeneous consumers vary with its location on a segment. They minimize their costs, which additively includes the price of the product and the distance from them to the product. The utility function is linear with respect to the price and quadratic with respect to the distance. It is also expected that one of the firms (for certainty, firm № 1) has a market advantage d. The consumers are assumed to take into account the sum of the distance to the product and the market advantage of firm 1. Thus, the strategy of the firms and the consumers depend on two parameters: the unit t of the transport costs and the non-market advantage d. I explore characteristics of the equilibrium in the model as a function of the non-market advantage for different fixed t. The aim of the research is to assess the impact of the non-market advantage on the equlibrium. We prove that the Nash equilibrium exists and it is unique under additive consumers' preferences de-pending on the square of the distance between consumers and firms. This equilibrium is ‘richer’ than that in the original Hotelling model. In particular, non-market advantage can be excessive and inefficient to use.

Работа посвящена численному моделированию и исследованию кинетической модели пиролиза пропана. Изучение кинетики реакций является необходимой стадией моделирования динамики газового потока в реакторе.

Кинетическая модель представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с параметрами, роль которых играют константы скоростей стадий. Математическое моделирование процесса основано на использовании закона сохранения масс. Для решения исходной (прямой) задачи используется неявный метод решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель содержит 60 входных кинетических параметров и 17 выходных параметров, соответствующих веществам реакции, из которых наблюдаемыми являются только 9. В процессе решения задачи по оценке параметров (обратная задача) возникает вопрос неединственности набора параметров, удовлетворяющего имеющимся экспериментальным данным. Поэтому перед решением обратной задачи проводится оценка возможности определения параметров модели — анализ идентифицируемости.

Для анализа идентифицируемости мы используем ортогональный метод, который хорошо себя зарекомендовал для анализа моделей с большим числом параметров. Основу алгоритма составляет анализ матрицы чувствительно- сти методами дифференциальной и линейной алгебры, показывающей степень зависимости неизвестных параметров моделей от заданных измерений. Анализ чувствительности и идентифицируемости показал, что параметры модели устойчиво определяются по заданному набору экспериментальных данных. В статье представлен список параметров модели от наиболее идентифицируемого до наименее идентифицируемого. Учитывая анализ идентифицируемости математической модели, были введены более жесткие ограничения на поиск слабоидентифицируемых параметров при решении обратной задачи.

Обратная задача по оценке параметров была решена с использованием генетического алгоритма. В статье представлены найденные оптимальные значения кинетических параметров. Представлено сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей концентраций пропана, основных и побочных продуктов реакции от температуры для разных расходов смеси. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам и экспериментальным данным сделан вывод об адекватности построенной математической модели.

The article presents the numerical modeling and study of the kinetic model of propane pyrolysis. The study of the reaction kinetics is a necessary stage in modeling the dynamics of the gas flow in the reactor.

The kinetic model of propane pyrolysis is a nonlinear system of ordinary differential equations of the first order with parameters, the role of which is played by the reaction rate constants. Math modeling of processes is based on the use of the mass conservation law. To solve an initial (forward) problem, implicit methods for solving stiff ordinary differential equation systems are used. The model contains 60 input kinetic parameters and 17 output parameters corresponding to the reaction substances, of which only 9 are observable. In the process of solving the problem of estimating parameters (inverse problem), there is a question of non-uniqueness of the set of parameters that satisfy the experimental data. Therefore, before solving the inverse problem, the possibility of determining the parameters of the model is analyzed (analysis of identifiability).

To analyze identifiability, we use the orthogonal method, which has proven itself well for analyzing models with a large number of parameters. The algorithm is based on the analysis of the sensitivity matrix by the methods of differential and linear algebra, which shows the degree of dependence of the unknown parameters of the models on the given measurements. The analysis of sensitivity and identifiability showed that the parameters of the model are stably determined from a given set of experimental data. The article presents a list of model parameters from most to least identifiable. Taking into account the analysis of the identifiability of the mathematical model, restrictions were introduced on the search for less identifiable parameters when solving the inverse problem.

The inverse problem of estimating the parameters was solved using a genetic algorithm. The article presents the found optimal values of the kinetic parameters. A comparison of the experimental and calculated dependences of the concentrations of propane, main and by-products of the reaction on temperature for different flow rates of the mixture is presented. The conclusion about the adequacy of the constructed mathematical model is made on the basis of the correspondence of the results obtained to physicochemical laws and experimental data.

Исследованы свойства нелинейных волн в математической модели «хищник-жертва» с таксисом. Нами показано, что для таких систем с положительным и отрицательным таксисом существует большая параметрическая область, для которой характерно квазисолитонное взаимодействие волн: сталкивающиеся волны проходят/отражаются друг сквозь друга, а также отражаются от непроницаемых границ. В численных экспериментах мы также демонстрируем новое волновое явление — полусолитонное вазимодействие: при столкновении двух волн одна аннигилирует, а другая продолжает распространение. Мы показали, что этот эффект зависит от «возраста» или, эквивалентно, «ширины» сталкивающихся волн.

We have studied properties of non-linear waves in a mathematical model of a predator – prey system with taxis. We demonstrate that, for systems with negative and positive taxis there typically exists a large region in the parameter space, where the waves demonstrate quasi-soliton interaction; colliding waves can penetrate through each other, and waves can also reflect from impermeable boundaries. In this paper, we use numerical simulations to demonstrate also a new wave phenomenon — a half-soliton interaction of waves, when of two colliding waves, one annihilates and the other continues to propagate. We show that this effect depends on the «ages» or, equivalently, «widths» of the colliding waves.

Статья посвящена моделированию динамики численности занятого населения по отраслям экономики как на национальном, так и на региональном уровне. Отсутствие целевого распределения работников в рыночной экономике требует исследования системных процессов на рынке труда, приводящих к различной динамике численности занятых в отраслях экономики. В этом случае значимыми становятся личные стратегии выбора трудовой деятельности экономическими агентами. Наличие различных стратегий приводит к появлению страт на рынке труда с динамично изменяющейся численностью занятых, неравномерно распределенной между отраслями экономики. В результате этого могут наблюдаться нелинейные колебания численности занятого населения, для исследования которых релевантен инструментарий агент-ориентированного моделирования. В статье на примере Еврейской автономной области рассмотрены синхронные и противофазные колебания численности занятых по видам экономической деятельности, обнаруженные во временных рядах статистических данных для 2008–2016 гг. Показано, что такие колебания наблюдаются по возрастным группам работников. Ввиду этого выдвинута гипотеза о том, что агент на рынке труда при выборе места работы руководствуется стратегией, характерной для его возрастной группы, что в итоге прямо влияет на распределение численности занятых различных когорт и общую численность занятых в отраслях экономики. При этом стратегия определяется исходя из социально-экономических характеристик отраслей (различного уровня оплаты труда, условий труда, престижа профессии). Для проверки гипотезы построена базовая агент-ориентированная модель трехотраслевой экономики, в которой учтены различные стратегии экономических агентов, включающие выбор наибольшей заработной платы, наиболее высокого престижа профессии и наилучших условий труда. В результате численных экспериментов показано, что наличие различных стратегий выбора отрасли в совокупности с возрастными предпочтениями работодателей внутри отрасли приводит к периодическим и сложным режимам динамики численности разновозрастных занятых. Такие возрастные предпочтения могут быть вызваны, например, требованием работодателя к наличию трудового стажа и образования. Также сущетвенные изменения возрастной структуры занятого населения могут возникнуть вследствие миграции.

The article deals with the modeling of the number of employed population by branches of the economy at the national and regional levels. The lack of targeted distribution of workers in a market economy requires the study of systemic processes in the labor market that lead to different dynamics of the number of employed in the sectors of the economy. In this case, personal strategies for choosing labor activity by economic agents become important. The presence of different strategies leads to the emergence of strata in the labor market with a dynamically changing number of employees, unevenly distributed among the sectors of the economy. As a result, non-linear fluctuations in the number of employed population can be observed, the toolkit of agentbased modeling is relevant for the study of the fluctuations. In the article, we examined in-phase and anti-phase fluctuations in the number of employees by economic activity on the example of the Jewish Autonomous Region in Russia. The fluctuations found in the time series of statistical data for 2008–2016. We show that such fluctuations appear by age groups of workers. In view of this, we put forward a hypothesis that the agent in the labor market chooses a place of work by a strategy, related with his age group. It directly affects the distribution of the number of employed for different cohorts and the total number of employed in the sectors of the economy. The agent determines the strategy taking into account the socio-economic characteristics of the branches of the economy (different levels of wages, working conditions, prestige of the profession). We construct a basic agentoriented model of a three-branch economy to test the hypothesis. The model takes into account various strategies of economic agents, including the choice of the highest wages, the highest prestige of the profession and the best working conditions by the agent. As a result of numerical experiments, we show that the availability of various industry selection strategies and the age preferences of employers within the industry lead to periodic and complex dynamics of the number of different-aged employees. Age preferences may be a consequence, for example, the requirements of employer for the existence of work experience and education. Also, significant changes in the age structure of the employed population may result from migration.

В статье дается детальное описание численной методики моделирования турбулентного обтекания вращающихся винтов вертолета и расчета аэродинамических характеристик винта. В качестве базовой математической модели используется система осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса для вязкого сжимаемого газа, замкнутая моделью турбулентности Спаларта – Аллмараса. Итоговая модель формулируется в неинерциальной вращающейся системе координат, связанной с винтом. Для задания граничных условий на поверхности винта используются пристеночные функции.

Численное решение полученной системы дифференциальных уравнений проводится на гибридных неструктурированных сетках, включающих призматические слои вблизи поверхности обтекаемого тела. Численный метод строится на основе оригинальных вершинно-центрированных конечно-объемных EBR-схем. Особенностью этих схем является их повышенная точность, которая достигается за счет использования реберно-ориентированной реконструкции переменных на расширенных квазиодномерных шаблонах, и умеренная вычислительная стоимость, позволяющая проводить серийные расчеты. Для приближенного решения задачи о распаде разрыва используются методы Роу и Лакса – Фридрихса. Метод Роу корректируется в случае низкоскоростных течений. При моделировании разрывов или решений с большими градиентами используется квазиодномерная WENO-схема или локальное переключение на квазиодномерную TVD-реконструкцию. Интегрирование по времени проводится по неявной трехслойной схеме второго порядка аппроксимации с линеаризацией по Ньютону системы разностных уравнений. Для решения системы линейных уравнений используется стабилизированный метод сопряженных градиентов.

Численная методика реализована в составе исследовательского программного комплекса NOISEtte согласно двухуровневой MPI–OpenMP-модели, позволяющей с высокой эффективностью проводить расчеты на сетках, состоящих из сотен миллионов узлов, при одновременном задействовании сотен тысячп роцессорных ядер современных суперкомпьютеров.

На основе результатов численного моделирования вычисляются аэродинамические характеристики винта вертолета, а именно сила тяги, крутящий момент и их безразмерные коэффициенты.

Валидация разработанной методики проводится путем моделирования турбулентного обтекания двухлопастного винта Caradonna – Tung и четырехлопастного модельного винта КНИТУ-КАИ на режиме висения, рулевого винта в кольце, а также жесткого несущего винта в косом потоке. численные результаты сравниваются с имеющими экспериментальными данными.

The paper gives a detailed description of the developed methods for simulating the turbulent flow around a helicopter rotor and calculating its aerodynamic characteristics. The system of Reynolds-averaged Navier – Stokes equations for a viscous compressible gas closed by the Spalart –Allmaras turbulence model is used as the basic mathematical model. The model is formulated in a non-inertial rotating coordinate system associated with a rotor. To set the boundary conditions on the surface of the rotor, wall functions are used.

The numerical solution of the resulting system of differential equations is carried out on mixed-element unstructured grids including prismatic layers near the surface of a streamlined body.The numerical method is based on the original vertex-centered finite-volume EBR schemes. A feature of these schemes is their higher accuracy which is achieved through the use of edge-based reconstruction of variables on extended quasi-onedimensional stencils, and a moderate computational cost which allows for serial computations. The methods of Roe and Lax – Friedrichs are used as approximate Riemann solvers. The Roe method is corrected in the case of low Mach flows. When dealing with discontinuities or solutions with large gradients, a quasi-one-dimensional WENO scheme or local switching to a quasi-one-dimensional TVD-type reconstruction is used. The time integration is carried out according to the implicit three-layer second-order scheme with Newton linearization of the system of difference equations. To solve the system of linear equations, the stabilized conjugate gradient method is used.

The numerical methods are implemented as a part of the in-house code NOISEtte according to the two-level MPI–OpenMP parallel model, which allows high-performance computations on meshes consisting of hundreds of millions of nodes, while involving hundreds of thousands of CPU cores of modern supercomputers.

Based on the results of numerical simulation, the aerodynamic characteristics of the helicopter rotor are calculated, namely, trust, torque and their dimensionless coefficients.

Validation of the developed technique is carried out by simulating the turbulent flow around the Caradonna – Tung two-blade rotor and the KNRTU-KAI four-blade model rotor in hover mode mode, tail rotor in duct, and rigid main rotor in oblique flow. The numerical results are compared with the available experimental data.

Данная статья посвящена повышению скоростных гарантий численных методов градиентного типа для относительно гладких и относительно липшицевых задач минимизации в случае дополнительных предположений о некоторых аналогах сильной выпуклости целевой функции. Рассматриваются два класса задач: выпуклые задачи с условием относительного функционального роста, а также задачи (вообще говоря, невыпуклые) с аналогом условия градиентного доминирования Поляка – Лоясиевича относительно дивергенции Брэгмана. Для первого типа задач мы предлагаем две схемы рестартов методов градиентного типа и обосновываем теоретические оценки сходимости двух алгоритмов с адаптивно подбираемыми параметрами, соответствующими относительной гладкости или липшицевости целевой функции. Первый из этих алгоритмов проще в части критерия выхода из итерации, но для него близкие к оптимальным вычислительные гарантии обоснованы только на классе относительно липшицевых задач. Процедура рестартов другого алгоритма, в свою очередь, позволила получить более универсальные теоретические результаты. Доказана близкая к оптимальной оценка сложности на классе выпуклых относительно липшицевых задач с условием функционального роста, а для класса относительно гладких задач с условием функционального роста получены гарантии линейной скорости сходимости. На классе задач с предложенным аналогом условия градиентного доминирования относительно дивергенции Брэгмана были получены оценки качества выдаваемого решения с использованием адаптивно подбираемых параметров. Также мы приводим результаты некоторых вычислительных экспериментов, иллюстрирующих работу методов для второго исследуемого в настоящей статье подхода. В качестве примеров мы рассмотрели линейную обратную задачу Пуассона (минимизация дивергенции Кульбака – Лейблера), ее регуляризованный вариант, позволяющий гарантировать относительную сильную выпуклость целевой функции, а также некоторый пример относительно гладкой и относительно сильно выпуклой задачи. В частности, с помощью расчетов показано, что относительно сильно выпуклая функция может не удовлетворять введенному относительному варианту условия градиентного доминирования.

This paper is devoted to some variants of improving the convergence rate guarantees of the gradient-type algorithms for relatively smooth and relatively Lipschitz-continuous problems in the case of additional information about some analogues of the strong convexity of the objective function. We consider two classes of problems, namely, convex problems with a relative functional growth condition, and problems (generally, non-convex) with an analogue of the Polyak – Lojasiewicz gradient dominance condition with respect to Bregman divergence. For the first type of problems, we propose two restart schemes for the gradient type methods and justify theoretical estimates of the convergence of two algorithms with adaptively chosen parameters corresponding to the relative smoothness or Lipschitz property of the objective function. The first of these algorithms is simpler in terms of the stopping criterion from the iteration, but for this algorithm, the near-optimal computational guarantees are justified only on the class of relatively Lipschitz-continuous problems. The restart procedure of another algorithm, in its turn, allowed us to obtain more universal theoretical results. We proved a near-optimal estimate of the complexity on the class of convex relatively Lipschitz continuous problems with a functional growth condition. We also obtained linear convergence rate guarantees on the class of relatively smooth problems with a functional growth condition. For a class of problems with an analogue of the gradient dominance condition with respect to the Bregman divergence, estimates of the quality of the output solution were obtained using adaptively selected parameters. We also present the results of some computational experiments illustrating the performance of the methods for the second approach at the conclusion of the paper. As examples, we considered a linear inverse Poisson problem (minimizing the Kullback – Leibler divergence), its regularized version which allows guaranteeing a relative strong convexity of the objective function, as well as an example of a relatively smooth and relatively strongly convex problem. In particular, calculations show that a relatively strongly convex function may not satisfy the relative variant of the gradient dominance condition.