Все выпуски

Динамический процесс моделируется обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если у неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в некоторой области существует общее решение, то неавтономной заменой переменных система максимально упрощается: правые части - нули. У автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности неособой точки правая часть выпрямляется. Рассмотрен случай сепарабельной системы: в правой части линейная комбинация автономных векторных полей, коэффициенты - функции независимой переменной. Если поля коммутируют, то они общей заменой переменных выпрямляются.

A dynamic process modeled by ordinary differential equations is considered. If a nonautonomous system of ordinary differential equations has a general solution in a certain area, than the system can be simplified by nonautonomous substitution of variables: right parts turn to zeroes. Right parts of an autonomous system of ordinary differential equations in the neighborhood of nonsingular points can be linearized. A separable system where the right part contains linear combination of autonomous vector fields and factors are functions of independent variable is considered. If the fields commute than they can be linearized by general substitution of variables.

Малая практическая ценность многих численных методов решения несимметричных систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами объясняется тем, что эти методы в реальных условиях ведут себя совсем иначе, чем в случае точных вычислений. Исторически вопросам устойчивости не отводилось достаточного внимания, как в численной алгебре «средних размеров», а делался акцент на решении задач максимального порядка при данных возможностях вычислительной машины, в том числе за счет некоторой потери точности результатов. Поэтому главными объектами исследования были: наиболее целесообразное хранение информации, заключенной в разреженной матрице; поддержание наибольшей степени ее разреженности на всех этапах вычислительного процесса. Таким образом, разработка эффективных численных методов решения неустойчивых систем относится к актуальным проблемам вычислительной математики.

В данной работе рассмотрен подход к построению численно устойчивых прямых мультипликативных методов решения систем линейных уравнений, учитывающих разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Рассмотрен формат хранения разреженных матриц, преимущество которого состоит в возможности параллельного выполнения любых матричных операций без распаковывания, что значительно сокращает время выполнения операций и объем занимаемой памяти.

Прямые мультипликативные методы решения систем линейных уравнений являются наиболее приспособленными для решения задач большого размера на ЭВМ: разреженные матрицы системы позволяют получать мультипликаторы, главные строки которых также разрежены, а операция умножения вектора-строки на мультипликатор по трудоемкости пропорциональна числу ненулевых элементов этого мультипликатора.

В качестве прямого продолжения данной работы в основу построения прямого мультипликативного алгоритма линейного программирования предлагается положить модификацию прямого мультипликативного алгоритма решения систем линейных уравнений, основанного на интеграции техники метода линейного программирования для выбора ведущего элемента. Прямые мультипликативные методы линейного программирования являются наиболее приспособленными и для построения прямого мультипликативного алгоритма задания направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из существующих техник построения существенно положительно-определенной матрицы вторых производных.

Small practical value of many numerical methods for solving single-ended systems of linear equations with ill-conditioned matrices due to the fact that these methods in the practice behave quite differently than in the case of precise calculations. Historically, sustainability is not enough attention was given, unlike in numerical algebra ‘medium-sized’, and emphasis is given to solving the problems of maximal order in data capabilities of the computer, including the expense of some loss of accuracy. Therefore, the main objects of study is the most appropriate storage of information contained in the sparse matrix; maintaining the highest degree of rarefaction at all stages of the computational process. Thus, the development of efficient numerical methods for solving unstable systems refers to the actual problems of computational mathematics.

In this paper, the approach to the construction of numerically stable direct multiplier methods for solving systems of linear equations, taking into account sparseness of matrices, presented in packaged form. The advantage of the approach consists in minimization of filling the main lines of the multipliers without compromising accuracy of the results and changes in the position of the next processed row of the matrix are made that allows you to use static data storage formats. The storage format of sparse matrices has been studied and the advantage of this format consists in possibility of parallel execution any matrix operations without unboxing, which significantly reduces the execution time and memory footprint.

Direct multiplier methods for solving systems of linear equations are best suited for solving problems of large size on a computer — sparse matrix systems allow you to get multipliers, the main row of which is also sparse, and the operation of multiplication of a vector-row of the multiplier according to the complexity proportional to the number of nonzero elements of this multiplier.

As a direct continuation of this work is proposed in the basis for constructing a direct multiplier algorithm of linear programming to put a modification of the direct multiplier algorithm for solving systems of linear equations based on integration of technique of linear programming for methods to select the host item. Direct multiplicative methods of linear programming are best suited for the construction of a direct multiplicative algorithm set the direction of descent Newton methods in unconstrained optimization by integrating one of the existing design techniques significantly positive definite matrix of the second derivatives.

В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова–Ковалевского–Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений. На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.

Для уравнений Кирхгофа–Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента—многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты—многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости—многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты—многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.

We study polynomial solutions of gyrostat motion equations under potential and gyroscopic forces applied and of gyrostat motion equations in magnetic field taking into account Barnett–London effect. Mathematically, either of the above mentioned problems is described by a system of non-linear ordinary differential equations whose right hand sides contain fifteen constant parameters. These parameters characterize the gyrostat mass distribution, as well as potential and non-potential forces acting on gyrostat. We consider polynomial solutions of Steklov–Kovalevski–Gorjachev and Doshkevich classes. The structure of invariant relations for polynomial solutions shows that, as a rule, on top of the fifteen parameters mentioned one should add no less than twenty five problem parameters. In the process of solving such a multi-parametric problem in this paper we (in addition to analytic approach) apply numeric methods based on CAS. We break our studies of polynomial solutions existence into two steps. During the first step, we estimate maximal degrees of polynomials considered and obtain a non-linear algebraic system for parameters of differential equations and polynomial solutions. In the second step (using the above CAS software) we study the solvability conditions of the system obtained and investigate the conditions of the constructed solutions to be real.

We construct two new polynomial solutions for Kirchhoff–Poisson. The first one is described by the following property: the projection squares of angular velocity on the non-baracentric axes are the fifth degree polynomials of the angular velocity vector component of the baracentric axis that is represented via hypereliptic function of time. The second solution is characterized by the following: the first component of velocity conditions is a second degree polynomial, the second component is a polynomial of the third degree, and the square of the third component is the sixth degree polynomial of the auxiliary variable that is an inversion of the elliptic Legendre integral.

The third new partial solution we construct for gyrostat motion equations in the magnetic field with Barnett–London effect. Its structure is the following: the first and the second components of the angular velocity vector are the second degree polynomials, and the square of the third component is a fourth degree polynomial of the auxiliary variable which is found via inversion of the elliptic Legendre integral of the third kind.

All the solutions constructed in this paper are new and do not have analogues in the fixed point dynamics of a rigid body.

В данной работе рассматривается проксимальный быстрый градиентный метод Монтейро – Свайтера (2013 г.), в котором используется один шаг метода Ньютона для приближенного решения вспомогательной задачи на каждой итерации проксимального метода. Метод Монтейро – Свайтера является оптимальным (по числу вычислений градиента и гессиана оптимизируемой функции) для достаточно гладких задач выпуклой оптимизации в классе методов, использующих только градиент и гессиан оптимизируемой функции. За счет замены шага метода Ньютона на шаг недавно предложенного тензорного метода Ю. Е. Нестерова (2018 г.), а также за счет специального обобщения условия подбора шага в проксимальном внешнем быстром градиентном методе удалось предложить оптимальный тензорный метод, использующий старшие производные. В частности, такой тензорный метод, использующий производные до третьего порядка включительно, оказался достаточно практичным ввиду сложности итерации, сопоставимой со сложностью итерации метода Ньютона. Таким образом, получено конструктивное решение задачи, поставленной Ю. Е. Нестеровым в 2018 г., об устранении зазора в точных нижних и завышенных верхних оценках скорости сходимости для имеющихся на данный момент тензорных методов порядка $p \geqslant 3$.

In this work we consider Monteiro – Svaiter accelerated hybrid proximal extragradient (A-HPE) framework and accelerated Newton proximal extragradient (A-NPE) framework. The last framework contains an optimal method for rather smooth convex optimization problems with second-order oracle. We generalize A-NPE framework for higher order derivative oracle (schemes). We replace Newton’s type step in A-NPE that was used for auxiliary problem by Newton’s regularized (tensor) type step (Yu. Nesterov, 2018). Moreover we generalize large step A-HPE/A-NPE framework by replacing Monteiro – Svaiter’s large step condition so that this framework could work for high-order schemes. The main contribution of the paper is as follows: we propose optimal highorder methods for convex optimization problems. As far as we know for that moment there exist only zero, first and second order optimal methods that work according to the lower bounds. For higher order schemes there exists a gap between the lower bounds (Arjevani, Shamir, Shiff, 2017) and existing high-order (tensor) methods (Nesterov – Polyak, 2006; Yu.Nesterov, 2008; M. Baes, 2009; Yu.Nesterov, 2018). Asymptotically the ratio of the rates of convergences for the best existing methods and lower bounds is about 1.5. In this work we eliminate this gap and show that lower bounds are tight. We also consider rather smooth strongly convex optimization problems and show how to generalize the proposed methods to this case. The basic idea is to use restart technique until iteration sequence reach the region of quadratic convergence of Newton method and then use Newton method. One can show that the considered method converges with optimal rates up to a logarithmic factor. Note, that proposed in this work technique can be generalized in the case when we can’t solve auxiliary problem exactly, moreover we can’t even calculate the derivatives of the functional exactly. Moreover, the proposed technique can be generalized to the composite optimization problems and in particular to the constraint convex optimization problems. We also formulate a list of open questions that arise around the main result of this paper (optimal universal method of high order e.t.c.).

Проведен анализ отечественных публикаций за 2013–2017 гг. включительно, посвященных клеточным автоматам (КА). Большая их часть связана с математическим моделированием. Наукометрическими графиками за 1990–2017 гг. доказана актуальность тематики. Обзор позволяет выделить персоналии и научные направления/школы в современной российской науке, выявить их оригинальность или вторичность по сравнению с мировым уровнем. За счет выбора национальной, а не мировой, базы публикаций обзор претендует на полноту (из 526 просмотренных ссылок научным значением обладают около 200).

В приложении к обзору даются первичные сведения о КА — игра «Жизнь», теорема о садах Эдема, элементарные КА (вместе с диаграммой де Брюина), блочные КА Марголуса, КА с альтернацией. Причем акцентируется внимание на трех важных для моделирования семантиках КА — традициях фон Неймана, Цузе и Цетлина, а также показывается родство с концепциями нейронных сетей и сетей Петри. Выделены условные 10 работ по КА, с которыми должен быть знаком любой специалист по КА. Некоторые важные работы 1990-х гг. и более поздние перечислены во введении.

Затем весь массив публикаций разбит на рубрики: «Модификации КА и другие сетевые модели» (29 %), «Математические свойства КА и связь с математикой» (5 %), «Аппаратные реализации» (3 %), «Программные реализации» (5 %), «Обработка данных, распознавание и криптография» (8 %), «Механика, физика и химия» (20 %), «Биология, экология и медицина» (15 %), «Экономика, урбанистика и социология» (15 %). В скобках указана доля тематики в массиве. Отмечается рост публикаций по КА в гуманитарной сфере, а также появление гибридных подходов, уводящих в сторону от классических КА.

The paper contains the analysis of the domestic publications issued in 2013–2017 years and devoted to cellular automata. The most of them concern on mathematical modeling. Scientometric schedules for 1990–2017 years have proved relevance of subject. The review allows to allocate the main personalities and the scientific directions/schools in modern Russian science, to reveal their originality or secondness in comparison with world science. Due to the authors choice of national publications basis instead of world, the paper claims the completeness and the fact is that about 200 items from the checked 526 references have an importance for science.

In the Annex to the review provides preliminary information about CA — the Game of Life, a theorem about gardens of Eden, elementary CAs (together with the diagram of de Brujin), block Margolus’s CAs, alternating CAs. Attention is paid to three important for modeling semantic traditions of von Neumann, Zuse and Zetlin, as well as to the relationship with the concepts of neural networks and Petri nets. It is allocated conditional 10 works, which should be familiar to any specialist in CA. Some important works of the 1990s and later are listed in the Introduction.

Then the crowd of publications is divided into categories: the modification of the CA and other network models (29 %), Mathematical properties of the CA and the connection with mathematics (5 %), Hardware implementation (3 %), Software implementation (5 %), Data Processing, recognition and Cryptography (8 %), Mechanics, physics and chemistry (20 %), Biology, ecology and medicine (15 %), Economics, urban studies and sociology (15 %). In parentheses the share of subjects in the array are indicated. There is an increase in publications on CA in the humanitarian sphere, as well as the emergence of hybrid approaches, leading away from the classic CA definition.

В данной работе рассматривается метод сопряженных градиентов при решении задачи минимизации квадратичной функции с аддитивным шумом в градиенте. Были рассмотрены три концепции шума: враждебный шум в линейном члене, стохастический шум в линейном члене и шум в квадратичном члене, а также комбинации первого и второго с последним. Экспериментально получено, что накопление ошибки отсутствует для любой из рассмотренных концепций, что отличается от фольклорного мнения, что, как и в ускоренных методах, накопление ошибки должно иметь место. В работе приведена мотивировка того, почему ошибка может и не накапливаться. Также экспериментально исследовалась зависимость ошибки решения как от величины (масштаба) шума, так и от размера решения при использовании метода сопряженных градиентов. Предложены и проверены гипотезы о зависимости ошибки в решении от масштаба шума и размера (2-нормы) решения для всех рассмотренных концепций. Оказалось, что ошибка в решении (по функции) линейно зависит от масштаба шума. В работе приведены графики, иллюстрирующие каждое отдельное исследование, а также детальное описание численных экспериментов, включающее в себя изложение способов зашумления как вектора, так и матрицы.

In this paper, we consider the conjugate gradient method for solving the problem of minimizing a quadratic function with additive noise in the gradient. Three concepts of noise were considered: antagonistic noise in the linear term, stochastic noise in the linear term and noise in the quadratic term, as well as combinations of the first and second with the last. It was experimentally obtained that error accumulation is absent for any of the considered concepts, which differs from the folklore opinion that, as in accelerated methods, error accumulation must take place. The paper gives motivation for why the error may not accumulate. The dependence of the solution error both on the magnitude (scale) of the noise and on the size of the solution using the conjugate gradient method was also experimentally investigated. Hypotheses about the dependence of the error in the solution on the noise scale and the size (2-norm) of the solution are proposed and tested for all the concepts considered. It turned out that the error in the solution (by function) linearly depends on the noise scale. The work contains graphs illustrating each individual study, as well as a detailed description of numerical experiments, which includes an account of the methods of noise of both the vector and the matrix.

В работе описывается свободно распространяемая прикладная программа для исследований в области голоморфной динамики на основе вычислительных возможностей среды MATLAB. Программа позволяет строить не только одиночные комплекснозначные отображения, но и их коллективы как линейно связанные, на квадратной или гексагональной решетке. В первом случае строятся аналоги множества Жюлиа (в виде точек убегания с цветовой индикацией скорости убегания), Фату (с выделением хаотической динамики) и множества Мандельброта, порожденного одним из двух свободных параметров. Во втором случае рассматривается только динамика клеточного автомата с комплекснозначным состоянием ячеек и всеми коэффициентами в локальной функции перехода. Абстрактность объектно-ориентированного программирования позволяет объединить оба типа расчета в рамках одной программы, описывающей итеративную динамику одного объекта.

Для формы поля, начальных условий, шаблона окрестности и особенностей окрестности у граничных ячеек предусмотрены опции выбора. Вид отображения может быть задан регулярным для интерпретатора MATLAB выражением. В статье приводятся некоторые UML-диаграммы, краткое введение в пользовательский интерфейс и ряд примеров.

В качестве рабочих иллюстраций, содержащих новое научное знание, были рассмотрены следующие случаи:

1) дробно-линейное отображение вида $Az^{n} +B/z^{n} $, для которого случаи $n=2$, $4$, $n>1$, известны. На портрете множества Фату привлекают внимание характерные (для классического квадратичного отображения) фигурки <<пряничных человечков>>, показывающие короткопериодические режимы, находящиеся в море компоненты условно хаотической динамики;

2) у множества Мандельброта при нестандартном положении параметра в показателе степени $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ на эскизных расчетах обнаруживаются некие зубчатые структуры и облака точек, напоминающие пыль Кантора, не являющиеся букетами Кантора, характерными для экспоненциального отображения. В дальнейшем требуется детализация этих объектов со сложной топологией.

The paper describes a free software for research in the field of holomorphic dynamics based on the computational capabilities of the MATLAB environment. The software allows constructing not only single complex-valued mappings, but also their collectives as linearly connected, on a square or hexagonal lattice. In the first case, analogs of the Julia set (in the form of escaping points with color indication of the escape velocity), Fatou (with chaotic dynamics highlighting), and the Mandelbrot set generated by one of two free parameters are constructed. In the second case, only the dynamics of a cellular automaton with a complex-valued state of the cells and of all the coefficients in the local transition function is considered. The abstract nature of object-oriented programming makes it possible to combine both types of calculations within a single program that describes the iterated dynamics of one object.

The presented software provides a set of options for the field shape, initial conditions, neighborhood template, and boundary cells neighborhood features. The mapping display type can be specified by a regular expression for the MATLAB interpreter. This paper provides some UML diagrams, a short introduction to the user interface, and some examples.

The following cases are considered as example illustrations containing new scientific knowledge:

1) a linear fractional mapping in the form $Az^{n} +B/z^{n} $, for which the cases $n=2$, $4$, $n>1$, are known. In the portrait of the Fatou set, attention is drawn to the characteristic (for the classical quadratic mapping) figures of <>, showing short-period regimes, components of conventionally chaotic dynamics in the sea;

2) for the Mandelbrot set with a non-standard position of the parameter in the exponent $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ sketch calculations reveal some jagged structures and point clouds resembling Cantor's dust, which are not Cantor's bouquets that are characteristic for exponential mapping. Further detailing of these objects with complex topology is required.

Работа посвящена моделированию процессов разборки сложных изделий в системах автоматизированного проектирования. Возможность демонтажа изделия в заданной последовательности формируется на ранних этапах проектирования, а реализуется в конце жизненного цикла. Поэтому современные системы автоматизированного проектирования должны иметь инструменты для оценки сложности демонтажа деталей и сборочных единиц. Предложена гиперграфовая модель механической структуры изделия. Показано, что математическим описанием когерентных и секвенциальных операций разборки является нормальное разрезание ребра гиперграфа. Доказана теорема о свойствах нормальных разрезаний. Данная теорема позволяет организовать простую рекурсивную процедуру генерации всех разрезаний гиперграфа. Множество всех разрезаний представляется в виде И–ИЛИ-дерева. Дерево содержит информацию о планах разборки изделия и его частей. Предложены математические описания процессов разборки различного типа: полной, неполной, линейной, нелинейной. Показано, что решающий граф И–ИЛИ-дерева представляет собой модель разборки изделия и всех его составных частей, полученных в процессе демонтажа. Рассмотрена важная характеристика сложности демонтажа деталей — глубина вложения. Разработан способ эффективного расчета оценки снизу данной характеристики.

The work is devoted to modeling the processes of disassembling complex products in CADsystems. The ability to dismantle a product in a given sequence is formed at the early design stages, and is implemented at the end of the life cycle. Therefore, modern CAD-systems should have tools for assessing the complexity of dismantling parts and assembly units of a product. A hypergraph model of the mechanical structure of the product is proposed. It is shown that the mathematical description of coherent and sequential disassembly operations is the normal cutting of the edge of the hypergraph. A theorem on the properties of normal cuts is proved. This theorem allows us to organize a simple recursive procedure for generating all cuts of the hypergraph. The set of all cuts is represented as an AND/OR-tree. The tree contains information about plans for disassembling the product and its parts. Mathematical descriptions of various types of disassembly processes are proposed: complete, incomplete, linear, nonlinear. It is shown that the decisive graph of the AND/OR-tree is a model of disassembling the product and all its components obtained in the process of dismantling. An important characteristic of the complexity of dismantling parts is considered — the depth of nesting. A method of effective calculation of the estimate from below has been developed for this characteristic.

Модели многозначной классификации возникают в различных сферах современной жизни, что объясняется всё большим количеством информации, требующей оперативного анализа. Одним из математических методов решения этой задачи является модульный метод, на первом этапе которого для каждого класса строится некоторая ранжирующая функция, упорядочивающая некоторым образом все объекты, а на втором этапе для каждого класса выбирается оптимальное значение порога, объекты с одной стороны которого относят к текущему классу, а с другой — нет. Пороги подбираются так, чтобы максимизировать целевую метрику качества. Алгоритмы, свойства которых изучаются в настоящей статье, посвящены второму этапу модульного подхода — выбору оптимального вектора порогов. Этот этап становится нетривиальным в случае использования в качестве целевой метрики качества $F$-меры от средней точности и полноты, так как она не допускает независимую оптимизацию порога в каждом классе. В задачах экстремальной многозначной классификации число классов может достигать сотен тысяч, поэтому исходная оптимизационная задача сводится к задаче поиска неподвижной точки специальным образом введенного отображения $\boldsymbol V$, определенного на единичном квадрате на плоскости средней точности $P$ и полноты $R$. Используя это отображение, для оптимизации предлагаются два алгоритма: метод линеаризации $F$-меры и метод анализа области определения отображения $\boldsymbol V$. На наборах данных многозначной классификации разного размера и природы исследуются свойства алгоритмов, в частности зависимость погрешности от числа классов, от параметра $F$-меры и от внутренних параметров методов. Обнаружена особенность работы обоих алгоритмов для задач с областью определения отображения $\boldsymbol V$, содержащей протяженные линейные участки границ. В случае когда оптимальная точка расположена в окрестности этих участков, погрешности обоих методов не уменьшаются с увеличением количества классов. При этом метод линеаризации достаточно точно определяет аргумент оптимальной точки, а метод анализа области определения отображения $\boldsymbol V$ — полярный радиус.

Multi-label classification models arise in various areas of life, which is explained by an increasing amount of information that requires prompt analysis. One of the mathematical methods for solving this problem is a plug-in approach, at the first stage of which, for each class, a certain ranking function is built, ordering all objects in some way, and at the second stage, the optimal thresholds are selected, the objects on one side of which are assigned to the current class, and on the other — to the other. Thresholds are chosen to maximize the target quality measure. The algorithms which properties are investigated in this article are devoted to the second stage of the plug-in approach which is the choice of the optimal threshold vector. This step becomes non-trivial if the $F$-measure of average precision and recall is used as the target quality assessment since it does not allow independent threshold optimization in each class. In problems of extreme multi-label classification, the number of classes can reach hundreds of thousands, so the original optimization problem is reduced to the problem of searching a fixed point of a specially introduced transformation $\boldsymbol V$, defined on a unit square on the plane of average precision $P$ and recall $R$. Using this transformation, two algorithms are proposed for optimization: the $F$-measure linearization method and the method of $\boldsymbol V$ domain analysis. The properties of algorithms are studied when applied to multi-label classification data sets of various sizes and origin, in particular, the dependence of the error on the number of classes, on the $F$-measure parameter, and on the internal parameters of methods under study. The peculiarity of both algorithms work when used for problems with the domain of $\boldsymbol V$, containing large linear boundaries, was found. In case when the optimal point is located in the vicinity of these boundaries, the errors of both methods do not decrease with an increase in the number of classes. In this case, the linearization method quite accurately determines the argument of the optimal point, while the method of $\boldsymbol V$ domain analysis — the polar radius.

Современная литература содержит многочисленные примеры применения распределений с тяжелыми хвостами для прикладных исследований сложных систем. Моделирование экстремальных данных обычно ограничено небольшим набором форм распределений, которые исторически применяются в данной области прикладных исследований. Расширение набора форм возможно посредством сопоставления мер форм распределений. В работе на примере бета-распределения второго рода показано, что неопределенность моментов тяжелохвостых бета-распределений ограничивает применимость классических методов моментов для исследования их форм. На данном этапе сохраняется актуальность построения методов сопоставления распределений с помощью квантильных мер формы, которые освобождены от ограничений на параметры формы. Цель работы состоит в компьютерном исследовании возможности построения пространства квантильных мер форм для проведения сравнения распределений с тяжелыми хвостами. На основе компьютерного моделирования проводится картирование реализаций распределений в пространстве параметрических, квантильных и информационных мер формы. Картирование распределений в пространстве только параметрических мер формы показало, что наложение множества распределений с тяжелыми хвостами в пространстве квантильных мер асимметрии и эксцесса не позволяет сопоставить формы распределений, принадлежащие разным типам распределений. Хорошо известно, что информационные меры содержат дополнительную информацию о мере формы распределений. В работе предложен квантильный коэффициент энтропии в качестве дополнительной независимой меры формы, построенной на отношении интервалов энтропийной и квантильной неопределенностей. На примере логнормального распределения и распределения Парето иллюстрируются возможности сравнения форм распределений с реализациями бета-распределения второго рода. В частности показано, что, несмотря на близость положений форм в трехмерном пространстве, формы реализаций логнормального распределения отсутствуют среди реализаций бета-распределения второго рода. Картирование положения устойчивых распределений в трехмерном пространстве квантильных мер форм позволило оценить параметры формы бета-распределения второго рода, для которого форма наиболее близка к форме распределения Леви. Из материала статьи следует, что отображение распределений в трехмерном пространстве квантильных мер форм значительно расширяет возможность сравнения форм для распределений с тяжелыми хвостами.

Currently, journal papers contain numerous examples of the use of heavy-tailed distributions for applied research on various complex systems. Models of extreme data are usually limited to a small set of distribution shapes that in this field of applied research historically been used. It is possible to increase the composition of the set of probability distributions shapes through comparing the measures of the distribution shapes and choosing the most suitable implementations. The example of a beta distribution of the second kind shown that the lack of definability of the moments of heavy-tailed implementations of the beta family of distributions limits the applicability of the existing classical methods of moments for studying the distributions shapes when are characterized heavy tails. For this reason, the development of new methods for comparing distributions based on quantile shape measures free from the restrictions on the shape parameters remains relevant study the possibility of constructing a space of quantile measures of shapes for comparing distributions with heavy tails. The operation purpose consists in computer research of creation possibility of space of the quantile’s measures for the comparing of distributions property with heavy tails. On the basis of computer simulation there the distributions implementations in measures space of shapes were been shown. Mapping distributions in space only of the parametrical measures of shapes has shown that the imposition of regions for heavy tails distribution made impossible compare the shape of distributions belonging to different type in the space of quantile measures of skewness and kurtosis. It is well known that shape information measures such as entropy and entropy uncertainty interval contain additional information about the shape measure of heavy-tailed distributions. In this paper, a quantile entropy coefficient is proposed as an additional independent measure of shape, which is based on the ratio of entropy and quantile uncertainty intervals. Also estimates of quantile entropy coefficients are obtained for a number of well-known heavy-tailed distributions. The possibility of comparing the distributions shapes with realizations of the beta distribution of the second kind is illustrated by the example of the lognormal distribution and the Pareto distribution. Due to mapping the position of stable distributions in the three-dimensional space of quantile measures of shapes estimate made it possible the shape parameters to of the beta distribution of the second kind, for which shape is closest to the L&eacute;vy shape. From the paper material it follows that the display of distributions in the three-dimensional space of quantile measures of the forms of skewness, kurtosis and entropy coefficient significantly expands the possibility of comparing the forms for distributions with heavy tails.