Все выпуски

В статье предложен пространственно-временной подход к моделированию диффузии информационно-коммуникационных технологий на основе уравнения Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова, в котором кинетика диффузии описывается моделью Басса, широко применяемой для моделирования распространения инноваций на рынке. Для этого уравнения изучены его положения равновесия и на основе сингулярной теории возмущений получено приближенное решение в виде бегущей волны, т.е. решение, которое распространяется с постоянной скоростью, сохраняя при этом свою форму в пространстве. Скорость волны показывает, на какую величину за единичный интервал времени изменяется пространственная характеристика, определяющая данный уровень распространения технологии. Эта скорость существенно выше скорости, с которой происходит распространение за счет диффузии. С помощью построения такого автоволнового решения появляется возможность оценить время, необходимое субъекту исследования для достижения текущего показателя лидера.

Полученное приближенное решение далее было применено для оценки факторов, влияющих на скорость распространения информационно-коммуникационных технологий по федеральным округам Российской Федерации. Вк ачестве пространственных переменных для диффузии мобильной связи среди населения рассматривались различные социально-экономические показатели. Полюсы роста, в которых возникают инновации, обычно характеризуются наивысшими значениями пространственных переменных. Для России таким полюсом роста является Москва, поэтому в качестве факторных признаков рассматривались показатели федеральных округов, отнесенные к показателям Москвы. Наилучшее приближение к исходным данным было получено для отношения доли затрат на НИОКР в ВРП к показателю Москвы, среднего за период 2000–2009 гг. Было получено, что для УФО на начальном этапе распространения мобильной связи отставание от столицы составило менее одного года, для ЦФО, СЗФО — 1,4 года, для ПФО, СФО, ЮФО и ДВФО — менее двух лет, для СКФО — немногим более двух лет. Кроме того, получены оценки времени запаздывания распространения цифровых технологий (интранета, экстранета и др.), применяемых организациями федеральных округов РФ, относительно показателей Москвы.

Предлагается семейство методов Гаусса – Ньютона для решения оптимизационных задачи систем нелинейных уравнений, основанное на идеях использования верхней оценки нормы невязки системы уравнений и квадратичной регуляризации. В работе представлено развитие схемы метода трех квадратов с добавлением моментного члена к правилу обновления искомых параметров в решаемой задаче. Получившаяся схема обладает несколькими замечательными свойствами. Во-первых, в работе алгоритмически описано целое параметрическое семейство методов, минимизирующих функционалы специального вида: композиции невязки нелинейного уравнения и унимодального функционала. Такой функционал, целиком согласующийся с парадигмой «серого ящика» в описании задачи, объединяет в себе большое количество решаемых задач, связанных с приложениями в машинном обучении, с задачами восстановления регрессионной зависимости. Во-вторых, полученное семейство методов описывается как обобщение нескольких форм алгоритма Левенберга – Марквардта, допускающих реализацию в том числе и в неевклидовых пространствах. В алгоритме, описывающем параметрическое семейство методов Гаусса – Ньютона, используется итеративная процедура, осуществляющая неточное параметризованное проксимальное отображение и сдвиг с помощью моментного члена. Работа содержит детальный анализ эффективности предложенного семейства методов Гаусса – Ньютона, выведенные оценки учитывают количество внешних итераций алгоритма решения основной задачи, точность и вычислительную сложность представления локальной модели и вычисления оракула. Для семейства методов выведены условия сублинейной и линейной сходимости, основанные на неравенстве Поляка – Лоясиевича. В обоих наблюдаемых режимах сходимости локально предполагается наличие свойства Липшица у невязки нелинейной системы уравнений. Кроме теоретического анализа схемы, в работе изучаются вопросы ее практической реализации. В частности, в проведенных экспериментах для субоптимального шага приводятся схемы эффективного вычисления аппроксимации наилучшего шага, что позволяет на практике улучшить сходимость метода по сравнению с оригинальным методом трех квадратов. Предложенная схема объединяет в себе несколько существующих и часто используемых на практике модификаций метода Гаусса – Ньютона, в добавок к этому в работе предложена монотонная моментная модификация семейства разработанных методов, не замедляющая поиск решения в худшем случае и демонстрирующая на практике улучшение сходимости метода.