Все выпуски

В работе описывается двухстадийная модель равновесного распределения транспортных потоков. Модель состоит из двух блоков, где первый блок — модель расчета матрицы корреспонденций, а второй блок — модель равновесного распределения транспортных потоков по путям. Первая модель, используя матрицу транспортных затрат (затраты на перемещение из одного района в другой, в данном случае — время), рассчитывает матрицу корреспонденций, описывающую потребности в объемах передвижения из одного района в другой район. Для решения этой задачи предлагается использовать один из наиболее популярных в урбанистике способов расчета матрицы корреспонценций — энтропийную модель. Вторая модель на базе равновесного принципа Нэша–Вардропа (каждый водитель выбирает кратчайший для себя путь) описывает, как именно потребности в перемещениях, задаваемые матрицей корреспонденций, распределяются по возможным путям. Таким образом, зная способы распределения потоков по путям, можно рассчитать матрицу затрат. Равновесием в двухстадийной модели транспортных потоков называют неподвижную точку цепочки из этих двух моделей. Практически ранее отмеченную задачу поиска неподвижной точки решали методом простых итераций. К сожалению, на данный момент вопрос сходимости и оценки скорости сходимости для этого метода не изучен. Кроме того, при численной реализации алгоритма возникает множество проблем. В частности, при неудачном выборе точки старта возникают ситуации, в которых алгоритм требует вычисления экстремально больших чисел и превышает размер доступной памяти даже в самых современных вычислительных машинах. Поэтому в статье предложены способ сведения задачи поиска описанного равновесия к задаче выпуклой негладкой оптимизации и численный способ решения полученной задачи оптимизации. Для обоих методов решения задачи были проведены численные эксперименты. Авторами использовались данные для Владивостока (для этого была обработана информация из различных источников и собрана в новый пакет) и двух небольших городов США. Методом простой прогонки двух блоков сходимости добиться не удалось, тогда как вторая модель для того же набора данных продемонстрировала скорость сходимости $k^{−1.67}$.

Методы оптимизации первого порядка являются важным рабочим инструментов для широкого спектра современных приложений в разных областях, среди которых можно выделить экономику, физику, биологию, машинное обучение и управление. Среди методов первого порядка особого внимания заслуживают ускоренные (моментные) методы в силу их практической эффективности. Метод тяжелого шарика (heavy-ball method — HB) — один из первых ускоренных методов. Данный метод был разработан в 1964 г., и для него был проведен анализ сходимости для квадратичных сильно выпуклых функций. С тех пор были предложены и проанализированы разные варианты HB. В частности, HB известен своей простотой реализации и эффективностью при решении невыпуклых задач. Однако, как и другие моментные методы, он имеет немонотонное поведение; более того, при сходимости HB с оптимальными параметрами наблюдается нежелательное явление, называемое пик-эффектом. Чтобы решить эту проблему, в этой статье мы рассматриваем усредненную версию метода тяжелого шарика (averaged heavy-ball method — AHB). Мы показываем, что для квадратичных задач AHB имеет меньшее максимальное отклонение от решения, чем HB. Кроме того, для общих выпуклых и сильно выпуклых функций доказаны неускоренные скорости глобальной сходимости AHB, его версии WAHB cо взвешенным усреднением, а также для AHB с рестартами R-AHB. Насколько нам известно, такие гарантии для HB с усреднением не были явно доказаны для сильно выпуклых задач в существующих работах. Наконец, мы проводим несколько численных экспериментов для минимизации квадратичных и неквадратичных функций, чтобы продемонстрировать преимущества использования усреднения для HB. Кроме того, мы также протестировали еще одну модификацию AHB, называемую методом tail-averaged heavy-ball (TAHB). В экспериментах мы наблюдали, что HB с правильно настроенной схемой усреднения сходится быстрее, чем HB без усреднения, и имеет меньшие осцилляции.

Предложен алгоритм идентификации параметров плоской вихревой структуры по информации о скорости теченияв конечном (малом) наборе опорных точек. Алгоритм основан на использовании модельной системы точечных вихрей и минимизации в пространстве ее параметров целевого функционала, оценивающего близость модельного и известного наборов векторов скорости. Для численной реализации используются модифицированный метод градиентного спуска с управлением шагом, аппроксимации производных конечными разностями, аналитическое выражение для поля скорости, индуцируемое модельной системой. Проведен численный экспериментальный анализ работы алгоритма на тестовых течениях: одного и системы нескольких точечных вихрей, вихря Рэнкина и диполя Ламба. Используемые дляид ентификации векторы скорости задавались в случайно распределенных наборах опорных точек (от 3 до 200) согласно известным аналитическим выражениям для тестовых полей скорости. В результате вычислений показано: алгоритм сходится к искомому минимуму из широкой области начальных приближений; алгоритм сходится во всех случаях когда опорные точки лежат в областях, где линии тока тестовой и модельной систем топологически эквивалентны; если системы топологически не эквивалентны, то доля удачных расчетов снижается, но сходимость алгоритма также может иметь место; координаты найденных в результате сходимости алгоритма вихрей модельной системы близки к центрам вихрей тестовых конфигураций, а во многих случаях и значения их интенсивностей; сходимость алгоритма в большей степени зависит от расположения, чем от количества используемых при идентификации векторов. Результаты исследования позволяют рекомендовать предложенный алгоритм для анализа плоских вихревых структур, у которых линии тока топологически близки траекториям частиц в поле скорости систем точечных вихрей.

Представлена программа NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) численного решения граничных задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с использованием нумеровской конечно-разностной аппроксимации четвертого порядка относительно шага дискретизации по пространственной переменной. Обсуждаются алгоритмы вычисления ньютоновского итерационного параметра. Выполнены методические расчеты, демонстрирующие влияние выбора итерационного параметра на сходимость итерационного процесса. Представлены результаты проведенного с помощью программы NINE численного исследования положительных частицеподобных решений уравнения скалярного поля.

В работе предложен новый метод моделирования плотных материалов на основе алгоритма упаковки сферополиэдров, описана математическая модель сферополиэдра и обсуждены результаты вычислительных экспериментов на различных упаковках сферополиэдров. Результаты экспериментов показали сходимость метода. Проведенные эксперименты включают исследования упаковок сферополиэдров различной формы, полидисперсных и ориентированных структур. Метод может быть применен для виртуального проектирования плотных материалов, имеющих в составе несферические частицы.

В работе рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Изучаемые уравнения содержат оператор Бесселя, два оператора дробного дифференцирования Герасимова – Капуто с разными порядками $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрены два вида интегро-дифференциальных уравнений: в первом случае уравнение содержит нелокальный источник, т.е. интеграл от неизвестной функции по переменной интегрирования $x$, а во втором — случае интеграл по временной переменной $\tau$, обозначающий эффект памяти. Подобные задачи возникают при изучении процессов с предысторией. Для решения дифференциальных задач при различных соотношениях $\alpha$ и $\beta$ получены априорные оценки в дифференциальной форме, откуда следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. Для приближенного решения поставленных задач построены разностные схемы с порядком аппроксимации $O(h^2+\tau^2)$ при $\alpha=\beta$ и $O(h^2+\tau^{2-\max\{\alpha,\beta\}})$ при $\alpha\neq\beta$. Исследование единственности, устойчивости и сходимости решения проводится с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решений разностных задач при различных соотношениях $\alpha$ и $\beta$, откуда следуют единственность и устойчивость, а также сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Исследованы пути упрощения разностных схем интегрирования уравнения Ланжевена варьированием коэффициента корреляции приращений. Для семейства численных методов получено общее аналитическое выражение для координаты и скорости. Показано, что асимптотическое значение среднего квадрата скорости для ряда разностных схем зависит от размера шага. Оценивается область применимости численных методов, а также соотношение между порядками сходимости. Выявлено, что без точного учета скоррелированности приращений разностная схема, построенная на точном решении, имеет ошибку, сравнимую с методами первого порядка.

В статье изложены основные положения методики расчета отделения полезной нагрузки (объектов различного назначения с собственным движительным комплексом) от подводного носителя методом самовыхода с использованием современных методов численной гидродинамики (CFD-технологий). Приводится описание метода отделения самовыходом, его достоинства и недостатки. Приводятся результаты исследования сходимости по сетке конечно-объемной модели по критерию «точность–время», а также результаты сопоставления расчета с экспериментом (валидации модели). Валидация модели проводилась по имеющимся данным экспериментального определения тяговых характеристик водометного движительного комплекса натурного образца в опытовом бассейне. Расчеты тяговых характеристик водометного движительного комплекса проводились с применением программного комплекса FlowVision версии 3.10. На основании сопоставления результатов расчетов для условий проведения экспериментов была определена погрешность расчетной модели водометного движительного комплекса, которая составила не более 5 % в диапазоне поступей работы водометного движительного комплекса, реализуемых в процессе отделения методом самовыхода. Полученное значение погрешности расчета тяговых характеристик используется для определения предельных расчетных значений скорости отделения объекта от носителя (минимальные и максимальные значения). Рассмотренная задача является значимой с научной точки зрения благодаря особенностям подхода к моделированию водометного движительного комплекса совместно с движением отделяемого объекта, а также с практической точки зрения благодаря возможности получения с высокой степенью достоверности параметров отделения объектов от подводных аппаратов методом самовыхода, условия работы которых предполагают движение в замкнутых объемах, уже на стадии проектирования.

В этой статье мы предлагаем новый метод первого порядка для композитных невыпуклых задач минимизации с простыми ограничениями и неточным оракулом. Целевая функция задается как сумма «сложной», возможно, невыпуклой части с неточным оракулом и «простой» выпуклой части. Мы обобщаем понятие неточного оракула для выпуклых функций на случай невыпуклых функций. Неформально говоря, неточность оракула означает, что для «сложной» части в любой точке можно приближенно вычислить значение функции и построить квадратичную функцию, которая приближенно ограничивает эту функцию сверху. Рассматривается два возможных типа ошибки: контролируемая, которая может быть сде- лана сколь угодно маленькой, например, за счет решения вспомогательной задачи, и неконтролируемая. Примерами такой неточности являются: гладкие невыпуклые функции с неточным и непрерывным по Гёльдеру градиентом, функции, заданные вспомогательной равномерно вогнутой задачей максимизации, которая может быть решена лишь приближенно. Для введенного класса задачм ы предлагаем метод типа проекции градиента / зеркального спуска, который позволяет использовать различные прокс-функции для задания неевклидовой проекции на допустимое множество и более гибкой адаптации к геометрии допустимого множества; адаптивно выбирает контролируемую ошибку оракула и ошибку неевклидового проектирования; допускает неточное проксимальное отображение с двумя типами ошибки: контролируемой и неконтролируемой. Мы доказываем скорость сходимости нашего метода в терминах нормы обобщенного градиентного отображения и показываем, что в случае неточного непрерывного по Гёльдеру градиента наш метод является универсальным по отношению к параметру и константе Гёльдера. Это означает, что методу не нужно знание этих параметров для работы. При этом полученная оценка сложности является равномерно наилучшей при всех параметрах Гёльдера. Наконец, в частном случае показано, что малое значение нормы обобщенного градиентного отображения в точке означает, что в этой точке приближенно выполняется необходимое условие локального минимума.

Пандемия COVID-19 вызвала рост интереса к математическим моделям эпидемического процесса, так как только статистический анализ заболеваемости не позволяет проводить среднесрочное прогнозирование в условиях быстро меняющейся ситуации.

Среди специфичных особенностей COVID-19, которые нужно учитывать в математических моделях, можно отметить гетерогенность возбудителя, неоднократные смены доминирующего варианта SARS-CoV-2 и относительную кратковременность постинфекционного иммунитета.

В связи с этим были аналитически изучены решения системы дифференциальных уравнений для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета, а также проведены численные расчеты для динамики системы при средней длительности постинфекционного иммунитета порядка года.

Для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета было доказано, что любое решение можно неограниченно продолжать по времени в положительную сторону без выхода за область определения системы.

Для контактного числа $R_0 \leqslant 1$ все решения стремятся к единственномут ривиальному стационарному решению с нулевой долей инфицированных, а для $R_0 > 1$ кроме тривиального решения существует и нетривиальное стационарное решение с ненулевыми долями инфицированных и восприимчивых. Были доказаны существование и единственность нетривиального стационарного решения при $R_0 > 1$, а также доказано, что оно является глобальным аттрактором.

Также для нескольких вариантов гетерогенности были вычислены собственные числа для скорости экспоненциальной сходимости малых отклонений от нетривиального стационарного решения.

Получено, что при значениях контактного числа, соответствующих COVID-19, фазовая траектория имеет вид скручивающейся спирали с длиной периода порядка года.

Это соответствует реальной динамике заболеваемости COVID-19, при которой после нескольких месяцев роста заболеваемости начинается период его падения. При этом второй волны заболеваемости меньшей амплитуды, что предсказывала модель, не наблюдалось, так как на протяжении 2020–2023 годов примерно каждые полгода появлялся новый вариант SARS-CoV-2, имеющий большую заразность, чем предыдущий, в результате чего новый вариант вытеснял предыдущий и становился доминирующим.