Все выпуски

В работе рассматриваются дискретные динамические системы, находящиеся под действием случайных возмущений. Динамика отклонений стохастических решений от детерминированных равновесий исследуется с помощью систем первого приближения. Получены необходимые и достаточные условия, при которых уравнения для первых двух моментов этих отклонений имеют устойчивые стационарные решения. Стационарные вторые моменты используются для оценки разброса случайных состояний вокруг устойчивых равновесий нелинейных систем, а также для анализа индуцированных шумом переходов между бассейнами притяжения этих равновесий. Конструктивность предлагаемого подхода демонстрируется на примере анализа различных стохастических режимов для модели популяционной динамики Рикера с эффектом Олли.

Stochastically forced discrete dynamical systems are considered. Using first approximation systems, we study dynamics of deviations of stochastic solutions from deterministic equilibria. Necessary and sufficient conditions of the existence of stable stationary solutions of equations for mean-square deviations are derived. Stationary values of these mean-square deviations are used for the estimations of the dispersion of random states nearby stable equilibria and analysis of noise-induced transitions. Constructive application of the suggested technique to the analysis of various stochastic regimes in Ricker population model with Allee effect is demonstrated.

Даже беглый взгляд на впечатляющее множество современных работ по математическому моделированию популяционной динамики позволяет заключить, что основной интерес авторов сосредоточен вокруг двух-трех ключевых направлений исследований, связанных с описанием и анализом динамики, либо отдельных структурированных популяций, либо систем однородных популяций, взаимодействующих между собой в экологическом сообществе или (и) в физическом пространстве. В рамках данной работы приводится обзор и систематизируются научные исследования и результаты, полученные на сегодняшний день в ходе развития идей и подходов математического моделирования динамики структурированных и взаимодействующих популяций. В вопросах моделирования динамики численности изолированных популяций описана эволюция научных идей по пути усложнения моделей — от классической модели Мальтуса до современных моделей, учитывающих множество факторов, влияющих на популяционную динамику. В частности, рассматриваются динамические эффекты, к которым приводит учет экологической емкости среды, плотностно-зависимая регуляция, эффект Олли, усложнение возрастной и стадийной структуры. Особое внимание уделяется вопросам мультистабильности популяционной динамики. Кроме того, представлены исследования, в которых анализируется влияние промыслового изъятия на динамику структурированных популяций и возникновение эффекта гидры. Отдельно рассмотрены вопросы возникновения и развития пространственных диссипативных структур в пространственно разобщенных популяциях и сообществах, связанных миграциями. Здесь особое внимание уделяется вопросам частотной и фазовой мультистабильности популяционной динамики, а также возникновению пространственных кластеров. В ходе систематизации и обзора задач, посвященных моделированию динамики взаимодействующих популяций, основное внимание уделяется сообществу «хищник–жертва». Представлены ключевые идеологические подходы, применяемые в современной математической биологии при моделировании систем типа «хищник–жертва», в том числе с учетом структуры сообщества и промыслового изъятия. Кратко освещены вопросы возникновения и сохранения мозаичной структуры в пространственно распределенных и миграционно связанных сообществах.

The review and systematization of current papers on the mathematical modeling of population dynamics allow us to conclude the key interests of authors are two or three main research lines related to the description and analysis of the dynamics of both local structured populations and systems of interacting homogeneous populations as ecological community in physical space. The paper reviews and systematizes scientific studies and results obtained within the framework of dynamics of structured and interacting populations to date. The paper describes the scientific idea progress in the direction of complicating models from the classical Malthus model to the modern models with various factors affecting population dynamics in the issues dealing with modeling the local population size dynamics. In particular, they consider the dynamic effects that arise as a result of taking into account the environmental capacity, density-dependent regulation, the Allee effect, complexity of an age and a stage structures. Particular attention is paid to the multistability of population dynamics. In addition, studies analyzing harvest effect on structured population dynamics and an appearance of the hydra effect are presented. The studies dealing with an appearance and development of spatial dissipative structures in both spatially separated populations and communities with migrations are discussed. Here, special attention is also paid to the frequency and phase multistability of population dynamics, as well as to an appearance of spatial clusters. During the systematization and review of articles on modeling the interacting population dynamics, the focus is on the “prey–predator” community. The key idea and approaches used in current mathematical biology to model a “prey–predator” system with community structure and harvesting are presented. The problems of an appearance and stability of the mosaic structure in communities distributed spatially and coupled by migration are also briefly discussed.

В статье рассматриваются модели «хищник – жертва» и проводится глобальный бифуркационный анализ системы Лесли – Говера с аддитивным эффектом Олли и упрощенным функциональным откликом Холлинга III типа, которая моделирует динамику популяций хищников и их жертв в заданной экологической или биомедицинской системе. В данной системе используется наиболее распространенная математическая форма выражения эффекта (или закона) Олли через функцию роста жертвы. Закон Олли гласит, что существует вполне определенное соотношение между индивидуальной приспособленностью к условиям жизни и численностью либо плотностью индивидов данного вида, а именно: с увеличением численности популяции способность к выживанию и репродуктивная способность также увеличиваются. После алгебраических преобразований рациональную систему Лесли – Говера с аддитивным эффектом Олли и упрощенным функциональным откликом Холлинга III типа можно записать в виде квинтико-секстичной динамической системы, т.е. в виде системы с полиномами пятой и шестой степени. Используя информацию о ее особых точках и применяя наш бифуркационно-геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем глобальные бифуркации предельных циклов квинтико-секстичной системы. Чтобы контролировать все бифуркации предельных циклов, особенно бифуркации кратных предельных циклов, необходимо знать свойства и комбинировать действия всех параметров, поворачивающих векторное поле системы. Это может быть сделано с помощью принципа окончания Уинтнера – Перко, согласно которому максимальное однопараметрическое семейство кратных предельных циклов заканчивается либо в особой точке, которая, как правило, имеет ту же кратность (цикличность), либо на сепаратрисном цикле, который также, как правило, имеет ту же кратность (цикличность). Этот принцип является следствием принципа естественного окончания, который был сформулирован для многомерных динамических систем Уинтнером, который изучал однопараметрические семейства периодических орбит ограниченной задачи трех тел и доказал, что в аналитическом случае любое однопараметрическое семейство периодических орбит может быть однозначно продолжено через любую бифуркацию, кроме бифуркации удвоения периода. Применяя планарный принцип Уинтнера – Перко, мы доказываем, что если цикличность фокуса в рассматриваемой системе равна трем, то система может иметь не более трех предельных циклов, окружающих одну особую точку.

In this paper, we consider predator – prey models and carry out a global bifurcation analysis of the Leslie –Gower system with an additive Allee effect and a simplified Holling type III functional response, which models the dynamics of predator and prey populations in a given ecological or biomedical system. This system uses the most common mathematical form of expressing the Allee effect (or law) through the prey growth function. Allee’s law states that there is a very specific relationship between individual fitness to living conditions and the number or density of individuals of a given species, namely: with an increase in the population size, the ability to survive and reproductive ability also increases. After algebraic transformations, the rational Leslie –Gower system with additive Allee effect and simplified Holling type III functional response can be written as a quantic-sextic dynamical system, i. e., as a system with polynomials of the fifth and sixth degrees. Using information about its singular points and applying our bifurcation-geometric approach to qualitative analysis, we study global bifurcations of limit cycles of the quintic-sextic system. To control all limit cycle bifurcations, especially bifurcations of multiple limit cycles, it is necessary to know the properties and combine the actions of all parameters rotating the vector field of the system. This can be done using the Wintner – Perko termination principle, according to which a maximal one-parameter family of multiple limit cycles terminates either at a singular point, which typically has the same multiplicity (cyclicity), or at a separatrix cycle, which also typically has the same multiplicity (cyclicity). This principle is a consequence of the principle of natural termination which was stated for higher-dimensional dynamical systems by Wintner who studied one-parameter families of periodic orbits of the restricted three-body problem and proved that in the analytic case any oneparameter family of periodic orbits can be uniquely continued through any bifurcation except a period-doubling bifurcation. Applying the planar Wintner – Perko principle, we prove that if the cyclicity of the focus in the system under consideration is three, then the system can have at most three limit cycles surrounding one singular point.

Eco-epidemiological models provide insights into factors influencing disease transmission and host population stability. This study developed two eco-epidemiological models to investigate the impacts of prey refuge availability and an Allee effect on dynamics. Model A incorporated these mechanisms, while model B did not. Both models featured predator – prey and disease transmission and were analyzed mathematically and via simulation. Model equilibrium states were examined locally and globally under differing parameter combinations representative of environmental scenarios. Model A and B demonstrated globally stable conditions within certain parameter ranges, signalling refuge and Allee effect terms promote robustness. Moreover, model A showed a higher potential toward extinction of the species as a result of incorporating the Allee effect. Bifurcation analyses revealed qualitative shifts in behavior triggered by modifications like altered predation mortality. Model A manifested a transcritical bifurcation indicating critical population thresholds. Additional bifurcation types were noticed when refuge and Allee stabilizing impacts were absent in model B. Findings showed disease crowding effect and that host persistence is positively associated with refuge habitat, reducing predator – prey encounters. The Allee effect also calibrated stability via heightened sensitivity to small groups. Simulations aligned with mathematical predictions. Model A underwent bifurcations at critical predator death rates impacting prey outcomes. This work provides a valuable framework to minimize transmission given resource availability or demographic alterations, generating testable hypotheses.

Eco-epidemiological models provide insights into factors influencing disease transmission and host population stability. This study developed two eco-epidemiological models to investigate the impacts of prey refuge availability and an Allee effect on dynamics. Model A incorporated these mechanisms, while model B did not. Both models featured predator – prey and disease transmission and were analyzed mathematically and via simulation. Model equilibrium states were examined locally and globally under differing parameter combinations representative of environmental scenarios. Model A and B demonstrated globally stable conditions within certain parameter ranges, signalling refuge and Allee effect terms promote robustness. Moreover, model A showed a higher potential toward extinction of the species as a result of incorporating the Allee effect. Bifurcation analyses revealed qualitative shifts in behavior triggered by modifications like altered predation mortality. Model A manifested a transcritical bifurcation indicating critical population thresholds. Additional bifurcation types were noticed when refuge and Allee stabilizing impacts were absent in model B. Findings showed disease crowding effect and that host persistence is positively associated with refuge habitat, reducing predator – prey encounters. The Allee effect also calibrated stability via heightened sensitivity to small groups. Simulations aligned with mathematical predictions. Model A underwent bifurcations at critical predator death rates impacting prey outcomes. This work provides a valuable framework to minimize transmission given resource availability or demographic alterations, generating testable hypotheses.