Все выпуски

В статье решается актуальная научно-практическая задача математического моделирования и прогнозирования процессов диффузии инноваций и технологических замещений на рынках с ограниченной емкостью. Целью работы является преодоление структурных ограничений классических феноменологических подходов, таких как модели Басса, Гомперца и Мэнсфилда, связанных с жестко фиксированной асимметрией S-образных кривых и отсутствием явного микроэкономического обоснования динамики систем. В основу исследования положен междисциплинарный подход, основанный на переносе экологической концепции рационирования ограниченных ресурсов (модель Ардити–Гинзбурга–Контуа) в теорию операционного менеджмента посредством использования клиринговой функции Кармаркара и производственной функции Леонтьева–Либиха. Автором аналитически выведен альтернативный закон диффузии технологических инноваций, представленный в виде неявной зависимости времени от кумулятивного объема продаж или общего числа потребителей. Для идентификации неизвестных параметров модели по эмпирическим данным применен численный метод инвертирования неявной функции на основе нелинейной оптимизации наименьших квадратов, обеспечивающий высокую вычислительную стабильность алгоритма. Проведена сравнительная эмпирическая верификация предложенного закона в сопоставлении с классическими мировыми аналогами на двух контрастных макроэкономических кейсах: динамике кумулятивных продаж потребительской электроники Apple iPod (сорок девять квартальных точек) и развитии рынка подписок на мобильный интернет в Германии (восемнадцать годовых точек). Оценка качества аппроксимации осуществлялась по критерию остаточной суммы квадратов и коэффициенту детерминации. Показано математическое преимущество авторской модели, продемонстрировавшей наименьшую ошибку невязки на макроэкономических данных высокотехнологичных рынков за счет гибкого параметра асимметрии, адаптирующегося под стартовый лаг-период рынка. Научная новизна работы заключается в фундаментальном обосновании макроэкономической S-кривой через баланс уравнений системы «потребитель–ресурс». Разработанный математический аппарат может быть непосредственно использован аналитическими агентствами, регуляторами сектора информационно-коммуникационных технологий и менеджментом компаний для среднесрочного планирования емкости рынков и прогнозирования точек перегиба, соответствующих пикам темпов технологического замещения.

Многие свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений определяются свойствами системы в вариациях. Продолженной системой будем называть систему ОДУ, включающую в себя одновременно исходную нелинейную систему и систему уравнений в вариациях. При исследовании свойств задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений переход к продолженным системам позволяет исследовать многие тонкие свойства решений. Например, переход к продолженной системе позволяет повысить порядок аппроксимации численных методов, дает подходы к построению функции чувствительности без использования процедур численного дифференцирования, позволяет применять для решения обратной задачи методы повышенного порядка сходимости. Использован метод Бройдена, относящийся к классу квазиньютоновских методов. Для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Розенброка с комплексными коэффициентами. В данном случае он эквивалентен методу второго порядка аппроксимации для продолженной системы.

В качестве примера использования подхода рассматривается несколько связанных между собой математических моделей свертывания крови. По результатам численных расчетов делается вывод о необходимости включения в систему уравнений описания петли положительных обратных связей по фактору свертывания XI. Приводятся оценки некоторых скоростей реакций на основе решения обратной задачи.

Рассматривается влияние освобождения фактора V при активации тромбоцитов. При модификации математической модели удалось достичь количественного соответствия по динамике производства тромбина с экспериментальными данными для искусственной системы. На основе анализа чувствительности проверена гипотеза об отсутствии влияния состава липидной мембраны (числа сайтов для тех или иных факторов системы свертывания, кроме сайтов для тромбина) на динамику процесса.

Предлагается семейство методов Гаусса – Ньютона для решения оптимизационных задачи систем нелинейных уравнений, основанное на идеях использования верхней оценки нормы невязки системы уравнений и квадратичной регуляризации. В работе представлено развитие схемы метода трех квадратов с добавлением моментного члена к правилу обновления искомых параметров в решаемой задаче. Получившаяся схема обладает несколькими замечательными свойствами. Во-первых, в работе алгоритмически описано целое параметрическое семейство методов, минимизирующих функционалы специального вида: композиции невязки нелинейного уравнения и унимодального функционала. Такой функционал, целиком согласующийся с парадигмой «серого ящика» в описании задачи, объединяет в себе большое количество решаемых задач, связанных с приложениями в машинном обучении, с задачами восстановления регрессионной зависимости. Во-вторых, полученное семейство методов описывается как обобщение нескольких форм алгоритма Левенберга – Марквардта, допускающих реализацию в том числе и в неевклидовых пространствах. В алгоритме, описывающем параметрическое семейство методов Гаусса – Ньютона, используется итеративная процедура, осуществляющая неточное параметризованное проксимальное отображение и сдвиг с помощью моментного члена. Работа содержит детальный анализ эффективности предложенного семейства методов Гаусса – Ньютона, выведенные оценки учитывают количество внешних итераций алгоритма решения основной задачи, точность и вычислительную сложность представления локальной модели и вычисления оракула. Для семейства методов выведены условия сублинейной и линейной сходимости, основанные на неравенстве Поляка – Лоясиевича. В обоих наблюдаемых режимах сходимости локально предполагается наличие свойства Липшица у невязки нелинейной системы уравнений. Кроме теоретического анализа схемы, в работе изучаются вопросы ее практической реализации. В частности, в проведенных экспериментах для субоптимального шага приводятся схемы эффективного вычисления аппроксимации наилучшего шага, что позволяет на практике улучшить сходимость метода по сравнению с оригинальным методом трех квадратов. Предложенная схема объединяет в себе несколько существующих и часто используемых на практике модификаций метода Гаусса – Ньютона, в добавок к этому в работе предложена монотонная моментная модификация семейства разработанных методов, не замедляющая поиск решения в худшем случае и демонстрирующая на практике улучшение сходимости метода.

В работе представлена система, обеспечивающая подбор наилучших в смысле времени выполнения настроек алгоритма. В качестве алгоритма был взят пакет решения задач частично-целочисленного линейного и нелинейного программирования SCIP. Возможность параллельного перебора множества вариантов настроек обеспечивается кластером из виртуальных машин, автоматически создаваемых в облаке. Представлены результаты работы системы на нескольких наборах задач.