Все выпуски

Представлена гиперболическая модель вязкого теплопроводного газа, в которой для гиперболизации уравнений использован подход Максвелла–Каттанео, обеспечивающий распространение волн с конечными скоростями. В модифицированной модели вместо оригинальных законов Стокса и Фурье использовались их релаксационные аналоги и показано, что при стремлении времен релаксации $\tau_\sigma^{}$ и $\tau_w^{}$ к нулю гиперболизированные уравнения приводятся к классической системе Навье–Стокса негиперболического типа с бесконечными скоростями перемещения вязких и тепловых волн. Отмечено, что рассматриваемая в работе гиперболизированная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа инвариантна не только по отношению к преобразованиям Галилея, но и к повороту, поскольку при дифференцировании по времени компонентов тензора вязких напряжений использована производная Яуманна. Для интегрирования уравнений модели применены гибридный метод Годунова (ГМГ) и многомерный узловой метод характеристик. ГМГ предназначен для интегрирования гиперболических систем, в которых имеются как уравнения, записанные в дивергентном виде, так и уравнения, не приводящиеся к таковому (оригинальный метод Годунова применяется только для систем уравнений, представленных в дивергентной форме). При вычислении потоковых переменных на гранях смежных ячеек использован линеаризованный римановский решатель. Для дивергентных уравнений применена конечно-объемная, а для недивергентных — конечноразностная аппроксимация. Для расчета ряда задач в работе также использовался неконсервативный многомерный узловой метод характеристик, который базируется на расщеплении исходной системы уравнений на ряд одномерных подсистем, для решения которых использован одномерный узловой метод характеристик. С помощью описанных численных методов решен ряд модельных одномерных задач о распаде произвольного разрыва, а также рассчитано двумерное течение вязкого газа при взаимодействии ударного скачка с прямоугольной ступенькой, непроницаемой для газа.

В данной работе приведен алгоритм численного решения обратной начально-краевой задачи для гиперболического уравнения с малым параметром перед второй производной по времени, которая состоит в нахождении начального распределения по заданному конечному. Данный алгоритм позволяет для заданной наперед точности получить решение задачи (в допустимых пределах точности). Данный алгоритм позволяет избежать сложностей, аналогичных случаю с уравнением теплопроводности с обращенным временем. Предложенный алгоритм позволяет подобрать оптимальный размер конечно-разностной схемы путем обучения на относительно больших разбиениях сетки и малом числе итераций градиентного метода. Предложенный алгоритм позволяет получить оценку для константы Липшица градиента целевого функционала. Также представлен способ оптимального выбора малого параметра при второй производной для ускорения решения задачи. Данный подход может быть применен и в других задачах с похожей структурой, например в решении уравнений состояния плазмы, в социальных процессах или в различных биологических задачах. Новизна данной работы заключается в разработке оптимальной процедуры выбора размера шага путем применения экстраполяции Ричардсона и обучения на малых размерах сетки для решения задач оптимизации с неточным градиентом в обратных задачах.

Для моделирования гравитационной конвекции жидкости, насыщающей пористую среду, развивается компактная конечно-разностная схема. На основе закона Дарси с учетом анизотропии свойств проницаемости и теплопроводности рассматривается задача для прямоугольной области в переменных «функция тока» и «температура». На границах заданы условия непроницаемости и линейный по высоте профиль температуры. При определенных соотношениях между коэффициентами обратной проницаемости и теплопроводности данная система является косимметричной, при потере устойчивости механического равновесия от него ответвляется однопараметрическое семейство стационарных конвективных режимов. Разработана численная схема с конечно-разностной аппроксимацией четвертого порядка точности по пространственным координатам и с использованием метода Рунге – Кутты. Доказано, что построенная на девятиточечном шаблоне численная схема сохраняет свойство косимметрии исходной системы. Представлены результаты численного решения спектральной задачи по определению критических чисел Рэлея, отвечающих возникновению конвективных движений. Проведено сравнение с расчетами методом второго порядка точности и на основе комбинированной разностной схемы, обеспечивающей четвертый порядок аппроксимации по вертикальной координате. Показано, что с большой точностью критические числа являются двукратными при коэффициентах, обеспечивающих свойство косимметрии. Приведены результаты вычисления конвективных режимов и спектров устойчивости стационарных решений. Дана оценка эффективности предложенной компактной схемы.

В работе рассмотрена краевая задача о движении тепловой волны для вырождающегося уравнения второго порядка параболического типа со степенной нелинейностью. Краевое условие задает уравнение движения на плоскости нулевого фронта тепловой волны, имеющего форму окружности. Предложен новый численно-аналитический алгоритм, в соответствии с которым решение строится по шагам по времени при разностной схеме дискретизации времени. На каждом шаге рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона, к которому сводится исходное уравнение. Фактически она является обратной задачей Коши, в которой исходная граница области решения свободна от граничных условий, а на текущей границе (фронте волны) заданы два условия (Неймана и Дирихле). Решение этой задачи ищется в виде суммы частного решения уравнения Пуассона и решения соответствующего уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям. Поскольку неоднородность зависит от искомой функции и ее производных, решение строится итерационно. Частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Обратная задача Коши для уравнения Лапласа решается методом нулевого поля применительно к круговым областям с круговыми отверстиями. Для таких задач этот метод применяется впервые. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Распараллеливание вычислений позволило эффективно реализовать алгоритм на высокопроизводительных вычислительных системах. На базе алгоритма была создана компьютерная программа. В качестве средства распараллеливания был выбран стандарт параллельного программирования OpenMP для языка программирования C++ как наиболее подходящий для вычислительных программ с параллельными циклами. Эффективность алгоритма и работоспособность программы были проверены сравнением результатов расчетов с известным точным решением, а также с численным решением, полученным авторами ранее с помощью метода граничных элементов. Проведенный вычислительный эксперимент показал хорошую сходимость итерационных процессов и более высокую точность нового алгоритма по сравнению с разработанным ранее. Анализ решений позволил определить наиболее подходящую систему радиальных базисных функций.

В статье рассматривается решение задач теплопроводности с помощью метода непрерывных асинхронных клеточных автоматов. Продемонстрировано согласование распределения температуры в образце между клеточно-автоматной моделью и точным аналитическим решением уравнения теплопереноса в определенный момент времени, что говорит о целесообразном использовании данного метода моделирования. Получена зависимость между временем одного клеточно-автоматного взаимодействия и размерностью клеточно-автоматного поля.

Разработан вычислительный алгоритм для изучения химических процессов во внутренних течениях многокомпонентного газа при воздействии лазерного излучения. Математическая модель представляет собой уравнения газовой динамики с химическими реакциями при малых числах Маха с учетом диссипативных членов, которые описывают динамику вязкой теплопроводной среды с диффузией, химическими реакциями и подводом энергии посредством лазерного излучения. Для данной математической модели характерно наличие нескольких сильно различающихся между собой временных и пространственных масштабов. Вычислительный алгоритм построен на основе схемы расщепления по физическим процессам. Каждый шаг интегрирования по времени разбивается на следующие блоки: решение уравнений химической кинетики, решение уравнения для интенсивности излучения, решение уравнений конвекции – диффузии, расчет динамической составляющей давления и расчет коррекции вектора скорости. Решение жесткой системы уравнений химической кинетики проводится с помощью специализированной явной схемы второго порядка точности или подключаемым модулем RADAU5. Для нахождения конвективных членов в уравнениях применяются численные потоки Русанова и WENO-схема повышенного порядка аппроксимации. На основе полученного алгоритма разработан код с использованием технологии параллельных вычислений MPI. Созданный код использован для расчетов пиролиза этана с радикальными реакциями. Детально изучается формирование сверхравновесных концентраций радикалов по объему реактора. Проведено численное моделирование течения реакционного газа в плоской трубе с подводом лазерного излучения, востребованное для интерпретации экспериментальных результатов. Показано, что лазерное излучение увеличивает в разы конверсию этана и выходы целевых продуктов на коротких длинах ближе к входу в реакционную зону. Сокращение эффективной длины реакционной зоны позволяет предложить новые решения при проектировании реакторов конверсии этана в ценные углеводороды. Разработанные алгоритм и программа найдут свое применение в создании новых технологий лазерной термохимии.

Проведено математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции в замкнутой пористой цилиндрической полости с теплопроводной оболочкой конечной толщины в условиях конвективного теплообмена с внешней средой. Краевая задача математической физики, сформулированная на основе модели Дарси–Буссинеска в безразмерных переменных «функция тока – температура», реализована численно методом конечных разностей. Детально проанализировано влияние проницаемости пористой среды 10^–5≤Da<∞, отношения толщины твердой оболочки к внутреннему радиусу цилиндра 0.1≤h/L≤0.3, относительного коэффициента теплопроводности 1≤λ_1,2≤20 и безразмерного времени 0≤τ≤1000 как на локальные распределения изолиний функции тока и температуры, так и на интегральные комплексы, отражающие интенсивность конвективного течения и теплопереноса.

Задача горения газовзвеси с неоднородным распределением частиц по пространству возникает, например, при сжигании взвеси угольной пыли в камерах сгорания энергетических установок и горелок. Неоднородное распределение частиц по пространству может существенно повлиять на скорость распространения фронта пламени по аэровзвеси угольной пыли. Представляют интерес исследование закономерности распространения фронта горения в газовзвеси при неравномерном распределении концентрации реагирующих частиц в воздухе, а также определение зависимости скорости распространения фронта горения от свойств угольной пыли и неоднородности пространственного ее распределения. Целью настоящей работы является численное исследование влияния неоднородного распределения частиц, а также состава аэровзвеси на скорость распространения фронта горения по аэровзвеси угольной пыли.

Разработана физико-математическая модель горения аэровзвеси угольной пыли с неоднородным распределением частиц угольной пыли по пространству. Физико-математическая постановка задачи учи- тывает выход горючих летучих компонентов из частиц при их нагреве, последующее реагирование летучих компонентов с воздухом, гетерогенную реакцию на поверхности частиц, зависимость коэффициента теплопроводности газа от температуры. Решение задачи проведено численно.

Проведено параметрическое исследование влияния массовой концентрации, содержания летучих компонентов и размера частиц угольной пыли на скорость горения взвеси угольной пыли в воздухе. Показано, что скорость горения больше для частиц с меньшим содержанием летучих компонентов. Сравнение скорости горения для частиц разного радиуса показало, что чем больше радиус частиц, тем меньше скорость горения аэровзвеси. Определено, что частицы с большей массовой концентрацией горят быстрее.

Проведен анализ влияния пространственного распределения частиц на скорость горения аэровзвеси. Показано, что скорость распространения фронта горения по аэровзвеси с неоднородным распределением частиц выше скорости распространения фронта горения по аэровзвеси с однородным распределением частиц. Показано, что неоднородное распределение частиц приводит к искривлению фронта горения. Чем меньше радиус частиц, тем сильнее искривляется фронт горения.

В предположении анизотропии свойств жидкости и среды моделируется возникновение гравитационной конвекции в пористом прямоугольнике, насыщенном теплопроводной жидкостью с примесью и подогреваемом снизу. Рассматривается плоская задача на основе уравнений Дарси – Буссинеска для бинарной жидкости с учетом эффекта Соре. Устанавливаются условия, при которых система уравнений относительно функции тока, отклонений температуры и концентрации от равновесного состояния является косимметричной и возможно ответвление от механического равновесия непрерывного семейства стационарных движений.

Показано, что в условиях существования косимметрии имеются подобласти параметров, для которых критические значения температурного и концентрационного чисел Рэлея находятся по явным формулам. Для случая монотонной неустойчивости механического равновесия выведены формулы критических чисел Рэлея и приведены результаты подтверждающих вычислений.

Развита конечно-разностная дискретизация задачи второго порядка точности по пространственным переменным, сохраняющая косимметричность исследуемой системы. С помощью разработанной численной схемы проведен анализ устойчивости механического равновесия при различных комбинациях управляющих параметров.

На плоскости температурного и концентрационного чисел Рэлея представлены нейтральные кривые устойчивости механического равновесия и рассчитаны участки колебательной неустойчивости. Установлена зависимость от параметров термодиффузии концентрационного числа Рэлея, при котором колебательная неустойчивость предшествует монотонной. В общей ситуации, когда не выполняются условия косимметрии, выведенные формулы критических чисел Рэлея могут быть использованы для оценки порогов возникновения конвекции.

Проведено численное исследование нестационарных режимов смешанной конвекции в открытом частично пористом горизонтальном канале при наличии тепловыделяющего элемента. Наружные поверхности горизонтальных стенок конечной толщины являлись адиабатическими. В канале находилась ньютоновская теплопроводная жидкость, вязкость которой зависит от температуры по экспоненцильному закону. Дискретный тепловыделяющий теплопроводный элемент расположен внутри нижней стенки канала. Температура жидкости равна температуре твердого скелета внутри пористой вставки, и расчеты ведутся в рамках модели теплового равновесия. Пористая вставка изотропна, однородна и проницаема для жидкости. Для моделирования пористой среды использована модель Дарси–Бринкмана. Математическая модель, сформулированная в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность скорости – температура» на основе приближения Буссинеска, реализована численно с помощью метода конечных разностей. Уравнения дисперсии завихренности и энергии решались на основе локально-одномерной схемы А.А. Самарского. Диффузионные слагаемые аппроксимировались центральными разностями, конвективные — с использованием монотонной аппроксимации А.А. Самарского. Разностные уравнения решались методом прогонки. Разностное уравнение Пуассона для функции тока решалось отдельно, с применением метода последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов. Разработанная вычислительная модель была протестирована на множестве равномерных сеток, а также верифицирована путем сравнения полученных результатов при решении модельной задачи с данными других авторов.

Численные исследования нестационарных режимов смешанной конвекции жидкости с переменной вязкостью в горизонтальном канале с тепловыделяющим источником были проведены при следующих значениях безразмерных параметров: $\mathrm{Pr} = 7.0$, $\varepsilon = 0.8$, $\mathrm{Gr} = 10^5$, $C = 0-1$, $10^{-5} < \mathrm{Da} < 10^{-1}$, $50 < \mathrm{Re} < 500$, $\delta = l/H = 0.6-3$. Все распределения изолиний функции тока и температуры, а также зависимости среднего числа Нуссельта и средней температуры были получены в стационарном режиме, когда наблюдается установление картины течения и теплопереноса. В результате анализа установлено, что введение пористой вставки позволяет интенсифицировать теплосъем с поверхности источника энергии. Увеличение размеров пористой ставки, а также использование рабочих сред с разными теплофизическими характеристиками приводят к снижению температуры в источнике энергии.