Все выпуски

В работе описывается свободно распространяемая прикладная программа для исследований в области голоморфной динамики на основе вычислительных возможностей среды MATLAB. Программа позволяет строить не только одиночные комплекснозначные отображения, но и их коллективы как линейно связанные, на квадратной или гексагональной решетке. В первом случае строятся аналоги множества Жюлиа (в виде точек убегания с цветовой индикацией скорости убегания), Фату (с выделением хаотической динамики) и множества Мандельброта, порожденного одним из двух свободных параметров. Во втором случае рассматривается только динамика клеточного автомата с комплекснозначным состоянием ячеек и всеми коэффициентами в локальной функции перехода. Абстрактность объектно-ориентированного программирования позволяет объединить оба типа расчета в рамках одной программы, описывающей итеративную динамику одного объекта.

Для формы поля, начальных условий, шаблона окрестности и особенностей окрестности у граничных ячеек предусмотрены опции выбора. Вид отображения может быть задан регулярным для интерпретатора MATLAB выражением. В статье приводятся некоторые UML-диаграммы, краткое введение в пользовательский интерфейс и ряд примеров.

В качестве рабочих иллюстраций, содержащих новое научное знание, были рассмотрены следующие случаи:

1) дробно-линейное отображение вида $Az^{n} +B/z^{n} $, для которого случаи $n=2$, $4$, $n>1$, известны. На портрете множества Фату привлекают внимание характерные (для классического квадратичного отображения) фигурки <<пряничных человечков>>, показывающие короткопериодические режимы, находящиеся в море компоненты условно хаотической динамики;

2) у множества Мандельброта при нестандартном положении параметра в показателе степени $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ на эскизных расчетах обнаруживаются некие зубчатые структуры и облака точек, напоминающие пыль Кантора, не являющиеся букетами Кантора, характерными для экспоненциального отображения. В дальнейшем требуется детализация этих объектов со сложной топологией.

The paper describes a free software for research in the field of holomorphic dynamics based on the computational capabilities of the MATLAB environment. The software allows constructing not only single complex-valued mappings, but also their collectives as linearly connected, on a square or hexagonal lattice. In the first case, analogs of the Julia set (in the form of escaping points with color indication of the escape velocity), Fatou (with chaotic dynamics highlighting), and the Mandelbrot set generated by one of two free parameters are constructed. In the second case, only the dynamics of a cellular automaton with a complex-valued state of the cells and of all the coefficients in the local transition function is considered. The abstract nature of object-oriented programming makes it possible to combine both types of calculations within a single program that describes the iterated dynamics of one object.

The presented software provides a set of options for the field shape, initial conditions, neighborhood template, and boundary cells neighborhood features. The mapping display type can be specified by a regular expression for the MATLAB interpreter. This paper provides some UML diagrams, a short introduction to the user interface, and some examples.

The following cases are considered as example illustrations containing new scientific knowledge:

1) a linear fractional mapping in the form $Az^{n} +B/z^{n} $, for which the cases $n=2$, $4$, $n>1$, are known. In the portrait of the Fatou set, attention is drawn to the characteristic (for the classical quadratic mapping) figures of <>, showing short-period regimes, components of conventionally chaotic dynamics in the sea;

2) for the Mandelbrot set with a non-standard position of the parameter in the exponent $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ sketch calculations reveal some jagged structures and point clouds resembling Cantor's dust, which are not Cantor's bouquets that are characteristic for exponential mapping. Further detailing of these objects with complex topology is required.

Алгоритмы сопряженных градиентов представляют собой важный класс алгоритмов безусловной оптимизации с хорошей локальной и глобальной сходимостью и скромными требованиями к памяти. Они занимают промежуточное место между методом наискорейшего спуска и методом Ньютона, поскольку требуют вычисленияи хранения только первых производных и как правило быстрее методов наискорейшего спуска. В данном исследовании рассмотрен новый подход в задаче восстановления изображений. Он наследует одновременно методу сопряженных градиентов Флетчера – Ривза (FR) и трехкомпонентному методу сопряженных градиентов (TTCG), и поэтому назван авторами гибридным трехкомпонентным методом сопряженных градиентов (HYCGM). Новое направление спуска в нем учитывает текущее направления градиента, предыдущее направления спуска и градиент из предыдущей итерации. Показано, что новый алгоритм обладает свойствами глобальной сходимости и монотонности при использовании неточного линейного поиска типа Вулфа при некоторых стандартных предположениях. Для подтверждения эффективности предложенного алгоритма приводятся результаты численных экспериментов предложенного метода в сравнении с классическим методом Флетчера – Ривза (FR) и трехкомпонентным методом Флетчера – Ривза (TTFR).

Conjugate gradient algorithms represent an important class of unconstrained optimization algorithms with strong local and global convergence properties and simple memory requirements. These algorithms have advantages that place them between the steep regression method and Newton’s algorithm because they require calculating the first derivatives only and do not require calculating and storing the second derivatives that Newton’s algorithm needs. They are also faster than the steep descent algorithm, meaning that they have overcome the slow convergence of this algorithm, and it does not need to calculate the Hessian matrix or any of its approximations, so it is widely used in optimization applications. This study proposes a novel method for image restoration by fusing the convex combination method with the hybrid (CG) method to create a hybrid three-term (CG) algorithm. Combining the features of both the Fletcher and Revees (FR) conjugate parameter and the hybrid Fletcher and Revees (FR), we get the search direction conjugate parameter. The search direction is the result of concatenating the gradient direction, the previous search direction, and the gradient from the previous iteration. We have shown that the new algorithm possesses the properties of global convergence and descent when using an inexact search line, relying on the standard Wolfe conditions, and using some assumptions. To guarantee the effectiveness of the suggested algorithm and processing image restoration problems. The numerical results of the new algorithm show high efficiency and accuracy in image restoration and speed of convergence when used in image restoration problems compared to Fletcher and Revees (FR) and three-term Fletcher and Revees (TTFR).

В работе исследуется процесс самосогласованной релаксации области возмущений, созданных в разреженной бинарной низкотемпературной плазме неподвижным заряженным шаром или цилиндром с абсорбирующей поверхностью. Особенностью подобных задач является их самосогласованный кинетический характер, при котором нельзя отделить процессы переноса в фазовом пространстве и формирования электромагнитного поля. Представлена математическая модель, позволяющая описывать и анализировать состояние газа, электрическое и тепловое поле в окрестности тела. Многомерность кинетической формулировки создает определенные проблемы при численном решении, поэтому для задачи подобрана криволинейная система неголономных координат, которая минимизирует ее фазовое пространство, что способствует повышению эффективности численных методов. Для таких координат обоснована и проанализирована форма кинетического уравнения Власова. Для его решения использован вариант метода крупных частиц с постоянным форм-фактором. В расчетах применялась подвижная сетка, отслеживающая смещение в фазовом пространстве носителя функции распределения, что дополнительно уменьшило объем контролируемой области фазового пространства. Раскрыты ключевые детали модели и численного метода. Модель и метод реализованы в виде кода на языке Matlab. На примере решения задачи для шара показано наличие в возмущенной зоне существенного неравновесия и анизотропии в распределении частиц по скорости. По результатам расчетов представлены картины эволюции структуры функции распределения частиц, профилей основных макроскопических характеристик газа — концентрации, тока, температуры и теплового потока, характеристик электрического поля в возмущенной области. Установлен механизм разогрева притягивающихся частиц в возмущенной зоне и показаны некоторые важные особенности процесса формирования теплового потока. Получены результаты, хорошо объяснимые с физической точки зрения, что подтверждает адекватность модели и корректность работы программного инструмента. Отмечаются создание и апробация основы для разработки в перспективе инструментов решения и более сложных задач моделирования поведения ионизированных газов вблизи заряженных тел.

Работа будет полезной специалистам в области математического моделирования, процессов тепло- и массообмена, физики низкотемпературной плазмы, аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в указанных направлениях.

The work investigates the process of self-consistent relaxation of the region of disturbances created in a rarefied binary low-temperature plasma by a stationary charged ball or cylinder with an absorbing surface. A feature of such problems is their self-consistent kinetic nature, in which it is impossible to separate the processes of transfer in phase space and the formation of an electromagnetic field. A mathematical model is presented that makes it possible to describe and analyze the state of the gas, electric and thermal fields in the vicinity of the body. The multidimensionality of the kinetic formulation creates certain problems in the numerical solution, therefore a curvilinear system of nonholonomic coordinates was selected for the problem, which minimizes its phase space, which contributes to increasing the efficiency of numerical methods. For such coordinates, the form of the Vlasov kinetic equation has been justified and analyzed. To solve it, a variant of the large particle method with a constant form factor was used. The calculations used a moving grid that tracks the displacement of the distribution function carrier in the phase space, which further reduced the volume of the controlled region of the phase space. Key details of the model and numerical method are revealed. The model and the method are implemented as code in the Matlab language. Using the example of solving a problem for a ball, the presence of significant disequilibrium and anisotropy in the particle velocity distribution in the disturbed zone is shown. Based on the calculation results, pictures of the evolution of the structure of the particle distribution function, profiles of the main macroscopic characteristics of the gas — concentration, current, temperature and heat flow, and characteristics of the electric field in the disturbed region are presented. The mechanism of heating of attracted particles in the disturbed zone is established and some important features of the process of formation of heat flow are shown. The results obtained are well explainable from a physical point of view, which confirms the adequacy of the model and the correct operation of the software tool. The creation and testing of a basis for the development in the future of tools for solving more complex problems of modeling the behavior of ionized gases near charged bodies is noted.

The work will be useful to specialists in the field of mathematical modeling, heat and mass transfer processes, lowtemperature plasma physics, postgraduate students and senior students specializing in the indicated areas.

Представлены результаты компьютерного моделирования нестационарных температурных полей, возникающих в полярных диэлектриках, облученных сфокусированными электронными пучками средних энергий, при исследовании с помощью методик растровой электронной микроскопии. Математическая модель основана на решении многомерного эволюционного уравнения теплопроводности численным конечноэлементным методом. Аппроксимация теплового источника проведена с учетом оценки области взаимодействия электронов с веществом на основе симуляции электронных траекторий методом Монте-Карло. Разработано программное приложение в ППП Маtlab, реализующее данную модель. Приведены геометрические интерпретации и результаты расчётов, демонстрирующие особенности температурного нагрева модельных образцов электронным зондом, при заданных параметрах эксперимента и принятой аппроксимации источника.

The paper describes the results of computer simulation of time-dependent temperature fields arising in polar dielectrics irradiated by focused electron bunches with average electron energy when analyzing with electron microscopy techniques. The mathematical model was based on solving several-dimensional nonstationary heat conduction equation with use of numerical finite element method. The approximation of thermal source was performed taking into account the estimation of initial electron distribution determined by Monte-Carlo simulation of electron trajectories. The simulation program was designed in Matlab. The geometrical modeling and calculation results demonstrated the main features of model sample heating by electron beam were presented at the given experimental parameters as well as source approximation.