Все выпуски

В развитии науки важную роль играют научные школы — объединения исследователей, связанные общей проблемой, идеями и методами, используемыми для решения проблемы. Научные школы формируются вокруг лидера и объединяющей идеи.

За время научной деятельности академика А. С. Холодова вокруг него сформировалось несколько научных школ. В обзоре делается попытка представить основные научные направления, вокруг которых сформировались яркие коллективы с общими системами взглядов и подходами к исследованиям. В обзоре отмечается эта общая основа. Во-первых, это развитие группы численных методов для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа — сеточно-характеристические методы. Во-вторых, описание численных методов в пространствах неопределенных коэф- фициентов. Этот подход развивался как для всех типов уравнений в частных производных, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений.

На основе предложенных А. С. Холодовым численных подходов сложились научные коллективы, работающие в разных предметных областях. Это математическое моделирование динамики плазмы, динамики деформируемого твердого тела, некоторых задач биологии, биофизики, медицинской физики и биомеханики. Сравнительно новые направления — решение задач на графах (процессы транспортировки электроэнергии, моделирование транспортных потоков на дорожной сети и т. д.).

В обзоре делается попытка отследить деятельность научных школ от момента их зарождения до настоящего времени, проследить связь работ А. С. Холодова с работами его учеников и коллег. Полный обзор деятельности всех научных школ, сформировавшихся вокруг Александра Сергеевча, невозможен ввиду огромного количества и разнообразия научных результатов.

Делается также попытка связать деятельность научных школ с появлением научно-образовательной школы в Московском физико-техническом институте.

В настоящее время для численного моделирования начально-краевых задач для систем гиперболических уравнений в частных производных (например, уравнения газовой динамики, МГД, деформируемого твердого тела и т. д.) применяются различные нелинейные численные схемы пространственной аппроксимации. Это связано с необходимостью повышения порядка аппроксимации и расчета разрывных решений, часто возникающих в таких системах. Необходимость в нелинейных схемах связана с ограничением, следующим из теоремы С. К. Годунова о невозможности построения линейной схемы порядка больше первого для монотонной аппроксимации уравнений такого типа. Одними из наиболее точных нелинейных схем являются схемы типа ENO (существенно не осциллирующие схемы и их модификации), в том числе схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы). Последние получили наибольшее распространение, поскольку при одинаковой ширине шаблона имеют более высокий порядок аппроксимации чем ENO-схемы. Плюсом ENO- и WENO-схем является сохранение высокого порядка аппроксимации на немонотонных участках решения. Исследование данных схем затруднительно в связи с тем, что сами схемы нелинейны и применяются для аппроксимации нелинейных уравнений. В частности, условие линейной устойчивости ранее было получено только для схемы WENO5 (пятого порядка аппроксимации на гладких решениях) и является приближенным. В настоящей работе рассматриваются вопросы построения и устойчивости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13 для конечно-объемной схемы для уравнения Хопфа. В первой части статьи рассмотрены методы WENO в общем случае и приведены явные выражения для коэффициентов полиномов и весов линейных комбинаций, необходимых для построения схем. Доказывается ряд утверждений, позволяющих сделать выводы о порядках аппроксимации в зависимости от локального вида решения. Проводится анализ устойчивости на основе принципа замороженных коэффициентов. Рассматриваются случаи гладкого и разрывного поведения решения в области линеаризации при замороженных коэффициентах на гранях конечного объема и анализируется спектр схем для этих случаев. Доказываются условия линейной устойчивости для различных методов Рунге–Кутты при применении со схемами WENO. В результате приводятся рекомендации по выбору максимально возможного параметра устойчивости, которое наименьшим образом влияет на нелинейные свойства схем. Следуя полученным ограничениям, делается вывод о сходимости схем.

Аортальный стеноз и другие формы дисфункции аортального клапана сопровождаются нарушением внутрисердечной гемодинамики, перегрузкой левого желудочка и повышением риска сердечно-сосудистых осложнений. Для оценки работы клапана важны не только интегральные клинические показатели, но и локальные механические и гемодинамические характеристики, которые, как правило, не могут быть напрямую измерены in vivo. В связи с этим математическое моделирование рассматривается как один из основных инструментов количественного анализа аортального клапана. Несмотря на широкое применение различных моделей деформируемого твердого тела и постановок связанных задач взаимодействия жидкости и твердого тела (fluid-structure interaction, FSI), для описания динамического поведения створок границы применимости упрощенных постановок по отношению к полной сопряженной задаче остаются недостаточно определенными. В работе рассматривалась идеализированная модель корня аорты с синусами Вальсальвы и трехстворчатым клапаном. Створки описывались анизотропной гиперупругой моделью материала. Выполнено сопоставление пяти расчетных сценариев, включающих полную FSI-постановку, учитывающую как динамику твердого тела, так и жидкости, а также модель деформируемого твердого тела с четырьмя вариантами нагружения, заменяющего влияние кровотока, которые отличаются способом учета давления и направлением приложения нагрузки к створкам. В качестве критериев сравнения использовались деформации, перемещения, напряжения по Мизесу, колебательная динамика створок и площадь геометрического открытия клапана. Показано, что FSI-модель обеспечивает наиболее согласованное описание работы клапана, включая асимметричное открытие створок, более плавную динамику раскрытия и отсутствие выраженного нефизиологичного флаттера. Структурные постановки с нагрузкой, приложенной по локальной нормали к поверхности створок, приводят к завышению деформаций и напряжений, а также к более выраженным колебательным режимам. Сценарии с ограничением направления нагрузки дают более умеренный отклик, однако также не воспроизводят пространственную структуру нагрузки и временную организацию раскрытия створок. Сделан вывод, что при моделировании аортального клапана решающее значение имеет не только величина перепада давления, но и способ его пространственно-временного приложения к створкам. Структурные модели деформируемого твердого тела могут использоваться для качественной оценки отдельных механических тенденций, однако не являются полноценной заменой FSI-постановки при анализе кинематики створок, колебательных режимов, напряженно-деформированного состояния и динамики открытия клапана.