Все выпуски

В работе представлены результаты фундаментального исследования, направленного на теоретическое изучение и компьютерное моделирование свойств статистического распределения фазы квазигармонического сигнала, формируемого в результате воздействия гауссовского шума на исходно гармонический сигнал. Методами математического анализа получены в явном виде формулы для основных характеристик данного распределения — функции распределения, функции плотности вероятности, функции правдоподобия. В результате проведенного компьютерного моделирования проанализированы зависимости данных функций от параметров распределения фазы. В работе разработаны и обоснованы методы оценивания параметров распределения фазы, несущих информацию об исходном, не искаженном шумом сигнале. Показано, что задача оценивания исходного значения фазы квазигармонического сигнала может эффективно решаться простым усреднением результатов выборочных измерений фазы, в то время как для решения задачи оценивания второго параметра распределения фазы — параметра уровня сигнала относительно шума — предлагается использовать метод максимума правдоподобия. В работе представлены графические материалы, полученные путем компьютерного моделирования основных характеристик исследуемого статистического распределения фазы. Существование и единственность максимума функции правдоподобия позволяют обосновать возможность и эффективность решения задачи оценивания уровня сигнала относительно уровня шума методом максимума правдоподобия. Развиваемый в работе метод оценивания уровня незашумленного сигнала относительно уровня шума, т.е. параметра, характеризующего интенсивность сигнала, на основании измерений фазы сигнала является оригинальным, принципиально новым, открывающим перспективы использования фазовых измерений как инструмента анализа стохастических данных. Данное исследование является значимым для решения задач расчета фазы и уровня сигнала методами статистической обработки выборочных фазовых измерений. Предлагаемые методы оценивания параметров распределения фазы квазигармонического сигнала могут использоваться при решении различных научных и прикладных задач, в частности, в таких областях, как радиофизика, оптика, радиолокация, радионавигация, метрология.

The paper presents the results of the fundamental research directed on the theoretical study and computer simulation of peculiarities of the quasi-harmonic signal’s phase statistical distribution. The quasi-harmonic signal is known to be formed as a result of the Gaussian noise impact on the initially harmonic signal. By means of the mathematical analysis the formulas have been obtained in explicit form for the principle characteristics of this distribution, namely: for the cumulative distribution function, the probability density function, the likelihood function. As a result of the conducted computer simulation the dependencies of these functions on the phase distribution parameters have been analyzed. The paper elaborates the methods of estimating the phase distribution parameters which contain the information about the initial, undistorted signal. It has been substantiated that the task of estimating the initial value of the phase of quasi-harmonic signal can be efficiently solved by averaging the results of the sampled measurements. As for solving the task of estimating the second parameter of the phase distribution, namely — the parameter, determining the signal level respectively the noise level — a maximum likelihood technique is proposed to be applied. The graphical illustrations are presented that have been obtained by means of the computer simulation of the principle characteristics of the phase distribution under the study. The existence and uniqueness of the likelihood function’s maximum allow substantiating the possibility and the efficiency of solving the task of estimating signal’s level relative to noise level by means of the maximum likelihood technique. The elaborated method of estimating the un-noised signal’s level relative to noise, i. e. the parameter characterizing the signal’s intensity on the basis of measurements of the signal’s phase is an original and principally new technique which opens perspectives of usage of the phase measurements as a tool of the stochastic data analysis. The presented investigation is meaningful for solving the task of determining the phase and the signal’s level by means of the statistical processing of the sampled phase measurements. The proposed methods of the estimation of the phase distribution’s parameters can be used at solving various scientific and technological tasks, in particular, in such areas as radio-physics, optics, radiolocation, radio-navigation, metrology.

Поиск оптимальной траектории движения является нетривиальной задачей, на решение которой направлено большое число исследований. Большинство этих исследований посвящено решению задачи в общем виде вне зависимости от модели движения объекта. В такой постановке поиск оптимальной траектории возможен только численными методами. Вместе с тем в некоторых случаях возможно нахождение оптимальной траектории в аналитическом виде. В данной статье рассмотрена задача быстродействия с фазовыми ограничениями для колесного мобильного робота, движущегося по горизонтальной плоскости. Математическая модель робота является кинематической. Фазовые ограничения соответствуют препятствиям на плоскости, заданным в виде непересекающихся кругов, которые требуется избегать при движении. Независимыми управляющими воздействиями являются скорости колес, которые ограничены по абсолютной величине. Такая постановка часто применяется в тех случаях, когда динамические переходные процессы несущественны, например при управлении медленно движущимися гусеничными или колесными устройствами, в которых приоритет отдается мощности двигателей, а не их скорости. В статье показывается, что оптимальная траектория движения из начальной точки в конечную в выбранной кинематической постановке представляет собой последовательность отрезков общих касательных к парам кругов и дуг окружностей этих кругов. Геометрически кратчайший путь между начальной и конечной точками также состоит из отрезков касательных и дуг окружностей, поэтому оптимальное по быстродействию движение соответствует одному из локальных минимумов при поиске кратчайшего пути. Предложен аналитический метод поиска оптимальной траектории движения, основанный на построении графа возможных траекторий, где ребрами являются прямолинейные отрезки и дуги, а вершинами — точки их соединений, и поиска кратчайшего (быстрейшего) пути на графе с помощью метода Дейкстры. Представлено обоснование метода. Приведены результаты численных экспериментов по нахождению оптимальной траектории.

Searching optimal trajectory of motion is a complex problem that is investigated in many research studies. Most of the studies investigate methods that are applicable to such a problem in general, regardless of the model of the object. With such general approach, only numerical solution can be found. However, in some cases it is possible to find an optimal trajectory in a closed form. Current article considers a time optimal problem with state limitations for a wheeled mobile differential robot that moves on a horizontal plane. The mathematical model of motion is kinematic. The state constraints correspond to the obstacles on the plane defined as circles that need to be avoided during motion. The independent control inputs are the wheel speeds that are limited in absolute value. Such model is commonly used in problems where the transients are considered insignificant, for example, when controlling tracked or wheeled devices that move slowly, prioritizing traction power over speed. In the article it is shown that the optimal trajectory from the starting point to the finishing point in such kinematic approach is a sequence of straight segments of tangents to the obstacles and arcs of the circles that limit the obstacles. The geometrically shortest path between the start and the finish is also a sequence of straight lines and arcs, therefore the time-optimal trajectory corresponds to one of the local minima when searching for the shortest path. The article proposes a method of search for the time-optimal trajectory based on building a graph of possible trajectories, where the edges are the possible segments of the tajectory, and the vertices are the connections between them. The optimal path is sought using Dijkstra’s algorithm. The theoretical foundation of the method is given, and the results of computer investigation of the algorithm are provided.

Многие нелинейные системы с управлением неособенным преобразованием переменных {состояние-управление} приводятся к каноническому виду Бруновского. В каноническом виде решаются различные вопросы теории управления, затем обратной заменой переменных осуществляется возврат к исходным переменным. В работе на основе этой идеологии изучаются преобразования симметрии пространства {время-состояние-управление}.

Many nonlinear control systems by nonsingular transformation variable {condition-control} happen to canonical Brunovsky form. The different questions dare in canonical form to theories of control, then inverse change variable is realized return to source variable. In work on base this ideology are studied transformations to symmetries space {time-condition-control}.

Решается двойственная задача интегральной геометрии: по заданному оператору усреднения определить класс функций, на котором возможно обращение этого оператора. Эти классы определяются неоднозначно. Дается полное описание таких классов в форме минимальной дополнительной информации, которую надо знать о функции. Исследуется возможность их конструктивного описания, и в случае конечной системы усреднения даются формулы обращения.

The dual task of integral geometry – to define for a given averaging operator the function class where inversion of that operator is possible – is solved. Those classes are defined ambiguously. Full description of those classes is given in the form of minimal complimentary information necessary to know about the function. The possible to give a constructive description of the class is researched and in the case of a finite averaging system the inversion formulas are given.

Рассмотрены особенности формирования поля температуры уходящих газов на выходе из малоэмиссионных камер сгорания (МЭКС) газотурбинных двигателей (ГТД). Показаны основные проблемы, связанные с их доводкой. Представлены результаты численных исследований влияния степени выгорания топлива по длине МЭКС на температурную неравномерность уходящих газов. Проведена оптимизация конструкции смесителя ввода воздуха на разбавление по количеству, форме и местоположению отверстий. Представлена методика разработки смесителя для камер сгорания подобного типа.

It is discussed peculiarities of forming gas temperature fields in gas turbine engine low emission combustors. It is shown the influence of burn-up rate on combustor outlet temperature and proposed recommendation for design the dilution system for the combustor.

В данной статье исследуется метод машинного обучения на основе теории случайных функций. Одной из основных проблем данного метода является то, что вид решающего правила модели метода, построенной на данных обучающей выборки, становится более громоздким при увеличении количества примеров выборки. Решающее правило модели является наиболее вероятной реализацией случайной функции и представляется в виде многочлена с количеством слагаемых, равным количеству обучающих элементов выборки. В статье будет показано, что для рассматриваемого метода существует быстрый способ сокращения обучающей выборки и, соответственно, вида решающего правила. Уменьшение примеров обучающей выборки происходит за счет поиска и удаления малоинформативных (слабых) элементов, которые незначительно влияют на итоговый вид решающей функции, и шумовых элементов выборки. Для каждого $(x_i,y_i)$-го элемента выборки было введено понятие значимости, выражающееся величиной отклонения оцененного значения решающей функции модели в точке $x_i$, построенной без $i$-го элемента, от реального значения $y_i$. Будет показана возможность косвенного использования найденных слабых элементов выборки при обучении модели метода, что позволяет не увеличивать количество слагаемых в полученной решающей функции. Также в статье будут описаны проведенные эксперименты, в которых показано, как изменение количества обучающих данных влияет на обобщающую способность решающего правила модели в задаче классификации.

This article explores a method of machine learning based on the theory of random functions. One of the main problems of this method is that decision rule of a model becomes more complicated as the number of training dataset examples increases. The decision rule of the model is the most probable realization of a random function and it's represented as a polynomial with the number of terms equal to the number of training examples. In this article we will show the quick way of the number of training dataset examples reduction and, accordingly, the complexity of the decision rule. Reducing the number of examples of training dataset is due to the search and removal of weak elements that have little effect on the final form of the decision function, and noise sampling elements. For each $(x_i,y_i)$-th element sample was introduced the concept of value, which is expressed by the deviation of the estimated value of the decision function of the model at the point $x_i$, built without the $i$-th element, from the true value $y_i$. Also we show the possibility of indirect using weak elements in the process of training model without increasing the number of terms in the decision function. At the experimental part of the article, we show how changed amount of data affects to the ability of the method of generalizing in the classification task.

В динамике тяжелого твердого тела с неподвижной точкой известны различные типы редуцированных уравнений. Поскольку уравнения Эйлера–Пуассона допускают три первых интеграла, то в первом подходе получение новых форм уравнений, как правило, основано на этих интегралах. С их помощью можно систему шести скалярных уравнений преобразовать к системе третьего порядка. Однако редуцированная система при указанном подходе будет иметь особенность в виде радикальных выражений относительно компонент вектора угловой скорости. Это обстоятельство препятствует эффективному применению численных и асимптотических методов исследования решения. Во втором подходе используют различные виды переменных задачи: углы Эйлера, переменные Гамильтона и другие. При таком подходе уравнения Эйлера–Пуассона редуцируются либо к системе дифференциальных уравнений второго порядка, либо к системе, для которой эффективны специальные методы. В статье применен метод нахождения приведенной системы, основанный на введении вспомогательной переменной. Эта переменная характеризует смешанное произведение вектора момента количества движения, вектора вертикали и единичного вектора барицентрической оси тела. Получена система четырех дифференциальных уравнений, два из которых являются линейными дифференциальными уравнениями. Данная система не имеет аналога и не содержит особенностей, что позволяет применять к ней аналитические и численные методы исследования. Указанная форма уравнений применена для анализа специального класса решений в случае, когда центр масс тела принадлежит барицентрической оси. Рассмотрен вариант, при котором сумма квадратов двух компонент вектора кинематического момента относительно небарицентрических осей постоянна. Доказано, что этот вариант имеет место только в решении В.А. Стеклова. Найденная форма уравнений Эйлера–Пуассона может быть применена к исследованию условий существования других классов решений. Определенная перспектива полученных уравнений состоит в записи всех решений, для которых центр масс лежит на барицентрической оси, в переменных данной статьи. Это позволяет провести классификацию решений уравнений Эйлера–Пуассона в зависимости от порядка инвариантных соотношений. Поскольку указанная в статье система уравнений не имеет особенностей, то она может рассматриваться при компьютерном моделировании с помощью численных методов.

The different types of the reduced equations are known in the dynamics a heavy rigid body with a fixed point. Since the Euler−Poisson’s equations admit the three first integrals, then for the first approach the obtaining new forms of equations are usually based on these integrals. The system of six scalar equations can be transformed to a third-order system with them. However, in indicated approach the reduced system will have a feature as in the form of radical expressions a relatively the components of the angular velocity vector. This fact prevents the effective the effective application of numerical and asymptotic methods of solutions research. In the second approach the different types of variables in a problem are used: Euler’s angles, Hamilton’s variables and other variables. In this approach the Euler−Poisson’s equations are reduced to either the system of second-order differential equations, or the system for which the special methods are effective. In the article the method of finding the reduced system based on the introduction of an auxiliary variable is applied. This variable characterizes the mixed product of the angular momentum vector, the vector of vertical and the unit vector barycentric axis of the body. The system of four differential equations, two of which are linear differential equations was obtained. This system has no analog and does not contain the features that allows to apply to it the analytical and numerical methods. Received form of equations is applied for the analysis of a special class of solutions in the case when the center of mass of the body belongs to the barycentric axis. The variant in which the sum of the squares of the two components of the angular momentum vector with respect to not barycentric axes is constant. It is proved that this variant exists only in the Steklov’s solution. The obtained form of Euler−Poisson’s equations can be used to the investigation of the conditions of existence of other classes of solutions. Certain perspectives obtained equations consists a record of all solutions for which the center of mass is on barycentric axis in the variables of this article. It allows to carry out a classification solutions of Euler−Poisson’s equations depending on the order of invariant relations. Since the equations system specified in the article has no singularities, it can be considered in computer modeling using numerical methods.

Оптические системы с двумерной обратной связью демонстрируют широкие возможности по исследованию процессов зарождения и развития диссипативных структур. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику оптической системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и другими устройствами. Нелинейный интерферометр с зеркальным отражением поля в двумерной обратной связи является одной из наиболее простых оптических систем, в которых реализуется нелокальный характер взаимодействия световых полей.

Математической моделью оптических систем с двумерной обратной связью является нелинейное параболическое уравнение с преобразованием поворота пространственной переменной и условиями периодичности на окружности.

Исследуются вопросы бифуркации рождения стационарных структур типа бегущей волны, эволюции их форм при уменьшении бифуркационного параметра (коэффициента диффузии) и динамики их устойчивости при отходе от критического значения параметра бифуркации и дальнейшем его уменьшении. Впервые в качестве бифуркационного параметра был взят коэффициент диффузии.

В работе используются метод центральных многообразий и метод Галёркина. На основе метода центральных многообразий доказана теорема о существовании, форме и устойчивости решения типа бегущей волны в окрестности бифуркационного значения коэффициента диффузии. Получено представление первой бегущей волны, рождающейся в результате бифуркации Андронова–Хопфа при переходе бифуркационного параметра через критическое значение. Согласно теореме о центральном многообразии первая бегущая волна рождается орбитально устойчивой.

Поскольку доказанная теорема дает возможность исследовать рожденные решения только в окрестности критического значения бифуркационного параметра, то для изучения динамики изменений решения типа бегущей волны при отходе бифуркационного параметра в область надкритичности был использован формализм метода Галёркина. В соответствии с методом центральных многообразий составлена галёркинская аппроксимация приближенных решений поставленной задачи. При уменьшении параметра бифуркации и его переходе через критическое значение нулевое решение задачи теряет устойчивость колебательным образом. В результате от нулевого решения ответвляется периодическое решение типа бегущей волны. Эта волна рождается орбитально устойчивой. При дальнейшем уменьшении параметра и его прохождении через следующее критическое значение от нулевого решения в результате бифуркации Андронова–Хопфа рождается второе решение типа бегущей волны. Данная волна рождается неустойчивой, с индексом неустойчивости два.

Численные расчеты с помощью пакета Mathematica показали, что применение метода Галёркина приводит к качественно и количественно правильным результатам. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами, и могут быть использованы для постановки экспериментов по изучению явлений в оптических системах с обратной связью.

Optical systems with two-dimensional feedback demonstrate wide possibilities for studying the nucleation and development processes of dissipative structures. Feedback allows to influence the dynamics of the optical system by controlling the transformation of spatial variables performed by prisms, lenses, dynamic holograms and other devices. A nonlinear interferometer with a mirror image of a field in two-dimensional feedback is one of the simplest optical systems in which is realized the nonlocal nature of light fields.

A mathematical model of optical systems with two-dimensional feedback is a nonlinear parabolic equation with rotation transformation of a spatial variable and periodicity conditions on a circle. Such problems are investigated: bifurcation of the traveling wave type stationary structures, how the form of the solution changes as the diffusion coefficient decreases, dynamics of the solution’s stability when the bifurcation parameter leaves the critical value. For the first time as a parameter bifurcation was taken of diffusion coefficient.

The method of central manifolds and the Galerkin’s method are used in this paper. The method of central manifolds and the Galerkin’s method are used in this paper. The method of central manifolds allows to prove a theorem on the existence and form of the traveling wave type solution neighborhood of the bifurcation value. The first traveling wave born as a result of the Andronov –Hopf bifurcation in the transition of the bifurcation parameter through the сritical value. According to the central manifold theorem, the first traveling wave is born orbitally stable.

Since the above theorem gives the opportunity to explore solutions are born only in the vicinity of the critical values of the bifurcation parameter, the decision to study the dynamics of traveling waves of change during the withdrawal of the bifurcation parameter in the supercritical region, the formalism of the Galerkin method was used. In accordance with the method of the central manifold is made Galerkin’s approximation of the problem solution. As the bifurcation parameter decreases and its transition through the critical value, the zero solution of the problem loses stability in an oscillatory manner. As a result, a periodic solution of the traveling wave type branches off from the zero solution. This wave is born orbitally stable. With further reduction of the parameter and its passage through the next critical value from the zero solution, the second solution of the traveling wave type is produced as a result of the Andronov –Hopf bifurcation. This wave is born unstable with an instability index of two.

Numerical calculations have shown that the application of the Galerkin’s method leads to correct results. The results obtained are in good agreement with the results obtained by other authors and can be used to establish experiments on the study of phenomena in optical systems with feedback.

Движение влекомых наносов по дну напорного канала может приводить к потере устойчивости донной поверхности, когда на дне канала возникают донные волны. Исследование процесса развития донных волн связано с возможностью определения характера движения влекомых наносов по дну периодической формы. Несмотря на большое внимание многих исследователей к данной проблеме, вопрос о развитии процесса донных волн остается открытым и в настоящее время. В значительной мере это связано с тем, что при анализе данного процесса многие исследователи используют в своих работах феноменологические формулы движения влекомых наносов. Полученные в таких моделях результаты позволяют лишь качественно оценить процесс развития донных волн. По этой причине представляет интерес проведение анализа развития донных волн с использованием аналитической модели движения влекомых наносов.

В работе предложена двумерная профильная математическая русловая модель, позволяющая исследовать движение влекомых наносов над периодическим дном. Особенностью математической модели является возможность расчета расхода влекомых наносов по аналитической модели с реологией Кулона–Прандтля, учитывающей влияние уклонов поверхности дна, придонных нормальных и касательных напряжений на процесс движения донного материала. Показано, что при движении донного материла по дну периодической формы диффузионные и напорные расходы влекомых наносов являются разнонаправленными и доминирующими по отношению к транзитному расходу. Изучались влияния параметра перекошенности донной волны на вклад транзитного, диффузионного и напорного расходов в полный расход влекомых наносов. Выполнено сравнение полученных результатов с численными решениями других авторов для донной поверхности косинусоидальной формы.

The movement of bed load along the closed conduit can lead to a loss of stability of the bed surface, when bed waves arise at the bed of the channel. Investigation of the development of bed waves is associated with the possibility of determining of the bed load nature along the bed of the periodic form. Despite the great attention of many researchers to this problem, the question of the development of bed waves remains open at the present time. This is due to the fact that in the analysis of this process many researchers use phenomenological formulas for sediment transport in their work. The results obtained in such models allow only assess qualitatly the development of bed waves. For this reason, it is of interest to carry out an analysis of the development of bed waves using the analytical model for sediment transport.

The paper proposed two-dimensional profile mathematical riverbed model, which allows to investigate the movement of sediment over a periodic bed. A feature of the mathematical model is the possibility of calculating the bed load transport according to an analytical model with the Coulomb–Prandtl rheology, which takes into account the influence of bottom surface slopes, bed normal and tangential stresses on the movement of bed material. It is shown that when the bed material moves along the bed of periodic form, the diffusion and pressure transport of bed load are multidirectional and dominant with respect to the transit flow. Influence of the effects of changes in wave shape on the contribution of transit, diffusion and pressure transport to the total sediment transport has been studied. Comparison of the received results with numerical solutions of the other authors has shown their good qualitative initiation.

С целью обобщения уравнения крутильных колебаний на случай нелинейно деформируемых реологически активных валов в статье представлена методика линеаризации эффективной функции мгновенного деформирования материала. В работе рассматриваются слоистые и структурно неоднородные, в среднем изотропные валы из нелинейно вязкоупругих компонент. Методика заключается в определении аппроксимирующего модуля сдвига материала посредством минимизации среднеквадратического отклонения при приближении эффективной диаграммы мгновенного деформирования линейной функцией.

Представленная методика позволяет в аналитическом виде произвести оценку величин частот свободных колебаний слоистых и структурно неоднородных нелинейно вязкоупругих цилиндрических стержней. Это, в свою очередь, предоставляет возможность существенно сократить ресурсы при вибрационном анализе, а также отследить изменения значений собственных частот при изменении геометрических, физико-механических и структурных параметров валов, что особенно важно на начальных этапах моделирования и проектирования. Кроме того, в работе показано, что только выраженная нелинейность эффективного уравнения состояния материала оказывает значимое влияние на частоты свободных колебаний, и в некоторых случаях нелинейностью при определении собственных частот можно пренебречь.

В качестве уравнений состояния компонент композиционного материала в статье рассматриваются уравнения нелинейной наследственности с функциями мгновенного деформирования в виде билинейных диаграмм Прандтля. Для гомогенизации уравнений состояния слоистых цилиндрических стержней в работе применяются гипотезы Фойгта об однородности деформаций и Рейсса об однородности напряжений в объеме композиционного тела. При использовании данных предположений получены эффективные секущий и касательный модули сдвига, пределы пропорциональности, а также ядра ползучести и релаксации продольно, аксиально и поперечно-слоистых валов. Кроме того, в работе получены указанные эффективные характеристики структурно неоднородного, в среднем изотропного цилиндрического стержня с помощью ранее предложенного авторами метода гомогенизации, основанного на определении параметров деформирования материала по правилу смеси для уравнений состояния по Фойгту и Рейссу.

The article presents a method for linearization the effective function of material instantaneous deformation in order to generalize the torsional vibration equation to the case of nonlinearly deformable rheologically active shafts. It is considered layered and structurally heterogeneous, on average isotropic shafts made of nonlinearly viscoelastic components. The technique consists in determining the approximate shear modulus by minimizing the root-mean-square deviation in approximation of the effective diagram of instantaneous deformation.

The method allows to estimate analytically values of natural frequencies of layered and structurally heterogeneous nonlinearly viscoelastic shaft. This makes it possible to significantly reduce resources in vibration analysis, as well as to track changes in values of natural frequencies with changing geometric, physico-mechanical and structural parameters of shafts, which is especially important at the initial stages of modeling and design. In addition, the paper shows that only a pronounced nonlinearity of the effective state equation has an effect on the natural frequencies, and in some cases the nonlinearity in determining the natural frequencies can be neglected.

As equations of state of the composite material components, the article considers the equations of nonlinear heredity with instantaneous deformation functions in the form of the Prandtl’s bilinear diagrams. To homogenize the state equations of layered shafts, it is applied the Voigt’s hypothesis on the homogeneity of deformations and the Reuss’ hypothesis on the homogeneity of stresses in the volume of a composite body. Using these assumptions, effective secant and tangential shear moduli, proportionality limits, as well as creep and relaxation kernels of longitudinal, axial and transversely layered shafts are obtained. In addition, it is obtained the indicated effective characteristics of a structurally heterogeneous, on average isotropic shaft using the homogenization method previously proposed by the authors, based on the determination of the material deformation parameters by the rule of a mixture for the Voigt’s and the Reuss’ state equations.