Все выпуски

Представлены два алгоритма проведения непрерывного вейвлет-преобразования с вейвлетом Морле. Первый представляет собой решение системы дифференциальных уравнений в частных производных, в которой преобразуемый сигнал играет роль начальных условий. Второй позволяет исследовать влияние базисной частоты путем диффузионного сглаживания начальных данных, модулированных гармоническими функциями. Эти подходы проиллюстрированы анализом хаотических колебаний связанных систем Ресслера.

Two algorithms of evaluation of the continuous wavelet transform with the Morlet wavelet are presented. The first one is the solution of PDE with transformed signal, which plays a role of the initial value. The second allows to explore the influence of central frequency variation via the diffusion smoothing of the data modulated by the harmonic functions. These approaches are illustrated by the analysis of the chaotic oscillations of the coupled Roessler systems.

Изучаются трансформирующиеся системы, собранные из трапециевидных пластин. При развертывании пакета пластинок образуется сетчатая оболочка с шестигранными ячейками. Доказывается, что при определенных соотношениях размеров граней в шестизвенниках появляются дополнительные внутренние степени свободы. Если же используются тонкие пластинки, то континуальная аппроксимация развернутой сети может интерпретироваться как оболочка с широким набором локальных кривизн. Строится кинематика континуальной модели методом подвижного репера Картана. Изучается механическое поведение континуальных сетей, если цилиндрические шарниры между пластинами выполнены из пластических материалов, обладающих памятью формы. Исследуются переходы оболочек из одной равновесной формы в другую. Показаны возможные практические применения континуальных сетей.

This paper covers deployable systems assembled from trapezium plates. When the plate package is unwrapped, a net shell with six loop cells is formed. It is proved that additional degrees of freedom appear in case of certain correlation between the sizes of the six loop faces. When thin plates were used, the continuum approximation of the deployed net could be interpreted as a shell with a wide variety of local curvatures. Kinematics of the continuum model is analyzed by the method of Cartan moving hedron. Mechanical behavior of continuum nets is studied when cylindrical hinges between the plates are completed of shape memory plastic materials. The paper researches into shell transformations from one stable form to the other. Various practical applications of the continuum nets are demonstrated.

В статье рассматривается квартичное семейство планарных векторных полей, соответствующее рациональной системе Холлинга, которая моделирует динамику популяций типа «хищник–жертва» в данной экологической или биомедицинской системе и которая обобщает классическую систему Лотки–Вольтерры. В простейших математических моделях изменение концентрации жертв в единицу времени в расчете на одного хищника, которое характеризуется так называемой функцией отклика, прямо пропорционально концентрации жертв, т. е. функция отклика в этих моделях линейная. Это означает, что в системе нет насыщения хищников, когда количество жертв достаточно велико. Однако было бы более реалистично рассматривать нелинейные и ограниченные функции отклика, и в литературе действительно используются различные виды таких функций для моделирования отклика хищников. После алгебраических преобразований рациональную систему Холлинга можно записать в виде квартичной динамической системы. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости этой системы используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек (как конечных, так и бесконечно удаленных) в фазовой плоскости. Используя полученную информацию об особых точках и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов квартичной системы. Чтобы контролировать все бифуркации предельных циклов, особенно бифуркации кратных предельных циклов, необходимо знать свойства и комбинировать действия всех параметров, поворачивающих векторное поле системы. Это может быть сделано с помощью принципа окончания Уинтнера–Перко, согласно которому максимальное однопараметрическое семейство кратных предельных циклов заканчивается либо в особой точке, которая, как правило, имеет ту же кратность (цикличность), либо на сепаратрисном цикле, который также, как правило, имеет ту же кратность (цикличность). Применяя этот принцип, мы доказываем, что квадричная система (и соответствующая рациональная система Холлинга) может иметь не более двух предельных циклов, окружающих одну особую точку.

In this paper, we consider a quartic family of planar vector fields corresponding to a rational Holling system which models the dynamics of the populations of predators and their prey in a given ecological or biomedical system and which is a variation on the classical Lotka–Volterra system. For the latter system, the change of the prey density per unit of time per predator called the response function is proportional to the prey density. This means that there is no saturation of the predator when the amount of available prey is large. However, it is more realistic to consider a nonlinear and bounded response function, and in fact different response functions have been used in the literature to model the predator response. After algebraic transformations, the rational Holling system can be written in the form of a quartic dynamical system. To investigate the character and distribution of the singular points in the phase plane of the quartic system, we use our method the sense of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually field rotation parameters) of the original system and then to input these parameters successively one by one studying the dynamics of the singular points (both finite and infinite) in the phase plane. Using the obtained information on singular points and applying our geometric approach to the qualitative analysis, we study the limit cycle bifurcations of the quartic system. To control all of the limit cycle bifurcations, especially, bifurcations of multiple limit cycles, it is necessary to know the properties and combine the effects of all of the rotation parameters. It can be done by means of the Wintner–Perko termination principle stating that the maximal one-parameter family of multiple limit cycles terminates either at a singular point which is typically of the same multiplicity (cyclicity) or on a separatrix cycle which is also typically of the same multiplicity (cyclicity). Applying this principle, we prove that the quartic system (and the corresponding rational Holling system) can have at most two limit cycles surrounding one singular point.

Рассматривается подход к построению методов решения задачи квадратичного программирования для расчета направления спуска в ньютоновских методах минимизации гладкой функции на множестве, заданном набором линейных равенств. Подход состоит из двух этапов.

На первом этапе задача квадратичного программирования преобразуется численно устойчивым прямым мультипликативным алгоритмом в эквивалентную задачу о проектировании начала координат на линейное многообразие, что определяет новую математическую формулировку двойственной квадратичной задачи. Для этого предложен численно устойчивый прямой мультипликативный метод решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в расчете модифицированных факторов Холесского для построения существенно положительно определенной матрицы системы уравнений и ее решения в рамках одной процедуры, а также в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов. Причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных.

На втором этапе необходимые и достаточные условия оптимальности в форме Куна–Таккера определяют расчет направления спуска — решение двойственной квадратичной задачи сводится к решению системы линейных уравнений с симметричной положительно определенной матрицей коэффициентов для расчета множителей Лагранжа и к подстановке решения в формулу для расчета направления спуска.

Доказано, что предложенный подход к расчету направления спуска численно устойчивыми прямыми мультипликативными методами на одной итерации требует по кубическому закону меньше вычислений, чем одна итерация по сравнению с известным двойственным методом Гилла и Мюррея. Кроме того, предложенный метод допускает организацию вычислительного процесса с любой начальной точки, которую пользователь выберет в качестве исходного приближения решения.

Представлены варианты постановки задачи о проектировании начала координат на линейное многообразие, выпуклый многогранник и вершину выпуклого многогранника. Также описаны взаимосвязь и реализация методов решения этих задач.

We consider the approaches to the construction of methods for solving four-dimensional programming problems for calculating directions for multiple minimizations of smooth functions on a set of a given set of linear equalities. The approach consists of two stages.

At the first stage, the problem of quadratic programming is transformed by a numerically stable direct multiplicative algorithm into an equivalent problem of designing the origin of coordinates on a linear manifold, which defines a new mathematical formulation of the dual quadratic problem. For this, a numerically stable direct multiplicative method for solving systems of linear equations is proposed, taking into account the sparsity of matrices presented in packaged form. The advantage of this approach is to calculate the modified Cholesky factors to construct a substantially positive definite matrix of the system of equations and its solution in the framework of one procedure. And also in the possibility of minimizing the filling of the main rows of multipliers without losing the accuracy of the results, and no changes are made in the position of the next processed row of the matrix, which allows the use of static data storage formats.

At the second stage, the necessary and sufficient optimality conditions in the form of Kuhn–Tucker determine the calculation of the direction of descent — the solution of the dual quadratic problem is reduced to solving a system of linear equations with symmetric positive definite matrix for calculating of Lagrange's coefficients multipliers and to substituting the solution into the formula for calculating the direction of descent.

It is proved that the proposed approach to the calculation of the direction of descent by numerically stable direct multiplicative methods at one iteration requires a cubic law less computation than one iteration compared to the well-known dual method of Gill and Murray. Besides, the proposed method allows the organization of the computational process from any starting point that the user chooses as the initial approximation of the solution.

Variants of the problem of designing the origin of coordinates on a linear manifold, a convex polyhedron and a vertex of a convex polyhedron are presented. Also the relationship and implementation of methods for solving these problems are described.

Динамический процесс в равной степени адекватно моделируется семейством уравнений Лагранжа. Группа симметрий блуждает по этому семейству: системы переходят одна в другую. При определенных условиях по нескольким таким группам простыми вычислениями можно получить первый интеграл. Основная цель работы – показать полезность понятия блуждающей симметрии. Рассмотрен пример: плоское движение заряженной частицы в магнитном поле при наличии вязкого трения. При помощи трех блуждающих симметрий вычисляется первый интеграл.

The dynamic process can be in equal degree adequately prototyped by a family of Lagrange's systems. Symmetry group ‘wanders’ on this family: systems are transformed from one into another. In this work we show that under determined condition the first integral can be obtained by a simple calculations on some of such groups. The main purpose of the work is to show usefulness of wandering symmetry concept. The considered example: flat motion of a charged particle in magnetic field in presence of viscous friction. With the help of three wandering symmetry first integral is calculated.

Вводится понятие преобразования симметрии уравнения Гамильтона–Якоби. Для группы симметрий показывается, как должны быть связаны с функцией Гамильтона коэффициенты инфинитезимального оператора группы. Приводятся примеры вычисления симметрий и примеры вычисления на основе симметрии полных интегралов.

The notion of symmetry transformations of the Hamilton–Jacobi equation. For the group of symmetries is shown how to be associated with the Hamiltonian function coefficients of the infinitesimal operator of the group. The examples of calculation of the symmetries and examples calculations based on the full symmetry of the integrals.

Показано, что для различных баллистических профилей во всем скоростном пространстве сила сопротивления изменяется со скоростью V по закону R(V)=Mg·w(V/W_T)^n(V), где W_T — близкая к звуковой пороговая скорость, w=R(W_T), n(V) — значение показателя в кусочно-степенной формуле. Методом, базирующимся на преобразованиях Лежандра, найдена отражающая пик n(V) поправка к невозмущенной резольвентной функции f(b)=a_bb'', a(b) — подкасательная к траектории, b=tgθ — ее наклон.

It is shown that the relative air drag force for many different ballistic profiles obeys the law as follows R(V)=Mg·w(V/W_T)^n(V) with V being the velocity, W_T — some threshold velocity close to that of sound, w equals to R(W_T) and n(V) is the exponent in broken power Gȃvre formula. Using the Legendre transformation and in frames of perturbation approach received was the expression for addition δa_bb''(b) to resolvent function a_bb''(b), where a(b) is an intercept and b=tgθ, θ — inclination angle.

В данной работе описан метод идентификации онлайн-подписи с использованием оконного преобразования Фурье и вейвлет-преобразования с радиальным базисом специального вида. При идентификации используются динамические характеристики подписи. Приведены оценки достоверности предложенной процедуры.

This paper describes a method of on-line signature identification using the short-time Fourier transform and wavelet transform with radial basis of a special kind. In carrying out the identification, we use dynamic properties signature. We adduce the assessment of the reliability of the proposed procedure.

В работе рассматривается интегрирование уравнений Клейна–Гордона и Дирака в космологической модели Бъянки IX. При помощи метода некоммутативного интегрирования дифференциальных уравнений найдены новые точные решения для осесимметричной модели.

Метод некоммутативного интегрирования в данной задаче основан на использовании специального бесконечномерного голоморфного представления группы вращений, которое строится по невырожденной орбите коприсоединенного представления и комплексной поляризации невырожденного ковектора. Матричные элементы данного представления образуют полный и ортогональный набор и позволяют ввести обобщенное преобразование Фурье. Оператор Казимира группы вращений при этом преобразовании переходит в константу, а операторы симметрии, порожденные векторными полями Киллинга, — в линейные дифференциальные операторы первого порядка от одной зависимой переменной. Таким образом, релятивистские волновые уравнения на группе вращений допускают некоммутативную редукцию к обыкновенному дифференциальному уравнению. В отличие от широко известного метода разделения переменных метод некоммутативного интегрирования учитывает неабелеву алгебру операторов симметрии и дает решения, несущие информацию о некоммутативной симметрии задачи. Такие решения могут быть полезны для учета вакуумных квантовых эффектов и расчета конечных функций Грина методом раздвижки точек.

В работе для осесимметричной модели проведено сравнение полученных решений с известными, которые получаются методом разделения переменных. Показано, что некоммутативные решения выражаются через элементарные функции, тогда как известные решения определяются функцией Вигнера. Причем некоммутативно редуцированное уравнение Клейна–Гордона для осесимметричной модели совпадает с уравнением, редуцированным методом разделения переменных. А некоммутативно редуцированное уравнение Дирака эквивалентно редуцированному уравнению, полученному методом разделения переменных.

We consider integration Clein–Gordon and Dirac equations in Bianchi IX cosmology model. Using the noncommutative integration method we found the new exact solutions for Taub universe.

Noncommutative integration method for Bianchi IX model is based on the use of the special infinite-dimensional holomorphic representation of the rotation group, which is based on the nondegenerate orbit adjoint representation, and complex polarization of degenerate covector. The matrix elements of the representation of form a complete and orthogonal set and allow you to use the generalized Fourier transform. Casimir operator for rotation group under this transformation becomes constant. And the symmetry operators generated by the Killing vector fields in the linear differential operators of the first order from one dependent variable. Thus, the relativistic wave equation on the rotation group allow non-commutative reduction to ordinary differential equations. In contrast to the well-known method of separation of variables, noncommutative integration method takes into account the non-Abelian algebra of symmetry operators and provides solutions that carry information about the non-commutative symmetry of the task. Such solutions can be useful for measuring the vacuum quantum effects and the calculation of the Green’s functions by the splitting-point method.

The work for the Taub model compared the solutions obtained with the known, which are obtained by separation of variables. It is shown that the non-commutative solutions are expressed in terms of elementary functions, while the known solutions are defined by the Wigner function. And commutative reduced by the Klein–Gordon equation for Taub model coincides with the equation, reduced by separation of variables. A commutative reduced by the Dirac equation is equivalent to the reduced equation obtained by separation of variables.

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

In the article a theory of the implicit iterative line-by-line recurrence method for solving the systems of finite-difference equations which arise as a result of approximation of the two-dimensional elliptic differential equations on a regular grid is stated. On the one hand, the high effectiveness of the method has confirmed in practice. Some complex test problems, as well as several problems of fluid flow and heat transfer of a viscous incompressible liquid, have solved with its use. On the other hand, the theoretical provisions that explain the high convergence rate of the method and its stability are not yet presented in the literature. This fact is the reason for the present investigation. In the paper, the procedure of equivalent and approximate transformations of the initial system of linear algebraic equations (SLAE) is described in detail. The transformations are presented in a matrix-vector form, as well as in the form of the computational formulas of the method. The key points of the transformations are illustrated by schemes of changing of the difference stencils that correspond to the transformed equations. The canonical form of the method is the goal of the transformation procedure. The correctness of the method follows from the canonical form in the case of the solution convergence. The estimation of norms of the matrix operators is carried out on the basis of analysis of structures and element sets of the corresponding matrices. As a result, the convergence of the method is proved for arbitrary initial vectors of the solution of the problem.

The norm of the transition matrix operator is estimated in the special case of weak restrictions on a desired solution. It is shown, that the value of this norm decreases proportionally to the second power (or third degree, it depends on the version of the method) of the grid step of the problem solution area in the case of transition matrix order increases. The necessary condition of the method stability is obtained by means of simple estimates of the vector of an approximate solution. Also, the estimate in order of magnitude of the optimum iterative compensation parameter is given. Theoretical conclusions are illustrated by using the solutions of the test problems. It is shown, that the number of the iterations required to achieve a given accuracy of the solution decreases if a grid size of the solution area increases. It is also demonstrated that if the weak restrictions on solution are violated in the choice of the initial approximation of the solution, then the rate of convergence of the method decreases essentially in full accordance with the deduced theoretical results.