Все выпуски

В работе рассматриваются особенности статистического распределения Райса, обусловливающие возможность его эффективного применения при решении задач высокоточных фазовых измерений в оптике. Дается строгое математическое доказательство свойства устойчивости статистического распределения Райса на примере рассмотрения разностного сигнала, а именно: доказано, что сумма или разность двух райсовских сигналов также подчиняются распределению Райса. Кроме того, получены формулы для параметров райсовского распределения результирующего суммарного или разностного сигнала. На основании доказанного свойства устойчивости распределения Райса в работе разработан новый оригинальный метод высокоточного измерения разности фаз двух квазигармонических сигналов. Этот метод базируется на статистическом анализе измеренных выборочных данных для обоих амплитуд сигналов и амплитуды третьего сигнала, представляющего собой разность сопоставляемых по фазе сигналов. Искомый фазовый сдвиг двух квазигармонических сигналов определяется исходя из геометрических соображений как угол треугольника, сформированного восстановленными на фоне шума значениями амплитуд трех упомянутых сигналов. Тем самым предлагаемый метод измерения фазового сдвига с использованием разностного сигнала основан исключительно на амплитудных измерениях, что существенно снижает требования к оборудованию и облегчает реализацию метода на практике. В работе представлены как строгое математическое обоснование нового метода измерения разности фаз сигналов, так и результаты его численного тестирования. Разработанный метод высокоточных фазовых измерений может эффективно применяться для решения широкого круга задач в различных областях науки и техники, в частности в дальнометрии, в системах коммуникации, навигации и т. п.

The paper concerns the study of the Rice statistical distribution’s peculiarities which cause the possibility of its efficient application in solving the tasks of high precision phase measuring in optics. The strict mathematical proof of the Rician distribution’s stable character is provided in the example of the differential signal consideration, namely: it has been proved that the sum or the difference of two Rician signals also obey the Rice distribution. Besides, the formulas have been obtained for the parameters of the resulting summand or differential signal’s Rice distribution. Based upon the proved stable character of the Rice distribution a new original technique of the high precision measuring of the two quasi-harmonic signals’ phase shift has been elaborated in the paper. This technique is grounded in the statistical analysis of the measured sampled data for the amplitudes of the both signals and for the amplitude of the third signal which is equal to the difference of the two signals to be compared in phase. The sought-for phase shift of two quasi-harmonic signals is being calculated from the geometrical considerations as an angle of a triangle which sides are equal to the three indicated signals’ amplitude values having been reconstructed against the noise background. Thereby, the proposed technique of measuring the phase shift using the differential signal analysis, is based upon the amplitude measurements only, what significantly decreases the demands to the equipment and simplifies the technique implementation in practice. The paper provides both the strict mathematical substantiation of a new phase shift measuring technique and the results of its numerical testing. The elaborated method of high precision phase measurements may be efficiently applied for solving a wide circle of tasks in various areas of science and technology, in particular — at distance measuring, in communication systems, in navigation, etc.

Рассматривается прямой алгоритм решения задачи линейного программирования (ЛП), заданной в каноническом виде. Алгоритм состоит из двух последовательных этапов, на которых прямым методом решаются приведенные ниже задачи ЛП: невырожденная вспомогательная задача (на первом этапе) и некоторая задача, равносильная исходной (на втором). В основе построения вспомогательной задачи лежит мультипликативный вариант метода исключения Гаусса, в самой структуре которого заложены возможности: идентификации несовместности и линейной зависимости ограничений; идентификации переменных, оптимальные значения которых заведомо равны нулю; фактического исключения прямых переменных и сокращения размерности пространства, в котором определено решение исходной задачи. В процессе фактического исключения переменных алгоритм генерирует последовательность мультипликаторов, главные строки которых формируют матрицу ограничений вспомогательной задачи, причем возможность минимизация заполнения главных строк мультипликаторов заложена в самой структуре прямых методов. При этом отсутствует необходимость передачи информации (базис, план и оптимальное значение целевой функции) на второй этап алгоритма и применения одного из способов устранения зацикливания для гарантии конечной сходимости.

Представлены два варианта алгоритма решения вспомогательной задачи в сопряженной канонической форме. Первый основан на ее решении прямым алгоритмом в терминах симплекс-метода, а второй — на решении задачи, двойственной к ней, симплекс-методом. Показано, что оба варианта алгоритма для одинаковых исходных данных (входов) генерируют одинаковую последовательность точек: базисное решение и текущее двойственное решение вектора оценок строк. Отсюда сделан вывод, что прямой алгоритм — это алгоритм типа симплекс-метода. Также показано, что сравнение вычислительных схем приводит к выводу, что прямой алгоритм позволяет уменьшить по кубическому закону число арифметических операций, необходимых для решения вспомогательной задачи, по сравнению с симплекс-методом. Приводится оценка числа итераций.

A direct algorithm for solving a linear programming problem (LP), given in canonical form, is considered. The algorithm consists of two successive stages, in which the following LP problems are solved by a direct method: a non-degenerate auxiliary problem at the first stage and some problem equivalent to the original one at the second. The construction of the auxiliary problem is based on a multiplicative version of the Gaussian exclusion method, in the very structure of which there are possibilities: identification of incompatibility and linear dependence of constraints; identification of variables whose optimal values are obviously zero; the actual exclusion of direct variables and the reduction of the dimension of the space in which the solution of the original problem is determined. In the process of actual exclusion of variables, the algorithm generates a sequence of multipliers, the main rows of which form a matrix of constraints of the auxiliary problem, and the possibility of minimizing the filling of the main rows of multipliers is inherent in the very structure of direct methods. At the same time, there is no need to transfer information (basis, plan and optimal value of the objective function) to the second stage of the algorithm and apply one of the ways to eliminate looping to guarantee final convergence.

Two variants of the algorithm for solving the auxiliary problem in conjugate canonical form are presented. The first one is based on its solution by a direct algorithm in terms of the simplex method, and the second one is based on solving a problem dual to it by the simplex method. It is shown that both variants of the algorithm for the same initial data (inputs) generate the same sequence of points: the basic solution and the current dual solution of the vector of row estimates. Hence, it is concluded that the direct algorithm is an algorithm of the simplex method type. It is also shown that the comparison of numerical schemes leads to the conclusion that the direct algorithm allows to reduce, according to the cubic law, the number of arithmetic operations necessary to solve the auxiliary problem, compared with the simplex method. An estimate of the number of iterations is given.

В последнее время для описания различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется уравнениям в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений в частных производных целого порядка.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе называют уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы для решения нагруженных уравнений в частных производных целого и дробного порядка, поскольку аналитические методы решения сложны в реализации. Достаточно эффективным методом численного решения такого рода задач является метод конечных разностей, или метод сеток.

Исследована начально-краевая задача в прямоугольнике $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с композицией дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова и с граничными условиями первого и третьего рода. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в дифференциальной и в разностной форме. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывную зависимость решения от входных данных задачи. Получен разностный аналог для композиции дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова порядка $(2-\beta )$ и построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Recently, to describe various mathematical models of physical processes, fractional differential calculus has been widely used. In this regard, much attention is paid to partial differential equations of fractional order, which are a generalization of partial differential equations of integer order. In this case, various settings are possible.

Loaded differential equations in the literature are called equations containing values of a solution or its derivatives on manifolds of lower dimension than the dimension of the definitional domain of the desired function. Currently, numerical methods for solving loaded partial differential equations of integer and fractional orders are widely used, since analytical solving methods for solving are impossible. A fairly effective method for solving this kind of problem is the finite difference method, or the grid method.

We studied the initial-boundary value problem in the rectangle $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ for the loaded differential heat equation with composition fractional derivative of Riemann – Liouville and Caputo – Gerasimov and with boundary conditions of the first and third kind. We have gotten an a priori assessment in differential and difference interpretations. The obtained inequalities mean the uniqueness of the solution and the continuous dependence of the solution on the input data of the problem. A difference analogue of the composition fractional derivative of Riemann – Liouville and Caputo –Gerasimov order $(2-\beta )$ is obtained and a difference scheme is constructed that approximates the original problem with the order $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. The convergence of the approximate solution to the exact one is proven at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme.

Intent detection plays a crucial role in task-oriented conversational systems. To understand the user’s goal, the system relies on its intent detector to classify the user’s utterance, which may be expressed in different forms of natural language, into intent classes. However, lack of data, and the efficacy of intent detection systems has been hindered by the fact that the user’s intent text is typically characterized by short, general sentences and colloquial expressions. The process of algorithmically determining user intent from a given statement is known as intent detection. The goal of this study is to develop an intent detection model that will accurately classify and detect user intent. The model calculates the similarity score of the three models used to determine their similarities. The proposed model uses Contextual Semantic Search (CSS) capabilities for semantic search, Latent Dirichlet Allocation (LDA) for topic modeling, the Bidirectional Encoder Representations from Transformers (BERT) semantic matching technique, and the combination of LDA and BERT for text classification and detection. The dataset acquired is from the broad twitter corpus (BTC) and comprises various meta data. To prepare the data for analysis, a pre-processing step was applied. A sample of 1432 instances were selected out of the 5000 available datasets because manual annotation is required and could be time-consuming. To compare the performance of the model with the existing model, the similarity scores, precision, recall, f1 score, and accuracy were computed. The results revealed that LDA-BERT achieved an accuracy of 95.88% for intent detection, BERT with an accuracy of 93.84%, and LDA with an accuracy of 92.23%. This shows that LDA-BERT performs better than other models. It is hoped that the novel model will aid in ensuring information security and social media intelligence. For future work, an unsupervised LDA-BERT without any labeled data can be studied with the model.

Intent detection plays a crucial role in task-oriented conversational systems. To understand the user’s goal, the system relies on its intent detector to classify the user’s utterance, which may be expressed in different forms of natural language, into intent classes. However, lack of data, and the efficacy of intent detection systems has been hindered by the fact that the user’s intent text is typically characterized by short, general sentences and colloquial expressions. The process of algorithmically determining user intent from a given statement is known as intent detection. The goal of this study is to develop an intent detection model that will accurately classify and detect user intent. The model calculates the similarity score of the three models used to determine their similarities. The proposed model uses Contextual Semantic Search (CSS) capabilities for semantic search, Latent Dirichlet Allocation (LDA) for topic modeling, the Bidirectional Encoder Representations from Transformers (BERT) semantic matching technique, and the combination of LDA and BERT for text classification and detection. The dataset acquired is from the broad twitter corpus (BTC) and comprises various meta data. To prepare the data for analysis, a pre-processing step was applied. A sample of 1432 instances were selected out of the 5000 available datasets because manual annotation is required and could be time-consuming. To compare the performance of the model with the existing model, the similarity scores, precision, recall, f1 score, and accuracy were computed. The results revealed that LDA-BERT achieved an accuracy of 95.88% for intent detection, BERT with an accuracy of 93.84%, and LDA with an accuracy of 92.23%. This shows that LDA-BERT performs better than other models. It is hoped that the novel model will aid in ensuring information security and social media intelligence. For future work, an unsupervised LDA-BERT without any labeled data can be studied with the model.

Одна из серьезных проблем, ограничивающих применение импульсных нейронных сетей в прикладных информационных системах, — это кодирование числовых данных в виде последовательностей спайков — бескачественных атомарных объектов, которыми обмениваются нейроны в импульсных нейросетях. Особенно остро эта проблема стоит в задачах обучения с подкреплением агентов, функционирующих в динамичном реальном мире, так как кроме точности кодирования надо учитывать еще его динамические характеристики. Одним из распространенных является метод кодирования гауссовыми рецептивными полями (ГРП). В этом методе одна числовая переменная, подаваемая на вход импульсной нейронной сети, представляется потоками спайков, испускаемых некоторым количеством входных узлов сети. При этом частота генерации спайков каждым входным узлом отражает близость текущего значения этой переменой к значению — центру рецептивного поля, соответствующего данному входному узлу. В стандартном методе ГРП центры рецептивных полей расположены эквидистантно. Это оказывается неэффективным в случае очень неравномерного распределения кодируемой величины. В настоящей работе предлагается усовершенствование этого метода, основанное на адаптивном выборе центров рецептивных полей и вычислении частот потоков спайков. Производится сравнение предлагаемого усовершенствованного метода ГРП с его стандартным вариантом с точки зрения объема сохраняемой при кодировании информации и с точки зрения точности классификационной модели, построенной на закодированных в виде спайков данных. Доля сохраняемой при спайковом кодировании информации для стандартного и адаптивного ГРП оценивается с помощью процедуры прямого и обратного кодирования большой выборки числовых значений из треугольного распределения вероятности и сравнения числа совпадающих бит в исходной и восстановленной выборке. Сравнение на основе точности классификации проводилось на задаче оценки текущего состояния, возникающей при реализации обучения с подкреплением. При этом классификационные модели строились тремя принципиально различными алгоритмами машинного обучения — алгоритмом ближайших соседей, случайным лесом решений и многослойным персептроном. В статье демонстрируется преимущество предложенного нами метода во всех проведенных тестах.

Conversion of numeric data to the spiking form and information losses in this process are serious problems limiting usage of spiking neural networks in applied informational systems. While physical values are represented by numbers, internal representation of information inside spiking neural networks is based on spikes — elementary objects emitted and processed by neurons. This problem is especially hard in the reinforcement learning applications where an agent should learn to behave in the dynamic real world because beside the accuracy of the encoding method, its dynamic characteristics should be considered as well. The encoding algorithm based on the Gaussian receptive fields (GRF) is frequently used. In this method, one numeric variable fed to the network is represented by spike streams emitted by a certain set of network input nodes. The spike frequency in each stream is determined by proximity of the current variable value to the center of the receptive field corresponding to the given input node. In the standard GRF algorithm, the receptive field centers are placed equidistantly. However, it is inefficient in the case of very uneven distribution of the variable encoded. In the present paper, an improved version of this method is proposed which is based on adaptive selection of the Gaussian centers and spike stream frequencies. This improved GRF algorithm is compared with its standard version in terms of amount of information lost in the coding process and of accuracy of classification models built on spike-encoded data. The fraction of information retained in the process of the standard and adaptive GRF encoding is estimated using the direct and reverse encoding procedures applied to a large sample from the triangular probability distribution and counting coinciding bits in the original and restored samples. The comparison based on classification was performed on a task of evaluation of current state in reinforcement learning. For this purpose, the classification models were created by machine learning algorithms of very different nature — nearest neighbors algorithm, random forest and multi-layer perceptron. Superiority of our approach is demonstrated on all these tests.

Как правило, данные конфокальной и многофотонной лазерной сканирующей микроскопии страдают от низкого уровня полезного сигнала и высокого вклада дробового шума, связанного со стохастическим характером испускания фотонов флуорофором. Это осложняет задачу подавления шума и выделения полезного сигнала в таких данных. В настоящее время популярны нейросетевые алгоритмы улучшения изображений, однако они часто представляют собой «черный ящик» и требуют длительного обучения на конкретных наборах данных. В работе предлагается алгоритм подавления шума для данных динамической флуоресцентной микроскопии, опирающийся на наличие пространственно-временных локальных корреляций в полезном сигнале и на отсутствие пространственных корреляций в шумовой компоненте. Сингулярное разложение матриц (SVD), производящее спектральное разложение матрицы ковариации, — распространенный способ низкоранговой аппроксимации двумерных массивов, концентрирующий скоррелированный сигнал в нескольких первых компонентах разложения. Однако данные динамической микроскопии представляют собой трехмерные массивы или тензоры большей размерности, поэтому использование тензорных разложений потенциально может улучшить результат подавления шума по сравнению с обычным SVD. В основе алгоритма — двухэтапное применение усеченного сингулярного разложения высшего порядка (HOSVD) с введением порога для коэффициентов и последующим обратным преобразованием, сначала для локальных трехмерных окон в пространстве TXY (3D-HOSVD), а затем для пространственно объединенных групп трехмерных окон (4D-HOSVD). Для валидации алгоритма используются синтетические данные кальциевой сигнализации в астроцитах, в которых концентрация кальция транслируется в сигнал флуоресценции, значения которого в каждом кадре и каждом пикселе затем служат математическим ожиданием и дисперсией для сэмплирования случайной величины из непрерывного аналога пуассоновского распределения. Проведен анализ чувствительности алгоритма от параметров понижения ранга вдоль размерности временных компонент и группового ранга, длины локального окна и порога коэффициентов разложения. Несмотря на наличие мультипликативного шума, предлагаемый алгоритм демонстрирует значительное улучшение анализируемого сигнала, увеличивая соотношение «сигнал/шум» (PSNR) более чем на 20 дБ. Данный метод не опирается на предположения относительно разреженности или гладкости сигнала и может быть использован в качестве одного из этапов обработки данных динамической флуоресцентной микроскопии для самых различных типов данных.

Fluorescent imaging data are currently widely used in neuroscience and other fields. Genetically encoded sensors, based on fluorescent proteins, provide a wide inventory enabling scientiests to image virtually any process in a living cell and extracellular environment. However, especially due to the need for fast scanning, miniaturization, etc, the imaging data can be severly corrupred with multiplicative heteroscedactic noise, reflecting stochastic nature of photon emission and photomultiplier detectors. Deep learning architectures demonstrate outstanding performance in image segmentation and denoising, however they can require large clean datasets for training, and the actual data transformation is not evident from the network architecture and weight composition. On the other hand, some classical data transforms can provide for similar performance in combination with more clear insight in why and how it works. Here we propose an algorithm for denoising fluorescent dynamical imaging data, which is based on multilinear higher-order singular value decomposition (HOSVD) with optional truncation in rank along each axis and thresholding of the tensor of decomposition coefficients. In parallel, we propose a convenient paradigm for validation of the algorithm performance, based on simulated flurescent data, resulting from biophysical modeling of calcium dynamics in spatially resolved realistic 3D astrocyte templates. This paradigm is convenient in that it allows to vary noise level and its resemblance of the Gaussian noise and that it provides ground truth fluorescent signal that can be used to validate denoising algorithms. The proposed denoising method employs truncated HOSVD twice: first, narrow 3D patches, spanning the whole recording, are processed (local 3D-HOSVD stage), second, 4D groups of 3D patches are collaboratively processed (non-local, 4D-HOSVD stage). The effect of the first pass is twofold: first, a significant part of noise is removed at this stage, second, noise distribution is transformed to be more Gaussian-like due to linear combination of multiple samples in the singular vectors. The effect of the second stage is to further improve SNR. We perform parameter tuning of the second stage to find optimal parameter combination for denoising.

В работе решается задача вычисления параметров случайного сигнала в условиях распределения Райса на основе принципа максимума правдоподобия в предельных случаях большого и малого значения отношения сигнала к шуму. Получены аналитические формулы для решения системы уравнений максимума правдоподобия для искомых параметров сигнала и шума как для однопараметрического приближения, когда рассчитывается только один параметр задачи — величина сигнала, в предположении априорной известности второго параметра — дисперсии шума, так и для двухпараметрической задачи, когда оба параметра априорно неизвестны. Непосредственное вычисление искомых параметров сигнала и шума по формулам позволяет избежать необходимости ресурсоемкого численного решения системы нелинейных уравнений и тем самым оптимизировать время компьютерной обработки сигналов и изображений. Представлены результаты компьютерного моделирования задачи, подтверждающие теоретические выводы. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации.

The paper provides a solution of a task of calculating the parameters of a Rician distributed signal on the basis of the maximum likelihood principle in limiting cases of large and small values of the signal-tonoise ratio. The analytical formulas are obtained for the solution of the maximum likelihood equations’ system for the required signal and noise parameters for both the one-parameter approximation, when only one parameter is being calculated on the assumption that the second one is known a-priori, and for the two-parameter task, when both parameters are a-priori unknown. The direct calculation of required signal and noise parameters by formulas allows escaping the necessity of time resource consuming numerical solving the nonlinear equations’ s system and thus optimizing the duration of computer processing of signals and images. There are presented the results of computer simulation of a task confirming the theoretical conclusions. The task is meaningful for the purposes of Rician data processing, in particular, magnetic-resonance visualization.

В работе решается двухпараметрическая задача совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях распределения Райса методами математической статистики: методом максимума правдоподобия и вариантами метода моментов. Рассматриваемые варианты метода моментов включают в себя совместный расчет сигнала и шума на основе измерений 2-го и 4-го моментов (ММ24) и на основе измерений 1-го и 2-го моментов (ММ12). В рамках каждого из рассматриваемых методов получены в явном виде системы уравнений для искомых параметров сигнала и шума. Важный математический результат проведенного исследования состоит в том, что решение системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными — искомыми параметрами сигнала и шума — сведено к решению одного уравнения с одной неизвестной, что важно с точки зрения как теоретического исследования метода, так и его практического применения, позволяя существенно сократить необходимые для реализации метода вычислительные ресурсы. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации. В результате проведенного теоретического анализа получен важный практический вывод: решение двухпараметрической задачи не приводит к увеличению требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с однопараметрическим приближением. Теоретические выводы подтверждаются результатами численного эксперимента.

The paper provides a solution of the two-parameter task of joint signal and noise estimation at data analysis within the conditions of the Rice distribution by the techniques of mathematical statistics: the maximum likelihood method and the variants of the method of moments. The considered variants of the method of moments include the following techniques: the joint signal and noise estimation on the basis of measuring the 2-nd and the 4-th moments (MM24) and on the basis of measuring the 1-st and the 2-nd moments (MM12). For each of the elaborated methods the explicit equations’ systems have been obtained for required parameters of the signal and noise. An important mathematical result of the investigation consists in the fact that the solution of the system of two nonlinear equations with two variables — the sought for signal and noise parameters — has been reduced to the solution of just one equation with one unknown quantity what is important from the view point of both the theoretical investigation of the proposed technique and its practical application, providing the possibility of essential decreasing the calculating resources required for the technique’s realization. The implemented theoretical analysis has resulted in an important practical conclusion: solving the two-parameter task does not lead to the increase of required numerical resources if compared with the one-parameter approximation. The task is meaningful for the purposes of the rician data processing, in particular — the image processing in the systems of magnetic-resonance visualization. The theoretical conclusions have been confirmed by the results of the numerical experiment.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный алгоритм решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество алгоритма состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью $LU$-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

В данной работе этот алгоритм лежит в основе решения следующих задач.

Задача 1. Задание направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из известных техник построения существенно положительно определенной матрицы. Такой подход позволяет ослабить или снять дополнительные специфические трудности, обусловленные необходимостью решения больших систем уравнений с разреженными матрицами, представленных в упакованном виде.

Задача 2. Построение новой математической формулировки задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности. Они достаточно просты и могут быть использованы для построения методов математического программирования, например для поиска минимума квадратичной функции на многогранном множестве ограничений, основанного на решениях систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции.

Задача 3. Построение непрерывного аналога задачи минимизации вещественного квадратичного многочлена от булевых переменных и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности для разработки методов их решения за полиномиальное время. В результате исходная задача сводится к задаче поиска минимального расстояния между началом координат и угловой точкой выпуклого многогранника (полиэдра), который является возмущением $n$-мерного куба и описывается системой двойных линейных неравенств с верхней треугольной матрицей коэффициентов с единицами на главной диагонали. Исследованию подлежат только две грани, одна из которых или обе содержат вершины, ближайшие к началу координат. Для их вычисления достаточно решить $4n – 4$ систем линейных уравнений и выбрать среди них все ближайшие равноудаленные вершины за полиномиальное время. Задача минимизации квадратичного полинома является $NP$-трудной, поскольку к ней сводится $NP$-трудная задача о вершинном покрытии для произвольного графа. Отсюда следует вывод, что $P = NP$, в основе построения которого лежит выход за пределы целочисленных методов оптимизации.

We consider a numerically stable direct multiplicative algorithm of solving linear equations systems, which takes into account the sparseness of matrices presented in a packed form. The advantage of the algorithm is the ability to minimize the filling of the main rows of multipliers without losing the accuracy of the results. Moreover, changes in the position of the next processed row of the matrix are not made, what allows using static data storage formats. Linear system solving by a direct multiplicative algorithm is, like the solving with $LU$-decomposition, just another scheme of the Gaussian elimination method implementation.

In this paper, this algorithm is the basis for solving the following problems:

Problem 1. Setting the descent direction in Newtonian methods of unconditional optimization by integrating one of the known techniques of constructing an essentially positive definite matrix. This approach allows us to weaken or remove additional specific difficulties caused by the need to solve large equation systems with sparse matrices presented in a packed form.

Problem 2. Construction of a new mathematical formulation of the problem of quadratic programming and a new form of specifying necessary and sufficient optimality conditions. They are quite simple and can be used to construct mathematical programming methods, for example, to find the minimum of a quadratic function on a polyhedral set of constraints, based on solving linear equations systems, which dimension is not higher than the number of variables of the objective function.

Problem 3. Construction of a continuous analogue of the problem of minimizing a real quadratic polynomial in Boolean variables and a new form of defining necessary and sufficient conditions of optimality for the development of methods for solving them in polynomial time. As a result, the original problem is reduced to the problem of finding the minimum distance between the origin and the angular point of a convex polyhedron, which is a perturbation of the $n$-dimensional cube and is described by a system of double linear inequalities with an upper triangular matrix of coefficients with units on the main diagonal. Only two faces are subject to investigation, one of which or both contains the vertices closest to the origin. To calculate them, it is sufficient to solve $4n – 4$ linear equations systems and choose among them all the nearest equidistant vertices in polynomial time. The problem of minimizing a quadratic polynomial is $NP$-hard, since an $NP$-hard problem about a vertex covering for an arbitrary graph comes down to it. It follows therefrom that $P = NP$, which is based on the development beyond the limits of integer optimization methods.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный метод решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество метода состоит в расчете факторов Холесского для положительно определенной матрицы системы уравнений и ее решения в рамках одной процедуры, а также в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью LU-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

Расчет факторов Холесского для положительно определенной матрицы системы и ее решение лежит в основе построения новой математической формулировки безусловной задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности, которые достаточно просты и в данной работе используются для построения новой математической формулировки задачи квадратичного программирования на многогранном множестве ограничений, которая представляет собой задачу поиска минимального расстояния между началом координат и точкой границы многогранного множества ограничений средствами линейной алгебры и многомерной геометрии.

Для определения расстояния предлагается применить известный точный метод, основанный на решении систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции. Расстояния определяются построением перпендикуляров к граням многогранника различной размерности. Для уменьшения числа исследуемых граней предлагаемый метод предусматривает специальный порядок перебора граней. Исследованию подлежат только грани, содержащие вершину, ближайшую к точке безусловного экстремума, и видимые из этой точки. В случае наличия нескольких ближайших равноудаленных вершин исследуется грань, содержащая все эти вершины, и грани меньшей размерности, имеющие с первой гранью не менее двух общих ближайших вершин.

A numerically stable direct multiplicative method for solving systems of linear equations that takes into account the sparseness of matrices presented in a packed form is considered. The advantage of the method is the calculation of the Cholesky factors for a positive definite matrix of the system of equations and its solution within the framework of one procedure. And also in the possibility of minimizing the filling of the main rows of multipliers without losing the accuracy of the results, and no changes are made to the position of the next processed row of the matrix, which allows using static data storage formats. The solution of the system of linear equations by a direct multiplicative algorithm is, like the solution with LU-decomposition, just another scheme for implementing the Gaussian elimination method.

The calculation of the Cholesky factors for a positive definite matrix of the system and its solution underlies the construction of a new mathematical formulation of the unconditional problem of quadratic programming and a new form of specifying necessary and sufficient conditions for optimality that are quite simple and are used in this paper to construct a new mathematical formulation for the problem of quadratic programming on a polyhedral set of constraints, which is the problem of finding the minimum distance between the origin ordinate and polyhedral boundary by means of a set of constraints and linear algebra dimensional geometry.

To determine the distance, it is proposed to apply the known exact method based on solving systems of linear equations whose dimension is not higher than the number of variables of the objective function. The distances are determined by the construction of perpendiculars to the faces of a polyhedron of different dimensions. To reduce the number of faces examined, the proposed method involves a special order of sorting the faces. Only the faces containing the vertex closest to the point of the unconditional extremum and visible from this point are subject to investigation. In the case of the presence of several nearest equidistant vertices, we investigate a face containing all these vertices and faces of smaller dimension that have at least two common nearest vertices with the first face.