Все выпуски

The utilization of unmanned aerial vehicles (UAVs) in high-rise firefighting operations is the right solution for reaching the fire scene on high floors quickly and effectively. The article proposes a quadrotor-type firefighting UAV model carrying a launcher to launch a missile containing fire extinguishing powders into a fire. The kinematic model describing the flight kinematics of this UAV model is built based on the Newton – Euler method when the device is in normal motion and at the time of launching a firefighting missile. The results from the simulation testing the validity of the kinematic model and the simulation of the motion of the UAV show that the variation of Euler angles, flight angles, and aerodynamic angles during a flight are within an acceptable range and overload guarantee in flight. The UAV flew to the correct position to launch the required fire-extinguishing ammunition. The results of the research are the basis for building a control system of high-rise firefighting drones in Vietnam.

The utilization of unmanned aerial vehicles (UAVs) in high-rise firefighting operations is the right solution for reaching the fire scene on high floors quickly and effectively. The article proposes a quadrotor-type firefighting UAV model carrying a launcher to launch a missile containing fire extinguishing powders into a fire. The kinematic model describing the flight kinematics of this UAV model is built based on the Newton – Euler method when the device is in normal motion and at the time of launching a firefighting missile. The results from the simulation testing the validity of the kinematic model and the simulation of the motion of the UAV show that the variation of Euler angles, flight angles, and aerodynamic angles during a flight are within an acceptable range and overload guarantee in flight. The UAV flew to the correct position to launch the required fire-extinguishing ammunition. The results of the research are the basis for building a control system of high-rise firefighting drones in Vietnam.

В данной работе мы разрабатываем модель иммунного ответа на респираторные вирусные инфекции с учетом некоторых особенностей инфекции SARS-CoV-2. Модель представляет из себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений для концентраций эпителиальных клеток, иммунных клеток, вируса и воспалительных цитокинов. Анализ существования и устойчивости стационарных точек дополняется численным моделированием с целью изучения динамики решений. Поведение решений характеризуется большим ростом концентрации вируса, наблюдаемым для острых респираторных вирусных инфекций.

На первом этапе мы изучаем врожденный иммунный ответ, основанный на защитных свойствах интерферона, производимого инфицированными вирусом клетками. С другой стороны, вирусная инфекция подавляет выработку интерферона. Их конкуренция может привести к бистабильности системы с разными режимами развития инфекции с высокой или низкой интенсивностью. В случае острого протекания заболевания и существенного роста концентрации вируса инкубационный период и максимальная вирусная нагрузка зависят от исходной вирусной нагрузки и параметров иммунного ответа. В частности, увеличение исходной вирусной нагрузки приводит к сокращению инкубационного периода и увеличению максимальной вирусной нагрузки.

Для изучения возникновения и динамики цитокинового шторма в модель вводится уравнение для концентрации провоспалительных цитокинов, производимых клетками врожденного иммунного ответа. В зависимости от параметров система может оставаться в режиме с относительно низким уровнем провосполительных цитокинов, наблюдаемым для обычного протекания вирусных инфекций, или за счет положительной обратной связи между воспалением и иммунными клетками перейти в режим цитокинового шторма, характеризующегося избыточным производством провоспалительных цитокинов. При этом цитокиновый шторм, вызванный вирусной инфекцией, может продолжаться и после ее окончания. Кроме того, гибель клеток, инициируемая провосполительными цитокинами (апоптоз), может стимулировать переход к цитокиновому шторму. Однако апоптоз в отдельности от врожденного иммунного ответа не может инициировать или поддерживать протекание цитокинового шторма. Предположения модели и полученные результаты находятся в качественном согласии с экпериментальными и клиническими данными.

In this work, we develop a model of the immune response to respiratory viral infections taking into account some particular properties of the SARS-CoV-2 infection. The model represents a system of ordinary differential equations for the concentrations of epithelial cells, immune cells, virus and inflammatory cytokines. Conventional analysis of the existence and stability of stationary points is completed by numerical simulations in order to study dynamics of solutions. Behavior of solutions is characterized by large peaks of virus concentration specific for acute respiratory viral infections.

At the first stage, we study the innate immune response based on the protective properties of interferon secreted by virus-infected cells. On the other hand, viral infection down-regulates interferon production. Their competition can lead to the bistability of the system with different regimes of infection progression with high or low intensity. In the case of infection outbreak, the incubation period and the maximal viral load depend on the initial viral load and the parameters of the immune response. In particular, increase of the initial viral load leads to shorter incubation period and higher maximal viral load.

In order to study the emergence and dynamics of cytokine storm, we consider proinflammatory cytokines produced by cells of the innate immune response. Depending on parameters of the model, the system can remain in the normal inflammatory state specific for viral infections or, due to positive feedback between inflammation and immune cells, pass to cytokine storm characterized by excessive production of proinflammatory cytokines. Furthermore, inflammatory cell death can stimulate transition to cytokine storm. However, it cannot sustain it by itself without the innate immune response. Assumptions of the model and obtained results are in qualitative agreement with the experimental and clinical data.

Пандемия COVID-19 вызвала рост интереса к математическим моделям эпидемического процесса, так как только статистический анализ заболеваемости не позволяет проводить среднесрочное прогнозирование в условиях быстро меняющейся ситуации.

Среди специфичных особенностей COVID-19, которые нужно учитывать в математических моделях, можно отметить гетерогенность возбудителя, неоднократные смены доминирующего варианта SARS-CoV-2 и относительную кратковременность постинфекционного иммунитета.

В связи с этим были аналитически изучены решения системы дифференциальных уравнений для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета, а также проведены численные расчеты для динамики системы при средней длительности постинфекционного иммунитета порядка года.

Для модели класса SIR с гетерогенной длительностью постинфекционного иммунитета было доказано, что любое решение можно неограниченно продолжать по времени в положительную сторону без выхода за область определения системы.

Для контактного числа $R_0 \leqslant 1$ все решения стремятся к единственномут ривиальному стационарному решению с нулевой долей инфицированных, а для $R_0 > 1$ кроме тривиального решения существует и нетривиальное стационарное решение с ненулевыми долями инфицированных и восприимчивых. Были доказаны существование и единственность нетривиального стационарного решения при $R_0 > 1$, а также доказано, что оно является глобальным аттрактором.

Также для нескольких вариантов гетерогенности были вычислены собственные числа для скорости экспоненциальной сходимости малых отклонений от нетривиального стационарного решения.

Получено, что при значениях контактного числа, соответствующих COVID-19, фазовая траектория имеет вид скручивающейся спирали с длиной периода порядка года.

Это соответствует реальной динамике заболеваемости COVID-19, при которой после нескольких месяцев роста заболеваемости начинается период его падения. При этом второй волны заболеваемости меньшей амплитуды, что предсказывала модель, не наблюдалось, так как на протяжении 2020–2023 годов примерно каждые полгода появлялся новый вариант SARS-CoV-2, имеющий большую заразность, чем предыдущий, в результате чего новый вариант вытеснял предыдущий и становился доминирующим.

The COVID-19 pandemic has caused increased interest in mathematical models of the epidemic process, since only statistical analysis of morbidity does not allow medium-term forecasting in a rapidly changing situation.

Among the specific features of COVID-19 that need to be taken into account in mathematical models are the heterogeneity of the pathogen, repeated changes in the dominant variant of SARS-CoV-2, and the relative short duration of post-infectious immunity.

In this regard, solutions to a system of differential equations for a SIR class model with a heterogeneous duration of post-infectious immunity were analytically studied, and numerical calculations were carried out for the dynamics of the system with an average duration of post-infectious immunity of the order of a year.

For a SIR class model with a heterogeneous duration of post-infectious immunity, it was proven that any solution can be continued indefinitely in time in a positive direction without leaving the domain of definition of the system.

For the contact number $R_0 \leqslant 1$, all solutions tend to a single trivial stationary solution with a zero share of infected people, and for $R_0 > 1$, in addition to the trivial solution, there is also a non-trivial stationary solution with non-zero shares of infected and susceptible people. The existence and uniqueness of a non-trivial stationary solution for $R_0 > 1$ was proven, and it was also proven that it is a global attractor.

Also, for several variants of heterogeneity, the eigenvalues of the rate of exponential convergence of small deviations from a nontrivial stationary solution were calculated.

It was found that for contact number values corresponding to COVID-19, the phase trajectory has the form of a twisting spiral with a period length of the order of a year.

This corresponds to the real dynamics of the incidence of COVID-19, in which, after several months of increasing incidence, a period of falling begins. At the same time, a second wave of incidence of a smaller amplitude, as predicted by the model, was not observed, since during 2020–2023, approximately every six months, a new variant of SARS-CoV-2 appeared, which was more infectious than the previous one, as a result of which the new variant replaced the previous one and became dominant.

В статье приведена конструктивная схема предложенного устройства гироскопической стабилизации расточной головки. Описана компьютерная модель гидрореактивного гироскопа этого устройства, постановка задачи компьютерного моделирования и его результаты.

Given paper covers the structure of the introduced device stabilizing the boring tool. The computer model of the hydrojet gyroscopic device is described; problem definition and the results of simulation are given.

Исследование логических детерминированных клеточноавтоматных моделей популяционной динамики позволяет выявлять детальные индивидуально-ориентированные механизмы функционирования экосистем. Выявление таких механизмов актуально в связи с проблемами, возникающими вследствие переэксплуатации природных ресурсов, загрязнения окружающей среды и изменения климата. Классические модели популяционной динамики имеют феноменологическую природу, так как являются «черными ящиками». Феноменологические модели принципиально затрудняют исследование локальных механизмов функционирования экосистем. Мы исследовали роль плодовитости и длительности восстановления ресурсов в механизмах популяционного роста, используя четыре модели экосистемы с одним видом. Эти модели являются логическими детерминированными клеточными автоматами и основаны на физической аксиоматике возбудимой среды с восстановлением. Было выявлено, что при увеличении времени восстановления ресурсов экосистемы происходит катастрофическая гибель популяции. Показано также, что большая плодовитость ускоряет исчезновения популяции. Исследованные механизмы важны для понимания механизмов устойчивого развития экосистем и сохранения биологического разнообразия. Обсуждаются перспективы представленного модельного подхода как метода прозрачного многоуровневого моделирования сложных систем.

Investigation of logical deterministic cellular automata models of population dynamics allows to reveal detailed individual-based mechanisms. The search for such mechanisms is important in connection with ecological problems caused by overexploitation of natural resources, environmental pollution and climate change. Classical models of population dynamics have the phenomenological nature, as they are “black boxes”. Phenomenological models fundamentally complicate research of detailed mechanisms of ecosystem functioning. We have investigated the role of fecundity and duration of resources regeneration in mechanisms of population growth using four models of ecosystem with one species. These models are logical deterministic cellular automata and are based on physical axiomatics of excitable medium with regeneration. We have modeled catastrophic death of population arising from increasing of resources regeneration duration. It has been shown that greater fecundity accelerates population extinction. The investigated mechanisms are important for understanding mechanisms of sustainability of ecosystems and biodiversity conservation. Prospects of the presented modeling approach as a method of transparent multilevel modeling of complex systems are discussed.

В случае повреждения сосуда или контакта плазмы крови с чужеродной поверхностью запускается цепь химических реакций (каскад свертывания), ведущая к формированию кровяного сгустка (тромба), основу которого составляют волокна фибрина. Ключевым компонентом каскада свертывания крови является фермент тромбин, катализирующий образование фибрина из фибриногена. Распределение концентрации тромбина определяет пространственно-временную динамику формирования кровяного сгустка. Контактный путь активации системы свертывания запускает реакцию образования тромбина в ответ на контакт с отрицательно заряженной поверхностью. Если концентрация тромбина, произведенного на этом этапе, достаточно велика, дальнейшее образование тромбина идет за счет положительных обратных связей каскада свертывания. В результате тромбин распространяется в плазме, что приводит к расщеплению фибриногена и формированию тромба. Профиль концентрации и скорость распространения тромбина в плазме постоянны и не зависят от того, как было активировано свертывание.

Подобное поведение системы свертывания хорошо описывается решениями типа бегущей волны в системе уравнений «реакция – диффузия» на концентрации факторов крови, принимающих участие в каскаде свертывания. В настоящей работе проводится подробный анализма тематической модели, описывающей основные реакции каскада свертывания. Формулируются необходимые и достаточные условия существования решений системы типа бегущей волны. Для рассмотренной модели существование таких решений является эквивалентным существованию волновых решений упрощенной модели, полученной с помощью квазистационарного приближения и состоящей из одного уравнения, описывающего динамику концентрации тромбина.

Упрощенная модель также позволяет нам получить аналитические оценки скорости распространения волны тромбина в рассматриваемых моделях. Скорость бегущей волны для одного уравнения была оценена с использованием метода узкой зоны реакции и с помощью кусочно-линейного приближения. Полученные формулы дают хорошее приближение скорости распространения волны тромбина как в упрощенной, так и в исходной модели.

In case of vessel wall damage or contact of blood plasma with a foreign surface, the chain of chemical reactions called coagulation cascade is launched that leading to the formation of a fibrin clot. A key enzyme of the coagulation cascade is thrombin, which catalyzes formation of fibrin from fibrinogen. The distribution of thrombin concentration in blood plasma determines spatio-temporal dynamics of clot formation. Contact pathway of blood coagulation triggers the production of thrombin in response to the contact with a negatively charged surface. If the concentration of thrombin generated at this stage is large enough, further production of thrombin takes place due to positive feedback loops of the coagulation cascade. As a result, thrombin propagates in plasma cleaving fibrinogen that results in the clot formation. The concentration profile and the speed of propagation of thrombin are constant and do not depend on the type of the initial activator.

Such behavior of the coagulation system is well described by the traveling wave solutions in a system of “reaction – diffusion” equations on the concentration of blood factors involved in the coagulation cascade. In this study, we carried out detailed analysis of the mathematical model describing the main reaction of the intrinsic pathway of coagulation cascade.We formulate necessary and sufficient conditions of the existence of the traveling wave solutions. For the considered model the existence of such solutions is equivalent to the existence of the wave solutions in the simplified one-equation model describing the dynamics of thrombin concentration derived under the quasi-stationary approximation.

Simplified model also allows us to obtain analytical estimate of the thrombin propagation rate in the considered model. The speed of the traveling wave for one equation is estimated using the narrow reaction zone method and piecewise linear approximation. The resulting formulas give a good approximation of the velocity of propagation of thrombin in the simplified, as well as in the original model.

В статье предлагается математическая модель терапии глиомы с учетом гематоэнцефалического барьера, радиотерапии и терапии антителами. Проведена оценка параметров по экспериментальным данным, а также оценка влияния значений параметров на эффективность лечения и прогноз болезни. Исследованы возможные варианты последовательного применения радиотерапии и воздействия антител. Комбинированное применение радиотерапии с внутривенным введением $mab$ $Cx43$ приводит к потенцированию терапевтического эффекта при глиоме. Радиотерапия должна предшествовать химиотерапии, поскольку радиовоздействие уменьшает барьерную функцию эндотелиальных клеток. Эндотелиальные клетки сосудовмоз га плотно прилегают друг к другу. Между их стенками образуются так называемые плотные контакты, роль которых во беспечении ГЭБ состоит в том, что они предотвращают проникновение в ткань мозга различных нежелательных веществ из кровеносного русла. Плотные контакты между эндотелиальными клетками блокируют межклеточный пассивный транспорт.

Математическая модель состоит из непрерывной части и дискретной. Экспериментальные данные объема глиомы показывают следующую интересную динамику: после прекращения радиовоздействия рост опухоли не возобновляется сразу же, а существует некоторый промежуток времени, в течение которого глиома не растет. Клетки глиомы разделены на две группы. Первая группа — живые клетки, делящиеся с максимально возможной скоростью. Вторая группа — клетки, пострадавшие от радиации. В качестве показателя здоровья системы гематоэнцефалического барьера выбрано отношение количества клеток ГЭБ вт екущий момент к количеству клеток всо стоянии покоя, то есть всре днем здоровом состоянии.

Непрерывная часть модели включает в себя описание деления обоих типов клеток глиомы, восстановления клеток ГЭБ, а также динамику лекарственного средства. Уменьшение количества хорошо функционирующих клеток ГЭБ облегчает проникновение лекарственного средства к клеткам мозга, то есть усиливает действие лекарства. При этом скорость деления клеток глиомы не увеличивается, поскольку ограничена не дефицитом питательных веществ, доступных клеткам, а внутренними механизмами клетки. Дискретная часть математической модели включает в себя оператор радиовоздействия, который применяется к показателю ГЭБ и к глиомным клеткам.

В рамках математической модели лечения раковой опухоли (глиомы) решается задача оптимального управления с фазовыми ограничениями. Состояние пациента описывается двумя переменными: объемом опухоли и состоянием ГЭБ. Фазовые ограничения очерчивают некоторую область в пространстве этих показателей, которую мы называем областью выживаемости. Наша задача заключается в поиске таких стратегий лечения, которые минимизируют время лечения, максимизируют время отдыха пациента и при этом позволяют показателям состояния не выходить за разрешенные пределы. Поскольку задача выживаемости состоит в максимизации времени жизни пациента, то ищутся именно такие стратегии лечения, которые возвращают показатели в исходное положение (и мы видим на графиках периодические траектории). Периодические траектории говорят о том, что смертельно опасная болезнь переведена враз ряд хронических.

The paper proposes a mathematical model for the therapy of glioma, taking into account the blood-brain barrier, radiotherapy and antibody therapy. The parameters were estimated from experimental data and the evaluation of the effect of parameter values on the effectiveness of treatment and the prognosis of the disease were obtained. The possible variants of sequential use of radiotherapy and the effect of antibodies have been explored. The combined use of radiotherapy with intravenous administration of $mab$ $Cx43$ leads to a potentiation of the therapeutic effect in glioma.

Radiotherapy must precede chemotherapy, as radio exposure reduces the barrier function of endothelial cells. Endothelial cells of the brain vessels fit tightly to each other. Between their walls are formed so-called tight contacts, whose role in the provision of BBB is that they prevent the penetration into the brain tissue of various undesirable substances from the bloodstream. Dense contacts between endothelial cells block the intercellular passive transport.

The mathematical model consists of a continuous part and a discrete one. Experimental data on the volume of glioma show the following interesting dynamics: after cessation of radio exposure, tumor growth does not resume immediately, but there is some time interval during which glioma does not grow. Glioma cells are divided into two groups. The first group is living cells that divide as fast as possible. The second group is cells affected by radiation. As a measure of the health of the blood-brain barrier system, the ratios of the number of BBB cells at the current moment to the number of cells at rest, that is, on average healthy state, are chosen.

The continuous part of the model includes a description of the division of both types of glioma cells, the recovery of BBB cells, and the dynamics of the drug. Reducing the number of well-functioning BBB cells facilitates the penetration of the drug to brain cells, that is, enhances the action of the drug. At the same time, the rate of division of glioma cells does not increase, since it is limited not by the deficiency of nutrients available to cells, but by the internal mechanisms of the cell. The discrete part of the mathematical model includes the operator of radio interaction, which is applied to the indicator of BBB and to glial cells.

Within the framework of the mathematical model of treatment of a cancer tumor (glioma), the problem of optimal control with phase constraints is solved. The patient’s condition is described by two variables: the volume of the tumor and the condition of the BBB. The phase constraints delineate a certain area in the space of these indicators, which we call the survival area. Our task is to find such treatment strategies that minimize the time of treatment, maximize the patient’s rest time, and at the same time allow state indicators not to exceed the permitted limits. Since the task of survival is to maximize the patient’s lifespan, it is precisely such treatment strategies that return the indicators to their original position (and we see periodic trajectories on the graphs). Periodic trajectories indicate that the deadly disease is translated into a chronic one.

Ингибиторы гистондеацетилаз (HDACi) рассматриваются в качестве перспективного класса препаратов для лечения рака из-за их влияния на рост клеток, дифференцировку и апоптоз. Ангиогенез играет важную роль в росте солидных опухолей и развитии метастазов. Фактор роста эндотелия сосудов (VEGF) является ключевым ангиогенным агентом, который секретируется злокачественными опухолями, что индуцирует пролиферацию и миграцию эндотелиальных клеток сосудов. В настоящее время наиболее перспективной стратегией в борьбе с онкологическими заболеваниями является создание гибридных лекарств, одновременно действующих на несколько физиологических мишеней. Значительный интерес с точки зрения создания бифункциональных противоопухолевых средств представляют соединения, содержащие одновременно N-фенил-4-аминохиназолин и гидроксамовую кислоту, так как данные фрагменты по отдельности присутствуют в уже успешно применяемых противоопухолевых лекарственных средствах. В этой связи в ходе литературного анализа была сформирована выборка из 42 соединений, содержащих указанные молекулярные фрагменты и обладающих экспериментальными данными по ингибированию HDAC, VEGFR-2 и росту клеток рака легкого человека MCF-7. С использованием симплексных дескрипторов и метода опорных векторов (Support Vector Machine, SVM) для указанной выборки, предварительно разделенной на обучающий и тестовый наборы, были построены удовлетворительные (R²_test = 0.64–0.87) модели количественной связи «структура–активность» (Quantitative Structure- Activity Relationship, QSAR). Для полученных QSAR-моделей была проведена структурная интерпретация. Было оценено согласованное влияние различных молекулярных фрагментов на увеличение противоопухолевой активности исследуемых соединений. Среди заместителей N-фенильного фрагмента можно выделить положительный вклад брома в пара-положении для всех трех видов активности. По результатам интерпретации был проведен рациональный молекулярный дизайн и предложены перспективные соединения. Для сравнительного QSAR-исследования использованы физико-химические дескрипторы, рассчитываемые программой HYBOT, метод случайного леса (Random Forest, RF), а также онлайн-версия экспертной системы OCHEM (https://ochem.eu). При моделировании OCHEM были выбраны PyDescriptor-дескрипторы и метод экстремального градиентного бустинга. Кроме того, полученные с помощью экспертной системы OCHEM модели были использованы для виртуального скрининга 300 соединений с целью отбора перспективных VEGFR-2/HDAC-ингибиторов для последующего синтеза и испытаний.

Inhibitors of histone deacetylases (HDACi) have considered as a promising class of drugs for the treatment of cancers because of their effects on cell growth, differentiation, and apoptosis. Angiogenesis play an important role in the growth of most solid tumors and the progression of metastasis. The vascular endothelial growth factor (VEGF) is a key angiogenic agent, which is secreted by malignant tumors, which induces the proliferation and the migration of vascular endothelial cells. Currently, the most promising strategy in the fight against cancer is the creation of hybrid drugs that simultaneously act on several physiological targets. In this work, a series of hybrids bearing N-phenylquinazolin-4-amine and hydroxamic acid moieties were studied as dual VEGFR-2/HDAC inhibitors using simplex representation of the molecular structure and Support Vector Machine (SVM). The total sample of 42 compounds was divided into training and test sets. Five-fold cross-validation (5-fold) was used for internal validation. Satisfactory quantitative structure—activity relationship (QSAR) models were constructed (R²_test = 0.64–0.87) for inhibitors of HDAC, VEGFR-2 and human breast cancer cell line MCF-7. The interpretation of the obtained QSAR models was carried out. The coordinated effect of different molecular fragments on the increase of antitumor activity of the studied compounds was estimated. Among the substituents of the N-phenyl fragment, the positive contribution of para bromine for all three types of activity can be distinguished. The results of the interpretation were used for molecular design of potential dual VEGFR-2/HDAC inhibitors. For comparative QSAR research we used physicochemical descriptors calculated by the program HYBOT, the method of Random Forest (RF), and on-line version of the expert system OCHEM (https://ochem.eu). In the modeling of OCHEM PyDescriptor descriptors and extreme gradient boosting was chosen. In addition, the models obtained with the help of the expert system OCHEM were used for virtual screening of 300 compounds to select promising VEGFR-2/HDAC inhibitors for further synthesis and testing.

This paper studies electromagnetic fields, frequencies of lasing, and emission thresholds of a drop-shaped microcavity laser. From the mathematical point of view, the original problem is a nonstandard two-parametric eigenvalue problem for the Helmholtz equation on the whole plane. The desired positive parameters are the lasing frequency and the threshold gain, the corresponding eigenfunctions are the amplitudes of the lasing modes. This problem is usually referred to as the lasing eigenvalue problem. In this study, spectral characteristics are calculated numerically, by solving the lasing eigenvalue problem on the basis of the set of Muller boundary integral equations, which is approximated by the Nystr¨om method. The Muller equations have weakly singular kernels, hence the corresponding operator is Fredholm with zero index. The Nyström method is a special modification of the polynomial quadrature method for boundary integral equations with weakly singular kernels. This algorithm is accurate for functions that are well approximated by trigonometric polynomials, for example, for eigenmodes of resonators with smooth boundaries. This approach leads to a characteristic equation for mode frequencies and lasing thresholds. It is a nonlinear algebraic eigenvalue problem, which is solved numerically by the residual inverse iteration method. In this paper, this technique is extended to the numerical modeling of microcavity lasers having a more complicated form. In contrast to the microcavity lasers with smooth contours, which were previously investigated by the Nyström method, the drop has a corner. We propose a special modification of the Nyström method for contours with corners, which takes also the symmetry of the resonator into account. The results of numerical experiments presented in the paper demonstrate the practical effectiveness of the proposed algorithm.

This paper studies electromagnetic fields, frequencies of lasing, and emission thresholds of a drop-shaped microcavity laser. From the mathematical point of view, the original problem is a nonstandard two-parametric eigenvalue problem for the Helmholtz equation on the whole plane. The desired positive parameters are the lasing frequency and the threshold gain, the corresponding eigenfunctions are the amplitudes of the lasing modes. This problem is usually referred to as the lasing eigenvalue problem. In this study, spectral characteristics are calculated numerically, by solving the lasing eigenvalue problem on the basis of the set of Muller boundary integral equations, which is approximated by the Nystr¨om method. The Muller equations have weakly singular kernels, hence the corresponding operator is Fredholm with zero index. The Nyström method is a special modification of the polynomial quadrature method for boundary integral equations with weakly singular kernels. This algorithm is accurate for functions that are well approximated by trigonometric polynomials, for example, for eigenmodes of resonators with smooth boundaries. This approach leads to a characteristic equation for mode frequencies and lasing thresholds. It is a nonlinear algebraic eigenvalue problem, which is solved numerically by the residual inverse iteration method. In this paper, this technique is extended to the numerical modeling of microcavity lasers having a more complicated form. In contrast to the microcavity lasers with smooth contours, which were previously investigated by the Nyström method, the drop has a corner. We propose a special modification of the Nyström method for contours with corners, which takes also the symmetry of the resonator into account. The results of numerical experiments presented in the paper demonstrate the practical effectiveness of the proposed algorithm.

В работе изучаются возможности прогнозирования потери устойчивости тонких цилиндрических оболочек неразрушающими методами на стадии эксплуатации. Исследуются пологие оболочки, изготовленные из высокопрочных материалов. Для таких конструктивных решений характерны перемещения поверхностей, превосходящие толщины элементов. В рассматриваемых оболочках могут генерироваться релаксационные колебания значительной амплитуды даже при сравнительно невысоком уровне внутренних напряжений. Произведено упрощенное механико-математическое моделирование задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, сводящее проблему к обыкновенному дифференциальному уравнению. При создании модели существенно использованы исследования многих авторов по изучению геометрии поверхности, образующейся после потери устойчивости. Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение колеблющейся оболочки совпадает с хорошо изученным уравнением Дуффинга. Важно, что для тонких оболочек в уравнении Дуффинга появляется малый параметр перед второй производной по времени. Последнее обстоятельство дает возможность провести детальный анализ выведенного уравнения и описать релаксационные колебания — физическое явление, присущее только тонким высокопрочным оболочкам.

Показано, что гармонические колебания оболочки вокруг положения равновесия и устойчивые релаксационные колебания определяются точкой бифуркации решений уравнения Дуффинга. Эта точка является первой в схеме Фейгенбаума по преобразованию устойчивых периодических движений в динамический хаос. Произведены вычисления амплитуды и периода релаксационных колебаний в зависимости от физических свойств и уровня внутренних напряжений в оболочке. Рассмотрены два случая нагружения: сжатие вдоль образующих и внешнее давление.

Отмечено, что если внешние силы изменяются в течение времени по гармоническому закону, то периодическое колебание оболочки (нелинейный резонанс) состоит из отрезков медленного и скачкообразного движений. Этот факт, наряду со знанием амплитуды и частоты колеблющейся оболочки, позволяет предложить экспериментальную установку для прогноза потери устойчивости оболочки неразрушающим методом. В качестве критерия безопасности принято следующее требование: максимальные комбинации нагрузок не должны вызывать перемещения, превышающие заданные пределы. Получена формула, оценивающая запас устойчивости (коэффициент безопасности) конструкции по результатам экспериментальных измерений.

The paper reviews possibilities to predict buckling of thin cylindrical shells with non-destructive techniques during operation. It studies shallow shells made of high strength materials. Such structures are known for surface displacements exceeding the thickness of the elements. In the explored shells relaxation oscillations of significant amplitude can be generated even under relatively low internal stresses. The problem of the cylindrical shell oscillation is mechanically and mathematically modeled in a simplified form by conversion into an ordinary differential equation. To create the model, the researches of many authors were used who studied the geometry of the surface formed after buckling (postbuckling behavior). The nonlinear ordinary differential equation for the oscillating shell matches the well-known Duffing equation. It is important that there is a small parameter before the second time derivative in the Duffing equation. The latter circumstance enables making a detailed analysis of the obtained equation and describing the physical phenomena — relaxation oscillations — that are unique to thin high-strength shells.

It is shown that harmonic oscillations of the shell around the equilibrium position and stable relaxation oscillations are defined by the bifurcation point of the solutions to the Duffing equation. This is the first point in the Feigenbaum sequence to convert the stable periodic motions into dynamic chaos. The amplitude and the period of relaxation oscillations are calculated based on the physical properties and the level of internal stresses within the shell. Two cases of loading are reviewed: compression along generating elements and external pressure.

It is highlighted that if external forces vary in time according to the harmonic law, the periodic oscillation of the shell (nonlinear resonance) is a combination of slow and stick-slip movements. Since the amplitude and the frequency of the oscillations are known, this fact enables proposing an experimental facility for prediction of the shell buckling with non-destructive techniques. The following requirement is set as a safety factor: maximum load combinations must not cause displacements exceeding specified limits. Based on the results of the experimental measurements a formula is obtained to estimate safety against buckling (safety factor) of the structure.