Все выпуски

В современной кардиологии точная оценка функциональной значимости стенозов коронарных артерий является критическим фактором для выбора тактики лечения и принятия обоснованных клинических решений. В данной работе представлен автоматизированный алгоритм для обработки динамических последовательностей рентгеновских ангиографических изображений, направленный на оценку скорости кровотока. Данный параметр служит основой для определения количественного соотношения кровотока (QFR), выступающего эффективной неинвазивной альтернативой традиционному инвазивному измерению фракционного резерва кровотока. Предложенная методика успешно преодолевает классические трудности ангиографического анализа, такие как артефакты движения сосудов в ходе сердечно-дыхательного цикла, неравномерная контрастная плотность и геометрическая сложность сосудистого дерева в двумерных проекциях.

Представленный алгоритм обработки включает в себя несколько ключевых стадий. Первоначально выполняется предобработка кадров для подавления шумов и фильтрации анатомического фона. Далее проводится сегментация с использованием фильтра Сато и пороговой обработки Оцу, после чего производится скелетонизация для извлечения центральных линий сосудов. Особое внимание уделено алгоритму автоматической идентификации точек бифуркации и фильтрации артефактных пересечений, возникающих при наложении сосудов. Для обеспечения непрерывности данных применяется метод временного отслеживания целевого сегмента на основе корреляции шаблонов, что особенно важно в фазах с низкой концентрацией контрастного вещества. Математическое ядро алгоритма основано на решении обратной одномерной задачи для уравнения адвекции – диффузии, что позволяет восстановить скорость кровотока по временным кривым интенсивности.

В рамках исследования проведена детальная валидация метода путем сопоставления результатов автоматического расчета с ручными экспертными измерениями на десяти наборах клинических данных. Полученные результаты подтверждают устойчивость вычислительной схемы в физиологически значимых диапазонах и ее способность значительно снижать межэкспертную вариабельность. Разработанный подход минимизирует необходимость врачебного вмешательства в процесс обработки данных, открывая перспективы для создания систем поддержки принятия врачебных решений в реальном времени в условиях катетеризационной лаборатории.

Предложена модель рыночного ценообразования фирм-дуополистов, представляющая динамику цен в виде четырехпараметрического двумерного отображения. Показано, что неподвижная точка данного отображения совпадает с точкой локального равновесия цен по Нэшу при игровом взаимодействии фирм. Численно выявлены бифуркации неподвижной точки, показан сценарий перехода от периодического режима к хаотическому через удвоение периода. Для обеспечения устойчивости локального равновесия цен по Нэшу предложен механизм управления динамикой цен на рынке, позволяющий стабилизировать хаотические траектории цен и согласовать экономические интересы фирм в процессе формирования их ценовой политики.

В работе изучаются пространственно-временные режимы, реализующиеся в системе типа «хищник– жертва». Предполагается, что хищники перемещаются направленно и случайно, а жертвы распространяются только диффузионно. Демографические процессы в популяции хищников не учитываются, их общая численность постоянна и является параметром. Переменные модели — плотности популяций хищников и жертв, скорость хищников — связаны между собой системой трех уравнений типа «реакция – диффузия – адвекция». Система рассматривается на кольцевом ареале (с периодическими условиями на границах интервала). Исследуются бифуркации волновых режимов при изменении двух параметров — общего количества хищников и их коэффициента таксисного ускорения.

Основным методом исследования является численный анализ. Пространственная аппроксимация задачи в частных производных производится методом конечных разностей. Интегрирование полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени проводится методом Рунге – Кутты. Для анализа динамических режимов используются построение отображения Пуанкаре, расчет показателей Ляпунова и спектр Фурье.

Показано, что популяционные волны в предположениях модели могут возникать в результате направленных перемещений хищников. Динамика в системе качественно меняется при росте их общего количества. При малых значениях устойчив стационарный однородный режим, который сменяется автоколебаниями в виде бегущих волн. Форма волн претерпевает изменения с ростом бифуркационного параметра, ее усложнение происходит за счет увеличения числа временных колебательных мод. Большой коэффициент таксисного ускорения приводит к переходу от многочастотных к хаотическим и гиперхаотическим популяционным волнам. При большом количестве хищников реализуется стационарный режим с отсутствием жертв.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

Методами математического моделирования оценивается спектр влияния зоопланктона на динамику обилия фитопланктона. Предложена трехкомпонентная модель сообщества «фитопланктон–зоопланктон» с дискретным временем, рассматривающая неоднородность зоопланктона по стадии развития и типу питания, учтено наличие каннибализма в сообществе зоопланктона, в процессе которого зрелые особи некоторых его видов поедают ювенильных. Процессы взаимодействия зоо- и фитопланктона в явном виде учтены в выживаемостях на ранних стадиях жизненного цикла зоопланктона; а также явно рассматривается убыль фитопланктона в результате выедания его биомассы зоопланктоном; используется трофическая функция Холлинга II типа для описания насыщения при потреблении биомассы. Динамика фитопланктонного сообщества представлена уравнением Рикера, что позволяет неявно учитывать ограничение роста биомассы фитопланктона доступностью внешних ресурсов (минерального питания, кислорода, освещенности и т. п.).

Проанализированы сценарии перехода от стационарной динамики к колебаниям численности фито- и зоопланктона при различных значениях внутрипопуляционных параметров, определяющих характер динамики каждого из составляющих сообщество видов, и параметров их взаимодействия. Основное внимание уделено изучению огромного разнообразия сложной динамики сообщества. В рамках используемой в работе модели, описывающей динамику фитопланктона в отсутствие межвидового взаимодействия, происходит усложнение его динамики через серию бифуркаций удвоения периода. При этом с появлением зоопланктона каскад бифуркаций удвоения периода у фитопланктона и сообщества в целом реализуется раньше (при более низких скоростях воспроизводства клеток фитопланктона), чем в случае, когда фитопланктон развивается изолированно. При этом вариация уровня каннибализма зоопланктона способна значительно изменить как существующий в сообществе режим динамики, так и его бифуркацию; при определенной структуре пищевых отношений зоопланктона возможна реализация сценария Неймарка–Сакера в сообществе. Учитывая, что уровень каннибализма зоопланктона может меняться из-за естественных процессов созревания особей отдельных видов и достижения ими плотоядной стадии, можно ожидать выраженные изменения динамического режима в сообществе: резкие переходы от регулярной к квазипериодической динамике (по сценарию Неймарка–Сакера) и далее к точным циклам с небольшим периодом (обратная реализация каскада удвоения периода).

Оптимизация промысла остается важной задачей математической биологии. Концепция максимального равновесного изъятия MSY, популярная в теории оптимальной эксплуатации, предполагает поддержание численности популяции на уровне максимального воспроизводства, что в теории позволяет балансировать между экономической выгодой и сохранением биоресурсов. Однако этот подход имеет ограничения, обусловленные сложной структурой популяций и нелинейностью динамических процессов. Особую проблему представляют эволюционные последствия: селективный промысел изменяет условия отбора, что ведет к трансформации поведенческих характеристик, ухудшению качества потомства и изменению генофонда. Влияние неселективного промысла на генетический состав изучено меньше.

В работе исследуется влияние неселективного промысла с постоянной долей изъятия на эволюцию генетически неоднородной популяции. Предполагается, что генетическое разнообразие контролируется одним локусом с двумя аллелями. При высокой и низкой численности преимущество получают разные генотипы: одни более плодовиты (r-стратегия), другие более устойчивы к ограничению по ресурсам (K-стратегия). Рассматривается классическая эколого-генетическая модель с дискретным временем в предположении, что приспособленность каждого из генотипов линейно зависит от популяционной численности. Включение в модель коэффициента промыслового изъятия позволяет связать задачу оптимизации промысла с задачей прогноза отбора генотипов.

Аналитически показано, что при промысле, обеспечивающем максимальный устойчивый улов (MSY), равновесный генетический состав не меняется, а численность снижается вдвое, при этом тип генетического равновесия может измениться. Это связано с тем, что оптимальная доля изъятия для одного генетического равновесия не является оптимальной для других. В отсутствие промысла доминируют K-стратеги, но изъятие особей может сместить баланс в пользу r-стратегов, чья высокая плодовитость компенсирует потери. Определены критические уровни изъятия, при которых происходит смена доминирующей стратегии.

Результаты объясняют, почему промысловые популяции медленно восстанавливаются после прекращения эксплуатации: промысел закрепляет адаптации, выгодные при изъятии, но снижающие устойчивость в естественных условиях. Например, у песцов в неволе закрепляются высокопродуктивные генотипы, тогда как в природе преобладают особи с меньшей плодовитостью, но большей выживаемостью. Это указывает на необходимость учета генетической динамики при разработке стратегий устойчивого промысла.

Рассматривается одномерная трехскоростная кинетическая решеточная модель уравнения Больцмана, которая в рамках кинетической теории описывает распространение и взаимодействие частиц трех типов. Данная модель представляет собой разностную схему второго порядка для уравнений гидродинамики. Ранее было показано, что одномерная кинетическая решеточная модель уравнения Больцмана с внешней силой в пределе малых длин свободного пробега также эквивалентна одномерным уравнениям гемодинамики для эластичных сосудов, эквивалентность можно установить, используя разложение Чепмена – Энскога. Внешняя сила в модели отвечает за возможность регулировки функциональной зависимости между площадью просвета сосуда и приложенного к стенке рассматриваемого сосуда давления. Таким образом, меняя форму внешней силы, можно моделировать практически произвольные эластичные свойства стенок сосудов. В настоящей работе рассмотрены постановки физиологически интересных граничных условий для решеточных уравнений Больцмана в приложениях к задачам течения крови в сети эластичных сосудов. Разобраны следующие граничные условия: для давления и потока крови на входе сосудистой сети, условия для давления и потоков крови в точке бифуркации сосудов, условия отражения (соответствуют полной окклюзии сосуда) и поглощения волн на концах сосудов (эти условия соответствуют прохождению волны без искажений), а также условия типа RCR, представляющие собой схему, аналогичную электрическим цепям и состоящую из двух резисторов (соответствующих импедансу сосуда, на конце которого ставятся граничные условия, а также силам трения крови в микроциркуляторном русле) и одного конденсатора (описывающего эластичные свойства артериол). Проведено численное моделирование, рассмотрена задача о распространении крови в сети из трех сосудов, на входе сети ставятся условияна входящий поток крови, на концах сети ставятсяу словия типа RCR. Решения сравниваются с эталонными, в качестве которых выступают результаты численного счета на основе разностной схемы Маккормака второго порядка (без вязких членов), показано, что оба подхода дают практически идентичные результаты.

Коллективное поведение может выступать в роли механизма терморегуляции и играть ключевую роль при выживании группы организмов. Такие явления в среде животных, как правило, являются предметом изучения биологии, так как внезапные переходы к коллективному поведению трудно дифференцировать от психологической и социальной адаптации животных в группе. Тем не менее в работе указывается важный пример, когда стая животных демонстрирует фазовые переходы, сходные с явлением классической тепловой конвекции в жидкостях и газах. Этот вопрос может быть изучен также экспериментально в рамках синтетических систем, состоящих из самодвижущихся роботов, которые действуют по определенному заданному алгоритму. Обобщая оба эти случая, мы рассматриваем задачу о фазовых переходах в плотной группе взаимодействующих самодвижущихся агентов. Врамк ах микроскопической теории мы предлагаем математическую модель явления, в которой агенты представлены в виде тел, взаимодействующих друг с другом в соответствии с эффективным потенциалом особого вида, выражающим стремление агентов двигаться в направлении градиента общего теплового поля. Показано, что управляющим параметром задачи является численность группы. Дискретная модель с индивидуальной динамикой агентов воспроизводит большинство явлений, наблюдаемых как в естественных стаях животных, демонстрирующих коллективную терморегуляцию, так и в синтетических сложных системах, состоящих из роботов. Наблюдается фазовый переход 1-го рода со сменой агрегатного состояния в среде агентов, который заключается в самосборке первоначальной слабоструктурированной массы агентов в плотные квазикристаллические структуры. Кроме того, показано, что с увеличением численности скопления наблюдается фазовый переход 2-го рода в форме тепловой конвекции, который включает внезапное ожижение группы и переход к вихревому движению. Последнее обеспечивает более эффективное расходование энергии в случае синтетической системы взаимодействующих роботов и коллективное выживание всех особей в случае природных стай животных. С ростом численности группы происходят вторичные бифуркации, вихревая структура толпы агентов усложняется.

Предложена четырехкомпонентная модель планктонного сообщества с дискретным временем, учитывающая конкурентные взаимоотношения между разными группами фитопланктона и трофические характеристики зоопланктона: рассматривается деление зоопланктона на хищный и нехищный типы. Изъятие нехищного зоопланктона хищным явно представлено в модели. Нехищный зоопланктон питается фитопланктоном, включающим два конкурирующих компонента: токсичный и нетоксичный тип, при этом последний пригоден в пищу для зоопланктона. Модель двух связанных уравнений Рикера, ориентированная на описание динамики конкурентного сообщества, используется для описания взаимодействия двух типов фитопланктона и позволяет неявно учитывать ограничение роста биомассы каждого из компонентов-конкурентов доступностью внешних ресурсов. Изъятие жертв хищниками описывается трофической функцией Холлинга типа II с учетом насыщения хищника.

Анализ сценариев перехода от стационарной динамики к колебаниям численности сообщества показал, что потеря устойчивости нетривиального равновесия, соответствующего существованию полного сообщества, может происходить как через каскад бифуркаций удвоения периода, так и бифуркацию Неймарка – Сакера, ведущую к возникновению квазипериодических колебаний. Предложенная в данной работе модель, являясь достаточно простой, демонстрирует динамику сообщества подобную той, что наблюдается в естественных системах и экспериментах: с отставанием колебаний хищника от жертвы примерно на четверть периода, длиннопериодические противофазные циклы хищника и жертвы, а также скрытые циклы, при которых плотность жертв остается практически постоянной, а плотность хищников флуктуирует, демонстрируя влияние быстрой эволюции, маскирующей трофическое взаимодействие. При этом вариация внутрипопуляционных параметров фито- или зоопланктона может приводить к выраженным изменениям динамического режима в сообществе: резким переходам от регулярной к квазипериодической динамике и далее к точным циклам с небольшим периодом или даже стационарной динамике. Квазипериодическая динамика может возникать при достаточно небольшихск оростях роста фитопланктона, соответствующих стабильной или регулярной динамике сообщества. Смена динамического режима в этой области (переход от регулярной динамики к квазипериодической и наоборот) может происходить за счет вариации начальных условий или внешнего воздействия, изменяющего текущие численности компонентов и смещающего систему в бассейн притяжения другого динамического режима.