Все выпуски

В работе рассматривается эффект поляризации вакуума скалярного поля на группах Ли с биинвариантной метрикой Робертсона–Уокера. При помощи метода орбит найдены выражения для вакуумных средних тензора энергии-импульса скалярного поля, которые определяются характером представления группы. Показана совместность уравнений Эйнштейна с данным тензором энергии-импульса. В качестве примера рассмотрена модель перемешанного мира.

Малая практическая ценность многих численных методов решения несимметричных систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами объясняется тем, что эти методы в реальных условиях ведут себя совсем иначе, чем в случае точных вычислений. Исторически вопросам устойчивости не отводилось достаточного внимания, как в численной алгебре «средних размеров», а делался акцент на решении задач максимального порядка при данных возможностях вычислительной машины, в том числе за счет некоторой потери точности результатов. Поэтому главными объектами исследования были: наиболее целесообразное хранение информации, заключенной в разреженной матрице; поддержание наибольшей степени ее разреженности на всех этапах вычислительного процесса. Таким образом, разработка эффективных численных методов решения неустойчивых систем относится к актуальным проблемам вычислительной математики.

В данной работе рассмотрен подход к построению численно устойчивых прямых мультипликативных методов решения систем линейных уравнений, учитывающих разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Рассмотрен формат хранения разреженных матриц, преимущество которого состоит в возможности параллельного выполнения любых матричных операций без распаковывания, что значительно сокращает время выполнения операций и объем занимаемой памяти.

Прямые мультипликативные методы решения систем линейных уравнений являются наиболее приспособленными для решения задач большого размера на ЭВМ: разреженные матрицы системы позволяют получать мультипликаторы, главные строки которых также разрежены, а операция умножения вектора-строки на мультипликатор по трудоемкости пропорциональна числу ненулевых элементов этого мультипликатора.

В качестве прямого продолжения данной работы в основу построения прямого мультипликативного алгоритма линейного программирования предлагается положить модификацию прямого мультипликативного алгоритма решения систем линейных уравнений, основанного на интеграции техники метода линейного программирования для выбора ведущего элемента. Прямые мультипликативные методы линейного программирования являются наиболее приспособленными и для построения прямого мультипликативного алгоритма задания направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из существующих техник построения существенно положительно-определенной матрицы вторых производных.

Задача выпуклой онлайн-оптимизации естественно возникают в случаях, когда имеет место обновления статистической информации. Для задач негладкой оптимизации хорошо известен метод зеркального спуска. Зеркальный спуск — это расширение субградиентного метода для решения негладких выпуклых задач оптимизации на случай неевкидова расстояния. Работа посвящена стохастическим аналогам недавно предложенных методов зеркального спуска для задач выпуклой онлайн-оптимизации с выпуклыми липшицевыми (вообще говоря, негладкими) функциональными ограничениями. Это означает, что вместо (суб)градиента целевого функционала и функционального ограничения мы используем их стохастические (суб)градиенты. Точнее говоря, допустим, что на замкнутом подмножестве $n$-мерного векторного пространства задано $N$ выпуклых липшицевых негладких функционалов. Рассматривается задача минимизации среднего арифметического этих функционалов с выпуклым липшицевым ограничением. Предложены два метода для решения этой задачи с использованием стохастических (суб)градиентов: адаптивный (не требует знания констант Липшица ни для целевого функционала, ни для ограничения), а также неадаптивный (требует знания константы Липшица для целевого функционала и ограничения). Отметим, что разрешено вычислять стохастический (суб)градиент каждого целевого функционала только один раз. В случае неотрицательного регрета мы находим, что количество непродуктивных шагов равно $O$($N$), что указывает на оптимальность предложенных методов. Мы рассматриваем произвольную прокс-структуру, что существенно для задач принятия решений. Приведены результаты численных экспериментов, позволяющие сравнить работу адаптивного и неадаптивного методов для некоторых примеров. Показано, что адаптивный метод может позволить существенно улучшить количество найденного решения.

Работа посвящена вопросам приближения периодических функций высокой гладкости средними арифметическими суммами Фурье. Наиболее естественным и простым примером линейного процесса аппроксимации непрерывных периодических функций действительной переменной является приближение элементами последовательностей частичных сумм ряда Фурье. Известно, что последовательности частичных сумм ряда Фурье не являются равномерно сходящимися на всем пространстве C 2$\pi$-периодических непрерывных функций. Значительное число работ данного направления посвящено изучению аппроксимативных свойств методов приближения, которые для заданной функции $f$ образуются с помощью преобразований частичных сумм ее ряда Фурье и позволяют построить последовательности тригонометрических полиномов, которые равномерно сходятся для каждой функции $f \in C$. На протяжении последних десятилетий широко изучаются суммы Валле Пуссена и их частные случаи суммы Фейера. Одним из наиболее важных направлений в этой области является изучение асимптотического поведения верхних граней уклонений средних арифметических сумм Фурье по различным классам периодических функций. Методы исследования интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье, возникли и получили свое развитие в работах С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, Н.П. Корнейчука, В.К. Дзядыка и их учеников.

Целью работы является систематизация известных результатов, касающихся приближения классов периодических функций высокой гладкости средними арифметическими суммами Фурье, и представление новых фактов, полученных для их частных случаев. Изучены аппроксимативные свойства тригонометрических полиномов, порождаемых повторным применением метода суммирования Валле Пуссена, на классах периодических функций, которые можно регулярно продолжить в фиксированную полосу комплексной плоскости. Получены асимптотические формулы для верхних граней уклонений в равномерной метрике $r$-повторных сумм Валле Пуссена на классах аналитических периодических функций. Указаны условия, при которых повторные суммы Валле Пуссена обеспечивают лучший порядок приближения, чем обычные.