Все выпуски

Актин — консервативный структурный белок, который экспрессируется в клетках всех эукариот. При полимеризации он образует длинные нити фибриллярного актина, или F-актина, которые участвуют в формировании цитоскелета, в мышечном сокращении и его регуляции, а также во многих других процессах. Динамические и механические свойства актина важны для взаимодействия с другими белками и реализации его многочисленных функций в клетке. Мы провели молекулярно-динамические (МД) расчеты сегмента актиновой нити, состоящего из 24 мономеров, в отсутствие и в присутствии MgADP, с явным учетом растворителя и при физиологи- ческой ионной силе при 300 К длительностью 204,8 нс в силовых полях AMBER99SB-ILDN и CHARMM36 в программной среде GROMACS, используя в качестве исходной структуры современные структурные модели, полученные методом криоэлектронной микроскопии высокого разрешения. МД-расчеты показали, что стационарный режим флуктуаций структуры длинного сегмента F-актина вырабатывается через 80–100 нс после начала МД-траектории. По результатам МД-расчетов оценили основные параметры спирали актина и ее изгибную, продольную и торсионную жесткости, используя участок расчетной модели, достаточно далеко отстоящий от ее концов. Оцененные значения шага (2,72–2,75 нм) и угла (165–168^◦) спирали F-актина, его изгибной (2,8–4,7 · 10⁻²⁶ Н · м²), продольной (36–47 · 10⁻⁹ Н) и торсионной (2,6–3,1 · 10⁻²⁶ Н · м²) жесткости хорошо согласуются с результатами наиболее надежных экспериментов. Результаты МД-расчетов показали, что современные структурные модели F-актина позволяют достаточно аккуратно описать его динамику и механические свойства при условии использования расчет- ных моделей, содержащих достаточно большое количество мономеров, современных силовых полей и относительно длинных МД-траекторий. Включение в МД-модели белков-партнеров актина, в частности тропомиозина и тропонина, может помочь понять молекулярные механизмы таких важных процессов, как регуляция мышечного сокращения.

Actin is a conserved structural protein that is expressed in all eukaryotic cells. When polymerized, it forms long filaments of fibrillar actin, or F-actin, which are involved in the formation of the cytoskeleton, in muscle contraction and its regulation, and in many other processes. The dynamic and mechanical properties of actin are important for interaction with other proteins and the realization of its numerous functions in the cell. We performed 204.8 ns long molecular dynamics (MD) simulations of an actin filament segment consisting of 24 monomers in the absence and the presence of MgADP at 300 K in the presence of a solvent and at physiological ionic strength using the AMBER99SBILDN and CHARMM36 force fields in the GROMACS software environment, using modern structural models as the initial structure obtained by high-resolution cryoelectron microscopy. MD calculations have shown that the stationary regime of fluctuations in the structure of the F-actin long segment is developed 80–100 ns after the start of the MD trajectory. Based on the results of MD calculations, the main parameters of the actin helix and its bending, longitudinal, and torsional stiffness were estimated using a section of the calculation model that is far enough away from its ends. The estimated subunit axial (2.72–2.75 nm) and angular (165–168^◦) translation of the F-actin helix, its bending (2.8–4.7 · 10⁻²⁶ N·m²), longitudinal (36–47·10⁻⁹ N), and torsional (2.6–3.1·10⁻²⁶ N·m²) stiffness are in good agreement with the results of the most reliable experiments. The results of MD calculations have shown that modern structural models of F-actin make it possible to accurately describe its dynamics and mechanical properties, provided that computational models contain a sufficiently large number of monomers, modern force fields, and relatively long MD trajectories are used. The inclusion of actin partner proteins, in particular, tropomyosin and troponin, in the MD model can help to understand the molecular mechanisms of such important processes as the regulation of muscle contraction.

Развитие вирусной инфекции в организме представляет собой сложный процесс, зависящий от конкуренции между размножением вируса в клетках организма-хозяина и иммунным ответом. В данной работе для исследования различных режимов развития инфекции мы анализируем общую математическую модель иммунного ответа организма на вирусную инфекцию. Модель представляет собой систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих изменение обезразмеренных концентраций вируса и иммунных клеток. Скорость пролиферации иммунных клеток представлена колоколообразной функцией концентрации вируса. Эта функция возрастает при малых концентрациях вируса, описывая антиген-стимулированную клональную экспансию иммунных клеток, и снижается при достаточно высоких концентрациях вируса, описывая подавление пролиферации иммунных клеток инфекцией. В зависимости от вирулентности вируса, силы иммунного ответа и начальной вирусной нагрузки, модель предсказывает несколько сценариев: (а) инфекция может быть полностью устранена, (б) она может оставаться на низком уровне при высокой концентрации иммунных клеток; (в) иммунная система может быть существенно истощена или (г) полностью истощена, что сопровождается (в, г) высокой концентрацией вируса. Анализ модели показывает, что концентрация вируса может колебаться по мере постепенного приближения к своему равновесному значению. Рассматриваемая модель может быть получена при редукции более общей модели — с дополнительным уравнением для общей вирусной нагрузки, в предположении, что общая вирусная нагрузка является быстрой переменной. В случае медленной кинетики общей вирусной нагрузки следует использовать указанную более общую модель.

The development of a viral infection in the organism is a complex process which depends on the competition race between virus replication in the host cells and the immune response. To study different regimes of infection progression, we analyze the general mathematical model of immune response to viral infection. The model consists of two ODEs for virus and immune cells non-dimensionalized concentrations. The proliferation rate of immune cells in the model is represented by a bell-shaped function of the virus concentration. This function increases for small virus concentrations describing the antigen-stimulated clonal expansion of immune cells, and decreases for sufficiently high virus concentrations describing down-regulation of immune cells proliferation by the infection. Depending on the virus virulence, strength of the immune response, and the initial viral load, the model predicts several scenarios: (a) infection can be completely eliminated, (b) it can remain at a low level while the concentration of immune cells is high; (c) immune cells can be essentially exhausted, or (d) completely exhausted, which is accompanied (c, d) by high virus concentration. The analysis of the model shows that virus concentration can oscillate as it gradually converges to its equilibrium value. We show that the considered model can be obtained by the reduction of a more general model with an additional equation for the total viral load provided that this equation is fast. In the case of slow kinetics of the total viral load, this more general model should be used.

Изучается приближенная математическая модель кровотока в осесимметричном кровеносном сосуде. Под таким сосудом понимается бесконечно длинный круговой цилиндр, стенки которого состоят из упругих колец. Кровь рассматривается как несжимаемая жидкость, текущая в этом цилиндре. Повышенное давление вызывает радиально-симметричное растяжение упругих колец. Следуя Дж. Лэму, кольца расположены близко друг к другу так, что жидкость между ними не протекает. Для мысленной реализации этого достаточно предположить, что кольца обтянуты непроницаемой пленкой, не обладающей упругими свойствами. Упругостью обладают лишь кольца. Рассматриваемая модель кровотока в кровеносном сосуде состоит из трех уравнений: уравнения неразрывности, закона сохранения количества движения и уравнения состояния. Рассматривается приближенная процедура сведения рассматриваемых уравнений к уравнению Кортевега – де Фриза (КдФ), которая рассмотрена Дж. Лэмом не в полной мере, лишь для установления зависимости коэффициентов уравнения КдФ от физических параметров рассматриваемой модели течения несжимаемого флюида в осесимметричном сосуде. Из уравнения КдФ стандартным переходом к бегущим волнам получаются ОДУ третьего, второго и первого порядка соответственно. В зависимости от различных случаев расположения трех стационарных решений ОДУ первого порядка стандартно получаются кноидальная волна и солитон. Основное внимание уделено неограниченному периодическому решению, которое названо нами вырожденной кноидальной волной. Математически кноидальные волны описываются эллиптическими интегралами с параметрами, определяющими амплитуды и периоды. Солитон и вырожденная кноидальная волна описываются элементарными функциями. Указан гемодинамический смысл этих видов решений. Благодаря тому, что множества решений ОДУ первого, второго и третьего порядков не совпадают, установлено, что задачу Коши для ОДУ второго и третьего порядков можно задавать во всех точках, а для ОДУ первого порядка — лишь в точках роста или убывания. Задачу Коши для ОДУ первого порядка нельзя задавать в точках экстремума благодаря нарушению условия Липшица. Численно проиллюстрировано перерождение кноидальной волны в вырожденную кноидальную волну, которая может привести к разрыву стенок сосуда. Приведенная таблица описывает два режима приближения кноидальной волны к вырожденной кноидальной волне.

An approximate mathematical model of blood flow in an axisymmetric blood vessel is studied. Such a vessel is understood as an infinitely long circular cylinder, the walls of which consist of elastic rings. Blood is considered as an incompressible fluid flowing in this cylinder. Increased pressure causes radially symmetrical stretching of the elastic rings. Following J. Lamb, the rings are located close to each other so that liquid does not flow between them. To mentally realize this, it is enough to assume that the rings are covered with an impenetrable film that does not have elastic properties. Only rings have elasticity. The considered model of blood flow in a blood vessel consists of three equations: the continuity equation, the law of conservation of momentum and the equation of state. An approximate procedure for reducing the equations under consideration to the Korteweg – de Vries (KdV) equation is considered, which was not fully considered by J. Lamb, only to establish the dependence of the coefficients of the KdV equation on the physical parameters of the considered model of incompressible fluid flow in an axisymmetric vessel. From the KdV equation, by a standard transition to traveling waves, ODEs of the third, second and first orders are obtained, respectively. Depending on the different cases of arrangement of the three stationary solutions of the first-order ODE, a cnoidal wave and a soliton are standardly obtained. The main attention is paid to an unbounded periodic solution, which we call a degenerate cnoidal wave. Mathematically, cnoidal waves are described by elliptic integrals with parameters defining amplitudes and periods. Soliton and degenerate cnoidal wave are described by elementary functions. The hemodynamic meaning of these types of decisions is indicated. Due to the fact that the sets of solutions to first-, second- and third-order ODEs do not coincide, it has been established that the Cauchy problem for second- and third-order ODEs can be specified at all points, and for first-order ODEs only at points of growth or decrease. The Cauchy problem for a first-order ODE cannot be specified at extremum points due to the violation of the Lipschitz condition. The degeneration of the cnoidal wave into a degenerate cnoidal wave, which can lead to rupture of the vessel walls, is numerically illustrated. The table below describes two modes of approach of a cnoidal wave to a degenerate cnoidal wave.

Пандемия COVID-19 вызвала рост интереса к математическим моделям эпидемического процесса, так как только статистический анализ заболеваемости не позволяет проводить среднесрочное прогнозирование в условиях быстро меняющейся ситуации.

Среди специфичных особенностей COVID-19, которые нужно учитывать в математических моделях, можно отметить гетерогенность возбудителя, неоднократные смены доминирующего варианта SARS-CoV-2 и относительную кратковременность постинфекционного иммунитета.

В связи с этим были аналитически изучены решения системы дифференциальных уравнений для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета, а также проведены численные расчеты для динамики системы при средней длительности постинфекционного иммунитета порядка года.

Для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета было доказано, что любое решение можно неограниченно продолжать по времени в положительную сторону без выхода за область определения системы.

Для контактного числа $R_0 \leqslant 1$ все решения стремятся к единственномут ривиальному стационарному решению с нулевой долей инфицированных, а для $R_0 > 1$ кроме тривиального решения существует и нетривиальное стационарное решение с ненулевыми долями инфицированных и восприимчивых. Были доказаны существование и единственность нетривиального стационарного решения при $R_0 > 1$, а также доказано, что оно является глобальным аттрактором.

Также для нескольких вариантов гетерогенности были вычислены собственные числа для скорости экспоненциальной сходимости малых отклонений от нетривиального стационарного решения.

Получено, что при значениях контактного числа, соответствующих COVID-19, фазовая траектория имеет вид скручивающейся спирали с длиной периода порядка года.

Это соответствует реальной динамике заболеваемости COVID-19, при которой после нескольких месяцев роста заболеваемости начинается период его падения. При этом второй волны заболеваемости меньшей амплитуды, что предсказывала модель, не наблюдалось, так как на протяжении 2020–2023 годов примерно каждые полгода появлялся новый вариант SARS-CoV-2, имеющий большую заразность, чем предыдущий, в результате чего новый вариант вытеснял предыдущий и становился доминирующим.

The COVID-19 pandemic has caused increased interest in mathematical models of the epidemic process, since only statistical analysis of morbidity does not allow medium-term forecasting in a rapidly changing situation.

Among the specific features of COVID-19 that need to be taken into account in mathematical models are the heterogeneity of the pathogen, repeated changes in the dominant variant of SARS-CoV-2, and the relative short duration of post-infectious immunity.

In this regard, solutions to a system of differential equations for a SIR class model with a heterogeneous duration of post-infectious immunity were analytically studied, and numerical calculations were carried out for the dynamics of the system with an average duration of post-infectious immunity of the order of a year.

For a SIR class model with a heterogeneous duration of post-infectious immunity, it was proven that any solution can be continued indefinitely in time in a positive direction without leaving the domain of definition of the system.

For the contact number $R_0 \leqslant 1$, all solutions tend to a single trivial stationary solution with a zero share of infected people, and for $R_0 > 1$, in addition to the trivial solution, there is also a non-trivial stationary solution with non-zero shares of infected and susceptible people. The existence and uniqueness of a non-trivial stationary solution for $R_0 > 1$ was proven, and it was also proven that it is a global attractor.

Also, for several variants of heterogeneity, the eigenvalues of the rate of exponential convergence of small deviations from a nontrivial stationary solution were calculated.

It was found that for contact number values corresponding to COVID-19, the phase trajectory has the form of a twisting spiral with a period length of the order of a year.

This corresponds to the real dynamics of the incidence of COVID-19, in which, after several months of increasing incidence, a period of falling begins. At the same time, a second wave of incidence of a smaller amplitude, as predicted by the model, was not observed, since during 2020–2023, approximately every six months, a new variant of SARS-CoV-2 appeared, which was more infectious than the previous one, as a result of which the new variant replaced the previous one and became dominant.

Моделирование русловых процессов при исследовании береговых деформаций русла требует вычисления параметров гидродинамического потока, учитывающих существование вторичных поперечных течений, формирующихся на закруглении русла. Трехмерное моделирование таких процессов на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов, для реальных речных потоков необходимы модели пониженной размерности. При этом редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным, и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости — «вихрь – функция тока». В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данных скоростей должны быть определены из решения вспомогательных задач или получены из данных натурных или экспериментальных измерений.

Для решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова – Галёркина. Получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений при их сравнении с известными экспериментальными данными.

Полученные погрешности авторы связывают с необходимостью более точного определения циркуляционного поля скоростей в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и граничных условий на свободной границе створа.

Modeling of channel processes in the study of coastal channel deformations requires the calculation of hydrodynamic flow parameters that take into account the existence of secondary transverse currents formed at channel curvature. Three-dimensional modeling of such processes is currently possible only for small model channels; for real river flows, reduced-dimensional models are needed. At the same time, the reduction of the problem from a three-dimensional model of the river flow movement to a two-dimensional flow model in the cross-section assumes that the hydrodynamic flow under consideration is quasi-stationary and the hypotheses about the asymptotic behavior of the flow along the flow coordinate of the cross-section are fulfilled for it. Taking into account these restrictions, a mathematical model of the problem of the a stationary turbulent calm river flow movement in a channel cross-section is formulated. The problem is formulated in a mixed formulation of velocity — “vortex – stream function”. As additional conditions for problem reducing, it is necessary to specify boundary conditions on the flow free surface for the velocity field, determined in the normal and tangential direction to the cross-section axis. It is assumed that the values of these velocities should be determined from the solution of auxiliary problems or obtained from field or experimental measurement data.

To solve the formulated problem, the finite element method in the Petrov – Galerkin formulation is used. Discrete analogue of the problem is obtained and an algorithm for solving it is proposed. Numerical studies have shown that, in general, the results obtained are in good agreement with known experimental data. The authors associate the obtained errors with the need to more accurately determine the circulation velocities field at crosssection of the flow by selecting and calibrating a more appropriate model for calculating turbulent viscosity and boundary conditions at the free boundary of the cross-section.

Разработана модель биогеохимических циклов трансформации питательных веществ в экосистеме водоема на примере Телецкого озера (ТО) для оценки его ассимиляционного потенциала в условиях отсутствия прямых измерений концентраций общего азота и фосфора, вместо чего для предварительных выводов используются соответствующие расчетные данные, полученные при моделировании. Правомерность такого способа обосновывается проверкой адекватности результатов моделирования данным среднемесячных многолетних наблюдений для всех переменных состояния модели в воде изучаемого обьекта. Рассмотрены наиболее существенные особенности моделирования круговорота соединений биогенных элементов (N и P) и динамики растворенного кислорода в экосистеме ТО. Выполнена калибровка модели с учетом данных многолетних наблюдений за качеством воды 1985–2003 гг., а также сценарного варианта гидрологического режима 2016 г. Приводится анализ внутригодовой изменчивости переменных состояния, азотных и фосфорных поступлений и потерь в воде ТО. Рассчитана предварительная величина допустимой нагрузки N и P на озеро. Модельный анализ показал, что у озера практически отсутствует ассимиляционный потенциал по отношению к соединениям фосфора. Значения среднегодовых концентраций, соответствующие случаю допустимой биогенной нагрузки, равны P_общ. = 0,013 гР/м³, что равно среднегодовой концентрации за 18-летний период наблюдений, пороговое содержание N_общ. = 0,895 гN/м³. Ассимиляционный потенциал по азоту небольшой, в пределах второй значащей цифры после запятой, имеется в виду, что его расчетная среднегодовая величина составляет 0,836 гN/м³. Результаты модельных расчетов свидетельствуют о том, что воды ТО из-за низкой температуры воды в течение всего года наряду с уникальной чистотой отличаются крайне слабо развитым сообществом гидробионтов. В случае других озер повышение антропогенного пресса могло бы сглаживаться за счет утилизации вследствие жизнедеятельности достаточно развитых сообществ гидробионтов. Здесь же достаточного ресурса самоочищения нет, и сравнительно небольшое повышение антропогенного загрязнения может привести к нарушению устойчивости в экосистеме ТО.

A model of biogeochemical cycles for nutrient transformation in the ecosystem of a water body has been developed using the example of the Lake Teletskoye (TL) to assess its assimilation potential in the absence of direct measurements for total nitrogen and phosphorus concentrations, instead of which the corresponding simulated data. The validity is justified by checking the adequacy of the simulation results to the data of average monthly long-term observations for all variables of the state for model. The model was calibrated with taking into account data from observations of water quality in 1985–2003, as well as a scenario version of the hydrological regime in 2016. The analysis of the intra-annual changeability of state variables, nitrogen and phosphorus inputs and outputs in TL water is given. The preliminary values of the permissible load N and P on the lake is accessed. The model analysis showed that the lake has practically no assimilation potential with respect to phosphorus compounds. The corresponding values of concentrations are equal to: P_tot. = 0.013 gP/m³, which is equal to the average annual content over the period of 18-year observations. The threshold content of N_tot. = 0.895 gN/m³. The assimilation potential for nitrogen is small, within the second significant digit after the decimal point, bearing in mind that its simulated average annual value is 0.836 gN/m³. The results of simulation indicate that the TL waters, due to the low water temperatures, along with their unique purity, differ in an extremely poorly developed community of hydrobionts. In the case of other lakes, the increase of anthropogenic pressure could be mitigated by utilization due to the vital activity of sufficiently developed hydrobionts communities. Here, there is no sufficient self-purification resource, and a relatively small increase in anthropogenic load can lead to a violation of the sustainability.

Рассматривается иерархическая модель, предложенная Джохансеном и Сорнеттом, описывающая механизм возникновения логопериодических колебаний, предшествующих финансовым крахам, и проводится ее численный анализ. Предлагаются обобщения данной модели на основе введения зависимость степени влияния агентов друг на друга от ультраметрического расстояния между ними. Наибольшее внимание уделяется вопросу об универсальности критической точки, который исследуется с помощью построения распределений точек краха при различном числе агентов.

We consider the hierarchical model of financial crashes introduced by A. Johansen and D. Sornette which reproduces the log-periodic power law behavior of the price before the critical point. In order to build the generalization of this model we introduce the dependence of an influence exponent on an ultrametric distance between agents. Much attention is being paid to a problem of critical point universality which is investigated by comparison of probability density functions of the crash times corresponding to systems with various total numbers of agents.

Изучается математическая модель электродиффузии в центрально-симметричном случае. Эта модель в частности описывает перенос ионов Li⁺ в некоторых электрохимических источниках тока. Нами показано, что при заданных на внешней границе значениях концентрации ионов и электрического потенциала в модели существует единственное стационарное решение, которое является устойчивым аттрактором нестационарных решений при различных распределениях начальных значений.

We study the centrally symmetric mathematical model of electrodiffusion. This model describes in particular the transport of the Li⁺ ions in certain electrochemical current sources. We demonstrate that the steady state solution of the considered model exists and is unique if the boundary values of the ion concentration and electric potential are given. This solution also proves to be the stable attractor of the time-dependent solutions with different initial value distributions.

Число работ, посвященных прогнозированию инфекционной заболеваемости, стремительно растет по мере появления статистики, позволяющей провести анализ. В настоящей статье представлен обзор основных решений, доступных сегодня для формирования как краткосрочных, так и долгосрочных проекций заболеваемости; указаны их ограничения и возможности практического применения. Рассмотрены традиционные методы анализа временных рядов — регрессионные и авторегрессионные модели; подходы, опирающиеся на машинное обучение — байесовские сети и искусственные нейронные сети; рассуждения на основе прецедентов; техники, базирующиеся на решении задачи фильтрации. Перечислены важнейшие направления разработки математических моделей распространения заболевания: классические аналитические модели, детерминированные и стохастические, а также современные имитационные модели, сетевые и агентные.

The number of papers addressing the forecasting of the infectious disease morbidity is rapidly growing due to accumulation of available statistical data. This article surveys the major approaches for the shortterm and the long-term morbidity forecasting. Their limitations and the practical application possibilities are pointed out. The paper presents the conventional time series analysis methods — regression and autoregressive models; machine learning-based approaches — Bayesian networks and artificial neural networks; case-based reasoning; filtration-based techniques. The most known mathematical models of infectious diseases are mentioned: classical equation-based models (deterministic and stochastic), modern simulation models (network and agent-based).

В статье рассматривается нелинейная модель динамики численности разновозрастных занятых в экономике региона, построенная по принципам базового моделирования в эконофизике. Продемонстрированы сложные режимы динамики модели, накладывающие фундаментальные ограничения на средне- и долгосрочный прогноз численности занятых в регионе. По аналогии с биофизическим подходом предложена классификация социальных взаимодействий разновозрастных работников. Приведен модельный анализ оценки уровня занятости среди возрастных групп населения. Верификация модели проведена на статистических данных Еврейской автономной области.

The article deals with the nonlinear model of population dynamics of different ages workers in the regional economy. The model is built on the principles underlying modeling in econophysics. The authors demonstrate the complex dynamics of the model regimes that impose fundamental limits on medium- and long-term forecast of employment in a region. By analogy with the biophysical approach the authors propose a classification of social interactions of the different age-group workers. The model analysis is given for the level of employment among age groups. The verification of the model performs on the statistical data of the Jewish Autonomous Region.