Все выпуски

Универсальные сценарии перехода к хаосу в динамических системах к настоящему моменту хорошо изучены. К типичным сценариям относятся каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейген-баума), разрушение тора малой размерности (сценарий Рюэля–Такенса) и переход через перемежаемость (сценарий Помо–Манневилля). В более сложных пространственно-распределенных динамических системах нарастающая с изменением параметра сложность поведения по времени тесно переплетается с формированием пространственных структур. Однако вопрос о том, могут ли в каком-то сценарии пространственная и временная оси полностью поменяться ролями, до сих пор остается открытым. В данной работе впервые предлагается математическая модель конвекции–реакции–диффузии, в рамках которой реализуется пространственный аналог перехода к хаосу через разрушение квазипериодического режима в рамках сценария Рюэля–Такенса. Исследуемая физическая система представляет собой два водных раствора кислоты (A) и основания (B), в начальный момент времени разделенных по пространству и помещенных в вертикальную ячейку Хеле–Шоу, находящуюся в статическом поле тяжести. При приведении растворов в контакт начинается фронтальная реакция нейтрализации второго порядка: A + B $\to$ C, которая сопровождается выделением соли (С). Процесс характеризуется сильной зависимостью коэффициентов диффузии реагентов от их концентрации, что приводит к возникновению двух локальных зон пониженной плотности, в которых независимо друг от друга возникают хемоконвективные движения жидкости. Слои, в которых развивается конвекция, все время остаются разделенными прослойкой неподвижной жидкости, но они могут влиять друг на друга посредством диффузии реагентов через прослойку. Формирующаяся хемо-конвективная структура представляет собой модулированную стоячую волну, постепенно разрушающуюся со временем, повторяя последовательность бифуркаций сценария разрушения двумерного тора. Показано, что в ходе эволюции системы пространственная ось, направленная вдоль фронта реакции, выполняет роль времени, а само время играет роль управляющего параметра.

Рассмотрен формализм квазиклассического приближения относительно малого коэффициента диффузии D, D→0, для многомерного уравнения Фоккера−Планка−Колмогорова с нелокальным и нелинейным вектором сноса в классе траекторно-сосредоточенных функций. Получена динамическая система Эйнштейна−Эренфеста типа (0, M), описывающая движение точки, в окрестности которой локализованы квазиклассические асимптотические решения. Построено семейство квазиклассических асимптотик с точностью O(D^(M+1)/2).

В данной работе проведено исследование возникновения диффузионной неустойчивости в системе из трех уравнений типа «реакция–диффузия». В общем виде получены условия как тьюринговской, так и волновой неустойчивостей. Выявлены качественные свойства, которыми должна обладать система для того, чтобы в ней могла произойти та или другая бифуркация. В численных экспериментах показано, что при выполнении соответствующих условий в нелинейной модели возникают структуры, которые предсказываются линейным анализом.

Оптические системы с двумерной обратной связью демонстрируют широкие возможности по исследованию процессов зарождения и развития диссипативных структур. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику оптической системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и другими устройствами. Нелинейный интерферометр с зеркальным отражением поля в двумерной обратной связи является одной из наиболее простых оптических систем, в которых реализуется нелокальный характер взаимодействия световых полей.

Математической моделью оптических систем с двумерной обратной связью является нелинейное параболическое уравнение с преобразованием поворота пространственной переменной и условиями периодичности на окружности.

Исследуются вопросы бифуркации рождения стационарных структур типа бегущей волны, эволюции их форм при уменьшении бифуркационного параметра (коэффициента диффузии) и динамики их устойчивости при отходе от критического значения параметра бифуркации и дальнейшем его уменьшении. Впервые в качестве бифуркационного параметра был взят коэффициент диффузии.

В работе используются метод центральных многообразий и метод Галёркина. На основе метода центральных многообразий доказана теорема о существовании, форме и устойчивости решения типа бегущей волны в окрестности бифуркационного значения коэффициента диффузии. Получено представление первой бегущей волны, рождающейся в результате бифуркации Андронова–Хопфа при переходе бифуркационного параметра через критическое значение. Согласно теореме о центральном многообразии первая бегущая волна рождается орбитально устойчивой.

Поскольку доказанная теорема дает возможность исследовать рожденные решения только в окрестности критического значения бифуркационного параметра, то для изучения динамики изменений решения типа бегущей волны при отходе бифуркационного параметра в область надкритичности был использован формализм метода Галёркина. В соответствии с методом центральных многообразий составлена галёркинская аппроксимация приближенных решений поставленной задачи. При уменьшении параметра бифуркации и его переходе через критическое значение нулевое решение задачи теряет устойчивость колебательным образом. В результате от нулевого решения ответвляется периодическое решение типа бегущей волны. Эта волна рождается орбитально устойчивой. При дальнейшем уменьшении параметра и его прохождении через следующее критическое значение от нулевого решения в результате бифуркации Андронова–Хопфа рождается второе решение типа бегущей волны. Данная волна рождается неустойчивой, с индексом неустойчивости два.

Численные расчеты с помощью пакета Mathematica показали, что применение метода Галёркина приводит к качественно и количественно правильным результатам. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами, и могут быть использованы для постановки экспериментов по изучению явлений в оптических системах с обратной связью.

В контексте проблем водородной и термоядерной энергетики ведутся интенсивные исследования свойств изотопов водорода. Математические модели позволяют уточнять физико-химические представления о взаимодействии водорода с конструкционными материалами, выделять лимитирующие факторы. Классических моделей диффузии часто недостаточно. Статья посвящена моделям и численному решению краевых задач термодесорбции и водородопроницаемости с учетом динамики нелинейных сорбционно-десорбционных процессов на поверхности и обратимого захвата атомов водорода в объеме. Алгоритмы основаны на разностных аппроксимациях. Представлены результаты компьютерного моделирования потока водорода из конструкционного материала.