Все выпуски

Рассмотрена задача на собственные значения для несамосопряжённого разностного оператора с переменным коэффициентом. Особенность задачи заключается в нелокальных граничных условиях специального вида, которым удовлетворяет решение. В весьма общих предположениях относительно переменного коэффициента определена кратность собственных чисел, построена область локализации спектра оператора.

Во второй части статьи, носящей более прикладной характер, завершается рассмотрение трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). На нескольких примерах, относящихся к гексагональной сетке, показана специфика такого решения и подтверждаются выводы первой части, в частности о выполнении свойства консервативности и эффекте избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

При решении задачи Неймана для колебаний круглой мембраны показана критичность требований к дискретизации условий для граничных КА-ячеек. Для квазиодномерной задачи «диффузия в полупространство» сравниваются КА-расчеты, проводимые по простой схеме и с использованием обобщенного блочно-поворотного механизма Марголуса. При решении смешанной задачи для классического случая колебания круглой мембраны с закрепленными концами показано, что одновременное применение метода Кранка–Николсон и учет членов второго порядка позволяет избежать ИГС-эффекта, наблюдаемого нами для более простой схемы. С точки зрения КА центральное место занимает уравнение диффузии, на пути решения которого на бесконечных временах находится решение краевой задачи для уравнения Лапласа, а путем введения вектор-переменной становится разрешимо волновое уравнение (по крайней мере скалярное).

На примере центрально-симметричной задачи Неймана продемонстрирован новый способ введения пространственных производных в postfix-процедуру КА, отражающую временные производные (основанием является уравнение непрерывности). Для случая центральной симметрии эмпирически найдено значение константы, связывающее эти производные. Показано, что препятствием к применению КА-методов для таких задач являются низкая скорость сходимости и точность, лимитируемая точностью дискретизации границ, а не формальной точностью метода (4-й порядок); наша рекомендация состоит в использовании техники multigrid. При решении квазиодномерного уравнения диффузии (двумерным КА) показано, что блочно-поворотный КА (по механизму Марголуса) более эффективен, чем простой КА.

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

В различных приложениях возникают задачи, моделируемые уравнениями в частных производных на графах (сетях, деревьях). Для исследования данных проблем и возникающих различных экстремальных ситуаций, для задач проектирования и оптимизации сетей различных типов в данной работе построена вычислительная модель, основанная на решении соответствующих краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа на графах (сетях, деревьях). В качестве приложений были выбраны три различные задачи, решаемые в рамках общего подхода сетевых вычислительных моделей. Первая — это моделирование движения транспортных потоков. При решении данной задачи использовался макроскопический подход, при котором транспортный поток описывается нелинейной системой гиперболических уравнений второго порядка. Проведенные расчеты и полученные результаты показали, что разработанная в рамках предложенного подхода модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на различных участках транспортной сети г. Москвы на значительных временных интервалах, а также может быть использована для выбора наиболее оптимальной стратегии организации дорожного движения в городе. Вторая — моделирование потоков данных в компьютерных сетях. В этой задаче потоки данных различных соединений в пакетной сети передачи данных моделировались в виде несмешивающихся потоков сплошной среды. Предложены концептуальная и математическая модели сети. Проведено численное моделирование в сравнении с системой имитационного моделирования сети NS-2. Полученные результаты показали, что в сравнении с пакетной моделью NS-2 разработанная нами потоковая модель демонстрирует значительную экономию вычислительных ресурсов, обеспечивая при этом хорошую степень подобия, и позволяет моделировать поведение сложных глобально распределенных IP-сетей передачи данных. Третья — моделирование распространения газовых примесей в вентиляционных сетях. Была разработана вычислительная математическая модель распространения мелкодисперсных или газовых примесей в вентиляционных сетях с использованием уравнений газовой динамики путем численного сопряжения областей разной размерности. Проведенные расчеты показали, что модель с хорошей точностью позволяет определять распределение газодинамических параметров в трубопроводной сети и решать задачи динамического управления вентиляцией.

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

В последнее время для описания различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется уравнениям в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений в частных производных целого порядка.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе называют уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы для решения нагруженных уравнений в частных производных целого и дробного порядка, поскольку аналитические методы решения сложны в реализации. Достаточно эффективным методом численного решения такого рода задач является метод конечных разностей, или метод сеток.

Исследована начально-краевая задача в прямоугольнике $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с композицией дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова и с граничными условиями первого и третьего рода. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в дифференциальной и в разностной форме. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывную зависимость решения от входных данных задачи. Получен разностный аналог для композиции дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова порядка $(2-\beta )$ и построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Статья носит методический характер и посвящена решению трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). Особое внимание уделяется законам сохранения вещества и неприятному эффекту избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

Делается вывод о том, что по сравнению с классическими конечно-разностными методами, хотя локальная функция перехода (ЛФП) КА терминологически эквивалентна шаблону вычислительной двухслоевой явной схемы, различие состоит в замене матричных (direct) методов (например, метода прогонки для трехдиагональной матрицы) итерационными. Из этого следуют более жесткие требования к дискретизации условий для граничных КА-ячеек.

Для гексагональной сетки и консервативных граничных условий записана корректная ЛФП для граничных ячеек, справедливая, по крайней мере, для границ прямоугольной и круговой формы. Предложена идея разделения ЛФП на internal, boundary и postfix. На примере этой задачи заново осмыслено значение числа Куранта–Леви как соотношения скорости сходимости КА к решению задачи, данному на фиксированный момент времени, и скорости изменения самого решения в динамике.