Все выпуски

Рассмотрены эмпирические аналогии между кризисными процессами в социальных системах и фазовыми переходами с сопутствующими им критическими явлениями в «неживых» физических системах. Представлены качественное модельное описание историко-демографического прогресса (постепенная конденсация хозяйственных доменов с улучшением условий жизни населения), без дополнительных допущений объясняющее гиперболический рост населения Земли в I–XX вв. н. э., и модель современного мирового экономического кризиса как следствия спонтанной «конденсации капиталов», создавшей неуправляемые хозяйственные конгломераты, при свободной экспансии американской экономики в 1990-х и 2000-х гг. с ослаблением конкуренции («расширение в пустоту»).

Crises in social systems are considered by analogy with phase transitions and the corresponding critical phenomena in «non-living» many-particle physical systems. We present two qualitative physical models: (i) a historical and demographic progress as a gradual condensation of economical domains with an improvement of living conditions, and (ii) the modern economical crisis as a result of a spontaneous «condensation» of assets in a free expansion of the U.S. economy in 1990th and 2000th, reducing a control over large business enterprises formed in this process. The first model explains the observed hyperbolic growth of world population in the I–XX centuries A.D. without any additional assumption while the second model points to the analogy between the economic expansion with a drop of competition, and the expansion of gas into vacuum with a drop of temperature.

Рассмотрены основные современные сценарии изменений гидрохимического и температурного режимов вод Азовского моря на долгосрочную перспективу. Предложены новые схемы моделей механизмов адаптации водорослей к изменениям гидрохимического режима и температуры среды. По сравнению с традиционными эколого-эволюционными схемами данные модели имеют относительно малую размерность, высокое быстродействие и позволяют проводить разнообразные расчеты на многолетнюю перспективу (эволюционно значимые времена). На основе математической эколого-эволюционной модели нижних трофических уровней экосистемы оценено влияние изменения указанных факторов среды на динамику биомасс и микроэволюцию азовских водорослей. В каждом сценарии расчеты производились на 100 лет, при этом устанавливались финальные значения переменных и параметров, не зависящие от выбора момента старта в модели. В процессе такого асимптотического компьютерного анализа обнаружено, что в результате потепления климата и температурной адаптации организмов происходит естественное увеличение среднегодовой биомассы теплолюбивых водорослей (Pyrrophyta и Cyanophyta). Однако для ряда диатомовых водорослей (Bacillariophyta), даже с учетом их температурной адаптации, среднегодовая биомасса может неожиданно уменьшиться. Вероятно, это явление связано с ужесточением конкуренции между видами с близкими температурными параметрами существования. Также было исследовано воздействие вариации химического состава стока р. Дон на динамику биогенных веществ и водорослей Азовского моря. Оказалось, что соотношение органических форм азота и фосфора в водах моря мало изменяется. Данное явление стабилизации будет иметь место для всех высокопродуктивных водоемов с низкой проточностью, так как обусловлено преимущественно автохтонным происхождением органического вещества.

Base long-term modern scenarios of hydrochemical and temperature regimes of the Sea of Azov were considered. New schemes of modeling mechanisms of algal adaptation to changes in the hydrochemical regime and temperature were proposed. In comparison to the traditional ecological-evolutionary schemes, these models have a relatively small dimension, high speed and allow carrying out various calculations on long-term perspective (evolutionally significant times). Based on the ecology-evolutionary model of the lower trophic levels the impact of these environmental factors on the dynamics and microevolution of algae in the Sea of Azov was estimated. In each scenario, the calculations were made for 100 years, with the final values of the variables and parameters not depending on the choice of the initial values. In the process of such asymptotic computer analysis, it was found that as a result of climate warming and temperature adaptation of organisms, the average annual biomass of thermophilic algae (Pyrrophyta and Cyanophyta) naturally increases. However, for a number of diatom algae (Bacillariophyta), even with their temperature adaptation, the average annual biomass may unexpectedly decrease. Probably, this phenomenon is associated with a toughening of competition between species with close temperature parameters of existence. The influence of the variation in the chemical composition of the Don River’s flow on the dynamics of nutrients and algae of the Sea of Azov was also investigated. It turned out that the ratio of organic forms of nitrogen and phosphorus in sea waters varies little. This stabilization phenomenon will take place for all high-productive reservoirs with low flow, due to autochthonous origin of larger part of organic matter in water bodies of this type.

В условиях развития современной экономики человеческий капитал является одним из главных факторов экономического роста. Формирование человеческого капитала начинается с рождения человека и продолжается в течение всей жизни, поэтому величина человеческого капитала неотделима от его носителей, что, в свою очередь, затрудняет учет данного фактора. Это привело к тому, что в настоящее время нет общепринятых методик расчета величины человеческого капитала. Можно выделить лишь несколько подходов к измерению человеческого капитала: стоимостной подход (по доходам или инвестициям) и индексный подход, из которых наиболее известен подход, разработанный под эгидой ООН.

В данной работе поставленная задача рассматривается совместно с задачей демографической динамики, решаемой во временно-возрастной плоскости, что позволяет наиболее полно учесть влияние временных изменений демографической структуры на динамику человеческого капитала.

Задача демографической динамики ставится в рамках модели Мак-Кендрика – фон Ферстера на основе уравнения динамики возрастного состава. Вид функций распределения рождений, смертности и миграции населения определяется на основе имеющейся статистической информации. Приводится численное решение задачи. Представлены анализ и прогноз демографических показателей. На основе задачи демографической динамики формулируется экономико-математическая модель динамики человеческого капитала. В задаче моделирования динамики человеческого капитала рассматриваются три составляющие: образовательная, составляющая здоровья и культурная (духовная) составляющая. Для описания эволюции составляющих человеческого капитала используется двумерное уравнение типа уравнения переноса. Объемы инвестиций в составляющие человеческого капитала определяются на основе расходных статей бюджета и частных расходов с учетом характерного временного жизненного цикла демографических элементов. Для прогнозирования динамики суммарной величины человеческого капитала используется одномерное кинетическое уравнение. Приводится методика расчета динамики данного фактора как функции времени. Представлены расчетные данные по динамике человеческого капитала для Российской Федерации. Как показали исследования, величина человеческого капитала интенсивно нарастала до 2008 года, в дальнейшем наступил период стабилизации, но после 2014 года имеет место отрицательная динамика данной величины.

In the conditions of the development of modern economy, human capital is one of the main factors of economic growth. The formation of human capital begins with the birth of a person and continues throughout life, so the value of human capital is inseparable from its carriers, which in turn makes it difficult to account for this factor. This has led to the fact that currently there are no generally accepted methods of calculating the value of human capital. There are only a few approaches to the measurement of human capital: the cost approach (by income or investment) and the index approach, of which the most well-known approach developed under the auspices of the UN.

This paper presents the assigned task in conjunction with the task of demographic dynamics solved in the time-age plane, which allows to more fully take into account the temporary changes in the demographic structure on the dynamics of human capital.

The task of demographic dynamics is posed within the framework of the Mac-Kendrick – von Foerster model on the basis of the equation of age structure dynamics. The form of distribution functions for births, deaths and migration of the population is determined on the basis of the available statistical information. The numerical solution of the problem is given. The analysis and forecast of demographic indicators are presented. The economic and mathematical model of human capital dynamics is formulated on the basis of the demographic dynamics problem. The problem of modeling the human capital dynamics considers three components of capital: educational, health and cultural (spiritual). Description of the evolution of human capital components uses an equation of the transfer equation type. Investments in human capital components are determined on the basis of budget expenditures and private expenditures, taking into account the characteristic time life cycle of demographic elements. A one-dimensional kinetic equation is used to predict the dynamics of the total human capital. The method of calculating the dynamics of this factor is given as a time function. The calculated data on the human capital dynamics are presented for the Russian Federation. As studies have shown, the value of human capital increased rapidly until 2008, in the future there was a period of stabilization, but after 2014 there is a negative dynamics of this value.

Несмотря на многочисленные достижения современной науки, до сих пор остается нераскрытой проблема зарождения молниевого разряда в безэлектродном грозовом облаке, максимальная напряженность электрического поля в котором примерно на порядок меньше диэлектрической прочности воздуха. Хотя не вызывает сомнений тот факт, что развитие разряда начинается с появления в облаке положительных стримеров, развитие которых становится возможным при примерно вдвое меньших значениях электрического поля по сравнению с отрицательными, на настоящий момент остается неизученным вопрос о том, каким образом холодные слабопроводящие стримерные системы объединяются в горячий хорошо проводящий лидерный канал, способный к самостоятельному распространению за счет эффективной поляризации в относительно слабом внешнем поле. В данной работе представлена самоорганизующаяся транспортная модель, реализованная на примере формирования фрактального древа электрического разряда в грозовом облаке и направленная на численное моделирование процесса начальной стадии развития молниевого разряда. Среди инновационных особенностей нашего подхода, отсутствующих в других численных моделях развития молнии, можно выделитьот сутствие привязки элементов проводящей структуры графа к узлам пространственной решетки, высокое пространственно-временное разрешение и учет временной эволюции электрических параметров транспортных каналов. Кроме того, модельучи тывает известную из многочисленных экспериментов асимметрию полей развития положительных и отрицательных стримеров. В рамках используемого подхода результирующий хорошо проводящий лидерный канал формируется за счет коллективного эффекта объединения токов десятков тысяч взаимодействующих между собой стримеров, каждый из которых изначально обладает пренебрежимо малой проводимостью и температурой, не отличающейся от температуры окружающей среды. Модельное биполярное древо представляет собой направленный граф (имеет положительную и отрицательную части) и имеет морфологические и электро-динамические характеристики, промежуточные между лабораторной длинной искрой и развитой молнией. Модель имеет универсальный характер, что при необходимости позволяет использовать ее в рамках других задач, связанных с исследованием транспортных (в широком смысле слова) сетей.

Despite numerous achievements of modern science the problem of lightning initiation in an electrodeless thundercloud, the maximum electric field strength inside which is approximately an order of magnitude lower than the dielectric strength of air, remains unsolved. Although there is no doubt that discharge activity begins with the appearance of positive streamers, which can develop under approximately half the threshold electric field as compared to negative ones, it remains unexplored how cold weakly conducting streamer systems unite in a joint hot well-conducting leader channel capable of self-propagation due to effective polarization in a relatively small external field. In this study, we present a self-organizing transport model which is applied to the case of electric discharge tree formation in a thundercloud. So, the model is aimed at numerical simulation of the initial stage of lightning discharge development. Among the innovative features of the model are the absence of grid spacing, high spatiotemporal resolution, and consideration of temporal evolution of electrical parameters of transport channels. The model takes into account the widely known asymmetry between threshold fields needed for positive and negative streamers development. In our model, the resulting well-conducting leader channel forms due to collective effect of combining the currents of tens of thousands of interacting streamer channels each of which initially has negligible conductivity and temperature that does not differ from the ambient one. The model bipolar tree is a directed graph (it has both positive and negative parts). It has morphological and electrodynamic characteristics which are intermediate between laboratory long spark and developed lightning. The model has universal character which allows to use it in other tasks related to the study of transport (in the broad sense of the word) networks.

Задача поиска PageRank вектора представляет большой научный и практический интерес ввиду своей применимости к работе современных поисковых систем. Несмотря на то, что данная задача сводится к поиску собственного вектора стохастической матрицы $P$, потребность в новых алгоритмах для ее решения обусловлена большими размерами входных данных. Для достижения не более чем линейного времени работы применяются различные рандомизированные методы, возвращающие ожидаемый ответ лишь с некоторой достаточно близкой к единице вероятностью. Нами рассматриваются два таких способа, сводящие задачу поиска вектора PageRank к задаче поиска равновесия в антагонистической матричной игре, которая затем решается с помощью алгоритма Григориадиса – Хачияна. При этом данная реализация эффективно работает в предположении о разреженности матрицы, подаваемой на вход. Насколько нам известно, до сих пор не было ни одной успешной реализации ни алгоритма Григориадиса – Хачияна, ни его применения к задаче поиска вектора PageRank. Данная статья ставит перед собой задачу восполнить этот пробел. В работе приводится описание двух версий алгоритма с псевдокодом и некоторые детали их реализации. Кроме того, в работе рассматривается другой вероятностный метод поиска вектора PageRank, а именно Markov chain Monte Carlo (MCMC), с целью сравнения результатов работы указанных алгоритмов на матрицах с различными значениями спектральной щели. Последнее представляет особый интерес, поскольку значение спектральной щели сильно влияет на скорость сходимости MCMC, и не оказывает никакого влияния на два других подхода. Сравнение проводилось на сгенерированных графах двух видов: цепочках и $d$-мерных кубах. Проведенные эксперименты, как и предсказывает теория, демонстрируют эффективность алгоритма Григориадиса – Хачияна по сравнению с MCMC для разреженных графов с маленьким значением спектральной щели. Весь код находится в открытом доступе, так чтобы все желающие могли воспроизвести полученные результаты самостоятельно, или же использовать данную реализацию в своих нуждах. Работа имеет чисто практическую направленность, никаких теоретических результатов авторами получено не было.

Finding PageRank vector is of great scientific and practical interest due to its applicability to modern search engines. Despite the fact that this problem is reduced to finding the eigenvector of the stochastic matrix $P$, the need for new algorithms is justified by a large size of the input data. To achieve no more than linear execution time, various randomized methods have been proposed, returning the expected result only with some probability close enough to one. We will consider two of them by reducing the problem of calculating the PageRank vector to the problem of finding equilibrium in an antagonistic matrix game, which is then solved using the Grigoriadis – Khachiyan algorithm. This implementation works effectively under the assumption of sparsity of the input matrix. As far as we know, there are no successful implementations of neither the Grigoriadis – Khachiyan algorithm nor its application to the task of calculating the PageRank vector. The purpose of this paper is to fill this gap. The article describes an algorithm giving pseudocode and some details of the implementation. In addition, it discusses another randomized method of calculating the PageRank vector, namely, Markov chain Monte Carlo (MCMC), in order to compare the results of these algorithms on matrices with different values of the spectral gap. The latter is of particular interest, since the magnitude of the spectral gap strongly affects the convergence rate of MCMC and does not affect the other two approaches at all. The comparison was carried out on two types of generated graphs: chains and $d$-dimensional cubes. The experiments, as predicted by the theory, demonstrated the effectiveness of the Grigoriadis – Khachiyan algorithm in comparison with MCMC for sparse graphs with a small spectral gap value. The written code is publicly available, so everyone can reproduce the results themselves or use this implementation for their own needs. The work has a purely practical orientation, no theoretical results were obtained.

В последней четверти ХХ века характер глобального демографического и экономического развития стал быстро изменяться: непрерывно ускорявшийся рост основных характеристик, имевший место на протяжении предыдущих двухсот лет, сменился на резкое их торможение. В условиях этих изменений возрастает роль долгосрочного прогноза мировой динамики. При этом прогноз должен основываться не на инерционном проецировании прошлых тенденций в будущие периоды, а на математическом моделировании фундаментальных закономерностей исторического развития. В статье изложены предварительные результаты исследований по математическому моделированию и прогнозированию мировой демографо-экономической динамики, основанные на таком подходе. Предложены базовые динамические уравнения, отражающие эту динамику, обоснована модификация этих уравнений применительно к разным историческим эпохам. Для каждой исторической эпохи на основе анализа соответствующей ей системы уравнений определялся фазовый портрет и проводился анализ его особенностей. На основе этого анализа делались выводы о закономерностях мирового развития в рассматриваемый период.

Показано, что для моделирования исторической динамики важным является математическое описание развития технологий. Предложен способ описания технологической динамики, на основе которого предложены соответствующие математические уравнения.

Рассмотрены три стадии исторического развития: стадия аграрного общества (до начала XIX века), стадия индустриального общества (XIX–ХХ века) и современная эпоха. Предложенная математическая модель показывает, что для аграрного общества характерна циклическая демографо-экономическая динамика, в то время как для индустриального общества характерен рост демографических и экономических характеристик, близкий к гиперболическому.

Результаты математического моделирования показали, что человечество в настоящее время переходит на принципиально новую фазу исторического развития. Происходит торможение роста и переход человеческого общества в новое фазовое состояние, облик которого еще не определен. Рассмотрены различные варианты дальнейшего развития.

In the last quarter of the twentieth century, the nature of global demographic and economic development began to change rapidly: the continuously accelerating growth of the main characteristics that took place over the previous two hundred years was replaced by a sharp slowdown. In the context of these changes, the role of a long-term forecast of global dynamics is increasing. At the same time, the forecast should be based not on inertial projection of past trends into future periods, but on mathematical modeling of fundamental patterns of historical development. The article presents preliminary results of research on mathematical modeling and forecasting of global demographic and economic dynamics based on this approach. The basic dynamic equations reflecting this dynamics are proposed, the modification of these equations in relation to different historical epochs is justified. For each historical epoch, based on the analysis of the corresponding system of equations, a phase portrait was determined and its features were analyzed. Based on this analysis, conclusions were drawn about the patterns of world development in the period under review.

It is shown that mathematical description of technology development is important for modeling historical dynamics. A method for describing technological dynamics is proposed, on the basis of which the corresponding mathematical equations are proposed.

Three stages of historical development are considered: the stage of agrarian society (before the beginning of the XIX century), the stage of industrial society (XIX–XX centuries) and the modern era. The proposed mathematical model shows that an agrarian society is characterized by cyclical demographic and economic dynamics, while an industrial society is characterized by an increase in demographic and economic characteristics close to hyperbolic.

The results of mathematical modeling have shown that humanity is currently moving to a fundamentally new phase of historical development. There is a slowdown in growth and the transition of human society into a new phase state, the shape of which has not yet been determined. Various options for further development are considered.

Современные подходы локализации и построения карты для устройств дополненной (AR) и смешанной (MR) реальности основаны на извлечении локальных признаков с камеры. Наряду с этим современные устройства AR/MR позволяют строить трехмерную сетку окружающего пространства. Однако существующие методы не решают задачу глобальной совместной локализации устройства из-за применения разных дескрипторов для вычисления признаков с изображений. Используя карту пространства из трехмерной сетки, мы можем решить проблему совместной глобальной локализации устройств AR/MR. Этот подход не зависит от типа дескрипторов функций и алгоритмов локализации и картографирования, используемых на борту устройства AR/MR. Сетку можно свести к облаку точек, которое состоит только из вершин сетки. Мы предлагаем подход для совместной локализации устройств AR/MR с использованием облаков точек, которые не зависят от алгоритмов на борту устройства. Мы проанализировали различные алгоритмы регистрации облаков точек и обсудили их ограничения для задачи совместной глобальной локализации устройств AR/MR в помещении.

State-of-the-art localization and mapping approaches for augmented (AR) and mixed (MR) reality devices are based on the extraction of local features from the camera. Along with this, modern AR/MR devices allow you to build a three-dimensional mesh of the surrounding space. However, the existing methods do not solve the problem of global device co-localization due to the use of different methods for extracting computer vision features. Using a space map from a 3D mesh, we can solve the problem of collaborative global localization of AR/MR devices. This approach is independent of the type of feature descriptors and localisation and mapping algorithms used onboard the AR/MR device. The mesh can be reduced to a point cloud, which consists of only the vertices of the mesh. We propose an approach for collaborative localization of AR/MR devices using point clouds that are independent of algorithms onboard the device. We have analyzed various point cloud registration algorithms and discussed their limitations for the problem of global co-localization of AR/MR devices indoors.

В работе исследуется модификация модели Хотеллинга, в которой одна из фирм обладает нерыночным преимуществом, введенным по аналогии с валентностью, используемой в задачах политической экономии. Нерыночное (валентное) преимущество может интерпретироваться как реклама (узнаваемость фирмы). Установлено, что при аддитивной функции полезности потребителей, зависящей квадратично от расстояния до фирмы, существует единственное равновесие по Нэшу. Это равновесие значительно «богаче» равновесия в исходной модели Хотеллинга. В частности, дополнительное нерыночное преимущество может быть избыточным и его использование — неэффективным.

The principle of minimal differentiation, based on the Hotelling model, is well known in the economy. It is applicable to horizontal differentiated goods of almost any nature. The Hotelling approach to modeling competition of oligopolies corresponds to a modern description of monopolistic competition with increasing returns to scale and imperfect competition. We develop a modification of the Hotelling model that endows a firm with a non-market advantage, which is introduced alike the valence advantage known in problems of political economy. The nonmarket (valence) advantage can be interpreted as advertisement (brand awareness of firms). Problem statement. Consider two firms competing with prices and location. Homogeneous consumers vary with its location on a segment. They minimize their costs, which additively includes the price of the product and the distance from them to the product. The utility function is linear with respect to the price and quadratic with respect to the distance. It is also expected that one of the firms (for certainty, firm № 1) has a market advantage d. The consumers are assumed to take into account the sum of the distance to the product and the market advantage of firm 1. Thus, the strategy of the firms and the consumers depend on two parameters: the unit t of the transport costs and the non-market advantage d. I explore characteristics of the equilibrium in the model as a function of the non-market advantage for different fixed t. The aim of the research is to assess the impact of the non-market advantage on the equlibrium. We prove that the Nash equilibrium exists and it is unique under additive consumers' preferences de-pending on the square of the distance between consumers and firms. This equilibrium is ‘richer’ than that in the original Hotelling model. In particular, non-market advantage can be excessive and inefficient to use.

В статье обосновывается необходимость разработки и анализа математических моделей, учитывающих взаимное влияние длинных (кондратьевских) волн экономического развития. Анализ имеющихся публикаций показывает, что на модельном уровне прямые и обратные связи между пересекающимися длинными волнами до сих пор изучены недостаточно. Как свидетельствует практика, производства текущей длинной волны могут получать дополнительный импульс к росту со стороны технологий следующей длинной волны. Технологии очередной промышленной революции часто служат улучшающими инновациями для производств, рожденных предшествующей промышленной революцией. Как следствие, новая длинная волна увеличивает амплитуду колебаний траектории предшествующей длинной волны. Такого рода результаты взаимодействия длинных волн в экономике похожи на эффекты интерференции физических волн. Взаимовлияние спадов и подъемов экономик разных стран дает еще больше оснований для сопоставления последствий этого взаимовлияния с интерференцией физических волн. В статье представлена модель развития технологической базы производства, учитывающая возможности комбинирования старых и новых технологий. Модель состоит из нескольких подмоделей. Использование отличающегося математического описания для отдельных этапов обновления технологической базы производства позволяет учесть значительные различия между последовательными фазами жизненного цикла технологий широкого применения, рассматриваемых в современной литературе в качестве технологической основы промышленных революций. Одной из таких фаз является период формирования соответствующей инфраструктуры, необходимой для интенсивной диффузии новой технологии широкого применения, для быстрого развития использующих эту технологию отраслей. По модели выполнены иллюстративные расчеты при значениях экзогенных параметров, отвечающих логике смены длинных волн. При всей условности проведенных иллюстративных расчетов конфигурация кривой, представляющей изменение фондоотдачи в моделируемом периоде, близка к конфигурации реальной траектории фондоотдачи частных основных производственных фондов экономики США в период 1982–2019 гг. Указаны факторы, которые остались за рамками представленной модели, но которые целесообразно учитывать при описании интерференции длинных волн экономического развития.

The article substantiates the need to develop and analyze mathematical models that take into account the mutual influence of long (Kondratiev) waves of economic development. The analysis of the available publications shows that at the model level, the direct and inverse relationships between intersecting long waves are still insufficiently studied. As practice shows, the production of the current long wave can receive an additional impetus for growth from the technologies of the next long wave. The technologies of the next industrial revolution often serve as improving innovations for the industries born of the previous industrial revolution. As a result, the new long wave increases the amplitude of the oscillations of the trajectory of the previous long wave. Such results of the interaction of long waves in the economy are similar to the effects of interference of physical waves. The mutual influence of the recessions and booms of the economies of different countries gives even more grounds for comparing the consequences of this mutual influence with the interference of physical waves. The article presents a model for the development of the technological base of production, taking into account the possibilities of combining old and new technologies. The model consists of several sub-models. The use of a different mathematical description for the individual stages of updating the technological base of production allows us to take into account the significant differences between the successive phases of the life cycle of general purpose technologies, considered in modern literature as the technological basis of industrial revolutions. One of these phases is the period of formation of the appropriate infrastructure necessary for the intensive diffusion of new general purpose technology, for the rapid development of industries using this technology. The model is used for illustrative calculations with the values of exogenous parameters corresponding to the logic of changing long waves. Despite all the conditionality of the illustrative calculations, the configuration of the curve representing the change in the return on capital in the simulated period is close to the configuration of the real trajectory of the return on private fixed assets of the US economy in the period 1982-2019. The factors that remained outside the scope of the presented model, but which are advisable to take into account when describing the interference of long waves of economic development, are indicated.

В рамках актуальной проблемы кометно-астероидной опасности численно исследуются физические процессы, вызывающие разрушение и фрагментацию метеорных тел в атмосфере Земли. На основе разработанной физико-математической модели, определяющей движение космических объектов естественного происхождения в атмосфере и их взаимодействия с ней, рассмотрено падение трех одних из самых крупных и по некоторым показателям необычных болидов в истории метеоритики: Тунгусского, Витимского и Челябинского. Их необычность заключается в отсутствии каких-либо материальных метеоритных останков и кратеров в районе предполагаемого места падения для двух первых тел и необнаружении, как предполагается, основного материнского тела для третьего тела (из-за слишком малого количества массы выпавших осколков по сравнению с оценочной массой). Изучено воздействие аэродинамических нагрузок и тепловых потоков на эти тела, приводящее к интенсивному поверхностному уносу массы и возможной фрагментации. Скорости изучаемых небесных тел, изменение их масс определяются из модернизированной системы уравнений теории метеорной физики. Важный фактор, который здесь учитывается, — это переменность параметра уноса массы метеорита под действием тепловых потоков (радиационных и конвективных) вдоль траектории полета. Процесс фрагментации болидов в настоящей работе рассматривается в рамках модели прогрессивного дробления на основе статистической теории прочности с учетом влияния масштабного фактора на предел прочности объектов. Выявлены явления и эффекты, возникающие при различных кинематических и физических параметрах каждого из этих тел. В частности, изменение баллистики их полета в более плотных слоях атмосферы, заключающееся в переходе от режима падения к режиму подъема. При этом возможна реализация следующих сценариев события: первый— возврат тела обратно в космическое пространство при его остаточной скорости, большей второй космической; второй — переход тела на орбиту спутника Земли при остаточной скорости, большей первой космической; третий — при меньших значениях остаточной скорости тела возвращение его через некоторое время к режиму падения и выпадение на значительном расстоянии от предполагаемого места падения. Именно реализация одного из этих трех сценариев события объясняет, например, отсутствие материальных следов, в том числе и кратеров в случае Тунгусского болида в окрестности вывала леса. Предположения о возможности таких сценариев события высказывались и ранее другими авторами, а в настоящей работе их реализация подтверждена результатами численных расчетов.

Within the framework of the actual problem of comet-asteroid danger, the physical processes causing the destruction and fragmentation of meteor bodies in the Earth’s atmosphere are numerically investigated. Based on the developed physicalmathematical models that determines the movements of space objects of natural origin in the atmosphere and their interaction with it, the fall of three, one of the largest and by some parameters unusual bolides in the history of meteoritics, are considered: Tunguska, Vitim and Chelyabinsk. Their singularity lies in the absence of any material meteorite remains and craters in the area of the alleged crash site for the first two bodies and the non-detection, as it is assumed, of the main mother body for the third body (due to the too small amount of mass of the fallen fragments compared to the estimated mass). The effect of aerodynamic loads and heat flows on these bodies are studied, which leads to intensive surface mass loss and possible mechanical destruction. The velocities of the studied celestial bodies and the change in their masses are determined from the modernized system of equations of the theory of meteoric physics. An important factor that is taken into account here is the variability of the meteorite mass entrainment parameter under the action of heat fluxes (radiation and convective) along the flight path. The process of fragmentation of meteoroids in this paper is considered within the framework of a progressive crushing model based on the statistical theory of strength, taking into account the influence of the scale factor on the ultimate strength of objects. The phenomena and effects arising at various kinematic and physical parameters of each of these bodies are revealed. In particular, the change in the ballistics of their flight in the denser layers of the atmosphere, consisting in the transition from the fall mode to the ascent mode. At the same time, the following scenarios of the event can be realized: 1) the return of the body back to outer space at its residual velocity greater than the second cosmic one; 2) the transition of the body to the orbit of the Earth satellite at a residual velocity greater than the first cosmic one; 3) at lower values of the residual velocity of the body, its return after some time to the fall mode and falling out at a considerable distance from the intended crash site. It is the implementation of one of these three scenarios of the event that explains, for example, the absence of material traces, including craters, in the case of the Tunguska bolide in the vicinity of the forest collapse. Assumptions about the possibility of such scenarios have been made earlier by other authors, and in this paper their implementation is confirmed by the results of numerical calculations.