Все выпуски

Полиполярная система координат формируется семейством параметризованных по радиусу изофокусных kf-лемнискат. Как и классическая полярная система координат, она характеризует точку плоскости полиполярным радиусом ρ и полиполярным углом φ. Для любой связности семейство изометрических кривых  ρ = const – лемнискат и семейство градиентных кривых φ = const являются взаимно ортогональными сопряженными координатными семействами. Рассмотрены особенности полиполярной координации, ее симметрии, а также криволинейные симметрии на многофокусных лемнискатах.

The polypolar system of coordinates is formed by a family of a parametrized on a radius isofocal of kf-lemniscates. As well as the classical polar system of coordinates, it characterizes a point of a plane by a polypolar radius ρ and polypolar angle φ. For anyone connectedness a family isometric of curve ρ = const – lemniscates and family gradient of curves φ = const – are mutually orthogonal conjugate coordinate families. The singularities of polypolar coordination, its symmetry, and also curvilinear symmetries on multifocal lemniscates are considered.

Изучается сходимость к решению линейной системы, заданной вещественной квадратной матрицей A с вещественными собственными значениями обязательно разных знаков и вектором-столбцом b∈ R^k, двухпараметрического и симметризованного однопараметрического семейств метода простой итерации, построенных по этим A и b. Доказано, что если матрица A симметричная, то коэффициент оптимального сжатия для оптимального двухпараметрического семейства строго меньше, чем коэффициент оптимального сжатия для оптимального симметризованного однопараметрического семейства метода простой итерации.

Convergence to the solution of the linear system with real quadrate non singular matrix A with real necessary different sign eigen values of two families of simple iteration method: two-parametric and symmetrized one-parametric generated by these A and b is considered. Also these methods are compared when matrix A is a symmetric one. In this case it is proved that the coefficient of the optimal compression of two-parametric family is strongly less than the coefficient of the optimal compression of symmetrized one-parametric family of the simple iteration method.

Решена задача восстановления элемента f бесконечномерного гильбертова пространства L²(X) по результатам измерений конечного набора его линейных функционалов, искаженным (случайной) погрешностью без априорных данных об f, получено семейство линейных подпространств максимальной размерности, проекции элемента f на которые допускают оценки с заданной точностью. Эффективный ранг ρ(δ) задачи оценивания определен как функция, равная максимальной размерности ортогональной составляющей Pf элемента f, которая может быть оценена с погрешностью, не превосходящей δ. Приведен пример восстановления спектра излучения по конечному набору экспериментальных данных.

The problem of restoration of an element f of Euclidean functional space  L²(X) based on the results of measurements of a finite set of its linear functionals, distorted by (random) error is solved. A priori data aren't assumed. Family of linear subspaces of the maximum (effective) dimension for which the projections of element f to them allow estimates with a given accuracy, is received. The effective rank ρ(δ) of the estimation problem is defined as the function equal to the maximum dimension of an orthogonal component Pf of the element f which can be estimated with a error, which is not surpassed the value δ. The example of restoration of a spectrum of radiation based on a finite set of experimental data is given.

В статье рассматривается квартичное семейство планарных векторных полей, соответствующее рациональной системе Холлинга, которая моделирует динамику популяций типа «хищник–жертва» в данной экологической или биомедицинской системе и которая обобщает классическую систему Лотки–Вольтерры. В простейших математических моделях изменение концентрации жертв в единицу времени в расчете на одного хищника, которое характеризуется так называемой функцией отклика, прямо пропорционально концентрации жертв, т. е. функция отклика в этих моделях линейная. Это означает, что в системе нет насыщения хищников, когда количество жертв достаточно велико. Однако было бы более реалистично рассматривать нелинейные и ограниченные функции отклика, и в литературе действительно используются различные виды таких функций для моделирования отклика хищников. После алгебраических преобразований рациональную систему Холлинга можно записать в виде квартичной динамической системы. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости этой системы используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек (как конечных, так и бесконечно удаленных) в фазовой плоскости. Используя полученную информацию об особых точках и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов квартичной системы. Чтобы контролировать все бифуркации предельных циклов, особенно бифуркации кратных предельных циклов, необходимо знать свойства и комбинировать действия всех параметров, поворачивающих векторное поле системы. Это может быть сделано с помощью принципа окончания Уинтнера–Перко, согласно которому максимальное однопараметрическое семейство кратных предельных циклов заканчивается либо в особой точке, которая, как правило, имеет ту же кратность (цикличность), либо на сепаратрисном цикле, который также, как правило, имеет ту же кратность (цикличность). Применяя этот принцип, мы доказываем, что квадричная система (и соответствующая рациональная система Холлинга) может иметь не более двух предельных циклов, окружающих одну особую точку.

In this paper, we consider a quartic family of planar vector fields corresponding to a rational Holling system which models the dynamics of the populations of predators and their prey in a given ecological or biomedical system and which is a variation on the classical Lotka–Volterra system. For the latter system, the change of the prey density per unit of time per predator called the response function is proportional to the prey density. This means that there is no saturation of the predator when the amount of available prey is large. However, it is more realistic to consider a nonlinear and bounded response function, and in fact different response functions have been used in the literature to model the predator response. After algebraic transformations, the rational Holling system can be written in the form of a quartic dynamical system. To investigate the character and distribution of the singular points in the phase plane of the quartic system, we use our method the sense of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually field rotation parameters) of the original system and then to input these parameters successively one by one studying the dynamics of the singular points (both finite and infinite) in the phase plane. Using the obtained information on singular points and applying our geometric approach to the qualitative analysis, we study the limit cycle bifurcations of the quartic system. To control all of the limit cycle bifurcations, especially, bifurcations of multiple limit cycles, it is necessary to know the properties and combine the effects of all of the rotation parameters. It can be done by means of the Wintner–Perko termination principle stating that the maximal one-parameter family of multiple limit cycles terminates either at a singular point which is typically of the same multiplicity (cyclicity) or on a separatrix cycle which is also typically of the same multiplicity (cyclicity). Applying this principle, we prove that the quartic system (and the corresponding rational Holling system) can have at most two limit cycles surrounding one singular point.

Мы проводим глобальный бифуркационный анализ квартичной модели типа «хищник–жертва». В частности, исследуя глобальные бифуркации особых точек и предельных циклов, мы доказываем, что соответствующая динамическая система имеет не более двух предельных циклов.

We complete the global bifurcation analysis of a quartic predator–prey model. In particular, studying global bifurcations of singular points and limit cycles, we prove that the corresponding dynamical system has at most two limit cycles.

Предложено обобщение блочного клеточного автомата Марголуса на гексагональную сетку. Проведена статистическая обработка результатов вероятностных клеточно-автоматных вычислений для ряда модификаций схемы, решающей тестовую задачу диффузии вещества. Показано, что выбор блоков в виде гексагонов на 25% эффективнее, чем в виде Y-блоков. Показано, что алгоритмы имеют полиномиальную сложность, причем степень полинома для параллельных вычислителей лежит в пределах 0.6÷0.8, а для последовательных — в пределах 1.5÷1.7. Исследовалось влияние внедренных в поле клеточного автомата дефектных ячеек на скорость сходимости.

The generalization of Margolus’s block cellular automaton on a hexagonal grid is formulated. Statistical analysis of the results of probabilistic cellular automation for vast variety of this scheme solving the test task of diffusion is done. It is shown that the choice of the hexagon blocks is 25% more efficient than Y-blocks. It is shown that the algorithms have polynomial complexity, and the polynom degree lies within 0.6÷0.8 for parallel computer, and in the range 1.5÷1.7 for serial computer. The effects of embedded into automaton’s field defective cells on the rate of convergence are studied also.

Padé approximation is a useful tool for extracting singularity information from a power series. A linear Padé approximant is a rational function and can provide estimates of pole and zero locations in the complex plane. A quadratic Padé approximant has square root singularities and can, therefore, provide additional information such as estimates of branch point locations. In this paper, we discuss numerical aspects of computing quadratic Padé approximants as well as some applications. Two algorithms for computing the coefficients in the approximant are discussed: a direct method involving the solution of a linear system (well-known in the mathematics community) and a recursive method (well-known in the physics community). We compare the accuracy of these two methods when implemented in floating-point arithmetic and discuss their pros and cons. In addition, we extend Luke’s perturbation analysis of linear Padé approximation to the quadratic case and identify the problem of spurious branch points in the quadratic approximant, which can cause a significant loss of accuracy. A possible remedy for this problem is suggested by noting that these troublesome points can be identified by the recursive method mentioned above. Another complication with the quadratic approximant arises in choosing the appropriate branch. One possibility, which is to base this choice on the linear approximant, is discussed in connection with an example due to Stahl. It is also known that the quadratic method is capable of providing reasonable approximations on secondary sheets of the Riemann surface, a fact we illustrate here by means of an example. Two concluding applications show the superiority of the quadratic approximant over its linear counterpart: one involving a special function (the Lambert $W$-function) and the other a nonlinear PDE (the continuation of a solution of the inviscid Burgers equation into the complex plane).

Padé approximation is a useful tool for extracting singularity information from a power series. A linear Padé approximant is a rational function and can provide estimates of pole and zero locations in the complex plane. A quadratic Padé approximant has square root singularities and can, therefore, provide additional information such as estimates of branch point locations. In this paper, we discuss numerical aspects of computing quadratic Padé approximants as well as some applications. Two algorithms for computing the coefficients in the approximant are discussed: a direct method involving the solution of a linear system (well-known in the mathematics community) and a recursive method (well-known in the physics community). We compare the accuracy of these two methods when implemented in floating-point arithmetic and discuss their pros and cons. In addition, we extend Luke’s perturbation analysis of linear Padé approximation to the quadratic case and identify the problem of spurious branch points in the quadratic approximant, which can cause a significant loss of accuracy. A possible remedy for this problem is suggested by noting that these troublesome points can be identified by the recursive method mentioned above. Another complication with the quadratic approximant arises in choosing the appropriate branch. One possibility, which is to base this choice on the linear approximant, is discussed in connection with an example due to Stahl. It is also known that the quadratic method is capable of providing reasonable approximations on secondary sheets of the Riemann surface, a fact we illustrate here by means of an example. Two concluding applications show the superiority of the quadratic approximant over its linear counterpart: one involving a special function (the Lambert $W$-function) and the other a nonlinear PDE (the continuation of a solution of the inviscid Burgers equation into the complex plane).

В данной статье, используя наш бифуркационно-геометрический подход, мы изучаем глобальную динамику и решаем проблему о максимальном числе и распределении предельных циклов (автоколебательных режимов, соответствующих состояниям динамического равновесия) в планарной полиномиальной механической системе типа Эйлера–Лагранжа–Льенара. Такие системы используются также для моделирования электротехнических, экологических, биомедицинских и других систем, что значительно облегчает исследование соответствующих реальных процессов и систем со сложной внутренней динамикой. Они используется, в частности, в механических системах с демпфированием и жесткостью. Существует ряд примеров технических систем, которые описываются с помощью квадратичного демпфирования в динамических моделях второго порядка. В робототехнике, например, квадратичное демпфирование появляется при управлении с прямой связью и в нелинейных устройствах, таких как приводы с переменным импедансом (сопротивлением). Приводы с переменным сопротивлением представляют особый интерес для совместной робототехники. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости полиномиальной системы Эйлера–Лагранжа–Льенара используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек в фазовой плоскости. Для исследования особых точек системы мы используем классические теоремы Пуанкаре об индексе, а также наш оригинальный геометрический подход, основанный на применении метода двух изоклин Еругина, что особенно эффективно при исследовании бесконечно удаленных особых точек. Используя полученную информацию об особых точках и применяя канонические системы с параметрами, поворачивающими векторное поле, а также используя геометрические свойства спиралей, заполняющих внутренние и внешние области предельных циклов, и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов рассматриваемой системы.

In this paper, using our bifurcation-geometric approach, we study global dynamics and solve the problem of the maximum number and distribution of limit cycles (self-oscillating regimes corresponding to states of dynamical equilibrium) in a planar polynomial mechanical system of the Euler–Lagrange–Liйnard type. Such systems are also used to model electrical, ecological, biomedical and other systems, which greatly facilitates the study of the corresponding real processes and systems with complex internal dynamics. They are used, in particular, in mechanical systems with damping and stiffness. There are a number of examples of technical systems that are described using quadratic damping in second-order dynamical models. In robotics, for example, quadratic damping appears in direct-coupled control and in nonlinear devices, such as variable impedance (resistance) actuators. Variable impedance actuators are of particular interest to collaborative robotics. To study the character and location of singular points in the phase plane of the Euler–Lagrange–Liйnard polynomial system, we use our method the meaning of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually, field rotation parameters) of the original system and then to enter sequentially these parameters studying the dynamics of singular points in the phase plane. To study the singular points of the system, we use the classical Poincarй index theorems, as well as our original geometric approach based on the application of the Erugin twoisocline method which is especially effective in the study of infinite singularities. Using the obtained information on the singular points and applying canonical systems with field rotation parameters, as well as using the geometric properties of the spirals filling the internal and external regions of the limit cycles and applying our geometric approach to qualitative analysis, we study limit cycle bifurcations of the system under consideration.

Как правило, данные конфокальной и многофотонной лазерной сканирующей микроскопии страдают от низкого уровня полезного сигнала и высокого вклада дробового шума, связанного со стохастическим характером испускания фотонов флуорофором. Это осложняет задачу подавления шума и выделения полезного сигнала в таких данных. В настоящее время популярны нейросетевые алгоритмы улучшения изображений, однако они часто представляют собой «черный ящик» и требуют длительного обучения на конкретных наборах данных. В работе предлагается алгоритм подавления шума для данных динамической флуоресцентной микроскопии, опирающийся на наличие пространственно-временных локальных корреляций в полезном сигнале и на отсутствие пространственных корреляций в шумовой компоненте. Сингулярное разложение матриц (SVD), производящее спектральное разложение матрицы ковариации, — распространенный способ низкоранговой аппроксимации двумерных массивов, концентрирующий скоррелированный сигнал в нескольких первых компонентах разложения. Однако данные динамической микроскопии представляют собой трехмерные массивы или тензоры большей размерности, поэтому использование тензорных разложений потенциально может улучшить результат подавления шума по сравнению с обычным SVD. В основе алгоритма — двухэтапное применение усеченного сингулярного разложения высшего порядка (HOSVD) с введением порога для коэффициентов и последующим обратным преобразованием, сначала для локальных трехмерных окон в пространстве TXY (3D-HOSVD), а затем для пространственно объединенных групп трехмерных окон (4D-HOSVD). Для валидации алгоритма используются синтетические данные кальциевой сигнализации в астроцитах, в которых концентрация кальция транслируется в сигнал флуоресценции, значения которого в каждом кадре и каждом пикселе затем служат математическим ожиданием и дисперсией для сэмплирования случайной величины из непрерывного аналога пуассоновского распределения. Проведен анализ чувствительности алгоритма от параметров понижения ранга вдоль размерности временных компонент и группового ранга, длины локального окна и порога коэффициентов разложения. Несмотря на наличие мультипликативного шума, предлагаемый алгоритм демонстрирует значительное улучшение анализируемого сигнала, увеличивая соотношение «сигнал/шум» (PSNR) более чем на 20 дБ. Данный метод не опирается на предположения относительно разреженности или гладкости сигнала и может быть использован в качестве одного из этапов обработки данных динамической флуоресцентной микроскопии для самых различных типов данных.

Fluorescent imaging data are currently widely used in neuroscience and other fields. Genetically encoded sensors, based on fluorescent proteins, provide a wide inventory enabling scientiests to image virtually any process in a living cell and extracellular environment. However, especially due to the need for fast scanning, miniaturization, etc, the imaging data can be severly corrupred with multiplicative heteroscedactic noise, reflecting stochastic nature of photon emission and photomultiplier detectors. Deep learning architectures demonstrate outstanding performance in image segmentation and denoising, however they can require large clean datasets for training, and the actual data transformation is not evident from the network architecture and weight composition. On the other hand, some classical data transforms can provide for similar performance in combination with more clear insight in why and how it works. Here we propose an algorithm for denoising fluorescent dynamical imaging data, which is based on multilinear higher-order singular value decomposition (HOSVD) with optional truncation in rank along each axis and thresholding of the tensor of decomposition coefficients. In parallel, we propose a convenient paradigm for validation of the algorithm performance, based on simulated flurescent data, resulting from biophysical modeling of calcium dynamics in spatially resolved realistic 3D astrocyte templates. This paradigm is convenient in that it allows to vary noise level and its resemblance of the Gaussian noise and that it provides ground truth fluorescent signal that can be used to validate denoising algorithms. The proposed denoising method employs truncated HOSVD twice: first, narrow 3D patches, spanning the whole recording, are processed (local 3D-HOSVD stage), second, 4D groups of 3D patches are collaboratively processed (non-local, 4D-HOSVD stage). The effect of the first pass is twofold: first, a significant part of noise is removed at this stage, second, noise distribution is transformed to be more Gaussian-like due to linear combination of multiple samples in the singular vectors. The effect of the second stage is to further improve SNR. We perform parameter tuning of the second stage to find optimal parameter combination for denoising.