Все выпуски

В данной статье проведен обзор как исторических достижений, так и современных результатов в области марковских процессов принятия решений (Markov Decision Process, MDP) и выпуклой оптимизации. Данный обзор является первой попыткой освещения на русском языке области обучения с подкреплением в контексте выпуклой оптимизации. Рассматриваются фундаментальное уравнение Беллмана и построенные на его основе критерии оптимальности политики — стратегии, принимающие решение по известному состоянию среды на данный момент. Также рассмотрены основные итеративные алгоритмы оптимизации политики, построенные на решении уравнений Беллмана. Важным разделом данной статьи стало рассмотрение альтернативы к подходу $Q$-обучения — метода прямой максимизации средней награды агента для избранной стратегии от взаимодействия со средой. Таким образом, решение данной задачи выпуклой оптимизации представимо в виде задачи линейного программирования. В работе демонстрируется, как аппарат выпуклой оптимизации применяется для решения задачи обучения с подкреплением (Reinforcement Learning, RL). В частности, показано, как понятие сильной двойственности позволяет естественно модифицировать постановку задачи RL, показывая эквивалентность между максимизацией награды агента и поиском его оптимальной стратегии. В работе также рассматривается вопрос сложности оптимизации MDP относительно количества троек «состояние–действие–награда», получаемых в результате взаимодействия со средой. Представлены оптимальные границы сложности решения MDP в случае эргодического процесса с бесконечным горизонтом, а также в случае нестационарного процесса с конечным горизонтом, который можно перезапускать несколько раз подряд или сразу запускать параллельно в нескольких потоках. Также в обзоре рассмотрены последние результаты по уменьшению зазора нижней и верхней оценки сложности оптимизации MDP с усредненным вознаграждением (Averaged MDP, AMDP). В заключение рассматриваются вещественнозначная параметризация политики агента и класс градиентных методов оптимизации через максимизацию $Q$-функции ценности. В частности, представлен специальный класс MDP с ограничениями на ценность политики (Constrained Markov Decision Process, CMDP), для которых предложен общий прямодвойственный подход к оптимизации, обладающий сильной двойственностью.

This article reviews both historical achievements and modern results in the field of Markov Decision Process (MDP) and convex optimization. This review is the first attempt to cover the field of reinforcement learning in Russian in the context of convex optimization. The fundamental Bellman equation and the criteria of optimality of policy — strategies based on it, which make decisions based on the known state of the environment at the moment, are considered. The main iterative algorithms of policy optimization based on the solution of the Bellman equations are also considered. An important section of this article was the consideration of an alternative to the $Q$-learning approach — the method of direct maximization of the agent’s average reward for the chosen strategy from interaction with the environment. Thus, the solution of this convex optimization problem can be represented as a linear programming problem. The paper demonstrates how the convex optimization apparatus is used to solve the problem of Reinforcement Learning (RL). In particular, it is shown how the concept of strong duality allows us to naturally modify the formulation of the RL problem, showing the equivalence between maximizing the agent’s reward and finding his optimal strategy. The paper also discusses the complexity of MDP optimization with respect to the number of state–action–reward triples obtained as a result of interaction with the environment. The optimal limits of the MDP solution complexity are presented in the case of an ergodic process with an infinite horizon, as well as in the case of a non-stationary process with a finite horizon, which can be restarted several times in a row or immediately run in parallel in several threads. The review also reviews the latest results on reducing the gap between the lower and upper estimates of the complexity of MDP optimization with average remuneration (Averaged MDP, AMDP). In conclusion, the real-valued parametrization of agent policy and a class of gradient optimization methods through maximizing the $Q$-function of value are considered. In particular, a special class of MDPs with restrictions on the value of policy (Constrained Markov Decision Process, CMDP) is presented, for which a general direct-dual approach to optimization with strong duality is proposed.

В данной работе приводится обзор исследований, посвященных нелинейной супратрансмиссии и сопутствую- щим явлениям. Данный эффект заключается в передаче энергии на частотах, не поддерживаемых рассматриваемыми системами. Супратрансмиссия не зависит от интегрируемости системы, устойчива к демпфированию и различным классамгр аничных условий. Кроме того, нелинейная дискретная среда при некоторых общих условиях, накладываемых на структуру, может создавать неустойчивость, обусловленную внешним периодическим воздействием. Она является порождающимпроце ссом, лежащим в основе нелинейной супратрансмиссии. Это возможно, когда система поддерживает нелинейные моды различной природы, в частности дискретные бризеры. Тогда энергия проникает в систему, как только амплитуда внешнего гармонического возбуждения превышает максимальную амплитуду статического бризера той же частоты.

Эффект нелинейной супратрансмиссии является важным свойством многих дискретных структур. Необходимыми условиями для его существования являются дискретность и нелинейность среды. Его проявление в системах различной природы говорит о его фундаментальности и значимости. В данном обзоре рассмотрены основные работы, затрагивающие вопрос нелинейной супратрансмисии в различных системах, преимущественно модельных.

Многими авторскими коллективами ведутся исследования данного эффекта. В первую очередь это модели, описываемые дискретными уравнениями, в том числе sin-Гордона и дискретным нелинейным уравнением Шрёдингера. При этом эффект не является исключительно модельным и проявляет себя в натурных экспериментах в электрических цепях, в нелинейных цепочках осцилляторов, а также в метастабильных модульных метаструктурах. Происходит поэтапное усложнение моделей, что приводит к более глубокому пониманию явления супратрансмиссии, а переход к разупорядоченным и с элементами хаоса структурам позволяет говорить о более тонком проявлении данного эффекта. Численные асимптотические подходы позволяют исследовать нелинейную супратрансмиссию в сложных неинтегрируемых системах. Усложнение всевозможных осцилляторов, как физических, так и электрических, актуально для различных реальных устройств, базирующихся на подобных системах. В том числе в области нанообъектов и транспорта энергии в них посредством рассматриваемого эффекта. К таким системам относятся молекулярные, кристаллические кластеры и наноустройства. В заключении работы приводятся основные тенденции исследований нелинейной супратрансмиссии.

This paper provides an overview of studies on nonlinear supratransmission and related phenomena. This effect consists in the transfer of energy at frequencies not supported by the systems under consideration. The supratransmission does not depend on the integrability of the system, it is resistant to damping and various classes of boundary conditions. In addition, a nonlinear discrete medium, under certain general conditions imposed on the structure, can create instability due to external periodic influence. This instability is the generative process underlying the nonlinear supratransmission. This is possible when the system supports nonlinear modes of various nature, in particular, discrete breathers. Then the energy penetrates into the system as soon as the amplitude of the external harmonic excitation exceeds the maximum amplitude of the static breather of the same frequency.

The effect of nonlinear supratransmission is an important property of many discrete structures. A necessary condition for its existence is the discreteness and nonlinearity of the medium. Its manifestation in systems of various nature speaks of its fundamentality and significance. This review considers the main works that touch upon the issue of nonlinear supratransmission in various systems, mainly model ones.

Many teams of authors are studying this effect. First of all, these are models described by discrete equations, including sin-Gordon and the discrete Schr¨odinger equation. At the same time, the effect is not exclusively model and manifests itself in full-scale experiments in electrical circuits, in nonlinear chains of oscillators, as well as in metastable modular metastructures. There is a gradual complication of models, which leads to a deeper understanding of the phenomenon of supratransmission, and the transition to disordered structures and those with elements of chaos structures allows us to talk about a more subtle manifestation of this effect. Numerical asymptotic approaches make it possible to study nonlinear supratransmission in complex nonintegrable systems. The complication of all kinds of oscillators, both physical and electrical, is relevant for various real devices based on such systems, in particular, in the field of nano-objects and energy transport in them through the considered effect. Such systems include molecular and crystalline clusters and nanodevices. In the conclusion of the paper, the main trends in the research of nonlinear supratransmission are given.

Изучается приближенная математическая модель кровотока в осесимметричном кровеносном сосуде. Под таким сосудом понимается бесконечно длинный круговой цилиндр, стенки которого состоят из упругих колец. Кровь рассматривается как несжимаемая жидкость, текущая в этом цилиндре. Повышенное давление вызывает радиально-симметричное растяжение упругих колец. Следуя Дж. Лэму, кольца расположены близко друг к другу так, что жидкость между ними не протекает. Для мысленной реализации этого достаточно предположить, что кольца обтянуты непроницаемой пленкой, не обладающей упругими свойствами. Упругостью обладают лишь кольца. Рассматриваемая модель кровотока в кровеносном сосуде состоит из трех уравнений: уравнения неразрывности, закона сохранения количества движения и уравнения состояния. Рассматривается приближенная процедура сведения рассматриваемых уравнений к уравнению Кортевега – де Фриза (КдФ), которая рассмотрена Дж. Лэмом не в полной мере, лишь для установления зависимости коэффициентов уравнения КдФ от физических параметров рассматриваемой модели течения несжимаемого флюида в осесимметричном сосуде. Из уравнения КдФ стандартным переходом к бегущим волнам получаются ОДУ третьего, второго и первого порядка соответственно. В зависимости от различных случаев расположения трех стационарных решений ОДУ первого порядка стандартно получаются кноидальная волна и солитон. Основное внимание уделено неограниченному периодическому решению, которое названо нами вырожденной кноидальной волной. Математически кноидальные волны описываются эллиптическими интегралами с параметрами, определяющими амплитуды и периоды. Солитон и вырожденная кноидальная волна описываются элементарными функциями. Указан гемодинамический смысл этих видов решений. Благодаря тому, что множества решений ОДУ первого, второго и третьего порядков не совпадают, установлено, что задачу Коши для ОДУ второго и третьего порядков можно задавать во всех точках, а для ОДУ первого порядка — лишь в точках роста или убывания. Задачу Коши для ОДУ первого порядка нельзя задавать в точках экстремума благодаря нарушению условия Липшица. Численно проиллюстрировано перерождение кноидальной волны в вырожденную кноидальную волну, которая может привести к разрыву стенок сосуда. Приведенная таблица описывает два режима приближения кноидальной волны к вырожденной кноидальной волне.

An approximate mathematical model of blood flow in an axisymmetric blood vessel is studied. Such a vessel is understood as an infinitely long circular cylinder, the walls of which consist of elastic rings. Blood is considered as an incompressible fluid flowing in this cylinder. Increased pressure causes radially symmetrical stretching of the elastic rings. Following J. Lamb, the rings are located close to each other so that liquid does not flow between them. To mentally realize this, it is enough to assume that the rings are covered with an impenetrable film that does not have elastic properties. Only rings have elasticity. The considered model of blood flow in a blood vessel consists of three equations: the continuity equation, the law of conservation of momentum and the equation of state. An approximate procedure for reducing the equations under consideration to the Korteweg – de Vries (KdV) equation is considered, which was not fully considered by J. Lamb, only to establish the dependence of the coefficients of the KdV equation on the physical parameters of the considered model of incompressible fluid flow in an axisymmetric vessel. From the KdV equation, by a standard transition to traveling waves, ODEs of the third, second and first orders are obtained, respectively. Depending on the different cases of arrangement of the three stationary solutions of the first-order ODE, a cnoidal wave and a soliton are standardly obtained. The main attention is paid to an unbounded periodic solution, which we call a degenerate cnoidal wave. Mathematically, cnoidal waves are described by elliptic integrals with parameters defining amplitudes and periods. Soliton and degenerate cnoidal wave are described by elementary functions. The hemodynamic meaning of these types of decisions is indicated. Due to the fact that the sets of solutions to first-, second- and third-order ODEs do not coincide, it has been established that the Cauchy problem for second- and third-order ODEs can be specified at all points, and for first-order ODEs only at points of growth or decrease. The Cauchy problem for a first-order ODE cannot be specified at extremum points due to the violation of the Lipschitz condition. The degeneration of the cnoidal wave into a degenerate cnoidal wave, which can lead to rupture of the vessel walls, is numerically illustrated. The table below describes two modes of approach of a cnoidal wave to a degenerate cnoidal wave.

Пандемия COVID-19 вызвала рост интереса к математическим моделям эпидемического процесса, так как только статистический анализ заболеваемости не позволяет проводить среднесрочное прогнозирование в условиях быстро меняющейся ситуации.

Среди специфичных особенностей COVID-19, которые нужно учитывать в математических моделях, можно отметить гетерогенность возбудителя, неоднократные смены доминирующего варианта SARS-CoV-2 и относительную кратковременность постинфекционного иммунитета.

В связи с этим были аналитически изучены решения системы дифференциальных уравнений для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета, а также проведены численные расчеты для динамики системы при средней длительности постинфекционного иммунитета порядка года.

Для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета было доказано, что любое решение можно неограниченно продолжать по времени в положительную сторону без выхода за область определения системы.

Для контактного числа $R_0 \leqslant 1$ все решения стремятся к единственномут ривиальному стационарному решению с нулевой долей инфицированных, а для $R_0 > 1$ кроме тривиального решения существует и нетривиальное стационарное решение с ненулевыми долями инфицированных и восприимчивых. Были доказаны существование и единственность нетривиального стационарного решения при $R_0 > 1$, а также доказано, что оно является глобальным аттрактором.

Также для нескольких вариантов гетерогенности были вычислены собственные числа для скорости экспоненциальной сходимости малых отклонений от нетривиального стационарного решения.

Получено, что при значениях контактного числа, соответствующих COVID-19, фазовая траектория имеет вид скручивающейся спирали с длиной периода порядка года.

Это соответствует реальной динамике заболеваемости COVID-19, при которой после нескольких месяцев роста заболеваемости начинается период его падения. При этом второй волны заболеваемости меньшей амплитуды, что предсказывала модель, не наблюдалось, так как на протяжении 2020–2023 годов примерно каждые полгода появлялся новый вариант SARS-CoV-2, имеющий большую заразность, чем предыдущий, в результате чего новый вариант вытеснял предыдущий и становился доминирующим.

The COVID-19 pandemic has caused increased interest in mathematical models of the epidemic process, since only statistical analysis of morbidity does not allow medium-term forecasting in a rapidly changing situation.

Among the specific features of COVID-19 that need to be taken into account in mathematical models are the heterogeneity of the pathogen, repeated changes in the dominant variant of SARS-CoV-2, and the relative short duration of post-infectious immunity.

In this regard, solutions to a system of differential equations for a SIR class model with a heterogeneous duration of post-infectious immunity were analytically studied, and numerical calculations were carried out for the dynamics of the system with an average duration of post-infectious immunity of the order of a year.

For a SIR class model with a heterogeneous duration of post-infectious immunity, it was proven that any solution can be continued indefinitely in time in a positive direction without leaving the domain of definition of the system.

For the contact number $R_0 \leqslant 1$, all solutions tend to a single trivial stationary solution with a zero share of infected people, and for $R_0 > 1$, in addition to the trivial solution, there is also a non-trivial stationary solution with non-zero shares of infected and susceptible people. The existence and uniqueness of a non-trivial stationary solution for $R_0 > 1$ was proven, and it was also proven that it is a global attractor.

Also, for several variants of heterogeneity, the eigenvalues of the rate of exponential convergence of small deviations from a nontrivial stationary solution were calculated.

It was found that for contact number values corresponding to COVID-19, the phase trajectory has the form of a twisting spiral with a period length of the order of a year.

This corresponds to the real dynamics of the incidence of COVID-19, in which, after several months of increasing incidence, a period of falling begins. At the same time, a second wave of incidence of a smaller amplitude, as predicted by the model, was not observed, since during 2020–2023, approximately every six months, a new variant of SARS-CoV-2 appeared, which was more infectious than the previous one, as a result of which the new variant replaced the previous one and became dominant.

Рассматривается применение физически информированных нейронных сетей с использованием многослойных персептронов для решения задач Коши, в которых правые части уравнения являются непрерывными монотонно возрастающими, убывающими или осциллирующими функциями. С помощью вычислительных экспериментов изучено влияние метода построения приближенного нейросетевого решения, структуры нейронной сети, алгоритмов оптимизации и средств программной реализации на процесс обучения и точность полученного решения. Выполнен анализ эффективности работы наиболее часто используемых библиотек машинного обучения при разработке программ на языках программирования Python и C#. Показано, что применение языка C# позволяет сократить время обучения нейросетей на 20–40%. Выбор различных функций активации влияет на процесс обучения и точность приближенного решения. Наиболее эффективными в рассматриваемых задачах являются сигмоида и гиперболический тангенс. Минимум функции потерь достигается при определенном количестве нейронов скрытого слоя однослойной нейронной сети за фиксированное время обучения нейросетевой модели, причем усложнение структуры сети за счет увеличения числа нейронов не приводит к улучшению результатов обучения. При этом величина шага сетки между точками обучающей выборки, обеспечивающей минимум функции потерь, в рассмотренных задачах Коши практически одинакова. Кроме того, при обучении однослойных нейронных сетей наиболее эффективными для решения задач оптимизации являются метод Adam и его модификации. Дополнительно рассмотрено применение двух- и трех-слойных нейронных сетей. Показано, что в этих случаях целесообразно использовать алгоритм LBFGS, который по сравнению с методом Adam в ряде случаев требует на порядок меньшего времени обучения при достижении одинакового порядка точности. Исследованы также особенности обучения нейронной сети в задачах Коши, в которых решение является осциллирующей функцией с монотонно убывающей амплитудой. Для них необходимо строить нейросетевое решение не с постоянными, а с переменными весовыми коэффициентами, что обеспечивает преимущество такого подхода при обучении в тех узлах, которые расположены вблизи конечной точки интервала решения задачи.

Considered the application of physics-informed neural networks using multi layer perceptrons to solve Cauchy initial value problems in which the right-hand sides of the equation are continuous monotonically increasing, decreasing or oscillating functions. With the use of the computational experiments the influence of the construction of the approximate neural network solution, neural network structure, optimization algorithm and software implementation means on the learning process and the accuracy of the obtained solution is studied. The analysis of the efficiency of the most frequently used machine learning frameworks in software development with the programming languages Python and C# is carried out. It is shown that the use of C# language allows to reduce the time of neural networks training by 20–40%. The choice of different activation functions affects the learning process and the accuracy of the approximate solution. The most effective functions in the considered problems are sigmoid and hyperbolic tangent. The minimum of the loss function is achieved at the certain number of neurons of the hidden layer of a single-layer neural network for a fixed training time of the neural network model. It’s also mentioned that the complication of the network structure increasing the number of neurons does not improve the training results. At the same time, the size of the grid step between the points of the training sample, providing a minimum of the loss function, is almost the same for the considered Cauchy problems. Training single-layer neural networks, the Adam method and its modifications are the most effective to solve the optimization problems. Additionally, the application of twoand three-layer neural networks is considered. It is shown that in these cases it is reasonable to use the LBFGS algorithm, which, in comparison with the Adam method, in some cases requires much shorter training time achieving the same solution accuracy. The specificity of neural network training for Cauchy problems in which the solution is an oscillating function with monotonically decreasing amplitude is also investigated. For these problems, it is necessary to construct a neural network solution with variable weight coefficient rather than with constant one, which improves the solution in the grid cells located near by the end point of the solution interval.

В работе построена и исследуется обобщенная модель, описывающая двухкомпонентные системы реакционно-диффузионного типа со степенной нелинейностью и учитывающая влияние внешних шумов. Для анализа обобщенной модели разработана методология, включающая в себя линейный анализ устойчивости, нелинейный анализ устойчивости и численное моделирование эволюции системы. Методика проведения линейного анализа опирается на базовые подходы, в которых для получения характеристического уравнения используется матрица линеаризации. Нелинейный анализ устойчивости проводится с точностью до моментов третьего порядка включительно. Для этого функции, описывающие динамику компонент, раскладываются в ряд Тейлора до слагаемых третьего порядка. Затем с помощью теоремы Новикова проводится процедура усреднения. В результате полученные уравнения образуют бесконечную иерархично подчиненную структуру, которую в определенный момент необходимо прервать. Для этого пренебрегаем вкладом слагаемых выше третьего порядка как в самих уравнениях, так и при построении уравнений моментов. Полученные уравнения образуют набор линейных уравнений, из которых формируется матрица устойчивости. Эта матрица имеет довольно сложную структуру, в связи с чем ее решение может быть получено только численно. Для проведения численного исследования эволюции системы выбран метод переменных направлений. Из-за наличия в анализируемой системе стохастической части метод был модифицирован таким образом, что на целых слоях проводится генерация случайных полей с заданным распределением и функцией корреляции, отвечающих за шумовой вклад в общую нелинейность. Апробация разработанной методологии проведена на предложенной Barrio et al. модели реакции – диффузии, по результатам исследования которой им показана схожесть получаемых структур с пигментацией рыб. В настоящей работе внимание сосредоточено на анализе поведения системы в окрестности ненулевой стационарной точки. Изучена зависимость действительной части собственных значений от волнового числа. В линейном анализе получена область значений волновых чисел, при которых возникает неустойчивость Тьюринга. Нелинейный анализ и численное моделирование эволюции системы проводятся для параметров модели, которые, напротив, находятся вне области неустойчивости Тьюринга. В рамках нелинейного анализа найдены интенсивности аддитивного шума, при которых, несмотря на отсутствие условий для возникновения диффузионной неустойчивости, система переходит в неустойчивое состояние. Результаты численного моделирования эволюции апробируемой модели демонстрируют процесс образования пространственных структур тьюрингового типа при воздействии на нее аддитивного шума.

The paper constructs and studies a generalized model describing two-component systems of reaction – diffusion type with power nonlinearity, considering the influence of external noise. A methodology has been developed for analyzing the generalized model, which includes linear stability analysis, nonlinear stability analysis, and numerical simulation of the system’s evolution. The linear analysis technique uses basic approaches, in which the characteristic equation is obtained using a linearization matrix. Nonlinear stability analysis realized up to third-order moments inclusively. For this, the functions describing the dynamics of the components are expanded in Taylor series up to third-order terms. Then, using the Novikov theorem, the averaging procedure is carried out. As a result, the obtained equations form an infinite hierarchically subordinate structure, which must be truncated at some point. To achieve this, contributions from terms higher than the third order are neglected in both the equations themselves and during the construction of the moment equations. The resulting equations form a set of linear equations, from which the stability matrix is constructed. This matrix has a rather complex structure, making it solvable only numerically. For the numerical study of the system’s evolution, the method of variable directions was chosen. Due to the presence of a stochastic component in the analyzed system, the method was modified such that random fields with a specified distribution and correlation function, responsible for the noise contribution to the overall nonlinearity, are generated across entire layers. The developed methodology was tested on the reaction – diffusion model proposed by Barrio et al., according to the results of the study, they showed the similarity of the obtained structures with the pigmentation of fish. This paper focuses on the system behavior analysis in the neighborhood of a non-zero stationary point. The dependence of the real part of the eigenvalues on the wavenumber has been examined. In the linear analysis, a range of wavenumber values is identified in which Turing instability occurs. Nonlinear analysis and numerical simulation of the system’s evolution are conducted for model parameters that, in contrast, lie outside the Turing instability region. Nonlinear analysis found noise intensities of additive noise for which, despite the absence of conditions for the emergence of diffusion instability, the system transitions to an unstable state. The results of the numerical simulation of the evolution of the tested model demonstrate the process of forming spatial structures of Turing type under the influence of additive noise.

Статья посвящена описанию процесса миграции некоторой популяции с учетом пространственной неоднородности локальной емкости экологической ниши. Предполагается, что эта пространственная неоднородность обусловлена различными природными или искусственными факторами. Математическая модель рассматриваемого процесса миграции представляет собой задачу Коши на прямой для некоторого квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка, которому удовлетворяет линейная плотность численности рассматриваемой популяции. В данной работе найдено общее решение этой задачи Коши для произвольной зависимости локальной емкости экологической ниши от пространственной координаты. Это общее решение было применено для описания миграции рассматриваемой популяции в двух различных случаях: в случае зависимости локальной емкости экологической ниши от пространственной координаты в виде гладкой ступеньки и в случае холмообразной зависимости локальной емкости экологической ниши от пространственной координаты. В обоих случаях решение задачи Коши выражается через высшие трансцендентные функции. Наложением специальных соотношений на параметры модели эти высшие трансцендентные функции сводятся к элементарным функциям, что позволяет получить точные решения модели в явном виде, выраженные через элементарные функции. С помощью этих точных решений реализована обширная программа вычислительных экспериментов, показывающих, как начальная плотность популяции гауссовской формы рассеивается на рассмотренных двух видах пространственной неоднородности локальной емкости экологической ниши. Эти вычислительные эксперименты показали, что при прохождении и через ступенеобразную, и через холмообразную пространственную неоднородность локальной емкости экологической ниши с узкой, по сравнению с характерным пространственным масштабом этих неоднородностей, шириной гауссоиды ее начальной плотности система забывает свое начальное состояние. В частности, если интерпретировать исследуемую систему как популяцию, обитающую в протяженной спокойной прямолинейной реке вдоль ее русла, то можно утверждать, что при таком начальном условии после того, как течение этой реки пронесет рассматриваемую популяцию через область пространственной неоднородности локальной емкости экологической ниши, плотность численности популяции становится квазипрямоугольной функцией.

The article describes the migration process of a certain population, taking into account the spatial heterogeneity of the local capacity of the ecological niche. It is assumed that this spatial heterogeneity is caused by various natural or artificial factors. The mathematical model of the migration process under consideration is a Cauchy problem on a straight line for some quasi-linear partial differential equation of the first order, which is satisfied by the linear population density under consideration. In this paper, a general solution to this Cauchy problem is found for an arbitrary dependence of the local capacity of an ecological niche on the spatial coordinate. This general solution was applied to describe the migration of the population in question in two different cases: in the case of a dependence of the local capacity of the ecological niche on the spatial coordinate in the form of a smooth step and in the case of a hill-like dependence of the local capacity of the ecological niche on the spatial coordinate. In both cases, the solution to the Cauchy problem is expressed in terms of higher transcendental functions. By applying special relations to the model parameters, these higher transcendental functions are reduced to elementary functions, which makes it possible to obtain exact model solutions explicitly expressed in terms of elementary functions. With the help of these precise solutions, an extensive program of computational experiments has been implemented, showing how the initial population density of the Gaussian form is dispersed by the considered two types of spatial heterogeneity of the local capacity of the ecological niche. These computational experiments have shown that when passing through both step-like and hill-like spatial inhomogeneities of the local capacity of an ecological niche with a narrow Gaussian width of its initial density compared to the characteristic spatial scale of these inhomogeneities, the system forgets its initial state. In particular, if we interpret the system under study as a population living in an extended calm rectilinear river along its bed, then it can be argued that under this initial condition, after the current of this river carries the population under consideration through the area of spatial heterogeneity of the local capacity of the ecological niche, the population density becomes a quasi-rectangular function.

Число работ, посвященных прогнозированию инфекционной заболеваемости, стремительно растет по мере появления статистики, позволяющей провести анализ. В настоящей статье представлен обзор основных решений, доступных сегодня для формирования как краткосрочных, так и долгосрочных проекций заболеваемости; указаны их ограничения и возможности практического применения. Рассмотрены традиционные методы анализа временных рядов — регрессионные и авторегрессионные модели; подходы, опирающиеся на машинное обучение — байесовские сети и искусственные нейронные сети; рассуждения на основе прецедентов; техники, базирующиеся на решении задачи фильтрации. Перечислены важнейшие направления разработки математических моделей распространения заболевания: классические аналитические модели, детерминированные и стохастические, а также современные имитационные модели, сетевые и агентные.

The number of papers addressing the forecasting of the infectious disease morbidity is rapidly growing due to accumulation of available statistical data. This article surveys the major approaches for the shortterm and the long-term morbidity forecasting. Their limitations and the practical application possibilities are pointed out. The paper presents the conventional time series analysis methods — regression and autoregressive models; machine learning-based approaches — Bayesian networks and artificial neural networks; case-based reasoning; filtration-based techniques. The most known mathematical models of infectious diseases are mentioned: classical equation-based models (deterministic and stochastic), modern simulation models (network and agent-based).

На основе МГД-уравнений рассмотрены нестационарные 2D- и 3D-задачи об эволюции возмущений в нижней атмосфере и в ионосфере Земли, вызываемыхдвиж ением по пологим траекториям входа крупных метеороидов с имитацией ихразр ушения путем мгновенного увеличения миделя в точке максимума скоростного напора. По  результатам численного исследования получены и проанализированы детальные пространственно-временные распределения основныхпарамет ров плазменных течений, из которых, в частности, следует ряд явлений, сходных с наблюдавшимися в челябинском феномене.

On the basis of the MGD equations we consider 2D- and 3D- nonstationary problems about the evolution of perturbations in the lower atmosphere and the Earth’s ionosphere which are caused by the movement of large meteoroids along gently sloping paths of the entry with the simulation of their destruction by the momentary increase of the midship at the point of the pressure head maximum. According to the results of our numerical investigation we obtain and analyze the detailed spatial-temporal distributions of the main parameters of the plasma flows from which in particular a number of phenomena that are similar to those seen in the Chelyabinsk phenomenon follow.

Представлена трехмерная секционная модель динамики биомассы дерева, растущего на ограниченной территории. Структура трехмерного дерева состоит из секций, периодически возникающих на макушке дерева и одновременно дающих начало виртуальным «деревьям», последовательно вложенным в своих предшественников. Зеленая биомасса секций есть разность смежных виртуальных деревьев. Секции имеют динамику, отличную от динамики самого дерева, и их биомасса со временем постепенно отмирает (в том числе и в условиях свободного роста дерева), что объясняет оголение ствола снизу. В 3D-модели динамики биомассы несвободно растущего дерева для описания динамики биомассы секций и составляющих их секторов используются уравнения, аналогичные предложенным для 2D-модели дерева. Представлены примеры динамики биомассы секторов, секций и дерева. Динамика годографов азимутального распределения биомассы секции демонстрирует, что нижние секции дерева, растущего на ограниченной территории, находятся в угнетении и отмирают (более быстро по сравнению с моделью свободно растущего дерева), а на макушке дерева появляются и растут свободно новые секции. В результате вверх по стволу двигается волна биомассы дерева.

The three-dimensional model of biomass dynamics of a tree growing on a limited territory presented. The tree consists of structural sections periodically arising on its top. Each section generates a virtual "tree". Adjacent virtual trees are nested each other and their difference is the section. Sections have biomass dynamics which differs from the dynamics of the tree and gradually die off (including in course of the free growth of the tree), giving effect denudation of trunk from bottom. This is observed in nature. The 3D-model of biomass dynamics of a tree, growing in a limited area, for describing the biomass dynamics of sections and their constituent sectors uses equations similar to those proposed earlier for the 2D-tree model. Examples of biomass dynamics of sectors, sections and tree obtained using the developed model are presented. The dynamics of the hodographs of the azimuthal biomass distribution of sections demonstrates that the lower sections of a tree growing in a limited area, are in oppression and die (more quickly compared with the model of freely growing tree), and new sections on top of the tree appear and grow freely. As a result, "wave" of tree biomass runs up the trunk.