Все выпуски

Коррозионные повреждения металлов и сплавов — одна из основных проблем прочности и долговечности металлических конструкций и изделий, эксплуатируемых в условиях контакта с химически агрессивными средами. В последнее время возрастает интерес к компьютерному моделированию эволюции коррозионных повреждений, особенно питтинговой коррозии, для более глубокого понимания коррозионного процесса, его влияния на морфологию, физико-химические свойства поверхности и механическую прочность и долговечность материала. Это обусловлено в основном сложностью аналитических и высокой стоимостью экспериментальных in situ исследований реальных коррозионных процессов. Вместе с тем вычислительные мощности современных компьютеров позволяют с высокой точностью рассчитывать коррозию лишь на относительно небольших участках поверхности. Поэтому разработка новых математических моделей, позволяющих рассчитывать большие области для прогнозирования эволюции коррозионных повреждений металлов, является в настоящее время актуальной проблемой.

В настоящей работе с помощью разработанной компьютерной модели на основе клеточного автомата исследовали эволюцию коррозионного фронта при взаимодействии поверхности поликристаллического металла с жидкой агрессивной средой. Зеренная структура металла задавалась с помощью многоугольников Вороного, используемых для моделирования поликристаллических сплавов. Коррозионное разрушение осуществлялось при помощи задания вероятностной функции перехода между ячейками клеточного автомата. Принималось во внимание, что коррозионная прочность зерен неодинакова вследствие кристаллографической анизотропии. Показано, что это приводит к формированию шероховатой фазовой границы в ходе коррозионного процесса. Снижение концентрации активных частиц в растворе агрессивной среды в ходе протекающей химической реакции приводит к затуханию коррозии за конечное число итераций расчета. Установлено, что конечная фазовая граница имеет фрактальную структуру с размерностью 1.323 ± 0.002, близкой к размерности фронта градиентной перколяции, что хорошо согласуется с фрактальной размерностью фронта травления поликристаллического алюминий-магниевого сплава АМг6 концентрированным раствором соляной кислоты. Показано, что коррозия поликристаллического металла в жидкой агрессивной среде представляет новый пример топохимического процесса, кинетика которого описывается теорией Колмогорова–Джонсона–Мейла–Аврами.

Corrosion damage to metals and alloys is one of the main problems of strength and durability of metal structures and products operated in contact with chemically aggressive environments. Recently, there has been a growing interest in computer modeling of the evolution of corrosion damage, especially pitting corrosion, for a deeper understanding of the corrosion process, its impact on the morphology, physical and chemical properties of the surface and mechanical strength of the material. This is mainly due to the complexity of analytical and high cost of experimental in situ studies of real corrosion processes. However, the computing power of modern computers allows you to calculate corrosion with high accuracy only on relatively small areas of the surface. Therefore, the development of new mathematical models that allow calculating large areas for predicting the evolution of corrosion damage to metals is currently an urgent problem.

In this paper, the evolution of the corrosion front in the interaction of a polycrystalline metal surface with a liquid aggressive medium was studied using a computer model based on a cellular automat. A distinctive feature of the model is the specification of the solid body structure in the form of Voronoi polygons used for modeling polycrystalline alloys. Corrosion destruction was performed by setting the probability function of the transition between cells of the cellular automaton. It was taken into account that the corrosion strength of the grains varies due to crystallographic anisotropy. It is shown that this leads to the formation of a rough phase boundary during the corrosion process. Reducing the concentration of active particles in a solution of an aggressive medium during a chemical reaction leads to corrosion attenuation in a finite number of calculation iterations. It is established that the final morphology of the phase boundary has a fractal structure with a dimension of 1.323 ± 0.002 close to the dimension of the gradient percolation front, which is in good agreement with the fractal dimension of the etching front of a polycrystalline aluminum-magnesium alloy AlMg6 with a concentrated solution of hydrochloric acid. It is shown that corrosion of a polycrystalline metal in a liquid aggressive medium is a new example of a topochemical process, the kinetics of which is described by the Kolmogorov–Johnson– Meil–Avrami theory.

Еще в середине позапрошлого десятилетия ученые, изучавшие функционирование сообществ насекомых, выделили 4 основных паттерна организационной структуры таких сообществ. (i) Сотрудничество более развито в группах с сильным родством. (ii) Кооперация у видов с большими размерами колоний зачастую развита больше, чем у видов с малыми размерами колоний. Причем в колониях малого размера зачастую наблюдаются больший внутренний репродуктивный конфликт и меньшая морфологическая и поведенческая специализация. (iii) В пределах одного вида численность выводка (т. е. в некотором смысле эффективность) на душу населения обычно снижается по мере увеличения размера колонии. (iv) Развитая кооперация, склонная проявляться при ограниченности ресурсов и жесткой межгрупповой конкуренции. Думая о функционировании группы организмов как о двухуровневом рынке конкуренции, в котором в процессе индивидуального отбора особи сталкиваются с проблемой распределения своей энергии между инвестициями в межгрупповую конкуренцию и инвестициями во внутригрупповую конкуренцию, т. е. внутреннюю борьбу за долю ресурсов, полученных в результате межгрупповой конкуренции, можно сопоставить подобной биологической ситуации экономический феномен coopetition — кооперацию конкурирующих агентов с целью в дальнейшем конкурентно поделить выигранный вследствие кооперации ресурс. В рамках экономических исследований были показаны эффекты, аналогичные (ii): в рамках соревнования большой и маленькой групп оптимальной стратегией большой будет полное выдавливание второй группы и монополизация рынка (т. е. большие группы склонны действовать кооперативно); (iii) существуют условия, при которых размер группы оказывает негативное влияние на продуктивность каждого ее индивида (такой эффект называется парадоксом размера группы, или эффект Рингельмана). Общей идеей моделирования подобных эффектов является идея пропорциональности: каждый индивид (особь / рациональный агент) решает, какую долю своих сил инвестировать в межгрупповую конкуренцию, а какую — во внутригрупповую. При этом выигрыш группы должен быть пропорционален ее суммарным инвестициям в конкуренцию, тогда как выигрыш индивида пропорционален его вкладу во внутривидовую борьбу. Несмотря на распространенность эмпирических наблюдений, до сих пор не была введена теоретико-игровая модель, в которой можно было бы подтвердить наблюдаемые эмпирически эффекты. В рамках данной работы предлагается модель, которая устраняет проблемы ранее существующих, а моделирование равновесных по Нэшу состояний в рамках предложенной модели позволяет пронаблюдать перечисленные выше эффекты в ходе численных экспериментов.

At the middle of the 2000-th, scientists studying the functioning of insect communities identified four basic patterns of the organizational structure of such communities. (i) Cooperation is more developed in groups with strong kinship. (ii) Cooperation in species with large colony sizes is often more developed than in species with small colony sizes. And small-sized colonies often exhibit greater internal reproductive conflict and less morphological and behavioral specialization. (iii) Within a single species, brood size (i. e., in a sense, efficiency) per capita usually decreases as colony size increases. (iv) Advanced cooperation tends to occur when resources are limited and intergroup competition is fierce. Thinking of the functioning of a group of organisms as a two-level competitive market in which individuals face the problem of allocating their energy between investment in intergroup competition and investment in intragroup competition, i. e., an internal struggle for the share of resources obtained through intergroup competition, we can compare such a biological situation with the economic phenomenon of “coopetition” — the cooperation of competing agents with the goal of later competitively dividing the resources won in consequence In the framework of economic researches the effects similar to (ii) — in the framework of large and small group competition the optimal strategy of large group would be complete squeezing out of the second group and monopolization of the market (i. e. large groups tend to act cooperatively) and (iii) — there are conditions, in which the size of the group has a negative impact on productivity of each of its individuals (this effect is called the paradox of group size or Ringelman effect). The general idea of modeling such effects is the idea of proportionality — each individual (an individual/rational agent) decides what share of his forces to invest in intergroup competition and what share to invest in intragroup competition. The group’s gain must be proportional to its total investment in competition, while the individual’s gain is proportional to its contribution to intra-group competition. Despite the prevalence of empirical observations, no gametheoretic model has yet been introduced in which the empirically observed effects can be confirmed. This paper proposes a model that eliminates the problems of previously existing ones and the simulation of Nash equilibrium states within the proposed model allows the above effects to be observed in numerical experiments.

В работе рассмотрено два варианта понятия острого минимума для задач математического программирования с квазивыпуклой целевой функцией и ограничениями-неравенствами. Исследована задача описания варианта простого субградиентного метода с переключениями по продуктивным и непродуктивным шагам, для которого бы на классе задач с липшицевыми функциями можно было гарантировать сходимость со скоростью геометрической прогрессии ко множеству точных решений или его окрестности. При этом важно, чтобы для реализации метода не было необходимости знать параметр острого минимума, который обычно сложно оценить на практике. В качестве решения проблемы авторы предлагают использовать процедуру регулировки шага, аналогичную предложенной ранее Б. Т. Поляком. Однако при этом более остро по сравнению с классом задач без ограничений встает проблема знания точного значения минимума целевой функции. В работе описываются условия на погрешность этой информации, которые позволяют сохранить сходимость со скоростью геометрической прогрессии в окрестность множества точек минимума задачи. Рассмотрено два аналога понятия острого минимума для задач с ограничениями-неравенствами. В первом случае возникает проблема приближения к точному решению лишь до заранее выбранного уровня точности, при этом рассматривается случай, когда минимальное значение целевой функции неизвестно, вместо этого дано некоторое его приближение. Описаны условия на неточность минимума целевой функции, при которой все еще сохраняется сходимость к окрестности искомого множества точек со скоростью геометрической прогрессии. Второй рассматриваемый вариант острого минимума не зависит от желаемой точности задачи. Для него предложен несколько иной способ проверки продуктивности шага, позволяющий в случае точной информации гарантировать сходимость метода к точному решению со скоростью геометрической прогрессии. Доказаны оценки сходимости в условиях слабой выпуклости ограничений и некоторых ограничениях на выбор начальной точки, а также сформулирован результат-следствие для выпуклого случая, когда необходимость дополнительного предположения о выборе начальной точки пропадает. Для обоих подходов доказано убывание расстояния от текущей точки до множества решений с ростом количества итераций. Это, в частности, позволяет ограничить требования используемых свойств функций (липшицевость, острый минимум) лишь для ограниченного множества. Выполнены вычислительные эксперименты, в том числе для задачи проектирования механических конструкций.

In this paper, we consider two variants of the concept of sharp minimum for mathematical programming problems with quasiconvex objective function and inequality constraints. It investigated the problem of describing a variant of a simple subgradient method with switching along productive and non-productive steps, for which, on a class of problems with Lipschitz functions, it would be possible to guarantee convergence with the rate of geometric progression to the set of exact solutions or its vicinity. It is important that to implement the proposed method there is no need to know the sharp minimum parameter, which is usually difficult to estimate in practice. To overcome this problem, the authors propose to use a step adjustment procedure similar to that previously proposed by B. T. Polyak. However, in this case, in comparison with the class of problems without constraints, it arises the problem of knowing the exact minimal value of the objective function. The paper describes the conditions for the inexactness of this information, which make it possible to preserve convergence with the rate of geometric progression in the vicinity of the set of minimum points of the problem. Two analogs of the concept of a sharp minimum for problems with inequality constraints are considered. In the first one, the problem of approximation to the exact solution arises only to a pre-selected level of accuracy, for this, it is considered the case when the minimal value of the objective function is unknown; instead, it is given some approximation of this value. We describe conditions on the inexact minimal value of the objective function, under which convergence to the vicinity of the desired set of points with a rate of geometric progression is still preserved. The second considered variant of the sharp minimum does not depend on the desired accuracy of the problem. For this, we propose a slightly different way of checking whether the step is productive, which allows us to guarantee the convergence of the method to the exact solution with the rate of geometric progression in the case of exact information. Convergence estimates are proved under conditions of weak convexity of the constraints and some restrictions on the choice of the initial point, and a corollary is formulated for the convex case when the need for an additional assumption on the choice of the initial point disappears. For both approaches, it has been proven that the distance from the current point to the set of solutions decreases with increasing number of iterations. This, in particular, makes it possible to limit the requirements for the properties of the used functions (Lipschitz-continuous, sharp minimum) only for a bounded set. Some computational experiments are performed, including for the truss topology design problem.

Современные тенденции развития технического диагностирования связаны с применением вычислительных сред для компьютерного моделирования, позволяющих во многом заменить реальные эксперименты, снизить затраты на исследование и минимизировать риски. Компьютерное моделирование позволяет еще на этапе проектирования оборудования провести диагностирование с целью определения допустимых отклонений параметров работы технической установки. Особенностью диагностирования прокатного оборудования является то, что работа технологического агрегата непосредственно связана с формированием заданного качества получаемой металлопродукции, в том числе по точности. При этом важная роль отводится разработке методик технической диагностики и диагностического моделирования процессов прокатки и оборудования. Проведено компьютерное диагностическое моделирование процесса продольной холодной прокатки полосы с вибрацией рабочего валка в горизонтальной плоскости по известным данным экспериментальных исследований на непрерывном стане 1700. Вибрация рабочего валка в прокатной клети возникала вследствие зазора между подушкой валка и направляющей в станине и приводила к формированию периодической составляющей в отклонениях толщины полосы. По результатам моделирования с помощью вычислительной среды DEFORM-3D получили прокатанную полосу, которая имела продольную и поперечную разнотолщинность. Визуализация данных геометрических параметров полосы, полученных при моделировании, соответствовала виду неоднородностей поверхности реально прокатанной полосы. Дальнейший анализ разнотолщинности проводили с целью определения возможности идентификации по результатам моделирования источников периодических составляющих толщины полосы, причиной которых являются отклонения в работе оборудования, обусловленные его неисправностями или неправильной настройкой. Преимущество компьютерного моделирования при поиске источников образования разнотолщинности состоит в том, что можно проверить различные предположения по формированию толщины проката, не проводя реальных экспериментов и сократив таким образом временны́ е и материальные затраты, связанные с подготовкой и проведением экспериментов. Кроме того, при компьютерном моделировании толщина задаваемой полосы не будет иметь отклонений, что позволит рассматривать влияние на формирование толщины изучаемого источника без помех, связанных с наследственной разнотолщинностью, как это наблюдается в промышленных или лабораторных экспериментах. На основе спектрального анализа случайных процессов установлено, что в реализации толщины прокатанной полосы, полученной компьютерным моделированием процесса прокатки в одной клети при вибрации рабочего валка, содержится периодическая составляющая, имеющая частоту, равную заданной частоте колебаний рабочего валка. Результаты компьютерного моделирования согласуются с данными исследований на стане 1700. Таким образом, показана возможность применения компьютерного моделирования при поиске причин формирования разнотолщинности на промышленном прокатном оборудовании.

Technical diagnosis’ current trends are connected to application of FEM computer simulation, which allows, to some extent, replace real experiments, reduce costs for investigation and minimize risks. Computer simulation, just at the stage of research and development, allows carrying out of diagnostics of equipment to detect permissible fluctuations of parameters of equipment’s work. Peculiarity of diagnosis of rolling equipment is that functioning of rolling equipment is directly tied with manufacturing of product with required quality, including accuracy. At that design of techniques of technical diagnosis and diagnostical modelling is very important. Computer simulation of cold rolling of strip was carried out. At that upper working roll was doing vibrations in horizontal direction according with published data of experiments on continuous 1700 rolling mill. Vibration of working roll in a stand appeared due to gap between roll’s craft and guide in a stand and led to periodical fluctuations of strip’s thickness. After computer simulation with the help of DEFORM software strip with longitudinal and transversal thickness variation was gotten. Visualization of strip’s geometrical parameters, according with simulation data, corresponded to type of inhomogeneity of surface of strip rolled in real. Further analysis of thickness variation was done in order to identify, on the basis of simulation, sources of periodical components of strip’s thickness, whose reasons are malfunctions of equipment. Advantage of computer simulation while searching the sources of forming of thickness variation is that different hypothesis concerning thickness formations may be tested without conducting real experiments and costs of different types may be reduced. Moreover, while simulation, initial strip’s thickness will not have fluctuations as opposed to industrial or laboratorial experiments. On the basis of spectral analysis of random process, it was established that frequency of changing of strip’s thickness after rolling in one stand coincides with frequency of working roll’s vibration. Results of computer simulation correlate with results of the researches for 1700 mill. Therefore, opportunity to apply computer simulation to find reasons of formation of thickness variation of strip on the industrial rolling mill is shown.

Важнейшим принципом военной науки и пограничной безопасности является принцип сосредоточения основных усилий на главных направлениях и задачах. На тактическом уровне имеется множество математических моделей для вычисления оптимального распределения ресурса по направлениям и объектам, тогда как на уровне государства соответствующие модели отсутствуют. Используя статистические данные о результатах охраны границы США, вычислен параметр пограничной производственной функции экспоненциального типа, отражающий организационно-технологические возможности пограничной охраны. Производственная функция определяет зависимость вероятности задержания нарушителей от плотности пограничников на километр границы. Финансовые показатели в производственной функции не учитываются, поскольку бюджет на содержание пограничников и оборудование границы коррелирует с количеством пограничных агентов. Определена целевая функция пограничной охраны — суммарный предотвращенный ущерб от задержанных нарушителей с учетом их ожидаемой опасности для государства и общества, подлежащий максимизации. Используя условие Слейтера, найдено решение задачи — вычислены оптимальные плотности пограничной охраны по регионам государства. Имея модель распределения ресурсов, на примере трех пограничных регионов США решена и обратная задача — оценены угрозы в регионах по известному распределению ресурсов. Ожидаемая опасность от отдельного нарушителя на американо-канадской границе в 2–5 раз выше, чем от нарушителя на американо-мексиканской границе. Результаты расчетов соответствуют взглядам специалистов по безопасности США — на американо-мексиканской границе в основном задерживаются нелегальные мигранты, тогда как потенциальные террористы предпочитают использовать другие каналы проникновения в США (включая американо-канадскую границу), где риски быть задержанными минимальны. Также результаты расчетов соответствуют сложившейся практике охраны границы: в 2013 г. численность пограничников вне пунктов пропуска на американо-мексиканской границе увеличилась в 2 раза по сравнению с 2001 г., тогда как на американо-канадской границе — в 4 раза. Практика охраны границы и взгляды специалистов дают основания для утверждения о верификации модели.

The most important principle of military science and border security is the principle of concentrating the main efforts on the main directions and tasks. At the tactical level, there are many mathematical models for computing the optimal resource allocation by directions and objects, whereas at the state level there are no corresponding models. Using the statistical data on the results of the protection of the US border, an exponential type border production function parameter is calculated that reflects the organizational and technological capabilities of the border guard. The production function determines the dependence of the probability of detaining offenders from the density of border guards per kilometer of the border. Financial indicators in the production function are not taken into account, as the border maintenance budget and border equipment correlate with the number of border agents. The objective function of the border guards is defined — the total prevented damage from detained violators taking into account their expected danger for the state and society, which is to be maximized. Using Slater's condition, the solution of the problem was found — optimal density of border guard was calculated for the regions of the state. Having a model of resource allocation, the example of the three border regions of the United States has also solved the reverse problem — threats in the regions have been assessed based on the known allocation of resources. The expected danger from an individual offender on the US-Canada border is 2–5 times higher than from an offender on the US-Mexican border. The results of the calculations are consistent with the views of US security experts: illegal migrants are mostly detained on the US-Mexican border, while potential terrorists prefer to use other channels of penetration into the US (including the US-Canadian border), where the risks of being detained are minimal. Also, the results of the calculations are consistent with the established practice of border protection: in 2013 the number of border guards outside the checkpoints on the US-Mexican border increased by 2 times compared with 2001, while on the American-Canadian border — 4 times. The practice of border protection and the views of specialists give grounds for approval of the verification of the model.

Используя математическое моделирование, геополитический, исторический и естественнонаучный подходы, разработана модель национальной безопасности государства. Модель безопасности отражает дихотомию ценностей развития и сохранения, являясь произведением соответствующих функций. В работе оценены основные параметры модели и рассмотрены некоторые ее приложения в сфере геополитики и национальной безопасности.

Using mathematical modeling, geopolitical, historical and natural science approach, the model of national security. Security model reflects the dichotomy of values development and conservation, being the product of the corresponding functions. In this paper we evaluated the basic parameters of the model and discusses some of its applications in the field of geopolitics and national security.

В работе предложена простая нелинейная модель, позволяющая рассчитать суточные и месячные значения валовой (GPP) и нетто (NPP) первичной продукции лесов по параметрам, характеризующим эффективность использования растениями ФАР на GPP и NPP, а также по интегральной величине поглощенной растительностью фотосинтетически активной радиации ФАР, определяемой в ходе измерений, в том числе средствами дистанционного зондирования. Необходимые для построения модели значения GPP и NPP определялись по данным измерений потоков СО₂ в еловых и влажных тропических лесах с применением процесс-ориентированной модели Mixfor-SVAT.

A simple non-linear model allowing to calculate daily and monthly GPP and NPP of forests using parameters characterizing the light-use efficiencies for GPP and NPP, and integral values of absorbed photosynthetically active radiation, obtained using field measurements and remotes sensing data was suggested. Daily and monthly GPP, NPP of the forest ecosystems were derived from the field measurements of the net ecosystem exchange of CO₂ in the spruce and tropical rain forests using a process-based Mixfor-SVAT model.

В работе исследуется модификация модели Хотеллинга, в которой одна из фирм обладает нерыночным преимуществом, введенным по аналогии с валентностью, используемой в задачах политической экономии. Нерыночное (валентное) преимущество может интерпретироваться как реклама (узнаваемость фирмы). Установлено, что при аддитивной функции полезности потребителей, зависящей квадратично от расстояния до фирмы, существует единственное равновесие по Нэшу. Это равновесие значительно «богаче» равновесия в исходной модели Хотеллинга. В частности, дополнительное нерыночное преимущество может быть избыточным и его использование — неэффективным.

The principle of minimal differentiation, based on the Hotelling model, is well known in the economy. It is applicable to horizontal differentiated goods of almost any nature. The Hotelling approach to modeling competition of oligopolies corresponds to a modern description of monopolistic competition with increasing returns to scale and imperfect competition. We develop a modification of the Hotelling model that endows a firm with a non-market advantage, which is introduced alike the valence advantage known in problems of political economy. The nonmarket (valence) advantage can be interpreted as advertisement (brand awareness of firms). Problem statement. Consider two firms competing with prices and location. Homogeneous consumers vary with its location on a segment. They minimize their costs, which additively includes the price of the product and the distance from them to the product. The utility function is linear with respect to the price and quadratic with respect to the distance. It is also expected that one of the firms (for certainty, firm № 1) has a market advantage d. The consumers are assumed to take into account the sum of the distance to the product and the market advantage of firm 1. Thus, the strategy of the firms and the consumers depend on two parameters: the unit t of the transport costs and the non-market advantage d. I explore characteristics of the equilibrium in the model as a function of the non-market advantage for different fixed t. The aim of the research is to assess the impact of the non-market advantage on the equlibrium. We prove that the Nash equilibrium exists and it is unique under additive consumers' preferences de-pending on the square of the distance between consumers and firms. This equilibrium is ‘richer’ than that in the original Hotelling model. In particular, non-market advantage can be excessive and inefficient to use.

При заболеваниях человека в результате бактериального заражения для наблюдения за ходом болезни используются различные характеристики организма. В настоящее время одним из таких индикаторов принимается динамика концентраций цитокинов, вырабатываемых в основном клетками иммунной системы. В организме человека и многих видов животных присутствуют эти низкомолекулярные белки. Исследование цитокинов имеет важное значение для интерпретации нарушений функциональной состоятельности иммунной системы организма, оценки степени тяжести, мониторинга эффективности проводимой терапии, прогноза течения и исхода лечения. При заболевании возникает цитокиновый отклик организма, указывающий на характеристики течения болезни. Для исследования закономерностей такой индикации проведены эксперименты на лабораторных мышах. В работе анализируются экспериментальные данные о развитии пневмонии и лечении несколькими препаратами при бактериальном заражении мышей. В качестве препаратов использовались иммуномодулирующие препараты «Ронколейкин», «Лейкинферон» и «Тинростим». Данные представлены динамикой концентраций двух видов цитокинов в легочной ткани и крови животных. Многосторонний статистический и нестатистический анализ данных позволил выявить общие закономерности изменения концентраций цитокинов в организме и связать их со свойствами лечебных препаратов. Исследуемые цитокины «Интерлейкин-10» (ИЛ-10) и «Интерферон Гамма» (ИФН$\gamma$) у зараженных мышей отклоняются от нормального уровня интактных животных, указывая на развитие заболевания. Изменения концентраций цитокинов в группах лечимых мышей сравниваются с этими показателями в группе здоровых (не зараженных) мышей и группе зараженных нелеченных особей. Сравнение делается по группам особей, так как концентрации цитокинов индивидуальны и значительно отличаются у разных особей. В этих условиях только группы особей могут указать на закономерности процессов течения болезни. Эти группы мышей наблюдались в течение двух недель. Динамика концентраций цитокинов указывает на характеристики течения болезни и эффективность применяемых лечебных препаратов. Воздействие лечебного препарата на организмы отслеживается по расположению указанных групп особей в пространстве концентраций цитокинов. В этом пространстве используется расстояние Хаусдорфа между множествами векторов концентраций цитокинов у особей, основанное на евклидовом расстоянии между элементами этих множеств. Выяснено, что препараты «Ронколейкин» и «Лейкинферон» оказывают в целом сходное между собой и отличное от препарата «Тинростим» воздействие на течение болезни.

When person`s diseases is result of bacterial infection, various characteristics of the organism are used for observation the course of the disease. Currently, one of these indicators is dynamics of cytokine concentrations are produced, mainly by cells of the immune system. There are many types of these low molecular weight proteins in human body and many species of animals. The study of cytokines is important for the interpretation of functional disorders of the body's immune system, assessment of the severity, monitoring the effectiveness of therapy, predicting of the course and outcome of treatment. Cytokine response of the body indicating characteristics of course of disease. For research regularities of such indication, experiments were conducted on laboratory mice. Experimental data are analyzed on the development of pneumonia and treatment with several drugs for bacterial infection of mice. As drugs used immunomodulatory drugs “Roncoleukin”, “Leikinferon” and “Tinrostim”. The data are presented by two types cytokines` concentration in lung tissue and animal blood. Multy-sided statistical ana non statistical analysis of the data allowed us to find common patterns of changes in the “cytokine profile” of the body and to link them with the properties of therapeutic preparations. The studies cytokine “Interleukin-10” (IL-10) and “Interferon Gamma” (IFN$\gamma$) in infected mice deviate from the normal level of infact animals indicating the development of the disease. Changes in cytokine concentrations in groups of treated mice are compared with those in a group of healthy (not infected) mice and a group of infected untreated mice. The comparison is made for groups of individuals, since the concentrations of cytokines are individual and differ significantly in different individuals. Under these conditions, only groups of individuals can indicate the regularities of the processes of the course of the disease. These groups of mice were being observed for two weeks. The dynamics of cytokine concentrations indicates characteristics of the disease course and efficiency of used therapeutic drugs. The effect of a medicinal product on organisms is monitored by the location of these groups of individuals in the space of cytokine concentrations. The Hausdorff distance between the sets of vectors of cytokine concentrations of individuals is used in this space. This is based on the Euclidean distance between the elements of these sets. It was found that the drug “Roncoleukin” and “Leukinferon” have a generally similar and different from the drug “Tinrostim” effect on the course of the disease.

Работа посвящена исследованию субградиентных методов с различными вариациями шага Б.Т. Поляка на классах задач минимизации слабо выпуклых и относительно слабо выпуклых функций, обладающих соответствующим аналогом острого минимума. Оказывается, что при некоторых предположениях о начальной точке такой подход может давать возможность обосновать сходимость сyбградиентного метода со скоростью геометрической прогрессии. Для субградиентного метода с шагом Б.Т. Поляка доказана уточненная оценка скорости сходимости для задач минимизации слабо выпуклых функций с острым минимумом. Особенность этой оценки — дополнительный учет сокращения расстояния от текущей точки метода до множества решений по мере роста количества итераций. Представлены результаты численных экспериментов для задачи восстановления фазы (которая слабо выпyкла и имеет острый минимyм), демонстрирующие эффективность предложенного подхода к оценке скорости сходимости по сравнению с известным ранее результатом. Далее, предложена вариация субградиентного метода с переключениями по продуктивным и непродуктивным шагам для слабо выпуклых задач с ограничениями-неравенствами и получен некоторый аналог результата о сходимости со скоростью геометрической прогрессии. Для субградиентного метода с соответствующей вариацией шага Б.Т. Поляка на классе относительно липшицевых и относительно слабо выпуклых функций с относительным аналогом острого минимума получены условия, которые гарантируют сходимость такого субградиентного метода со скоростью геометрической прогрессии. Наконец, получен теоретический результат, описывающий влияние погрешности доступной сyбградиентномy методу информации о (сyб)градиенте и целевой функции на оценку качества выдаваемого приближенного решения. Доказано, что при достаточно малой погрешности $\delta > 0$ можно гарантировать достижение точности решения, сопоставимой c $\delta$.

The work is devoted to the study of subgradient methods with different variations of the Polyak stepsize for minimization functions from the class of weakly convex and relatively weakly convex functions that have the corresponding analogue of a sharp minimum. It turns out that, under certain assumptions about the starting point, such an approach can make it possible to justify the convergence of the subgradient method with the speed of a geometric progression. For the subgradient method with the Polyak stepsize, a refined estimate for the rate of convergence is proved for minimization problems for weakly convex functions with a sharp minimum. The feature of this estimate is an additional consideration of the decrease of the distance from the current point of the method to the set of solutions with the increase in the number of iterations. The results of numerical experiments for the phase reconstruction problem (which is weakly convex and has a sharp minimum) are presented, demonstrating the effectiveness of the proposed approach to estimating the rate of convergence compared to the known one. Next, we propose a variation of the subgradient method with switching over productive and non-productive steps for weakly convex problems with inequality constraints and obtain the corresponding analog of the result on convergence with the rate of geometric progression. For the subgradient method with the corresponding variation of the Polyak stepsize on the class of relatively Lipschitz and relatively weakly convex functions with a relative analogue of a sharp minimum, it was obtained conditions that guarantee the convergence of such a subgradient method at the rate of a geometric progression. Finally, a theoretical result is obtained that describes the influence of the error of the information about the (sub)gradient available by the subgradient method and the objective function on the estimation of the quality of the obtained approximate solution. It is proved that for a sufficiently small error $\delta > 0$, one can guarantee that the accuracy of the solution is comparable to $\delta$.