Все выпуски

Методы оптимизации первого порядка являются важным рабочим инструментов для широкого спектра современных приложений в разных областях, среди которых можно выделить экономику, физику, биологию, машинное обучение и управление. Среди методов первого порядка особого внимания заслуживают ускоренные (моментные) методы в силу их практической эффективности. Метод тяжелого шарика (heavy-ball method — HB) — один из первых ускоренных методов. Данный метод был разработан в 1964 г., и для него был проведен анализ сходимости для квадратичных сильно выпуклых функций. С тех пор были предложены и проанализированы разные варианты HB. В частности, HB известен своей простотой реализации и эффективностью при решении невыпуклых задач. Однако, как и другие моментные методы, он имеет немонотонное поведение; более того, при сходимости HB с оптимальными параметрами наблюдается нежелательное явление, называемое пик-эффектом. Чтобы решить эту проблему, в этой статье мы рассматриваем усредненную версию метода тяжелого шарика (averaged heavy-ball method — AHB). Мы показываем, что для квадратичных задач AHB имеет меньшее максимальное отклонение от решения, чем HB. Кроме того, для общих выпуклых и сильно выпуклых функций доказаны неускоренные скорости глобальной сходимости AHB, его версии WAHB cо взвешенным усреднением, а также для AHB с рестартами R-AHB. Насколько нам известно, такие гарантии для HB с усреднением не были явно доказаны для сильно выпуклых задач в существующих работах. Наконец, мы проводим несколько численных экспериментов для минимизации квадратичных и неквадратичных функций, чтобы продемонстрировать преимущества использования усреднения для HB. Кроме того, мы также протестировали еще одну модификацию AHB, называемую методом tail-averaged heavy-ball (TAHB). В экспериментах мы наблюдали, что HB с правильно настроенной схемой усреднения сходится быстрее, чем HB без усреднения, и имеет меньшие осцилляции.

Предложен алгоритм идентификации параметров плоской вихревой структуры по информации о скорости теченияв конечном (малом) наборе опорных точек. Алгоритм основан на использовании модельной системы точечных вихрей и минимизации в пространстве ее параметров целевого функционала, оценивающего близость модельного и известного наборов векторов скорости. Для численной реализации используются модифицированный метод градиентного спуска с управлением шагом, аппроксимации производных конечными разностями, аналитическое выражение для поля скорости, индуцируемое модельной системой. Проведен численный экспериментальный анализ работы алгоритма на тестовых течениях: одного и системы нескольких точечных вихрей, вихря Рэнкина и диполя Ламба. Используемые дляид ентификации векторы скорости задавались в случайно распределенных наборах опорных точек (от 3 до 200) согласно известным аналитическим выражениям для тестовых полей скорости. В результате вычислений показано: алгоритм сходится к искомому минимуму из широкой области начальных приближений; алгоритм сходится во всех случаях когда опорные точки лежат в областях, где линии тока тестовой и модельной систем топологически эквивалентны; если системы топологически не эквивалентны, то доля удачных расчетов снижается, но сходимость алгоритма также может иметь место; координаты найденных в результате сходимости алгоритма вихрей модельной системы близки к центрам вихрей тестовых конфигураций, а во многих случаях и значения их интенсивностей; сходимость алгоритма в большей степени зависит от расположения, чем от количества используемых при идентификации векторов. Результаты исследования позволяют рекомендовать предложенный алгоритм для анализа плоских вихревых структур, у которых линии тока топологически близки траекториям частиц в поле скорости систем точечных вихрей.

В работе рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Изучаемые уравнения содержат оператор Бесселя, два оператора дробного дифференцирования Герасимова – Капуто с разными порядками $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрены два вида интегро-дифференциальных уравнений: в первом случае уравнение содержит нелокальный источник, т.е. интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x$, а во втором — случае интеграл по временной переменной $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении процессов с предысторией. Для решения дифференциальных задач при различных соотношениях $\alpha$ и $\beta$ получены априорные оценки в дифференциальной форме, откуда следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. Для приближенного решения поставленных задач построены разностные схемы с порядком аппроксимации $O(h^2+\tau^2)$ при $\alpha=\beta$ и $O(h^2+\tau^{2-\max\{\alpha,\beta\}})$ при $\alpha\neq\beta$. Исследование единственности, устойчивости и сходимости решения проводится с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решений разностных задач при различных соотношениях $\alpha$ и $\beta$, откуда следуют единственность и устойчивость, а также сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Исследованы пути упрощения разностных схем интегрирования уравнения Ланжевена варьированием коэффициента корреляции приращений. Для семейства численных методов получено общее аналитическое выражение для координаты и скорости. Показано, что асимптотическое значение среднего квадрата скорости для ряда разностных схем зависит от размера шага. Оценивается область применимости численных методов, а также соотношение между порядками сходимости. Выявлено, что без точного учета скоррелированности приращений разностная схема, построенная на точном решении, имеет ошибку, сравнимую с методами первого порядка.

В статье изложены основные положения методики расчета отделения полезной нагрузки (объектов различного назначения с собственным движительным комплексом) от подводного носителя методом самовыхода с использованием современных методов численной гидродинамики (CFD-технологий). Приводится описание метода отделения самовыходом, его достоинства и недостатки. Приводятся результаты исследования сходимости по сетке конечно-объемной модели по критерию «точность–время», а также результаты сопоставления расчета с экспериментом (валидации модели). Валидация модели проводилась по имеющимся данным экспериментального определения тяговых характеристик водометного движительного комплекса натурного образца в опытовом бассейне. Расчеты тяговых характеристик водометного движительного комплекса проводились с применением программного комплекса FlowVision версии 3.10. На основании сопоставления результатов расчетов для условий проведения экспериментов была определена погрешность расчетной модели водометного движительного комплекса, которая составила не более 5 % в диапазоне поступей работы водометного движительного комплекса, реализуемых в процессе отделения методом самовыхода. Полученное значение погрешности расчета тяговых характеристик используется для определения предельных расчетных значений скорости отделения объекта от носителя (минимальные и максимальные значения). Рассмотренная задача является значимой с научной точки зрения благодаря особенностям подхода к моделированию водометного движительного комплекса совместно с движением отделяемого объекта, а также с практической точки зрения благодаря возможности получения с высокой степенью достоверности параметров отделения объектов от подводных аппаратов методом самовыхода, условия работы которых предполагают движение в замкнутых объемах, уже на стадии проектирования.

В этой статье мы предлагаем новый метод первого порядка для композитных невыпуклых задач минимизации с простыми ограничениями и неточным оракулом. Целевая функция задается как сумма «сложной», возможно, невыпуклой части с неточным оракулом и «простой» выпуклой части. Мы обобщаем понятие неточного оракула для выпуклых функций на случай невыпуклых функций. Неформально говоря, неточность оракула означает, что для «сложной» части в любой точке можно приближенно вычислить значение функции и построить квадратичную функцию, которая приближенно ограничивает эту функцию сверху. Рассматривается два возможных типа ошибки: контролируемая, которая может быть сде- лана сколь угодно маленькой, например, за счет решения вспомогательной задачи, и неконтролируемая. Примерами такой неточности являются: гладкие невыпуклые функции с неточным и непрерывным по Гёльдеру градиентом, функции, заданные вспомогательной равномерно вогнутой задачей максимизации, которая может быть решена лишь приближенно. Для введенного класса задачм ы предлагаем метод типа проекции градиента / зеркального спуска, который позволяет использовать различные прокс-функции для задания неевклидовой проекции на допустимое множество и более гибкой адаптации к геометрии допустимого множества; адаптивно выбирает контролируемую ошибку оракула и ошибку неевклидового проектирования; допускает неточное проксимальное отображение с двумя типами ошибки: контролируемой и неконтролируемой. Мы доказываем скорость сходимости нашего метода в терминах нормы обобщенного градиентного отображения и показываем, что в случае неточного непрерывного по Гёльдеру градиента наш метод является универсальным по отношению к параметру и константе Гёльдера. Это означает, что методу не нужно знание этих параметров для работы. При этом полученная оценка сложности является равномерно наилучшей при всех параметрах Гёльдера. Наконец, в частном случае показано, что малое значение нормы обобщенного градиентного отображения в точке означает, что в этой точке приближенно выполняется необходимое условие локального минимума.

Пандемия COVID-19 вызвала рост интереса к математическим моделям эпидемического процесса, так как только статистический анализ заболеваемости не позволяет проводить среднесрочное прогнозирование в условиях быстро меняющейся ситуации.

Среди специфичных особенностей COVID-19, которые нужно учитывать в математических моделях, можно отметить гетерогенность возбудителя, неоднократные смены доминирующего варианта SARS-CoV-2 и относительную кратковременность постинфекционного иммунитета.

В связи с этим были аналитически изучены решения системы дифференциальных уравнений для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета, а также проведены численные расчеты для динамики системы при средней длительности постинфекционного иммунитета порядка года.

Для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета было доказано, что любое решение можно неограниченно продолжать по времени в положительную сторону без выхода за область определения системы.

Для контактного числа $R_0 \leqslant 1$ все решения стремятся к единственномут ривиальному стационарному решению с нулевой долей инфицированных, а для $R_0 > 1$ кроме тривиального решения существует и нетривиальное стационарное решение с ненулевыми долями инфицированных и восприимчивых. Были доказаны существование и единственность нетривиального стационарного решения при $R_0 > 1$, а также доказано, что оно является глобальным аттрактором.

Также для нескольких вариантов гетерогенности были вычислены собственные числа для скорости экспоненциальной сходимости малых отклонений от нетривиального стационарного решения.

Получено, что при значениях контактного числа, соответствующих COVID-19, фазовая траектория имеет вид скручивающейся спирали с длиной периода порядка года.

Это соответствует реальной динамике заболеваемости COVID-19, при которой после нескольких месяцев роста заболеваемости начинается период его падения. При этом второй волны заболеваемости меньшей амплитуды, что предсказывала модель, не наблюдалось, так как на протяжении 2020–2023 годов примерно каждые полгода появлялся новый вариант SARS-CoV-2, имеющий большую заразность, чем предыдущий, в результате чего новый вариант вытеснял предыдущий и становился доминирующим.

Работа посвящена численному моделированию плоской неизотермической нелинейной фильтрации в пористой среде. Рассматривается двумерная нестационарная задача течения высоковязкой нефти, воды и пара с фазовыми переходами. Нефтяная фаза представлена двумя псевдокомпонентами: легкой и тяжелой фракциями, которые, как и водный компонент, могут присутствовать в газовой фазе. Нефть проявляет вязкопластическую реологию, ее фильтрация не подчиняется классическому линейному закону Дарси. При моделировании учтена не только зависимость плотности и вязкости флюидов от температуры, но и улучшение реологических свойств нефти с ростом температуры.

Для численного решения задачи применен метод линий тока с расщеплением по физическим процессам, заключающийся в отделении конвективного переноса, направленного вдоль скорости фильтрации, от теплопроводности и гравитации. Предложен новый подход применения метода линий тока, позволяющий корректно моделировать задачи нелинейной фильтрации с реологией, зависящей от температуры. Суть этого алгоритма заключается в рассмотрении процесса интегрирования как совокупности квазиравновесных состояний, которые достигаются путем решения системы на глобальной сетке и между которыми решение проводится на сетке из линий тока. Использование метода линий тока позволяет не только ускорить расчеты фильтрации, но и получить физически достоверную картину решения, так как интегрирование системы происходит на сетке, совпадающей с направлением течения флюидов.

Помимо метода линий тока, в работе представлен алгоритм учета негладких коэффициентов, возникающих при решении уравнения течения вязкопластической нефти. Использование этого алгоритма позволяет сохранить достаточно большой шаг по времени и не изменяет физическую картину решения.

Полученные результаты сопоставлены с известными аналитическими решениями, а также с результатами, полученными при расчете в коммерческом пакете. Анализ проведенных тестовых расчетов на сходимость по количеству линий тока, а также на разных сетках на линиях тока обосновывает применимость предлагаемого алгоритма, а уменьшение времени расчета, по сравнению с традиционными методами, демонстрирует практическую значимость этого подхода.

В работе рассмотрено два варианта понятия острого минимума для задач математического программирования с квазивыпуклой целевой функцией и ограничениями-неравенствами. Исследована задача описания варианта простого субградиентного метода с переключениями по продуктивным и непродуктивным шагам, для которого бы на классе задач с липшицевыми функциями можно было гарантировать сходимость со скоростью геометрической прогрессии ко множеству точных решений или его окрестности. При этом важно, чтобы для реализации метода не было необходимости знать параметр острого минимума, который обычно сложно оценить на практике. В качестве решения проблемы авторы предлагают использовать процедуру регулировки шага, аналогичную предложенной ранее Б. Т. Поляком. Однако при этом более остро по сравнению с классом задач без ограничений встает проблема знания точного значения минимума целевой функции. В работе описываются условия на погрешность этой информации, которые позволяют сохранить сходимость со скоростью геометрической прогрессии в окрестность множества точек минимума задачи. Рассмотрено два аналога понятия острого минимума для задач с ограничениями-неравенствами. В первом случае возникает проблема приближения к точному решению лишь до заранее выбранного уровня точности, при этом рассматривается случай, когда минимальное значение целевой функции неизвестно, вместо этого дано некоторое его приближение. Описаны условия на неточность минимума целевой функции, при которой все еще сохраняется сходимость к окрестности искомого множества точек со скоростью геометрической прогрессии. Второй рассматриваемый вариант острого минимума не зависит от желаемой точности задачи. Для него предложен несколько иной способ проверки продуктивности шага, позволяющий в случае точной информации гарантировать сходимость метода к точному решению со скоростью геометрической прогрессии. Доказаны оценки сходимости в условиях слабой выпуклости ограничений и некоторых ограничениях на выбор начальной точки, а также сформулирован результат-следствие для выпуклого случая, когда необходимость дополнительного предположения о выборе начальной точки пропадает. Для обоих подходов доказано убывание расстояния от текущей точки до множества решений с ростом количества итераций. Это, в частности, позволяет ограничить требования используемых свойств функций (липшицевость, острый минимум) лишь для ограниченного множества. Выполнены вычислительные эксперименты, в том числе для задачи проектирования механических конструкций.

Задача поиска PageRank вектора представляет большой научный и практический интерес ввиду своей применимости к работе современных поисковых систем. Несмотря на то, что данная задача сводится к поиску собственного вектора стохастической матрицы $P$, потребность в новых алгоритмах для ее решения обусловлена большими размерами входных данных. Для достижения не более чем линейного времени работы применяются различные рандомизированные методы, возвращающие ожидаемый ответ лишь с некоторой достаточно близкой к единице вероятностью. Нами рассматриваются два таких способа, сводящие задачу поиска вектора PageRank к задаче поиска равновесия в антагонистической матричной игре, которая затем решается с помощью алгоритма Григориадиса – Хачияна. При этом данная реализация эффективно работает в предположении о разреженности матрицы, подаваемой на вход. Насколько нам известно, до сих пор не было ни одной успешной реализации ни алгоритма Григориадиса – Хачияна, ни его применения к задаче поиска вектора PageRank. Данная статья ставит перед собой задачу восполнить этот пробел. В работе приводится описание двух версий алгоритма с псевдокодом и некоторые детали их реализации. Кроме того, в работе рассматривается другой вероятностный метод поиска вектора PageRank, а именно Markov chain Monte Carlo (MCMC), с целью сравнения результатов работы указанных алгоритмов на матрицах с различными значениями спектральной щели. Последнее представляет особый интерес, поскольку значение спектральной щели сильно влияет на скорость сходимости MCMC, и не оказывает никакого влияния на два других подхода. Сравнение проводилось на сгенерированных графах двух видов: цепочках и $d$-мерных кубах. Проведенные эксперименты, как и предсказывает теория, демонстрируют эффективность алгоритма Григориадиса – Хачияна по сравнению с MCMC для разреженных графов с маленьким значением спектральной щели. Весь код находится в открытом доступе, так чтобы все желающие могли воспроизвести полученные результаты самостоятельно, или же использовать данную реализацию в своих нуждах. Работа имеет чисто практическую направленность, никаких теоретических результатов авторами получено не было.