Все выпуски

Сегодня квантовые технологии могут получить новый виток развития, что, наверняка, даст возможность получить решения для многочисленных задач, которые ранее не поддавались решению в рамках традиционных парадигм и вычислительных моделей. Все человечество стоит у порога так называемой второй квантовой революции, и ее краткосрочные и отдаленные последствия затронут практически все сферы жизни глобального общества. Свое непосредственное развитие получат такие направления и отрасли науки и техники, как материаловедение, нанотехнология, фармакология и биохимия вообще, моделирование хаотичных динамических процессов (ядерные взрывы, турбулентные потоки, погода и долгосрочные климатические явления) и т. д., а также решение любых задач, которые сводятся к перемножению матриц больших размеров (в частности, моделирование квантовых систем). Однако вместе с необычайными возможностями квантовые технологии несут с собой и определенные риски и угрозы, в частности слом всех информационных систем, основанных на современных достижениях криптографии, что повлечет за собой практически полное разрушение секретности, глобальный финансовый кризис из-за разрушения банковской сферы и компрометации всех каналов связи. Даже несмотря на то, что уже сегодня разрабатываются методы так называемой постквантовой криптографии, некоторые риски еще необходимо осознать, так как не все долгосрочные последствия могут быть просчитаны. Вместе с тем ко всему перечисленному надо быть готовым, в том числе при помощи подготовки специалистов, работающих в области квантовых технологий и понимающих все их аспекты, новые возможности, риски и угрозы. В связи с этим в настоящей статье приводится краткое описание текущего состояния квантовых технологий, а именно квантовой сенсорики, передачи информации при помощи квантовых протоколов, универсального квантового компьютера (аппаратное обеспечение) и квантовых вычислений, основанных на квантовых алгоритмов (программное обеспечение). Для всего перечисленного приводятся прогнозы развития в части воздействия на различные сферы человеческой цивилизации.

At present modern quantum technologies can get a new twist of development, which will certainly give an opportunity to obtain solutions for numerous problems that previously could not be solved in the framework of “traditional” paradigms and computational models. All mankind stands at the threshold of the so-called “second quantum revolution”, and its short-term and long-term consequences will affect virtually all spheres of life of a global society. Such directions and branches of science and technology as materials science, nanotechnology, pharmacology and biochemistry in general, modeling of chaotic dynamic processes (nuclear explosions, turbulent flows, weather and long-term climatic phenomena), etc. will be directly developed, as well as the solution of any problems, which reduce to the multiplication of matrices of large dimensions (in particular, the modeling of quantum systems). However, along with extraordinary opportunities, quantum technologies carry with them certain risks and threats, in particular, the scrapping of all information systems based on modern achievements in cryptography, which will entail almost complete destruction of secrecy, the global financial crisis due to the destruction of the banking sector and compromise of all communication channels. Even in spite of the fact that methods of so-called “post-quantum” cryptography are already being developed today, some risks still need to be realized, since not all long-term consequences can be calculated. At the same time, one should be prepared to all of the above, including by training specialists working in the field of quantum technologies and understanding all their aspects, new opportunities, risks and threats. In this connection, this article briefly describes the current state of quantum technologies, namely, quantum sensorics, information transfer using quantum protocols, a universal quantum computer (hardware), and quantum computations based on quantum algorithms (software). For all of the above, forecasts are given for the development of the impact on various areas of human civilization.

Задача выпуклой онлайн-оптимизации естественно возникают в случаях, когда имеет место обновления статистической информации. Для задач негладкой оптимизации хорошо известен метод зеркального спуска. Зеркальный спуск — это расширение субградиентного метода для решения негладких выпуклых задач оптимизации на случай неевкидова расстояния. Работа посвящена стохастическим аналогам недавно предложенных методов зеркального спуска для задач выпуклой онлайн-оптимизации с выпуклыми липшицевыми (вообще говоря, негладкими) функциональными ограничениями. Это означает, что вместо (суб)градиента целевого функционала и функционального ограничения мы используем их стохастические (суб)градиенты. Точнее говоря, допустим, что на замкнутом подмножестве $n$-мерного векторного пространства задано $N$ выпуклых липшицевых негладких функционалов. Рассматривается задача минимизации среднего арифметического этих функционалов с выпуклым липшицевым ограничением. Предложены два метода для решения этой задачи с использованием стохастических (суб)градиентов: адаптивный (не требует знания констант Липшица ни для целевого функционала, ни для ограничения), а также неадаптивный (требует знания константы Липшица для целевого функционала и ограничения). Отметим, что разрешено вычислять стохастический (суб)градиент каждого целевого функционала только один раз. В случае неотрицательного регрета мы находим, что количество непродуктивных шагов равно $O$($N$), что указывает на оптимальность предложенных методов. Мы рассматриваем произвольную прокс-структуру, что существенно для задач принятия решений. Приведены результаты численных экспериментов, позволяющие сравнить работу адаптивного и неадаптивного методов для некоторых примеров. Показано, что адаптивный метод может позволить существенно улучшить количество найденного решения.

The problem of online convex optimization naturally occurs in cases when there is an update of statistical information. The mirror descent method is well known for non-smooth optimization problems. Mirror descent is an extension of the subgradient method for solving non-smooth convex optimization problems in the case of a non-Euclidean distance. This paper is devoted to a stochastic variant of recently proposed Mirror Descent methods for convex online optimization problems with convex Lipschitz (generally, non-smooth) functional constraints. This means that we can still use the value of the functional constraint, but instead of (sub)gradient of the objective functional and the functional constraint, we use their stochastic (sub)gradients. More precisely, assume that on a closed subset of $n$-dimensional vector space, $N$ convex Lipschitz non-smooth functionals are given. The problem is to minimize the arithmetic mean of these functionals with a convex Lipschitz constraint. Two methods are proposed, for solving this problem, using stochastic (sub)gradients: adaptive method (does not require knowledge of Lipschitz constant neither for the objective functional, nor for the functional of constraint) and non-adaptivemethod (requires knowledge of Lipschitz constant for the objective functional and the functional of constraint). Note that it is allowed to calculate the stochastic (sub)gradient of each functional only once. In the case of non-negative regret, we find that the number of non-productive steps is $O$($N$), which indicates the optimality of the proposed methods. We consider an arbitrary proximal structure, which is essential for decisionmaking problems. The results of numerical experiments are presented, allowing to compare the work of adaptive and non-adaptive methods for some examples. It is shown that the adaptive method can significantly improve the number of the found solutions.

Padé approximation is a useful tool for extracting singularity information from a power series. A linear Padé approximant is a rational function and can provide estimates of pole and zero locations in the complex plane. A quadratic Padé approximant has square root singularities and can, therefore, provide additional information such as estimates of branch point locations. In this paper, we discuss numerical aspects of computing quadratic Padé approximants as well as some applications. Two algorithms for computing the coefficients in the approximant are discussed: a direct method involving the solution of a linear system (well-known in the mathematics community) and a recursive method (well-known in the physics community). We compare the accuracy of these two methods when implemented in floating-point arithmetic and discuss their pros and cons. In addition, we extend Luke’s perturbation analysis of linear Padé approximation to the quadratic case and identify the problem of spurious branch points in the quadratic approximant, which can cause a significant loss of accuracy. A possible remedy for this problem is suggested by noting that these troublesome points can be identified by the recursive method mentioned above. Another complication with the quadratic approximant arises in choosing the appropriate branch. One possibility, which is to base this choice on the linear approximant, is discussed in connection with an example due to Stahl. It is also known that the quadratic method is capable of providing reasonable approximations on secondary sheets of the Riemann surface, a fact we illustrate here by means of an example. Two concluding applications show the superiority of the quadratic approximant over its linear counterpart: one involving a special function (the Lambert $W$-function) and the other a nonlinear PDE (the continuation of a solution of the inviscid Burgers equation into the complex plane).

Padé approximation is a useful tool for extracting singularity information from a power series. A linear Padé approximant is a rational function and can provide estimates of pole and zero locations in the complex plane. A quadratic Padé approximant has square root singularities and can, therefore, provide additional information such as estimates of branch point locations. In this paper, we discuss numerical aspects of computing quadratic Padé approximants as well as some applications. Two algorithms for computing the coefficients in the approximant are discussed: a direct method involving the solution of a linear system (well-known in the mathematics community) and a recursive method (well-known in the physics community). We compare the accuracy of these two methods when implemented in floating-point arithmetic and discuss their pros and cons. In addition, we extend Luke’s perturbation analysis of linear Padé approximation to the quadratic case and identify the problem of spurious branch points in the quadratic approximant, which can cause a significant loss of accuracy. A possible remedy for this problem is suggested by noting that these troublesome points can be identified by the recursive method mentioned above. Another complication with the quadratic approximant arises in choosing the appropriate branch. One possibility, which is to base this choice on the linear approximant, is discussed in connection with an example due to Stahl. It is also known that the quadratic method is capable of providing reasonable approximations on secondary sheets of the Riemann surface, a fact we illustrate here by means of an example. Two concluding applications show the superiority of the quadratic approximant over its linear counterpart: one involving a special function (the Lambert $W$-function) and the other a nonlinear PDE (the continuation of a solution of the inviscid Burgers equation into the complex plane).

Дороги — ресурс, который может использоваться как водителями, так и автономными транспортными средствами. Ежегодно количество транспортных средств увеличивается, из-за чего каждое отдельно взятое транспортное средство тратит всё больше времени в пробках, тем самым увеличивая суммарные временные затраты. При планировании новой дороги ключевой задачей становится сокращение времени в пути. Оптимизация транспортных сетей в настоящее время часто происходит с помощью добавления новых связующих дорог между высоконагруженными частями трасс. Парадокс Браесса заключается в том, что построение нового ребра дорожной сети приводит к увеличению времени в пути для каждого транспортного средства в сети. Целью данной статьи является предложение различных разрешений парадокса Браесса при рассмотрении автономных транспортных средств в качестве участников дорожного движения. Один из вариантов топологического решения транспортной задачи — использование искусственных ограничителей трафика. Как пример таких ограничителей статья рассматривает введение выделенных полос, доступных только для определенных видов транспорта. Выделенные полосы занимают особое место в транспортной сети и могут обслуживать поток по-разному. В данной статье рассмотрены наиболее часто встречающиеся случаи распределения трафика на сети из двух дорог, приведены аналитический и численный методы оптимизации модели и представлена модель оптимального распределения трафика, которая рассматривает различные варианты выделения полос на изолированной транспортной сети. В результате проведенных исследований было обнаружено, что введение выделенных полос решает парадокс Браесса и приводит к уменьшению общего времени в пути. Решения приведены как для искусственно смоделированной сети, так и на реальных примерах. В статье представлен алгоритм моделирования трафика на браессовской сети и приведено обоснование его корректности на реальном примере.

Roads are a shared resource which can be used either by drivers and autonomous vehicles. Since the total number of vehicles increases annually, each considered vehicle spends more time in traffic jams, and thus the total travel time prolongs. The main purpose while planning the road system is to reduce the time spent on traveling. The optimization of transportation networks is a current goal, thus the formation of traffic flows by creating certain ligaments of the roads is of high importance. The Braess paradox states the existence of a network where the construction of a new edge leads to the increase of traveling time. The objective of this paper is to propose various solutions to the Braess paradox in the presence of autonomous vehicles. One of the methods of solving transportation topology problems is to introduce artificial restrictions on traffic. As an example of such restrictions, this article considers designated lanes which are available only for a certain type of vehicles. Designated lanes have their own location in the network and operating conditions. This article observes the most common two-roads traffic situations, analyzes them using analytical and numerical methods and presents the model of optimal traffic flow distribution, which considers different ways of lanes designation on isolated transportation networks. It was found that the modeling of designated lanes eliminates Braess’ paradox and optimizes the total traveling time. The solutions were shown on artificial networks and on the real-life example. A modeling algorithm for Braess network was proposed and its correctness was verified using the real-life example.

В данной работе рассматривается метод сопряженных градиентов при решении задачи минимизации квадратичной функции с аддитивным шумом в градиенте. Были рассмотрены три концепции шума: враждебный шум в линейном члене, стохастический шум в линейном члене и шум в квадратичном члене, а также комбинации первого и второго с последним. Экспериментально получено, что накопление ошибки отсутствует для любой из рассмотренных концепций, что отличается от фольклорного мнения, что, как и в ускоренных методах, накопление ошибки должно иметь место. В работе приведена мотивировка того, почему ошибка может и не накапливаться. Также экспериментально исследовалась зависимость ошибки решения как от величины (масштаба) шума, так и от размера решения при использовании метода сопряженных градиентов. Предложены и проверены гипотезы о зависимости ошибки в решении от масштаба шума и размера (2-нормы) решения для всех рассмотренных концепций. Оказалось, что ошибка в решении (по функции) линейно зависит от масштаба шума. В работе приведены графики, иллюстрирующие каждое отдельное исследование, а также детальное описание численных экспериментов, включающее в себя изложение способов зашумления как вектора, так и матрицы.

In this paper, we consider the conjugate gradient method for solving the problem of minimizing a quadratic function with additive noise in the gradient. Three concepts of noise were considered: antagonistic noise in the linear term, stochastic noise in the linear term and noise in the quadratic term, as well as combinations of the first and second with the last. It was experimentally obtained that error accumulation is absent for any of the considered concepts, which differs from the folklore opinion that, as in accelerated methods, error accumulation must take place. The paper gives motivation for why the error may not accumulate. The dependence of the solution error both on the magnitude (scale) of the noise and on the size of the solution using the conjugate gradient method was also experimentally investigated. Hypotheses about the dependence of the error in the solution on the noise scale and the size (2-norm) of the solution are proposed and tested for all the concepts considered. It turned out that the error in the solution (by function) linearly depends on the noise scale. The work contains graphs illustrating each individual study, as well as a detailed description of numerical experiments, which includes an account of the methods of noise of both the vector and the matrix.

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

The paper presents a numerical solution to the heat wave motion problem for a degenerate second-order nonlinear parabolic equation with a source term. The nonlinearity is conditioned by the power dependence of the heat conduction coefficient on temperature. The problem for the case of two spatial variables is considered with the boundary condition specifying the heat wave motion law. A new solution algorithm based on an expansion in radial basis functions and the boundary element method is proposed. The solution is constructed stepwise in time with finite difference time approximation. At each time step, a boundary value problem for the Poisson equation corresponding to the original equation at a fixed time is solved. The solution to this problem is constructed iteratively as the sum of a particular solution to the nonhomogeneous equation and a solution to the corresponding homogeneous equation satisfying the boundary conditions. The homogeneous equation is solved by the boundary element method. The particular solution is sought by the collocation method using inhomogeneity expansion in radial basis functions. The calculation algorithm is optimized by parallelizing the computations. The algorithm is implemented as a program written in the C++ language. The parallel computations are organized by using the OpenCL standard, and this allows one to run the same parallel code either on multi-core CPUs or on graphic CPUs. Test cases are solved to evaluate the effectiveness of the proposed solution method and the correctness of the developed computational technique. The calculation results are compared with known exact solutions, as well as with the results we obtained earlier. The accuracy of the solutions and the calculation time are estimated. The effectiveness of using various systems of radial basis functions to solve the problems under study is analyzed. The most suitable system of functions is selected. The implemented complex computational experiment shows higher calculation accuracy of the proposed new algorithm than that of the previously developed one.

В работе обсуждается возможность моделирования турбулентных сжимаемых течений газа с использованием моделей турбулентности $k-\varepsilon$ стандартная (KES), $k-\varepsilon$ FlowVision (KEFV) и SST $k-\omega$. Представлена новая версия модели турбулентности KEFV. Показаны результаты ее тестирования. Проведено численное исследование истечения сверхзвуковой перерасширенной струи из конического сопла в безграничное пространство. Результаты сравниваются с экспериментальными данными. Демонстрируется зависимость результатов от сетки. Демонстрируется зависимость результатов от турбулентности, задаваемой на входе в сопло. Делается вывод о том, что в двухпараметрических моделях турбулентности необходимо учитывать сжимаемость. Для этого подходит простой способ, предложенный Вилкоксом в 1994 г. В результате область применимости трех указанных двухпараметрических моделей заметно расширяется. Предлагаются конкретные значения констант, управляющих учетом сжимаемости в подходе Вилкокса. Эти значения рекомендуется задавать в моделях KES, KEFV и SST при моделировании сжимаемых течений.

Дополнительно рассмотрен вопрос о том, как получать правильные характеристики сверхзвукового турбулентного течения с использованием двухпараметрических моделей турбулентности. Расчеты на разных сетках показали, что при задании ламинарного потока на входе в сопло и пристеночных функций на его поверхностях ядро потока остается ламинарным вплоть до 5-й бочки. Для получения правильных характеристик нужно либо на входе в расчетную область задавать два параметра, характеризующие турбулентность втекающего потока, либо задавать «затравочную» турбулентность в ограниченной области на выходе из сопла, охватывающей зону предполагаемого ламинарно-турбулентного перехода. Последняя возможность реализована в модели KEFV.

Simulation of turbulent compressible gas flows using turbulence models $k-\varepsilon$ standard (KES), $k-\varepsilon$ FlowVision (KEFV) and SST $k-\omega$ is discussed in the given article. A new version of turbulence model KEFV is presented. The results of its testing are shown. Numerical investigation of the discharge of an over-expanded jet from a conic nozzle into unlimited space is performed. The results are compared against experimental data. The dependence of the results on computational mesh is demonstrated. The dependence of the results on turbulence specified at the nozzle inlet is demonstrated. The conclusion is drawn about necessity to allow for compressibility in two-parametric turbulence models. The simple method proposed by Wilcox in 1994 suits well for this purpose. As a result, the range of applicability of the three aforementioned two-parametric turbulence models is essentially extended. Particular values of the constants responsible for the account of compressibility in the Wilcox approach are proposed. It is recommended to specify these values in simulations of compressible flows with use of models KES, KEFV, and SST.

In addition, the question how to obtain correct characteristics of supersonic turbulent flows using two-parametric turbulence models is considered. The calculations on different grids have shown that specifying a laminar flow at the inlet to the nozzle and wall functions at its surfaces, one obtains the laminar core of the flow up to the fifth Mach disk. In order to obtain correct flow characteristics, it is necessary either to specify two parameters characterizing turbulence of the inflowing gas, or to set a “starting” turbulence in a limited volume enveloping the region of presumable laminar-turbulent transition next to the exit from the nozzle. The latter possibility is implemented in model KEFV.

Рассматривается прямой алгоритм решения задачи линейного программирования (ЛП), заданной в каноническом виде. Алгоритм состоит из двух последовательных этапов, на которых прямым методом решаются приведенные ниже задачи ЛП: невырожденная вспомогательная задача (на первом этапе) и некоторая задача, равносильная исходной (на втором). В основе построения вспомогательной задачи лежит мультипликативный вариант метода исключения Гаусса, в самой структуре которого заложены возможности: идентификации несовместности и линейной зависимости ограничений; идентификации переменных, оптимальные значения которых заведомо равны нулю; фактического исключения прямых переменных и сокращения размерности пространства, в котором определено решение исходной задачи. В процессе фактического исключения переменных алгоритм генерирует последовательность мультипликаторов, главные строки которых формируют матрицу ограничений вспомогательной задачи, причем возможность минимизация заполнения главных строк мультипликаторов заложена в самой структуре прямых методов. При этом отсутствует необходимость передачи информации (базис, план и оптимальное значение целевой функции) на второй этап алгоритма и применения одного из способов устранения зацикливания для гарантии конечной сходимости.

Представлены два варианта алгоритма решения вспомогательной задачи в сопряженной канонической форме. Первый основан на ее решении прямым алгоритмом в терминах симплекс-метода, а второй — на решении задачи, двойственной к ней, симплекс-методом. Показано, что оба варианта алгоритма для одинаковых исходных данных (входов) генерируют одинаковую последовательность точек: базисное решение и текущее двойственное решение вектора оценок строк. Отсюда сделан вывод, что прямой алгоритм — это алгоритм типа симплекс-метода. Также показано, что сравнение вычислительных схем приводит к выводу, что прямой алгоритм позволяет уменьшить по кубическому закону число арифметических операций, необходимых для решения вспомогательной задачи, по сравнению с симплекс-методом. Приводится оценка числа итераций.

A direct algorithm for solving a linear programming problem (LP), given in canonical form, is considered. The algorithm consists of two successive stages, in which the following LP problems are solved by a direct method: a non-degenerate auxiliary problem at the first stage and some problem equivalent to the original one at the second. The construction of the auxiliary problem is based on a multiplicative version of the Gaussian exclusion method, in the very structure of which there are possibilities: identification of incompatibility and linear dependence of constraints; identification of variables whose optimal values are obviously zero; the actual exclusion of direct variables and the reduction of the dimension of the space in which the solution of the original problem is determined. In the process of actual exclusion of variables, the algorithm generates a sequence of multipliers, the main rows of which form a matrix of constraints of the auxiliary problem, and the possibility of minimizing the filling of the main rows of multipliers is inherent in the very structure of direct methods. At the same time, there is no need to transfer information (basis, plan and optimal value of the objective function) to the second stage of the algorithm and apply one of the ways to eliminate looping to guarantee final convergence.

Two variants of the algorithm for solving the auxiliary problem in conjugate canonical form are presented. The first one is based on its solution by a direct algorithm in terms of the simplex method, and the second one is based on solving a problem dual to it by the simplex method. It is shown that both variants of the algorithm for the same initial data (inputs) generate the same sequence of points: the basic solution and the current dual solution of the vector of row estimates. Hence, it is concluded that the direct algorithm is an algorithm of the simplex method type. It is also shown that the comparison of numerical schemes leads to the conclusion that the direct algorithm allows to reduce, according to the cubic law, the number of arithmetic operations necessary to solve the auxiliary problem, compared with the simplex method. An estimate of the number of iterations is given.

Представлен алгоритм моделирования ансамбля траекторий нестационарных временных рядов. Построена численная схема аппроксимации выборочной плотности функции распределения в задаче с закрепленными концами, когда начальное распределение за заданное количество шагов переходит в определенное конечное распределение, так, что на каждом шаге выполняется полугрупповое свойство решения уравнения Лиувилля. Модель позволяет численно построить эволюционирующие плотности функций распределения при случайном переключении состояний системы, порождающей исходный временной ряд.

Основная проблема, рассматриваемая в работе, связана с тем, что при численной реализации левосторонней разностной производной по времени решение становится неустойчивым, но именно такой подход отвечает моделированию эволюции. При выборе неявных устойчивых схем с «заходом в будущее» используется итерационный процесс, который на каждом своем шаге не отвечает полугрупповому свойству. Если же моделируется некоторый реальный процесс, в котором предположительно имеет место целеполагание, то желательно использовать схемы, которые порождают модель переходного процесса. Такая модель используется в дальнейшем для того, чтобы построить предиктор разладки, который позволит определить, в какое именно состояние переходит изучаемый процесс до того, как он действительно в него перешел. Описываемая в статье модель может использоваться как инструментарий моделирования реальных нестационарных временных рядов.

Схема моделирования состоит в следующем. Из заданного временного ряда отбираются фрагменты, отвечающие определенным состояниям, например трендам с заданными углами наклона и дисперсиями. Из этих фрагментов составляются эталонные распределения состояний. Затем определяются эмпирические распределения длительностей пребывания системы в указанных состояниях и длительности времени перехода из состояния в состояние. В соответствии с этими эмпирическими распределениями строится вероятностная модель разладки и моделируются соответствующие траектории временного ряда.

This paper presents algorithm for modeling set of trajectories of non-stationary time series, based on a numerical scheme for approximating the sample density of the distribution function in a problem with fixed ends, when the initial distribution for a given number of steps transforms into a certain final distribution, so that at each step the semigroup property of solving the Liouville equation is satisfied. The model makes it possible to numerically construct evolving densities of distribution functions during random switching of states of the system generating the original time series.

The main problem is related to the fact that with the numerical implementation of the left-hand differential derivative in time, the solution becomes unstable, but such approach corresponds to the modeling of evolution. An integrative approach is used while choosing implicit stable schemes with “going into the future”, this does not match the semigroup property at each step. If, on the other hand, some real process is being modeled, in which goal-setting presumably takes place, then it is desirable to use schemes that generate a model of the transition process. Such model is used in the future in order to build a predictor of the disorder, which will allow you to determine exactly what state the process under study is going into, before the process really went into it. The model described in the article can be used as a tool for modeling real non-stationary time series.

Steps of the modeling scheme are described further. Fragments corresponding to certain states are selected from a given time series, for example, trends with specified slope angles and variances. Reference distributions of states are compiled from these fragments. Then the empirical distributions of the duration of the system’s stay in the specified states and the duration of the transition time from state to state are determined. In accordance with these empirical distributions, a probabilistic model of the disorder is constructed and the corresponding trajectories of the time series are modeled.

Для автономных систем ОДУ рассмотрено простейшее подмножество двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами, численная реализация которых требует одного LU-разложения и одного вычисления Якобиана за шаг интегрирования.

Проведено теоретическое исследование точности и устойчивости таких методов. Получены новые A-устойчивые методы 3-го порядка точности с различными свойствами и возможностью простой оценки главного терма локальной погрешности, что необходимо для автоматического выбора шага. Проведено тестирование новых методов.

The basic subset of two-stage Rosenbrock schemes with complex coefficients for numerical solution of autonomous systems of ordinary differential equations (ODE) has been considered. Numerical realization of such schemes requires one LU-decomposition, two computations of right side function and one computation of Jacoby matrix of the system per one step. The full theoretical investigation of accuracy and stability of such schemes have been done. New A-stable methods of the 3-rd order of accuracy with different properties have been constructed. There are high order L-decremented schemes as well as schemes with simple estimation of the main term of truncation error which is necessary for automatic evaluation of time step. Testing of new methods has been performed.