Все выпуски

В работе рассматривается появление хаотических аттракторов в системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в теории систем «реакция–диффузия». Исследуются динамика соответствующих одномерных и двумерных отображений и ляпуновские показатели возникающих аттракторов. Показано, что переход к хаосу происходит по нетрадиционному сценарию, связанному с многократным рождением и исчезновением хаотических режимов, который ранее был изучен для одномерных отображений с острой вершиной и квадратичным минимумом. С помощью численного анализа были исследованы характерные особенности системы: наличие областей бистабильности и гиперболичности, кризис хаотических аттракторов.

The article discusses the emergence of chaotic attractors in the system of three ordinary differential equations arising in the theory of «reaction-diffusion» systems. The dynamics of the corresponding one- and two-dimensional maps and Lyapunov exponents of such attractors are studied. It is shown that the transition to chaos is in accordance with a non-traditional scenario of repeated birth and disappearance of chaotic regimes, which had been previously studied for one-dimensional maps with a sharp apex and a quadratic minimum. Some characteristic features of the system — zones of bistability and hyperbolicity, the crisis of chaotic attractors — are studied by means of numerical analysis.

Показано, что для различных баллистических профилей во всем скоростном пространстве сила сопротивления изменяется со скоростью V по закону R(V)=Mg·w(V/W_T)^n(V), где W_T — близкая к звуковой пороговая скорость, w=R(W_T), n(V) — значение показателя в кусочно-степенной формуле. Методом, базирующимся на преобразованиях Лежандра, найдена отражающая пик n(V) поправка к невозмущенной резольвентной функции f(b)=a_bb'', a(b) — подкасательная к траектории, b=tgθ — ее наклон.

It is shown that the relative air drag force for many different ballistic profiles obeys the law as follows R(V)=Mg·w(V/W_T)^n(V) with V being the velocity, W_T — some threshold velocity close to that of sound, w equals to R(W_T) and n(V) is the exponent in broken power Gȃvre formula. Using the Legendre transformation and in frames of perturbation approach received was the expression for addition δa_bb''(b) to resolvent function a_bb''(b), where a(b) is an intercept and b=tgθ, θ — inclination angle.

Работа принадлежит направлению экспериментальной математики, исследующей свойства математических объектов вычислительными средствами компьютера. Базовым отображением служит экспоненциальное, топологические свойства (букеты Кантора) которого отличаются от свойств полиномиальных и рациональных функций на комплексной плоскости. Предметом исследования являются характер и особенности множеств Фату и Жюлиа, а также точек равновесия и орбит нуля трех итерированных комплекснозначных отображений: $f:z \to (1+ \mu) \exp (iz)$, $g : z \to \big(1+ \mu |z - z^*|\big) \exp (iz)$, $h : z \to \big(1+ \mu (z - z^* )\big) \exp (iz)$, где $z,\mu \in \mathbb{C}$, $z^* : \exp (iz^*) = z^*$. Для квазилинейного отображения g, не обладающего свойством аналитичности, было обнаружено два бифуркационных перехода: рождение новой точки равновесия (для него было найдено критическое значение параметра, а сама бифуркация представляет собой смешанный случай «вилки» и седлоузельного перехода) и переход к радикальной трансформации множества Фату. Выявлен нетривиальный характер сходимости к фиксированной точке, связанный с появлением «долин» на графике скоростей сходимости. Для двух других отображений существенна монопериодичность режимов, отмечен феномен «удвоения периода» (в одном случае по пути $39\to 3$, в другом — по пути $17\to 2$), причем обнаружено совпадение кратности периода и числа рукавов спирали множества Жюлиа в окрестности фиксированной точки. Приведен богатый иллюстративный материал, численные результаты экспериментов и сводные таблицы, отражающие параметрическую зависимость отображений. Сформулированы вопросы для дальнейшего исследования средствами традиционной математики.

The work belongs to the direction of experimental mathematics, which investigates the properties of mathematical objects by the computing facilities of a computer. The base is an exponential map, its topological properties (Cantor's bouquets) differ from properties of polynomial and rational complex-valued functions. The subject of the study are the character and features of the Fatou and Julia sets, as well as the equilibrium points and orbits of the zero of three iterated complex-valued mappings: $f:z \to (1+ \mu) \exp (iz)$, $g : z \to \big(1+ \mu |z - z^*|\big) \exp (iz)$, $h : z \to \big(1+ \mu (z - z^* )\big) \exp (iz)$, with $z,\mu \in \mathbb{C}$, $z^* : \exp (iz^*) = z^*$. For a quasilinear map g having no analyticity characteristic, two bifurcation transitions were discovered: the creation of a new equilibrium point (for which the critical value of the linear parameter was found and the bifurcation consists of “fork” type and “saddle”-node transition) and the transition to the radical transformation of the Fatou set. A nontrivial character of convergence to a fixed point is revealed, which is associated with the appearance of “valleys” on the graph of convergence rates. For two other maps, the monoperiodicity of regimes is significant, the phenomenon of “period doubling” is noted (in one case along the path $39\to 3$, in the other along the path $17\to 2$), and the coincidence of the period multiplicity and the number of sleeves of the Julia spiral in a neighborhood of a fixed point is found. A rich illustrative material, numerical results of experiments and summary tables reflecting the parametric dependence of maps are given. Some questions are formulated in the paper for further research using traditional mathematics methods.

В работе описывается свободно распространяемая прикладная программа для исследований в области голоморфной динамики на основе вычислительных возможностей среды MATLAB. Программа позволяет строить не только одиночные комплекснозначные отображения, но и их коллективы как линейно связанные, на квадратной или гексагональной решетке. В первом случае строятся аналоги множества Жюлиа (в виде точек убегания с цветовой индикацией скорости убегания), Фату (с выделением хаотической динамики) и множества Мандельброта, порожденного одним из двух свободных параметров. Во втором случае рассматривается только динамика клеточного автомата с комплекснозначным состоянием ячеек и всеми коэффициентами в локальной функции перехода. Абстрактность объектно-ориентированного программирования позволяет объединить оба типа расчета в рамках одной программы, описывающей итеративную динамику одного объекта.

Для формы поля, начальных условий, шаблона окрестности и особенностей окрестности у граничных ячеек предусмотрены опции выбора. Вид отображения может быть задан регулярным для интерпретатора MATLAB выражением. В статье приводятся некоторые UML-диаграммы, краткое введение в пользовательский интерфейс и ряд примеров.

В качестве рабочих иллюстраций, содержащих новое научное знание, были рассмотрены следующие случаи:

1) дробно-линейное отображение вида $Az^{n} +B/z^{n} $, для которого случаи $n=2$, $4$, $n>1$, известны. На портрете множества Фату привлекают внимание характерные (для классического квадратичного отображения) фигурки <<пряничных человечков>>, показывающие короткопериодические режимы, находящиеся в море компоненты условно хаотической динамики;

2) у множества Мандельброта при нестандартном положении параметра в показателе степени $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ на эскизных расчетах обнаруживаются некие зубчатые структуры и облака точек, напоминающие пыль Кантора, не являющиеся букетами Кантора, характерными для экспоненциального отображения. В дальнейшем требуется детализация этих объектов со сложной топологией.

The paper describes a free software for research in the field of holomorphic dynamics based on the computational capabilities of the MATLAB environment. The software allows constructing not only single complex-valued mappings, but also their collectives as linearly connected, on a square or hexagonal lattice. In the first case, analogs of the Julia set (in the form of escaping points with color indication of the escape velocity), Fatou (with chaotic dynamics highlighting), and the Mandelbrot set generated by one of two free parameters are constructed. In the second case, only the dynamics of a cellular automaton with a complex-valued state of the cells and of all the coefficients in the local transition function is considered. The abstract nature of object-oriented programming makes it possible to combine both types of calculations within a single program that describes the iterated dynamics of one object.

The presented software provides a set of options for the field shape, initial conditions, neighborhood template, and boundary cells neighborhood features. The mapping display type can be specified by a regular expression for the MATLAB interpreter. This paper provides some UML diagrams, a short introduction to the user interface, and some examples.

The following cases are considered as example illustrations containing new scientific knowledge:

1) a linear fractional mapping in the form $Az^{n} +B/z^{n} $, for which the cases $n=2$, $4$, $n>1$, are known. In the portrait of the Fatou set, attention is drawn to the characteristic (for the classical quadratic mapping) figures of <>, showing short-period regimes, components of conventionally chaotic dynamics in the sea;

2) for the Mandelbrot set with a non-standard position of the parameter in the exponent $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ sketch calculations reveal some jagged structures and point clouds resembling Cantor's dust, which are not Cantor's bouquets that are characteristic for exponential mapping. Further detailing of these objects with complex topology is required.

Улично-дорожная сеть является основой инфраструктуры любой урбанистической территории. В данной статье сравниваются структурные характеристики (коэффициент сетчатости, коэффициент кластеризации) дорожных сетей центра Москвы (старая Москва), сформированных в результате самоорганизации, и сети дорог вблизи Ленинского проспекта (послевоенная Москва), которая формировалась в процессе централизованного планирования. Данные для построения дорожных сетей в виде первичных графов взяты из интернет-ресурса OpenStreetMap, позволяющего точно идентифицировать координаты перекрестков. По вычисленным характеристикам в зарубежных публикациях найдены города, дорожные сети которых имеют сходные с этими двумя районами Москвы структуры. С учетом двойственного представления дорожных сетей центров Москвы и Петербурга, изучались информационно-когнитивные свойства навигации по этим туристическим районам двух столиц. При построении двойственного графа исследуемых районов не принимались во внимание различия в типах дорог (одностороннее или двусторонне движение и т. п.). То есть построенные двойственные графы являются неориентированным. Поскольку дорожные сети в двойственном представлении описываются степенным законом распределения вершин по числу ребер (являются безмасштабными сетями), вычислены показатели степеней этих распределений. Показано, что информационная сложность двойственного графа центра Москвы превышает когнитивный порог в 8.1 бит, а этот же показатель для центра Петербурга ниже этого порога. Это объясняется тем, что дорожная сеть центра Петербурга создавалась на основе планирования и потому более проста для навигации. В заключение, с использованием методов статистической механики (метод расчета статистических сумм) для дорожных сетей некоторых российских городов, вычислялась энтропия Гиббса. Обнаружено, что с ростом размеров дорожных сетей их энтропия уменьшается. Обсуждаются задачи изучения эволюции сетей городской инфраструктуры различной природы (сети общественного транспорта, снабжения, коммуникации и т. д.), что позволит более глубоко исследовать и понять фундаментальные закономерности процесса урбанизации.

Road network infrastructure is the basis of any urban area. This article compares the structural characteristics (meshedness coefficient, clustering coefficient) road networks of Moscow center (Old Moscow), formed as a result of self-organization and roads near Leninsky Prospekt (postwar Moscow), which was result of cetralized planning. Data for the construction of road networks in the form of graphs taken from the Internet resource OpenStreetMap, allowing to accurately identify the coordinates of the intersections. According to the characteristics of the calculated Moscow road networks areas the cities with road network which have a similar structure to the two Moscow areas was found in foreign publications. Using the dual representation of road networks of centers of Moscow and St. Petersburg, studied the information and cognitive features of navigation in these tourist areas of the two capitals. In the construction of the dual graph of the studied areas were not taken into account the different types of roads (unidirectional or bi-directional traffic, etc), that is built dual graphs are undirected. Since the road network in the dual representation are described by a power law distribution of vertices on the number of edges (scale-free networks), exponents of these distributions were calculated. It is shown that the information complexity of the dual graph of the center of Moscow exceeds the cognitive threshold 8.1 bits, and the same feature for the center of St. Petersburg below this threshold, because the center of St. Petersburg road network was created on the basis of planning and therefore more easy to navigate. In conclusion, using the methods of statistical mechanics (the method of calculating the partition functions) for the road network of some Russian cities the Gibbs entropy were calculated. It was found that with the road network size increasing their entropy decreases. We discuss the problem of studying the evolution of urban infrastructure networks of different nature (public transport, supply , communication networks, etc.), which allow us to more deeply explore and understand the fundamental laws of urbanization.

В данной работе представлены результаты экспериментальной проверки некоторых вопросов, касающихся практического использования методов преодоления катастрофической забывчивости нейронных сетей. Проведено сравнение двух таких современных методов: метода эластичного закрепления весов (EWC, Elastic Weight Consolidation) и метода ослабления скоростей весов (WVA, Weight Velocity Attenuation). Разобраныих преимущества и недостатки в сравнении друг с другом. Показано, что метод эластичного закрепления весов (EWC) лучше применять в задачах, где требуется полностью сохранять выученные навыки на всех задачах в очереди обучения, а метод ослабления скоростей весов (WVA) больше подходит для задач последовательного обучения с сильно ограниченными вычислительными ресурсами или же когда требуется не точное сохранение всех навыков, а переиспользование репрезентаций и ускорение обучения от задачи к задаче. Проверено и подтверждено интуитивное предположение, что ослабление метода WVA необходимо применять к оптимизационному шагу, то есть к приращениям весов нейронной сети, а не к самому градиенту функции потерь, и это справедливо для любого градиентного оптимизационного метода, кроме простейшего стохастического градиентного спуска (SGD), для которого оптимизационный шаг и градиент функции потерь пропорциональны. Рассмотрен выбор оптимальной функции ослабления скоростей весов между гиперболической функцией и экспонентой. Показано, что гиперболическое убывание более предпочтительно, так как, несмотря на сравнимое качество при оптимальных значениях гиперпараметра метода WVA, оно более устойчиво к отклонениям гиперпараметра от оптимального значения (данный гиперпараметр в методе WVA обеспечивает баланс между сохранением старых навыков и обучением новой задаче). Приведены эмпирические наблюдения, которые подтверждают гипотезу о том, что оптимальное значение гиперпараметра не зависит от числа задач в очереди последовательного обучения. Следовательно, данный гиперпараметр может подбираться на небольшом числе задач, а использоваться — на более длинных последовательностях.

This paper presents the results of experimental validation of some structural issues concerning the practical use of methods to overcome catastrophic forgetting of neural networks. A comparison of current effective methods like EWC (Elastic Weight Consolidation) and WVA (Weight Velocity Attenuation) is made and their advantages and disadvantages are considered. It is shown that EWC is better for tasks where full retention of learned skills is required on all the tasks in the training queue, while WVA is more suitable for sequential tasks with very limited computational resources, or when reuse of representations and acceleration of learning from task to task is required rather than exact retention of the skills. The attenuation of the WVA method must be applied to the optimization step, i. e. to the increments of neural network weights, rather than to the loss function gradient itself, and this is true for any gradient optimization method except the simplest stochastic gradient descent (SGD). The choice of the optimal weights attenuation function between the hyperbolic function and the exponent is considered. It is shown that hyperbolic attenuation is preferable because, despite comparable quality at optimal values of the hyperparameter of the WVA method, it is more robust to hyperparameter deviations from the optimal value (this hyperparameter in the WVA method provides a balance between preservation of old skills and learning a new skill). Empirical observations are presented that support the hypothesis that the optimal value of this hyperparameter does not depend on the number of tasks in the sequential learning queue. And, consequently, this hyperparameter can be picked up on a small number of tasks and used on longer sequences.

В работе рассматриваются статистические оценки порога и мощности перколяционных кластеров на квадратных решетках. Порог перколяции p_c и мощность перколяционных кластеров P_∞ на квадратной решетке с (1,π)-окрестностью зависят не только от размерности решетки, но от показателя Минковского π. Для оценки мощности перколяционных кластеров P_∞ предложен новый метод, основанный на усреднении относительных частот целевого подмножества узлов решетки. Реализация предложенного метода основана на библиотеке SPSL, выпущенной под лицензией GNU GPL-3 с использованием свободного языка программирования R.

In this paper we consider statistical estimates of threshold and strength of percolation clusters on square lattices. The percolation threshold p_c and the strength of percolation clusters P_∞ for a square lattice with (1,π)-neighborhood depends not only on the lattice dimension, but also on the Minkowski exponent d. To estimate the strength of percolation clusters P_∞ proposed a new method of averaging the relative frequencies of the target subset of lattice sites. The implementation of this method is based on the SPSL package, released under GNU GPL-3 using the free programming language R.

Рассматривается иерархическая модель, предложенная Джохансеном и Сорнеттом, описывающая механизм возникновения логопериодических колебаний, предшествующих финансовым крахам, и проводится ее численный анализ. Предлагаются обобщения данной модели на основе введения зависимость степени влияния агентов друг на друга от ультраметрического расстояния между ними. Наибольшее внимание уделяется вопросу об универсальности критической точки, который исследуется с помощью построения распределений точек краха при различном числе агентов.

We consider the hierarchical model of financial crashes introduced by A. Johansen and D. Sornette which reproduces the log-periodic power law behavior of the price before the critical point. In order to build the generalization of this model we introduce the dependence of an influence exponent on an ultrametric distance between agents. Much attention is being paid to a problem of critical point universality which is investigated by comparison of probability density functions of the crash times corresponding to systems with various total numbers of agents.

Данная работа посвящена исследованию проблемы моделирования и анализа сложных колебательных режимов, как регулярных, так и хаотических, в системах взаимодействующих популяций в присутствии случайных возмущений. В качестве исходной концептуальной детерминированной модели рассматривается вольтерровская система трех дифференциальных уравнений, описывающая динамику популяций жертв двух конкурирующих видов и хищника. Данная модель учитывает следующие ключевые биологические факторы: естественный прирост жертв, их внутривидовую и межвидовую конкуренцию, вымирание хищников в отсутствие жертв, скорость выедания жертв хищником, прирост популяции хищника вследствие выедания жертв, интенсивность внутривидовой конкуренции в популяции хищника. В качестве бифуркационного параметра используется скорость роста второй популяции жертв. На некотором интервале изменения этого параметра система демонстрирует большое разнообразие динамических режимов: равновесных, колебательных и хаотических. Важной особенностью этой модели является мультистабильность. В данной работе мы фокусируемся на изучении параметрической зоны тристабильности, когда в системе сосуществуют устойчивое равновесие и два предельных цикла. Такая биритмичность в присутствии случайных возмущений порождает новые динамические режимы, не имеющие аналогов в детерминированном случае. Целью статьи является детальное изучение стохастических явлений, вызванных случайными флуктуациями скорости роста второй популяции жертв. В качестве математической модели таких флуктуаций мы рассматриваем белый гауссовский шум. Методами прямого численного моделирования решений соответствующей системы стохастических дифференциальных уравнений выявлены и описаны следующие феномены: однонаправленные стохастические переходы с одного цикла на другой; триггерный режим, вызванный переходами между циклами; индуцированный шумом переход с циклов на равновесие, отвечающее вымиранию популяции хищника и второй жертвы. В статье представлены результаты анализа этих явлений с помощью показателей Ляпунова, выявлены параметрические условия переходов от порядка к хаосу и от хаоса к порядку. Для аналитического исследования таких вызванных шумом многоэтапных переходов были применены техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей. В статье показано, как этот математический аппарат позволяет спрогнозировать интенсивность шума, приводящего к качественным трансформациям режимов стохастической популяционной динамики.

This work is devoted to the study of the problem of modeling and analyzing complex oscillatory modes, both regular and chaotic, in systems of interacting populations in the presence of random perturbations. As an initial conceptual deterministic model, a Volterra system of three differential equations is considered, which describes the dynamics of prey populations of two competing species and a predator. This model takes into account the following key biological factors: the natural increase in prey, their intraspecific and interspecific competition, the extinction of predators in the absence of prey, the rate of predation by predators, the growth of the predator population due to predation, and the intensity of intraspecific competition in the predator population. The growth rate of the second prey population is used as a bifurcation parameter. At a certain interval of variation of this parameter, the system demonstrates a wide variety of dynamic modes: equilibrium, oscillatory, and chaotic. An important feature of this model is multistability. In this paper, we focus on the study of the parametric zone of tristability, when a stable equilibrium and two limit cycles coexist in the system. Such birhythmicity in the presence of random perturbations generates new dynamic modes that have no analogues in the deterministic case. The aim of the paper is a detailed study of stochastic phenomena caused by random fluctuations in the growth rate of the second population of prey. As a mathematical model of such fluctuations, we consider white Gaussian noise. Using methods of direct numerical modeling of solutions of the corresponding system of stochastic differential equations, the following phenomena have been identified and described: unidirectional stochastic transitions from one cycle to another, trigger mode caused by transitions between cycles, noise-induced transitions from cycles to the equilibrium, corresponding to the extinction of the predator and the second prey population. The paper presents the results of the analysis of these phenomena using the Lyapunov exponents, and identifies the parametric conditions for transitions from order to chaos and from chaos to order. For the analytical study of such noise-induced multi-stage transitions, the technique of stochastic sensitivity functions and the method of confidence regions were applied. The paper shows how this mathematical apparatus allows predicting the intensity of noise, leading to qualitative transformations of the modes of stochastic population dynamics.

На основании модификации алгоритма вычисления нормированного размаха предлагается способ определения показателя Хёрста, а также оценки характерного времени, в течение которого показатель Хёрста остается постоянным. Разработан подход к упрощению автоматизации вычисления показателя Хёрста и увеличения его точности. Показатель Хёрста и характерное время вычислены для рядов мощностей речевых сигналов с различными моторными патологиями (афазии, дизартрии). Проведен их статистический анализ, произведена оценка корреляции между показателем Хёрста и характерным временем. Обсуждается возможность использования результатов в диагностике речевых патологий.

Based on modified rescaled range scale computation algorithm, the technique of Hurst exponent and its characteristic time estimation is proposed. The approach of increase the accuracy and simplification automatic Hurst exponent calculation is developed. The Hurst exponent and characteristic time is calculated for power time sets of speech signals with various motor pathologies (aphasias and dysarthrias). Results is statistically analyzed, the correlation between Hurst exponent and characteristic time is estimated.