Все выпуски

В работе изложена постановка и решение задачи о корректных условиях на границе, разделяющей подобласти, для гиперболических систем линейных уравнений. Алгоритм решения продемонстрирован на примере системы уравнений упругой динамики для двух пространственных переменных. Приведенный подход легко распространяется на системы линейных гиперболических уравнений первого порядка с произвольным числом пространственных переменных.

Рассмотрена модель горения предварительно перемешанной смеси газов с одной глобальной химической реакцией, включающая в себя уравнения второго порядка относительно температуры смеси и концентраций топлива и окислителя, в правые части которых входит функция скорости реакции. Эта функция зависит от пяти неизвестных параметров глобальной реакции и служит приближением для многоступенчатого механизма реакций. Модель сводится к одному уравнению второго порядка относительно температуры смеси, которое после замены переменных преобразуется к уравнению первого порядка относительно производной температуры, зависящей от температуры, в которое входит параметр скорости распространения пламени. Таким образом, для вычисления параметра скорости распространения пламени необходимо решить задачу Дирихле для уравнения первого порядка, в результате чего получится модельная зависимость скорости распространения пламени от эквивалентного отношения смеси при заданных параметрах скорости реакции. При наличии экспериментальных данных зависимости скорости распространения пламени от эквивалентного отношения смеси ставится задача оптимального подбора параметров скорости реакции, исходя из минимизации среднеквадратичного отклонения модельных значений скорости распространения пламени от эксперимента. Целью работы является исследование однозначности решения этой задачи. Для этого применяется вычислительный эксперимент, в ходе которого решается задача глобального поиска оптимумов с помощью мультистарта градиентного спуска. В ходе вычислительного эксперимента выяснено, что обратная задача в такой постановке является недоопределенной, и всякий раз при запуске градиентного метода из новой точки получается новая предельная точка. Исследована структура множества предельных точек в пятимерном пространстве параметров и показано, что это множество может быть описано тремя линейными уравнениями. Таким образом, будет некорректным табулировать все пять параметров скорости реакции исходя из одного лишь критерия соответствия модели данным скорости распространения пламени. Вывод исследования заключается в том, что для корректного табулирования параметров необходимо указать значения двух из них исходя из дополнительных критериев оптимальности.

В работе проанализированы некоторые проблемы разработки численных методов решения задач с линейным кинетическим уравнением переноса больцмановского типа. Перечислены существующие приложения такого рода уравнения. Основное внимание уделяется задачам переноса излучения в плоском слое, имеющим важное значение для экспериментальной исследовательской практики. Даны основные определения и приведены традиционные ограничения, применяемые в задачах переноса излучения. Рассмотрены некоторые особенности постановки задач радиационного переноса для плоских слоев нерегулярных гетерогенных композиционных материалов, частично прозрачных для электромагнитного излучения. Указаны основные подходы к численному и численно-аналитическому решению линейного кинетического уравнения переноса.

Рассмотрены некоторые варианты наиболее простых сеточных численных методов установления для решения кинетических задач переноса в плоском слое среды с сильным ослаблением. Проанализированы проблемы одно- и двухшаговых вариантов таких итерационных методов, для некоторых из них исследованы и установлены причины отсутствия устойчивости и сходимости.

Показано, что в явном консервативном одношаговом методе для слоя однородной поглощающей, но не излучающей и не рассеивающей среды в спектре гармонических решений всегда существуют неустойчивые моды. Они возникают в области излучения, распространяющегося почти параллельно границам слоя, а их неустойчивость усиливается с ростом эффектов ослабления среды и обусловлена наличием в уравнении переноса малого коэффициента перед пространственной производной. Для ограничения нежелательного влияния этой компоненты рассмотрены различные варианты расщепления уравнения на два и три дробных шага. Показано, что наиболее предпочтительными являются варианты с явной организацией дробных шагов, для которых представлено доказательство устойчивости и сходимости, основанное на теореме Лакса об эквивалентности. Доказано, что правильное выстраивание последовательности дробных шагов в явных схемах численного решения линейных нестационарных кинетических задач переноса способно обеспечивать их дополнительную стабилизацию, причем важную роль стабилизирующего инструмента может играть интеграл рассеяния. Так, при решении кинетических задач переноса в средах с высоким альбедо рассеяния наиболее простым и эффективным оказался явный сеточный метод установления с расщеплением итераций на три дробных шага по физическим процессам. Метод реализован в виде кода на языке Matlab, который в процессе получения численного решения осуществляет контроль его качества.

Представлены наиболее существенные результаты моделирования, подтвердившие, что трехшаговый метод предъявляет сравнительно умеренные требования по ресурсам, точности численного интегрирования и обеспечивает условную сходимость итераций. Его математическая корректность подтверждена поведением невязок уравнения, прямым контролем сходимости численных решений, физическая — обеспечением для эргодических систем свойством сходимости к инвариантному стационарному состоянию, не зависящему от начальных условий. Перечислены некоторые обнаруженные и возможные ограничения метода.

Работа будет полезной специалистам в области математического моделирования, численных методов, кинетической теории, комбинированного тепло- и массообмена, занимающимся вопросами интерпретации экспериментальных данных, аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в указанных направлениях.

Рассматриваются вопросы построения математической модели процесса срабатывания пружинного предохранительного клапана прямого действия, в том числе и вопросыоб основания физически корректной величинына чального подъема диска при решении сопряженной задачи о движении диска в рабочем объеме клапана для газовых сред. Проводится обзор существующих подходов и методов решения данного типа задач. Приводятся постановка задачи о срабатывании клапана при повышении давления в резервуаре и математическая модель процесса срабатывания клапана. Особое внимание уделяется вопросам связывания физических подзадач. Описываются используемые методы, численные схемы и алгоритмы. Математическое моделирование проводится на основе фундаментальной системыдиф ференциальных уравнений движения вязкого сжимаемого газа, совместно с уравнением движения диска. В осесимметричной постановке решение рассматриваемой задачи строится численно с использованием метода конечных объемов. Сопоставляются результаты решения задачи о срабатывании предохранительного клапана, полученные с использованием вязкой модели и модели течения идеального газа. В невязкой постановке задача решается с использованием схемы Годунова, реализуемой в рамках авторского кода, а в вязкой постановке — на основе метода Курганова–Тадмора, реализуемого в рамках open source пакета OpenFOAM. Проводится сравнение результатов двух расчетов. В результате выполненных расчетов была получена зависимость высоты подъема диска от времени, которая сопоставляется с экспериментальными данными. Приводятся распределение давления газа по поверхности диска, а также профили скорости в поперечных сечениях зазора для различных высот подъема диска. Показывается, что величина начального подъема диска не влияет на характер течения газа и динамику подвижной части клапана, что может существенно сократить время расчета полного цикла работы клапана с момента его открытия до закрытия при понижении давления ниже установленного уровня. Для проверки адекватности и корректности используемых численных схем проводится моделирование процесса срабатывания клапана в рамках метода Годунова для невязкого газа. Полученные данные хорошо коррелируются между собой, что свидетельствует как о корректности сформулированной математической модели процесса срабатывания клапана, так и о возможности применения для описания динамики предохранительных клапанов модели невязкого газа.