Все выпуски

Проведен априорный анализ аппроксимации уравнений магнитной гидродинамики на нерегулярной четырехугольной сетке. Вычислены значения коэффициентов, определяющих норму невязки для разностных аналогов операторов градиента и дивергенции. Изучено влияние свойств ячеек сетки на невязку. Для численного подтверждения полученных оценок приведены примеры вычислений с заданием одинаковых начальных данных на разных сетках.

Предложена модифицированная двухшаговая итерационная техника, построенная по схеме метода наименьших квадратов, определяющая последовательные приближения к периодическим решениям уравнения Матье и его собственным функциям, значительно превосходящие по точности ранее известные результаты.

Настоящая работа посвящена периодическим и непериодическим полулокальным сглаживающим сплайнам или S-сплайнам класса C^p, состоящим из полиномов степени n.
Первые p + 1 коэффициентов каждого полинома задаются значениями предыдущего полинома и его p первых производных в точке склейки, остальные n − p коэффициентов при старших производных полинома определяются методом наименьших квадратов. Эти условия дополняются или начальными условиями (непериодический случай), или условием периодичности сплайн-функции на отрезке определения. В работе выписана система линейных уравнений, определяющих коэффициенты полиномов, составляющих сплайн. Матрица системы имеет блочный вид. Доказаны теоремы существования и единственности. Показано, что сходимость сплайнов к исходной функции зависит от величин собственных значений матрицы устойчивости. Приведены примеры устойчивых S-сплайнов.

Cтроится семейство явных разностных схем на пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Анализ свойств разностных схем проводится в пространстве неопределенных коэффициентов. Такие пространства впервые были введены в рассмотрение А. С. Холодовым. Для исследования свойств разностных схем ставилась задача линейного программирования. В качестве целевой функции обычно рассматривался коэффициент при главном члене невязки. Для построения монотонных разностных схем ставилась задача оптимизации с ограничениями типа неравенств. Ограниченность такого подхода становится ясной с учетом того, что аппроксимация разностной схемы определяется лишь на классических (гладких) решениях дифференциальной задачи.

В соответствие разностной схеме ставится некоторый функционал, определяющий свойства разностной схемы. Функционал должен быть линейным по коэффициентам схемы. Возможно, что функционал зависит от сеточной функции — решения разностной задачи или проекции на сетку решения дифференциальной задачи. Если первые члены разложения в ряд Тейлора этого функционала по сеточным параметрам совпадут с условиями классической аппроксимации, такой функционал будем называть обобщенным условием аппроксимации. В статье показано, что такие функционалы существуют. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами построение такого функционала возможно и для обобщенного (негладкого) решения дифференциальной задачи.

Построение разностной схемы с заданными свойствами тогда опирается на решение задачи поиска минимума функционала.

Построены семейства функционалов как для гладких решений исходной дифференциальной задачи, так и для обобщенных решений. Построены новые разностные схемы, основанные на анализе функционалов методами линейного программирования. При этом использован аппарат исследования пары самодвойственных задач линейного программирования. Найдена оптимальная монотонная разностная схема, обладающая первым порядком аппроксимации на гладком решении. Обсуждается возможность применения построенных новых схем для построения гибридных разностных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.

Приводится пример численной реализации простейшей разностной схемы с обобщенной аппроксимацией.

Астероидно-кометная опасность в течение последних десятилетий признана научными и правительственными кругами всех стран мира одной из самых существенных угроз развития и даже существования нашей цивилизации. Одним из аспектов деятельности по предотвращению этой опасности является изучение вторжения достаточно крупных метеорных тел в атмосферу и их движения в ней, сопровождаемых большим числом физическо-химических явлений. Особый интерес вызывает падение метеорных тел, для которых прослежены их траекторные и прочие характеристики, и найдены сами выпавшие метеориты или их фрагменты. В настоящей работе изучено падение именно такого тела. На основе комплексной физико-математической модели, определяющей движение и разрушение космических тел естественного происхождения в атмосфере Земли, рассмотрены движение и фрагментация очень яркого болида Бенешов (Benešov, EN070591), который был зарегистрирован в Чехии Европейской наблюдательной системой в 1991 г. Для этого болида были получены уникальные наблюдательные данные, включая спектры излучения. В настоящей работе проведено моделирование аэробаллистики метеороида Бенешов и его фрагментов с учетом их сложного характера разрушения под воздействием тепловых и силовых факторов. Скорость метеорного тела, унос массы под действием тепловых потоков определяются из решения системы уравнений классической физической теории метеоров. При этом учитывается переменность параметра уноса массы по траектории. Процесс фрагментации метеороида рассматривается в рамках модели последовательного дробления на основе статистической теории прочности, с учетом влияния масштабного фактора на предел прочности объекта. Проведены расчеты совместного обтекания системы тел (осколков метеорита) при проявлении эффекта интерференции. Для расчета обтекания конгломерата осколков метеороида разработан метод моделирования на системе сеток, который позволяет рассматривать фрагменты различных форм, размеров и масс, а также допускает достаточно произвольное их относительное положение в потоке. Из-за неточностей в расчете траектории ученые 23 года не могли найти осколки этого болида. Благодаря современным методикам и более точным расчетам ученые выявили место падения, которое оказалось существенно удаленным от ожидаемого. После этого были обнаружены четыре небольших обломка метеорита. Проведенные расчеты движения и разрушения болида Бенешов показывают, что на процессы его взаимодействия с атмосферой влияет множество факторов: массовые и прочностные характеристики болида, параметры движения, механизмы разрушения, процессы взаимодействия фрагментов, включая эффекты интерференции, и др.

Математические модели многих естественных процессов описываются дифференциальными уравнениями с особенностями решения. Классические численные методы для нахождения приближенного решения таких задач оказываются неэффективными. В настоящей работе рассмотрена краевая задача для векторного волнового уравнения в двумерной L-образной области. Наличие входящего угла величиной  $3\pi/2$ на границе расчетной области обусловливает сильную сингулярность задачи, то есть ее решение не принадлежит пространству Соболева $H^1$, в результате чего классические и специализированные численные методы имеют скорость сходимости ниже чем $O(h)$. Поэтому в работе введено специальное весовое множество вектор-функций. В этом множестве решение рассматриваемой краевой задачи определено как $R_ν$-обобщенное.

Для численного нахождения $R_ν$-обобщенного решения построен весовой векторный метод конечных элементов. Основным отличием этого метода является введение в базисные функции в качестве сомножителя специальной весовой функции в степени, определяемой свойствами решения исходной краевой задачи. Это позволило существенно повысить скорость сходимости приближенного решения к точному при измельчении конечноэлементной сетки. Кроме того, введенные базисные функции соленоидальны, что обеспечило точный учет условия соленоидальности искомого решения и предотвратило появление ложных численных решений.

Представлены результаты численного эксперимента для серии модельных задач различных типов: для задач, решение которых содержит только сингулярную составляющую, и для задач, решение которых содержит как сингулярную, так и регулярную составляющие. Результаты численного анализа показали, что при измельчении конечноэлементной сетки скорость сходимости построенного весового векторного метода конечных элементов составляет $O(h)$, что по порядку степени в полтора раза выше, чем в разработанных к настоящему времени специализированных методах решения рассматриваемой задачи: методе сингулярных дополнений и методе регуляризации. Другие особенности построенного метода — его алгоритмическая простота и естественность определения решения, что является преимуществом при проведении численных расчетов.

Метод квазиклассического приближения применяется для построения решений уравнения Фоккера–Планка с квадратичной нелокальной нелинейностью и переменными коэффициентами в моделях оценки доходностей активов. Получены аналитические выражения, определяющие нелинейный оператор эволюции в квазиклассическом приближении.

В работе рассмотрена система линейных кинетических уравнений с релаксационным членом типа Бхатнагара–Гросса–Крука для моделирования линейных диффузионных процессов с помощью метода решеточных уравнений Больцмана. Коэффициенты системы зависят от дискретных скоростей, определяемых точками шаблона, построенного в пространстве скоростей частиц. Система может рассматриваться как альтернативная математическая модель для описания диффузионного процесса. Рассматривается несколько случаев базовых шаблонов в пространстве скоростей частиц. Рассмотрены случаи зависящих от параметра коэффициентов. С использованием асимптотического метода Чепмена–Энскога показано, что система может быть сведена к линейному уравнению диффузии, а также получено выражение для коэффициента диффузии. Как результат анализа полученного выражения показано, что решения, получаемые по решеточным уравнениям Больцмана, обладают численной диффузией. Анализ устойчивости проводится посредством исследования волновых мод, допускаемых решениями гиперболической системы уравнений. Для случаев других шаблонов предложен алгоритм численного исследования устойчивости. В результате расчетов показано, что решения системы являются устойчивыми в широком диапазоне входных параметров. Показан достаточный характер физически допустимого условия положительности времени релаксации как условия устойчивости. Посредством аналитических, а также численных исследований показано, что решения в виде волновых мод обладают дисперсией, не типичной для решений линейного уравнения диффузии. Но при этом свойственные дисперсии искажения волнового пакета будут демпфироваться из-за наличия асимптотической устойчивости и в целом поведение решения близко к решению уравнения диффузии. Разностные схемы для построенной системы, помимо моделирования диффузии, могут быть использованы при решении стационарных задач методом установления и в методе расщепления для расчетов течений вязкой жидкости. Полученные результаты могут оказаться полезными при сравнении друг с другом теоретических свойств различных разностных схем метода решеточных уравнений Больцмана для численного моделирования диффузии.

Статья посвящена разработке вычислительного алгоритма метода декартовых сеток для исследования взаимодействия ударной волны с подвижными телами с кусочно-линейной границей. Интерес к подобным задачам связан с прямым численным моделированием течений двухфазных сред. Эффект формы частицы может иметь значение в задаче о диспергировании пылевого слоя за проходящей ударной волной. Экспериментальные данные по коэффициенту аэродинамического сопротивления несферических частиц практически отсутствуют.

Математическая модель основана на двумерных уравнениях Эйлера, которые решаются в области с подвижными границами. Определяющая система уравнений численно интегрируется по явной схеме с использованием метода декартовых сеток. Вычислительный алгоритм на шаге интегрирования по времени включает: определение величины шага, расчет динамики движения тела (определение силы и момента, действующих на тело; определение линейной и угловой скоростей тела; расчет новых координат тела), расчет параметров газа. На каждом шаге интегрирования по времени все ячейки делятся на два класса — внешние (внутри тела или пересекаются его границами) и внутренние (целиком заполнены газом). Решение уравнений Эйлера строится только во внутренних. Основная сложность заключается в расчете численного потока через ребра, общие для внутренних и внешних ячеек, пересекаемых подвижными границами тел. Для расчета этого потока используются двухволновое приближение при решении задачи Римана и схема Стигера–Уорминга. Представлено подробное описание вычислительного алгоритма.

Работоспособность алгоритма продемонстрирована на задаче о подъеме цилиндра с основанием в форме круга, эллипса и прямоугольника за проходящей ударной волной. Тест с круговым цилиндром рассмотрен во множестве статей, посвященных методам погруженной границы. Проведен качественный и количественный анализ траектории движения центра масс цилиндра на основании сравнения с результатами расчетов, представленными в восьми других работах. Для цилиндра с основанием в форме эллипса и прямоугольника получено удовлетворительное согласие по динамике его движения и вращения в сравнении с имеющимися немногочисленными литературными источниками. Для прямоугольника исследована сеточная сходимость результатов. Показано, что относительная погрешность выполнения закона сохранения суммарной массы газа в расчетной области убывает линейно при измельчении расчетной сетки.